已知抛物线y=-又2/3x2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1＜x2）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．-乐乐题库
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已知抛物线y=-23x2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1＜x2）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2009-丰台区一模
分析与解答
习题“已知抛物线y=-又2/3x2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1＜x2）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥...”的分析与解答如下所示：
（1）可通过解方程求出A、B的坐标，代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（由于A、B的坐标是方程的两个根，那么抛物线的解析式其实就是二次项系数与方程的代数式部分的乘积）．（2）可将四边形分成三角形ABC和ABD两部分求解，已知了AB的长，关键是求出C、D的坐标，根据抛物线的解析式即可得出C点的坐标．求D点坐标时，可先求出直线BC的解析式，根据BC∥AD，那么直线AD与直线BC的斜率相同，根据A点坐标即可求出直线AD的解析式，联立抛物线即可求出D点的坐标，然后按上面所说的四边形的面积求法进行计算即可．（3）先根据直线AC、BC的解析式设出P、Q的坐标（由于P、Q的纵坐标相同，因此可设纵坐标，然后根据直线解析式表示出横坐标）．分三种情况：①PQ=PR，此时P点纵坐标与PQ的长相等，据此可求出P点的坐标．进而可求出R的坐标．②PQ=QR，同①③PR=QR，R在PQ的垂直平分线上，此时P点的纵坐标是PQ的一半．由此可求出P点的坐标．进而可求出R的坐标．
解：（1）解方程x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3．∴点A（-1，0），点B（3，0）．∴-232+bo(-1)+c=0-232+bo3+c=0，解，得{b=43，∴抛物线的解析式为y=-23x2+43x+2．（2）∵抛物线与y轴交于点C．∴点C的坐标为（0，2）．又点B（3，0），可求直线BC的解析式为y=-23x+2．∵AD∥CB，∴设直线AD的解析式为y=-23x+b′．又点A（-1，0），∴b′=-23，直线AD的解析式为y=-23x-23．解y=-232+431=-1y1=0，x2=4y2=-103-103）．过点D作DD’⊥x轴于D’，DD’=103，则又AB=4．∴四边形ACBD的面积S=12ABoOC+12ABoDD’=1023．（3）假设存在满足条件的点R，设直线l交y轴于点E（0，m），∵点P不与点A、C重合，∴0＜m＜2，∵点A（-1，0），点C（0，2），∴可求直线AC的解析式为y=2x+2，∴点P（12m-1，m）．∵直线BC的解析式为y=-23x+2，∴点Q（-32m+3，m）．∴PQ=-2m+4．在△PQR中，①当RQ为底时，过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ=90°，PQ=PR1=m．∴-2m+4=m，解得m=43，∴点P（-13，43），∴点R1坐标为（-13，0）．②当RP为底时，过点Q作QR2⊥x轴于点R2，同理可求，点R2坐标为（1，0）．③当PQ为底时，取PQ中点S，过S作SR3⊥PQ交x轴于点R3，则PR3=QR3，∠PR3Q=90度．∴PQ=2R3S=2m．∴-2m+4=2m，解，得m=1，∴点P（-12，1），点Q（32，1），可求点R3坐标为（12，0）．经检验，点R1，点R2，点R3都满足条件．综上所述，存在满足条件的点R，它们分别是R1（-13，0），R2（1，0）和点R3（12，0）．
本题考查一元二次方程的解法，二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
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已知抛物线y=-又2/3x2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1＜x2）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点...
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经过分析，习题“已知抛物线y=-又2/3x2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1＜x2）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“已知抛物线y=-又2/3x2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1＜x2）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥...”相似的题目：
已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（m，0），B（n，0），且m+n=4，mn=13．（1）求此抛物线的表达式；（2）设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一平行于x轴的直线交抛物线于另一点P，请求出△ACP的面积S△ACP．&&&&
如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=14x2于点A、B，交抛物线C2：y=19x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：
&&&&& 由上表猜想：对任意m（m＞0）均有ABCD=&&&&．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为&&&&；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为&&&&．
如图，抛物线y=ax2+2ax+b与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，AB∥x轴，且S△ABC=3，D、E是直线y=x+1与坐标轴的交点，（1）求抛物线的解析式；（2）在坐标轴上找出所有的点F，使△CEF与△ABD相似，直接写出它的坐标；（3）P为x轴上一点，Q为此抛物线上一点，是否存在P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．&&&&
“已知抛物线y=-又2/3x2+bx+c与...”的最新评论
该知识点好题
1如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为&&&&
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有&&&&
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是&&&&
该知识点易错题
1如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有&&&&
2如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为&&&&
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
…（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“已知抛物线y=-又2/3x2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1＜x2）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“已知抛物线y=-又2/3x2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1＜x2）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．”相似的习题。在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ；在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；若点P为x轴
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ；在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；若点P为x轴
补充：、在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．、在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．（1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ；（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．
不区分大小写匿名
1)a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为(﹣1，4)； 2)假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E． 由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°， ∴△CED∽△DOA ∴CE/ED=DO/AO 设D(0，c)，则1/(4-c）=c/3 变形得c?﹣4c+3=0，解之得c1=3，c2=1． 综合上述：在y轴上存在点D(0，3)或(0，1)， 使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
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当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导（2012o广州）如图，抛物线y=2-
x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可．
（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等，可知平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．
从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标．
注意：这样的平行线有两条，如答图1所示．
（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．
因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解．
注意：这样的切线有两条，如答图2所示．
解：（1）令y=0，即2-
解得x1=-4，x2=2，
∴A、B点的坐标为A（-4，0）、B（2，0）．
（2）S△ACB=ABoOC=9，
在Rt△AOC中，AC=2+OC2
设△ACD中AC边上的高为h，则有ACoh=9，解得h=．
如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=-1的两个交点即为所求的点D．
设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h=，
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（-4，0），C（0，3）坐标代入，
得到，解得，
∴直线AC解析式为y=x+3．
直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线l1的解析式为y=x+3-=x-．
则D1的纵坐标为×（-1）-=，∴D1（-1，）．
同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（-1，）
综上所述，D点坐标为：D1（-1，），D2（-1，）．
（3）如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．
∵A（-4，0），B（2，0），∴F（-1，0），⊙F半径FM=FB=3．
又FE=5，则在Rt△MEF中，
=4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．
在Rt△FMN中，MN=MFosin∠MFE=3×=，
FN=MFocos∠MFE=3×=，则ON=，
∴M点坐标为（，）
直线l过M（，），E（4，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，则有
所以直线l的解析式为y=x+3．
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x-3．
综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x-3已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线2+mx+n经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
（1）将A点坐标代入直线的解析式中，即可求得k的值，从而确定该直线的解析式；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m、n的值，从而确定抛物线的解析式．
（2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B的坐标，根据P、Q的运动速度，可用t表示出BP、CQ的长，进而可得到AQ、AP的长，然后分三种情况讨论：
①∠APQ=90°，此时PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值；
②∠AQP=90°，亦可证得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此时t的值；
③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的．
（3）过D作y轴的平行线，交直线AC于F，设出点D的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标，进而可求得DF的长，以DF为底，A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式（或由△ADF、△CDF的面积和求得），由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标．
解：（1）∵直线y=kx-3过点A（4，0），
∴0=4k-3，解得k=．
∴直线的解析式为y=x-3．（1分）
由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C（0，-3）．
∵抛物线2+mx+n经过点A（4，0）和点C，
∴2+4m-3=0，
∴抛物线解析式为2+
x-3．（2分）
（2）对于抛物线2+
令y=0，则2+
解得x1=1，x2=4．
∴B（1，0）．
∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t．
①若∠Q1P1A=90°，则P1Q1∥OC（如图1），
∴△AP1Q1∽△AOC．
解得t=；（3分）
②若∠P2Q2A=90°，
∵∠P2AQ2=∠OAC，
∴△AP2Q2∽△AOC．
解得t=；（4分）
③若∠QAP=90°，此种情况不存在．（5分）
综上所述，当t的值为或时，△PQA是直角三角形．
（3）答：存在．
过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）．
∴S△ADF=DFoAE，S△CDF=DFoOE．
∴S△ACD=S△ADF+S△CDF
=DFoAE+DFoOE
=DF×（AE+OE）
=×（DE+EF）×4
=2+6x．（6分）
∴S△ACD=2+6（0＜x＜4）．
又∵0＜2＜4且二次项系数，
∴当x=2时，S△ACD的面积最大．
而当x=2时，y=．
∴满足条件的D点坐标为D（2，）．（7分）已知点A(1,2),B(2,1)C(4,2),在y轴上是否存在一点P使得三角形PAC的面积等于三角形PBC的面积_百度知道
已知点A(1,2),B(2,1)C(4,2),在y轴上是否存在一点P使得三角形PAC的面积等于三角形PBC的面积
若存求A点坐标存说明理由
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令AB点D连CD并延与y轴相交交点满足条件点P［证明］∵AD＝CD∴S(△ACD)＝S(△BCD)、S(△PAD)＝S(△PBD)∴S(△ACD)＋S(△PAD)＝S(△BCD)＋S(△PBD)∴S(△PAC)＝S(△PBC)［求点P坐标］∵DAB点∴点D坐标（3/2<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad/2）∴CD斜率＝（2－3/2）/（4－3/2）＝1/5令点P坐标（0m）则：（2－m）/（4－0）＝1/5∴2－m＝4/5∴m＝2－4/5＝6/5∴点P坐标（0<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad/5）
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