高二数学：正弦定理和余弦定理
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正余弦编码器解码方法研究
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p( ^ O ^ )q295收藏分享举报{&debug&:false,&apiRoot&:&&,&paySDK&:&https:\u002F\u002Fpay.zhihu.com\u002Fapi\u002Fjs&,&wechatConfigAPI&:&\u002Fapi\u002Fwechat\u002Fjssdkconfig&,&name&:&production&,&instance&:&column&,&tokens&:{&X-XSRF-TOKEN&:null,&X-UDID&:null,&Authorization&:&oauth c3cef7c66aa9e6a1e3160e20&}}{&database&:{&Post&:{&&:{&isPending&:false,&contributes&:[],&title&:&一个简单的新闻分类器&,&author&:&wa-shu-30&,&content&:&读过吴军\u003Cb\u003E《数学之美》\u003C\u002Fb\u003E的童鞋都知道，很多门户网站和搜索引擎里边的新闻分类都不是人工做的，而是用算法计算两两新闻之间的相似度，把相似度高的新闻放在一个类别里。说到这个算法其实大家高中都学过，叫\u003Cb\u003E余弦定理\u003C\u002Fb\u003E，就是\u003Cb\u003ECOS\u003C\u002Fb\u003E。\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F14eba3b39be6eeba773008daa53fd0be_b.jpg\& data-rawwidth=\&422\& data-rawheight=\&211\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&422\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F14eba3b39be6eeba773008daa53fd0be_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='422'%20height='211'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&422\& data-rawheight=\&211\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&422\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F14eba3b39be6eeba773008daa53fd0be_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F14eba3b39be6eeba773008daa53fd0be_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E余弦定理\u003C\u002Fb\u003E：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，假设三边为a，b，c， 三角为A，B，C \u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fee17746ced14ee09dcda4aa087b4a46a_b.jpg\& data-rawwidth=\&198\& data-rawheight=\&42\& class=\&content_image\& width=\&198\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='198'%20height='42'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&198\& data-rawheight=\&42\& class=\&content_image lazy\& width=\&198\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fee17746ced14ee09dcda4aa087b4a46a_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E余弦值越大，则两条边的夹角越小。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E而这个\u003Cb\u003E余弦值\u003C\u002Fb\u003E怎么跟文本相似度扯上关系的呢？在回答这个问题之前，我们必须先弄清楚另外一件事，就是什么样的两个文本可谓之相似？一篇财经新闻肯定跟另外一篇财经新闻相似，而一篇体育新闻按理说不应该跟一篇财经新闻相似，这个相似从人的角度来说就是两篇文章出现了很多相同的内容，而内容是由词语组成的，于是两篇文章应该出现了很多相同的词。举以下的栗子\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fdfaa36ab614f21eaa68c7_b.jpg\& data-rawwidth=\&688\& data-rawheight=\&339\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&688\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fdfaa36ab614f21eaa68c7_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='688'%20height='339'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&688\& data-rawheight=\&339\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&688\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fdfaa36ab614f21eaa68c7_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fdfaa36ab614f21eaa68c7_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E从上图可以很直观地看出，新闻1跟新闻2相似，而跟新闻3不相似，原因是新闻1跟新闻2出现的\u003Cb\u003E词语次数（词频）的比例相似。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E那怎么去量化这个词频相似度呢？如果你上过大学的\u003Cb\u003E《线性代数》\u003C\u002Fb\u003E课就会知道，如果把两篇新闻的词频变成一个多维向量，那么两个多维向量的夹角越小，两篇新闻的词频越相似，反之两篇新闻的词频越不相似。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F7d29dea6c0c84bee2edf1b2b_b.jpg\& data-rawwidth=\&363\& data-rawheight=\&293\& class=\&content_image\& width=\&363\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='363'%20height='293'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&363\& data-rawheight=\&293\& class=\&content_image lazy\& width=\&363\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F7d29dea6c0c84bee2edf1b2b_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E当涉及到两个向量的夹角时，\u003Cb\u003E余弦定理\u003C\u002Fb\u003E就派上用场啦，经数学家证明，在多维空间，余弦定理可以化为\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fb69290ffcae70b02496ccae_b.jpg\& data-rawwidth=\&464\& data-rawheight=\&136\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&464\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fb69290ffcae70b02496ccae_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='464'%20height='136'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&464\& data-rawheight=\&136\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&464\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fb69290ffcae70b02496ccae_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fb69290ffcae70b02496ccae_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E还举上面的栗子，\u003Cb\u003E新闻1\u003C\u002Fb\u003E的空间向量（x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(15,10,5,6,0,0,0)，\u003Cb\u003E新闻2\u003C\u002Fb\u003E的空间向量（y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7)=(30,20,10,12,0,0,0)，两者的余弦相似度为\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F75e418bb69b4d3c366abc_b.jpg\& data-rawwidth=\&650\& data-rawheight=\&89\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&650\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F75e418bb69b4d3c366abc_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='650'%20height='89'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&650\& data-rawheight=\&89\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&650\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F75e418bb69b4d3c366abc_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F75e418bb69b4d3c366abc_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E新闻1\u003C\u002Fb\u003E与\u003Cb\u003E新闻3\u003C\u002Fb\u003E的余弦相似度为\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F4a99b29d50ca8c7b98ba2d35_b.jpg\& data-rawwidth=\&698\& data-rawheight=\&96\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&698\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F4a99b29d50ca8c7b98ba2d35_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='698'%20height='96'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&698\& data-rawheight=\&96\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&698\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F4a99b29d50ca8c7b98ba2d35_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F4a99b29d50ca8c7b98ba2d35_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E新闻1与新闻2的余弦相似度\u003Cb\u003E远远大于\u003C\u002Fb\u003E新闻1与新闻3的余弦相似度，因此可以说\u003Cb\u003E新闻1与新闻2比新闻1与新闻3更相似\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E为了验证这个算法，我爬下了新浪网的\u003Cb\u003E40篇新闻\u003C\u002Fb\u003E，其中\u003Cb\u003E10篇财经新闻，10篇科技新闻，10篇娱乐新闻，10篇体育新闻，\u003C\u002Fb\u003E分别存在40个txt文件里。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fe12a7cd8b_b.jpg\& data-rawwidth=\&485\& data-rawheight=\&414\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&485\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fe12a7cd8b_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='485'%20height='414'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&485\& data-rawheight=\&414\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&485\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fe12a7cd8b_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fe12a7cd8b_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E对这40个txt分别进行分词统计词频（我用的是Python的jieba模块），并存在40个csv文件里，然后计算他们两两之间的余弦相似度，怎么计算？举个栗子，计算finance1跟finance2的余弦相似度，先合并两个文件的词语并去重，然后匹配出每个词语对应的finance1的词频和finance2的词频，类似上面的新闻例子一样。接下来计算finance1跟finance3的余弦相似度，依此遍历下去，直到算出finance1与其他39个文件的余弦相似度，得到以下的图（按余弦相似度\u003Cb\u003E降序排列\u003C\u002Fb\u003E）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F1346cab30748aca2d0e2b_b.jpg\& data-rawwidth=\&414\& data-rawheight=\&530\& class=\&content_image\& width=\&414\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='414'%20height='530'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&414\& data-rawheight=\&530\& class=\&content_image lazy\& width=\&414\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F1346cab30748aca2d0e2b_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E看来效果不错，前面8篇都是财经新闻。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E下面换成娱乐新闻试试，计算film1与其他39个文件两两的余弦相似度，最后按照余弦相似度降序排列\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F5b3a6dd720_b.jpg\& data-rawwidth=\&420\& data-rawheight=\&524\& class=\&content_image\& width=\&420\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='420'%20height='524'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&420\& data-rawheight=\&524\& class=\&content_image lazy\& width=\&420\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F5b3a6dd720_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E一样的效果显著，至此，一个简单但效果显著的新闻分类器就完成了。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E来都来了，\u003Cb\u003E点个赞\u003C\u002Fb\u003E再走呗
\u003Cb\u003E＼( ^▽^ )／\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E奉上\u003Cb\u003EPython代码\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cdiv class=\&highlight\&\u003E\u003Cpre\u003E\u003Ccode class=\&language-python\&\u003E\u003Cspan\u003E\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&kn\&\u003Eimport\u003C\u002Fspan\u003E \u003Cspan class=\&nn\&\u003Enumpy\u003C\u002Fspan\u003E \u003Cspan class=\&kn\&\u003Eas\u003C\u002Fspan\u003E \u003Cspan class=\&nn\&\u003Enp\u003C\u002Fspan\u003E\n\u003Cspan class=\&kn\&\u003Eimport\u003C\u002Fspan\u003E \u003Cspan class=\&nn\&\u003Epandas\u003C\u002Fspan\u003E \u003Cspan class=\&kn\&\u003Eas\u003C\u002Fspan\u003E \u003Cspan class=\&nn\&\u003Epd\u003C\u002Fspan\u003E\n\n\u003Cspan class=\&k\&\u003Edef\u003C\u002Fspan\u003E \u003Cspan class=\&nf\&\u003Emain\u003C\u002Fspan\u003E\u003Cspan class=\&p\&\u003E():\u003C\u002Fspan\u003E\n
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\u003Cb\u003E余弦定理\u003C\u002Fb\u003E：对于任意三角形，任何…&,&reviewingCommentsCount&:0,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&annotationDetail&:null,&commentsCount&:26,&likesCount&:295,&FULLINFO&:true}},&User&:{&wa-shu-30&:{&isFollowed&:false,&name&:&挖数&,&headline&:&会数据分析的段子手！\n\n我已委托“维权骑士”（http:\u002F\u002Frightknights.com）为我的文章进行维权行动&,&avatarUrl&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Fv2-acd18bfebc9adcb8_s.jpg&,&isFollowing&:false,&type&:&people&,&slug&:&wa-shu-30&,&bio&:&微信公号：washu66&,&hash&:&f4bb407ada02f85806d50&,&uid&:00,&isOrg&:false,&description&:&会数据分析的段子手！\n\n我已委托“维权骑士”（http:\u002F\u002Frightknights.com）为我的文章进行维权行动&,&badge&:{&identity&:null,&bestAnswerer&:null},&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fwa-shu-30&,&avatar&:{&id&:&v2-acd18bfebc9adcb8&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false}},&Comment&:{},&favlists&:{}},&me&:{},&global&:{&experimentFeatures&:{&ge3&:&ge3_9&,&ge2&:&ge2_1&,&growthSearch&:&s2&,&sEI&:&c&,&nwebQAGrowth&:&experiment&,&qawebRelatedReadingsContentControl&:&close&,&liveStore&:&ls_a2_b2_c1_f2&,&qawebThumbnailAbtest&:&new&,&nwebSearch&:&nweb_search_heifetz&,&rt&:&y&,&showVideoUploadAttention&:&true&,&isOffice&:&false&,&enableTtsPlay&:&post&,&newLiveFeedMediacard&:&new&,&newMobileAppHeader&:&true&,&androidPassThroughPush&:&all&,&hybridZhmoreVideo&:&yes&,&nwebGrowthPeople&:&default&,&nwebSearchSuggest&:&default&,&qrcodeLogin&:&qrcode&,&enableVoteDownReasonMenu&:&enable&,&isf8&:&1&,&isShowUnicomFreeEntry&:&unicom_free_entry_off&,&newMobileColumnAppheader&:&new_header&,&androidDbRecommendAction&:&open&,&zcmLighting&:&zcm&,&androidDbFeedHashTagStyle&:&button&,&appStoreRateDialog&:&close&,&default&:&None&,&isNewNotiPanel&:&no&,&wechatShareModal&:&wechat_share_modal_show&,&growthBanner&:&default&,&androidProfilePanel&:&panel_b&}},&columns&:{&next&:{}},&columnPosts&:{},&columnSettings&:{&colomnAuthor&:[],&uploadAvatarDetails&:&&,&contributeRequests&:[],&contributeRequestsTotalCount&:0,&inviteAuthor&:&&},&postComments&:{},&postReviewComments&:{&comments&:[],&newComments&:[],&hasMore&:true},&favlistsByUser&:{},&favlistRelations&:{},&promotions&:{},&switches&:{&couldSetPoster&:false},&draft&:{&titleImage&:&&,&titleImageSize&:{},&isTitleImageFullScreen&:false,&canTitleImageFullScreen&:false,&title&:&&,&titleImageUploading&:false,&error&:&&,&content&:&&,&draftLoading&:false,&globalLoading&:false,&pendingVideo&:{&resource&:null,&error&:null}},&drafts&:{&draftsList&:[],&next&:{}},&config&:{&userNotBindPhoneTipString&:{}},&recommendPosts&:{&articleRecommendations&:[],&columnRecommendations&:[]},&env&:{&edition&:{&baidu&:false,&yidianzixun&:false,&qqnews&:false},&isAppView&:false,&appViewConfig&:{&content_padding_top&:128,&content_padding_bottom&:56,&content_padding_left&:16,&content_padding_right&:16,&title_font_size&:22,&body_font_size&:16,&is_dark_theme&:false,&can_auto_load_image&:true,&app_info&:&OS=iOS&},&isApp&:false,&userAgent&:{&ua&:&Mozilla\u002F5.0 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