关于三角函数恒等变换中的图像变换

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-05-04 03:42 标签： 三角函数恒等变换
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三角函数图像及其变换
编者按：精品学习网小编为大家收集了&三角函数图像及其变换&，供大家参考，希望对大家有所帮助!
1.正弦、余弦、正切函数图象和性质
当　 　　　时，
当　 　　　时，
当　 　　　时，
是周期函数，最小正周期
是周期函数，最小正周期
奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于　 　　　轴对称
奇函数，图象关于原点对称
上是单调增函数
在　 　　　上是单调减函数
在　 　　　上是单调增函数
在　 　　　上是单调减函数
上是单调增函数
2.利用&五点法&作函数　 　　　(其中　 　　　)的简图，是将　 　　　看着一个整体，先令　 　　　列表求出对应的　 　　　的值与　 　　　的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。
3.研究函数　 　　　(其中　 　　　)的单调性、对称轴、对称中心仍然是将　 　　　看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期
4.图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)复合变换
5.主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
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三角函数图像变换
三角函数图象的平移和伸缩
函数y?Asin?(x???)k的图象与函数y?sinx的图象之间可以通过变化A，?，?，k来相互转化．A，?影响图象的形状，?，k影响图象与x轴交点的位置．由A引起的变换称振幅变换，由?引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．
变换方法如下：先平移后伸缩
y?sinx的图象??平移个单位长度
????? 得y?sin(x??)的图象?????1到原来的横坐标伸长(0&?&1)或缩短(?&1)向左(?&0)或向右(??0)?(纵坐标不变)
???????? 得y?sin(?x??)的图象??为原来的A倍(横坐标不变)纵坐标伸长(A?1)或缩短(0&A&1)
得y?Asin(?x??)的图象Asin(x??)?k?????? 平移k个单位长度向上(k?0)或向下(k?0)的图象．
先伸缩后平移
y?sinx的图象?????????? 为原来的A倍(横坐标不变)
横坐标伸长(0???1)或缩短(??1)纵坐标伸长(A?1)或缩短(0?A?1)得y?Asinx???????? 的图象??
到1原来的(纵坐标不变)?
向左(??0)或向右(??0)
得y?得y???????? ?Asin(?x)的图象平移个单位?Asinx(?x??)的图象??????得y?平移k个单位长度
?向上(k?0)或向下(k?0)Asin(?x??)?k的图象． 例1 将y?sinx的图象怎样变换得到函数y?2sin??2x?
4π???1的图象． 4???π??4?解：（方法一）①把y?sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度，得y?sin?x?
得图象的横坐标缩小到原来的，得y?sin21的图象；②将所2倍，π??2x?③将所得图象的纵坐标伸长到原来的??的图象；4??
得y?2sin?2x?
??π??的图象；④最后把所得图象沿y4?轴向上平移1个单位长度得到y?2sin?2x?
??π???1的图4?
（方法二）①把y?sinx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y?2sinx的图象；②将所得图象的
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高考数学知识点
三角函数的图像及其变换
绩优堂高考知识点三角函数的图像及其变换
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【正确答案】
【命题立意】
本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.满分14分。
【解题思路】
解：（Ⅰ）由题意得， 。 因为 在 的图象上，所以 。又因为 ，所以 。（Ⅱ）设点 的坐标为 。由题意可知 ，得 ，所以 。连接 ,在 中， ,由余弦定理得
,解得 .又 所以 .
【正确答案】
【命题立意】
本题考查了三角函数的图象及三角函数解析式的求解问题，以函数图象为信息的图像信息题是高考的热点题。
【解题思路】
由图象可得 ，即 。将点 代入 可得 ，可取 ，即 ，则 。
求三角函数式的关键是捕捉函数图象上的特征信息点，将这些点与三角函数解析式的待定值相互对照。
【正确答案】
解：(I)因为 所以当 ，即 时，f(x)取最小值 .此时x的取值集合为 (Ⅱ)先将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），得 的图象；再将 的图象上所有的点向左平移 个单位，得 的图象．
【正确答案】
解析&（1）由图象知 ， 的最小正周期 ，故 ．将点 代入 的解析式得 ，又 ，故 ，所以 ．（2）由 得 ，所以 ．因为 ，所以 ，则 ， ，又 ， ， ，所以 ．
【正确答案】
【答案详解】
为偶函数且 ，则 ，所以 ， ．故 与 的交点为最高点，于是最小正周期为 ，所以 ，所以 ，故选A．
【正确答案】
解析&（1）由题意得 ，（2分）即 ．（4分）又 ，则 ， ， ， ．（6分）（2） ．（9分）由 . 的单调增区间为 ．（12分）
【正确答案】
【答案详解】
的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，要使函数的图象关于 轴对称，则 ，即 ，所以当 时，得 的最小值为 ，选D．
【正确答案】
【答案详解】
解析&&&&①化简得 ，最小正周期为 ，真命题．②终边在 轴上的角的集合是 ，假命题．③在同一坐标系中，函数 的图象和函数 的图象只有一个公共点，假命题．④把函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象，真命题．⑤函数 在 上是增函数，假命题．
【正确答案】
【答案详解】
解析&&&&将函数 的图象向左平移 得到 的图象，然后纵坐标伸长到原来的 倍得到 的图象，所以①不正确.& ，所以函数图象关于点 对称，所以②正确．由 ，得 ，即函数的单调增区间为 ，当 时，增区间为 ，所以③不正确． ，当 时， ，所以当 ，即 时，函数取得最小值， ，所以 ．所以④正确．所以正确的判断为②④．
【正确答案】
【答案详解】
由函数 的图象关于直线 对称，可知 ，解得 ．选B．
【正确答案】
【答案详解】
由图像可知 ， ， ，代入 得 ， ， ， ， ．
【正确答案】
【答案详解】
由图象可知 ，所以函数的周期 ，又 ，所以 ，所以函数解析式为 ，又当 时， ，所以 ，即 ，所以 ， ，又 ，所以函数解析式为 ，选B．
【正确答案】
【答案详解】
把函数 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到 的图象，再把图象向左平移 个单位，得到 的图象，所以选A．
【正确答案】
【答案详解】
将 图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象；再将图象向右平移 个单位，得到函数 的图象， 是其图象的一条对称轴方程．
【正确答案】
解析&（1）由题意知 ，
，所以函数 的最小正周期 ．令 ， ，得 的单调递增区间为 ， ．（2）函数 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，再把所得到的图象向左平移 个单位长度，得到函数 & 的图象，因为 ，所以 ．所以当 时， ，当 时， ，所以函数 在区间 上的值域 ．
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