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2017年山东省淄博市中考数学压轴题 : 经理人分享
2017年山东省淄博市中考数学压轴题
本题分别与原题出现过两次，今年改编数据重新拿出来考。所以大家在备考的时候，选择的题目不在于年份，而是根据题目考察的考点、问题的问法等方面来考虑，精选典型的题目，有针对性的训练，才能达到事半功倍的效果。本题与广州今年一个机构的中考模拟题几乎完全一样的问法，区别在于数据的大小，以及有图和无图。2012年福建省福州市中考数学压轴题2013年甘肃省天水市中考数学压轴题【真题重现】（2017o淄博）如图1，经过原点O的抛物线y=ax?+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（3/2，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得OM/OP的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由OM/OP=MG/PH=OG/OH的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵B（2，t）在直线y=x上，∴t=2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得4a+2b=2，9/4 a+3/2 b=0，解得a=2，b=-3，∴抛物线解析式为y=2x?﹣3x；（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F， ∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t?﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t?﹣3t）=﹣2t?+4t，∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=1/2CDoOE+1/2CDoBF=1/2（﹣2t?+4t）（t+2﹣t）=﹣2t?+4t，∵△OBC的面积为2，∴﹣2t?+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）；（3）存在．设MB交y轴于点N，如图1，∵B（2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON=OA=3/2，∴N（0，3/2），∴可设直线BN解析式为y=kx+3/2，把B点坐标代入可得2=2k+3/2，解得k=1/4，∴直线BN的解析式为y=1/4x+3/2，联立直线BN和抛物线解析式可得y=1/4 x+3/2，y=2x?-3x，解得x=2，y=2或x=-3/8，y=45/32，∴M（﹣3/8，45/32），∵C（1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），∴OB=2√2，OC=√2，∵△POC∽△MOB，∴OM/OP=OB/OC=2，∠POC=∠BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴OM/OP=MG/PH=OG/OH=2，∵M（﹣3/8，45/32），∴MG=3/8，OG=45/32，∴PH=1/2MG=3/16，OH=1/2OG=45/64，∴P（45/64，3/16）；当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可求得PH=1/2MG=3/16，OH=1/2OG=45/64，∴P（﹣3/16，﹣45/64）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（45/64，3/16）或（﹣3/16，﹣45/64）．【举一反三】广州某机构中考数学模拟题
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