五年级寒假生活指导全部答案_百度文库
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五年级寒假生活指导全部答案|
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你可能喜欢第三章&&&&&&&&&&&&&&数学与美学
第三章&&&&&&&&&&&&&
数学与美学
　中国古代著名哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。”日本物理学家，诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。通过本讲座，我们将展现数学精神的魅力，阐述数学推理之妙谛。但数学之美的面纱是慢慢揭开的，数学推理的妙谛是逐渐展现的。这涉及到科学与艺术的关系，而艺术与科学的联系是天然的。实际上，一切科学、哲学、数学和艺术的研究对象不外乎，天──大宇宙；地，自然界及其中一切动植物──中宇宙；人──最精密、最完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。著名物理学家李政道说得好：“科学和艺术是不可分割的，正像一枚硬币的两面。它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性。”
顺便指出，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是，史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。因而数学教育是审美素质教育的一部分。
数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。但长期以来，我们忽视对数学的美的教育。讲述数学之美有利于培养鉴赏力。值得注意的是，在历史上，重大课题的选择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。例如，正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。几年之后，这个预言得到了物理学家的证实。狄拉克后来说：“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。”
为什么把美看得这样重要？因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。发现美、认识美和运用美，这是人类生存的要求。反过来，美又是人类进步的动力。追求美的实质就是追求自然界的数学美。人类一步一步地揭示自然界的数学规律，人类就越了解我们所处的宇宙的美。希腊箴言说，美是真理的光辉。因而追求美就是追求真。英国诗人济慈写道：
　　美就是真，
　　真就是美—这就是
　　你所知道的，
　　和你应该知道的。
　　法国数学家阿达玛说：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。”可见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。
　　那么，什么是美呢？美有两条标准：一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根），二、“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。”（海森堡）。这是科学和艺术共同追求的东西。希尔伯特说：“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。它像一座鲜花盛开的花园展现在我们眼前。在这个花园熟悉的小道上，你可以悠闲地观赏，尽情地享受，不需费多大力气，与心领神会的伙伴一起更是如此。但我们更喜欢寻找幽隐的小道，发现许多意想不到的令人愉快的美景；当其中一条小道向我们显示出这一美景时，我们会共同欣赏它，我们的欢乐也达到尽善尽美的境地。”
对美的追求起源于古代。毕达哥拉斯发现，在相同张力作用下的弦，当它们的长度成简单的整数比时，击弦发出的声音听起来是和谐的。正是基于这种认识，毕达哥拉斯学派定出了音律。顺便指出，我国在古代也以同样的方式确定了音律。这是人类第一次确立了可理解的东西与美之间的内在联系，是人类历史上一个真正重大的发现。牛顿的万有引力公式，爱因斯坦的质能转换公式，既是美，又是真。
数学的美表现在什么地方呢？表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。
为什么我们这样重视美？并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢？因为人们常常忽视它。人们只重视实用方面、科学方面，而对于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方面，要么不予承认，即使承认，也认为只不过是次要的因素。但事实上，实用的、科学的、美学的和哲学的因素共同促进了数学的形成。把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个，或抬高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的。
第一节&&&&&&&&&&
数学美的特点
&美学与数学美学。德国的鲍姆嘉通（Baumgarten)于1735年首次提出“美学”这一名词，1750年它正式以《美学》作为他专著的书名，他因此被誉为“美学之父”。随后的康德、黑格尔等逐步建立了较严整的美学科学体系。
那么什么是数学美呢？它的本质是什么呢？从国内的研究来看，有这样一些描述：“数学美是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现”，“数学美是数学创造的自由形式”，“数学美是真与善的统一”，“数学美的本质在于序”……等等。
数学美的客观性：即指客观存在于数学领域中的审美对象是不以审美主体是否承认、是否意识到为转移的，尽管因审美主体的主观条件的不同，并不是所有的或特定的数学美都能为审美主体所感知，但这并不能改变这数学美的存在。
数学美的社会性：数学美是一种社会现象，因为数学美是对人而言的。数学家通过数学实践活动（特别是数学理论创造的实践活动），使自己的本质力量“对象化”了，或者说“自然人化”了。所谓的“人化”就是人格化，即自然物具有人的本质的印记，实质上就是社会化。这种社会化的内容正是数学美的内容，它是数学美产生的本原。
数学美的物质性：数学美的内容――人的本质力量必须通过某种形式呈现出来，必需要有附体，数学美的这种形式或附体，即数学美的物质属性。
数学美的宜人性：即数学美形式应该使审美主体感到愉悦。审美主体的愉悦性，一方面自然是由审美主体的心理和生理的原因造成的，另一方面，也是最根本的，还在于对象本身是具有足以引起主体愉悦的属性和条件。简言之，数学美的形式必须与人的认识、人类心灵深处的渴望的本质上相吻合。
首先要提到的当推古希腊时期的毕达哥拉斯，毕达哥拉斯学派第一次提出了“美是和谐与比例”的观点，认为宇宙的和谐是由数决定的，他运用这一美学思想形成了点子数（即形数）理论；并以所谓亲和数与完全数来反映体现宇宙和谐的“亲和”与“完全”。
作为古希腊唯心主义哲学的主要代表人物，柏拉图认为数学的美是一种纯抽象的美，尽管柏拉图的理念世界是抽象的世界，但他却第一次提出了理念世界是“真善美的统一”的见解。
17世纪，笛卡儿所创立的解析几何是数学史上极其杰出的成果，它使几何与代数得到完美的统一，充分揭示了数学的协调美和统一美。
18世纪，该世纪著名数学家欧拉的数学美思想在其《无穷小分析引论》中得到生动的体现，这是一部极其优美的数学专著。
19世纪，有人称19世纪的数学是“革命的数学”，数学美学思想在这一时期也极为活跃，拉普拉斯、高斯、哈密尔顿、黎曼等人在这方面都作出了贡献。
20世纪，数学家们开始自觉地运用数学美学方法，总结数学审美标准，探讨数学发明中的审定心理，其突出代表人物是19世纪末及20世纪初的庞加莱及被誉为“超人的天才”的冯·诺伊曼，还有研究数学领域中的发明心理学的法国著名数学家雅克·阿达玛。
数学美的表现形式
简单性　是数学美的基本表现形式之一。作为反映现实世界量及其关系规律的数学来说，那种最简洁的数学理论最能给人以美的享受。
简单性又是数学发现与创造中的美学因素之一。最简单的例子便是代数运算中之乘法与幂的运算的引进是源于避免重复的加法运算和重复的乘法运算：
统一性　是指部分与部分，部分与整体之间的内在联系或共同规律所呈现出来的和谐、协调、一致。
数学美中的统一性在数学中有很多体现。数学推理的严谨性和矛盾性体现了和谐；表现在一定意义上的不变性，反映了不同对象的协调一致。例如，数的概念的一次次扩张和数系的统一，运算法则的不变性；几何中的圆幂定理是相交弦定理、切、割线定理的统一形式。
对称性　是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。数学形式和结构的对称性、数学命题关系中的对偶性、数学方法中的对偶原理方法都是对称美的自然表现。毕达哥拉斯说：“一切立体图形中，最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”因为这两种形体在各个方向上都是对称的。此外，象正多边形、正多面体、旋转体和圆锥曲线等都给人以完善、对称的美感。在代数中轮换对称式表明了代数式中字母可以互换的对称关系。在数学解题方面，对称方法和反射方法往往使问题解决的过程简捷明快。
秩序性，就其愿意而言，秩序是事物在空间或时间上排列的先后、也可作为层次等等的理解。数学中的“秩序”具有极其重要的、决定性的意义，意大利数学家G·卡雷里认为，“数学是而且将总是一门被看作关系系统的序的科学。当涉及形式时，它从不会与它们的实质有关，而仅仅与这些形式之间可陈述的联系有关。单一元素只能在使之有序化的系统联系之中才得到决定并因而获得意义。”
奇异性，奇异性是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物（思想、方法、理论）所突破，或出乎意料、超乎想象的结果所带来的新颖和奇特。
数学美学方法的特点
1、直觉性，审美直觉是数学直觉中的一种重要类型，数学美学方法主要还是一种受审美直觉所驱动，而作出美学考虑的方法。正因为如此，数学美学方法的成功运用与主体的直觉能力就有很大关系。这一特点也说明，运用它所得到的结论，最终还要通过逻辑方法的检验才能成立。
数学美学方法的运用是建立在审美主体的数学美感之上的，和任何美感一样，人们对于数学的美感也具有强烈的感情色彩。愉悦、平和、明快、困惑、兴趣盎然、心满意足乃至于激动与惊异……数学美学方法总是是伴随着这种种感情体验，这与逻辑方法所具有纯粹理性形成了鲜明的对比。
3、选择性&&
数学美学方法是自觉地依据美学的考虑来作出选择的方法，它是“非常自足的、美学的、不受（近乎不受）经验的影响。”这种选择性使美学方法并不成为解决数学问题或获得数学发现的具体方法，而是一种确定方向、原则的策略方法。这种选择性是导致数学发现发明的指路灯，因此，它又使数学美学方法具有创造性。
4、评价性&&
数学美学方法常常表现为对已获数学成果的一种鉴赏与评价，一般来讲，逻辑方法的运用以问题的解决为方法的终结，而美学方法不仅关注问题是否解决，更主要是考虑问题的解决优美？前者着意于数学问题的“真”，后者着意于“真、善、美的统一”。庞加莱指出：“这并非华而不实的作风”，数学发展的历史已表明，美学方法的评价性对于“数学理论的富有成果性”来讲是不可或缺的。
数学美学方法运用的基本途径
1、增强审美自我意识，善于发现数学美因
在数学活动中，活动者的审美意识是客观存在的审美对象在活动者头脑中的能动反映，一般意义上也称为美感。它包括审美兴趣、审美倾向、审美能力、审美理想、审美感受等等。美感尽管表现为主观的，但它最终是来源于数学活动实践，数学中丰富的美的形式和美的因素（简称为美因）是美感产生的客观基础。只有在美因促使主体美感产生的条件下，主体才能作出美学的考虑。因此，善于发现数学美因，“识得庐山真面目”，是运用数学美学方法的前提。
2、在数学审美活动中，注意逻辑方法与直觉方法的结合。
美感的产生一般而言是直觉的，但这并不意味理性思维与审美无关，美学研究表明，理性思维在审美中是有重大作用的（数学审美更是如此）。在数学活动中，发获得真正的审美要，必须把逻辑思维方法与直觉方法结合起来。逻辑思维在数学审美中可以起到规范知觉、想象的趋向作用，前者渗透溶化于后者之中，才使审美感受不是一种初级的感性知觉，或一堆空幻的主观想象，而是对数学对象本质的某种能动的反映。
3、在数学认识、评价及创造过程中，自觉地以数学审美标准作指导。
审美教育的特征
1、和谐性：“和谐”是美学的一条重要的原理。中学数学教学中有许多内容是和谐性教育的好题材，和谐性也有助于开拓解题思路，培养学生解题的能力。
2、形象性：美育是一种形象性的教育，它总是通过审美对象的鲜明形象来诱发和感染教育者的。数学中直观教具、精美图形以及数形转化的方法都能产生审美教育中的形象性。
3、情感性：美育通过审美对象来激发人的审美情感，受教育者将有一定情绪体验，得到一定的情绪陶冶和心理满足，若能通过富有艺术性的教学活动激发起学生情感的涟漪，那无异于为学习添加了催化剂。
4、自由性：美育给人以自由感，人对客观事物的感受只有进入自由境界才能产生美感，因此，在审美教育中，要注意学生心理和生理的发展规律，善于引导和启发。
5、鲜明性：审美教育伴随着情感的激动，使受教育者不知不觉地在心灵中留下鲜明的印象，有时，即使知识被遗忘，而那触动情感的形象，却终生难忘。
第二节&&&&&&&&&&
数学与美的关系
　　社会的进步就是人类对美的追求的结晶。
——马克思
数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。
人类社会历史的发展和自然界的进化告诉人们：一切事物生存和发展所共同遵守的法则是：美战胜丑。为此，美学家断言：美是一切事物生存和发展的本质特征。
什么是美？美是心借物的形象来表现情趣，是合规律性与合目的性的统一(朱光潜语)。美又是自由的形式：完好、和谐、鲜明。真与善、规律性与目的性的统一，就是美的本质和根源(李泽厚语)。然而人们认识美、探索美的秘密却是一个极为古老的课题。
美的秘密世世代代搅挠着人类的思维。在历史上，关于美的谈论相当相当多(尽管是只言片语)。
最古老的文明遗留下的古迹中，无不打上古代人们的世界观和审美观。
苏格拉底认为：最有益的即是最美的。因而古希腊的美学是知识不可分割的一部分，这恰恰由于当时许多学科的幼芽尚未从人类知识大树上长成独立的枝干。当时的哲人们认为：美和宇宙之美是统一的。
毕达哥拉斯学派(请注意这是一个数学团体)认为世界是严整的宇宙，整个天体就是和谐与数。正是这个学派在研究音乐时最早使用了数学(他们试图提出一个声调对比关系的数学公式：八度音与基本音调之比为1∶2，五度音等于2∶3，四度音等于3∶4等等)，这也是人们最早用数学方法研究美的实践与创始。
古希腊哲人赫拉克利特认为：和谐不是静止的平衡。而是运动着的活动状态。
恩培多克勒认为：生物的进化与世界之美的完善，与美、与和谐形成是等过程的。
原子论者德谟克利特认为：生活需要有美的享受。
苏格拉底认为：“美是许多现象所固有的一个唯一的东西，是具有最普遍的具体性”，但“美是难以捉摸的。”
亚里士多德认为：数学能促进人们对美的特性：数值、比例、秩序等的认识。
黑格尔在哲学史稿中说：“美包含在体积和秩序中。”
十八世纪法国启蒙主义者伏尔泰、狄德罗等人认为“美是大自然本身的自然属性。”
德国哲学家黑格尔把美看作是精神的(绝对观念的)整个世界运动的阶段之一，观念得到完善的、相同的表现形式，这就是美。
俄国文学家车尔尼切夫斯基认为：美就是生活。
从以上的叙述中我们可以看到：人们对于美的认识是一个古老而又漫长的过程，人们也提出了各种观念，大体上可总结为下面几种模式：
(1)美是绝对观念在具体事物和现象中的表现或体现； (2)美是有意向的，从主观上认识事物的结果；
(3)美是生活的本质同作为美的尺度的人相比，或者同他的实际需要、同他的理想和关于美好生活观念相比较的结果；
(4)美是自然现象的自然属性。
当代美学家们则认为：美应包含下列各项：
说得具体点，美的基本类别(客观来源)有二：自然美和社会美。自然事物或自然界中的美叫自然美；社会事物的美叫社会美。
美的社会形态也有二：艺术美和科学美(更确切地讲是科技美)。艺术美是艺术家通过艺术形象再现生活中的美；科学美主要指理论美(技术美还包括技术规律和创造)，其内涵是指结构美和公式美。
艺术美和科学美都是自然美和社会美的客观反映，只不过方法与侧重点不同罢了。艺术美侧重于表现社会，既使表示自然也是通过人的社会感情去实现。而科学美则侧重于表示自然，且逐步向社会现象渗透。
这正如著名物理学家海森堡说的那样：美的王国远远延伸到艺术领域之外，它无疑包括精神生活的其他领域，自然美也反映自然科学的美之中。物理学中包含了两个极端：实验与想象、逻辑与直觉、客观的真实与主观的美感。
(顺便一提：技术美是人类将技术规律纳入人的目的的轨道，在造物活动中把物的尺度与人的社会尺度结合在一起而创造的美，它使得技术产品不再是与人对立的异己力量，而是使之成为具有亲合力的人的有效工具。)
在当今的科学分类研究中，许多学者称哲学和数学是普遍科学，且认为二者可应用于任何学科和任何领域，其差别在于刻画现实世界时使用的方法和语言不同：哲学使用的是自然语言，数学使用的是人工语言(数学符号)；哲学使用的是辩证逻辑方法，而数学使用的是形式逻辑与数理逻辑方法。这样哲学家有时可以“感觉到”思维的和谐，而数学家则有时可以“感觉到”公式与定理的和谐，即美。
数学也是自然科学的语言，故它具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上、方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。因而数学美是具体、形象、生动的。数学美的起源遥远、历史悠久。
古希腊著名的学者毕达哥拉斯对数学有很深的造诣，其中毕氏定理(在我国称勾股定理)正是他的杰作(为此他的弟子们曾举行了盛大的“百牛大祭”以资庆贺)。
他还在现今称为库洛的地方领导了一个数学学术团体，成员们经常聚在一起研究、讨论、交流各自的学习心得，他们的成果对外人是严格保密的。每个成员都守口如瓶，否则会遭杀身之祸。这样一个团体，成员们都有一个特殊的标志，即是用五角星作图案的徽章，并在角顶上分别注上希文v、γ、ι、θ和χ，按顺序把它们读下来(逆时针)即vγιθχ，意思为“健康”．
五角星是他们经过筛选、研究过，并十分喜欢的图形。他们为何对五角星独有偏爱？因为五角星是一个美的图形，它里面包含许多有趣的比。
几何上，我们学过“黄金分割”，即把线段l分成x和l-x两段，使其比满足：
x∶l=(l-x)∶x
这样解得x≈0.618l，这种分割称为“黄金分割”。
我们可以证明(见右图)在五角星里，角星里：
BC∶AB=AB∶AC=AC∶AD。
显然，毕达哥拉斯学派的学者们发现了它，并且喜欢这种比。
进一步计算还可知它们的比值均为0.618…，
0.618…这是被中世纪学者、艺术家达·芬奇誉为“黄金数”的重要数值，它也曾被德国科学家开卜勒赞为几何学中两大“瑰宝”之一(另一件即为“勾股定理”)。
顾名思意，黄金数当有着黄金一样的价值，人们喜欢它。事实上，黄金比值一直统治着中世纪西方建筑艺术，无论是古埃及的金字塔，还是古雅典的他侬神庙；无论是印度的泰姬陵，还是今日的巴黎埃菲尔铁塔，这些世人瞩目的建筑中都蕴藏着0.618…这一黄金比数(这显然展示着数学美感)。
一些著名的艺术佳作也处处体现了黄金比值——许多名画的主题都是在画面的黄金分割点处，不少著名乐章的高潮在全曲的0.618…处，……
17世纪的英国美学家夏里兹曾说：“凡是美的都是合谐的和比例合度的；凡是和谐的和比例合度的就是真的，凡是既美而又真的也就是在结果上愉快和完善的”。　　
　　那么，在人们的眼中，什么样的事物才算是美的？人们在探求美的规律的过程中，有这样的发现：著名的维纳斯女神像，以及太阳神阿波罗的塑像，从肚脐到脚底的高度与全身高度之比为0．618。在达·芬奇、提香等众多著名艺术家的作品中，有许多比例关系，也都是0．618。　　
　　希腊古城雅典有一座大理石彻成的神庙，其中有一尊雅典娜女神像，由象牙黄金雕制而成，姿态十分优美。专家研究后发现：她的腰长（即从肚脐到脚底的距离）与身高的比值，恰好等于0．618。　　
　　据专家调查，芭蕾演员虽身材修长，但其腰长与身高之比平均约为0．58，只有在翩翩起舞时、踮起脚尖，方能展现0．618的魅力。　　
　　德国一位名叫费希纳的心理学家，曾经专门召开过一个“矩形展览会”，每件展品的边长均在35厘米以下。他邀请了592位朋友到会参观，要求每位参观者在看完之后投票选出自己心中认为最美的矩形，结果下面四种矩形得票最多：5&8，8&13，13&21，21&34。这组矩形的短边与长边之比均接近0．618。　　
　　为什么人们对0．618如此钟爱？它又是怎样的一个数？这恐怕还得从古希腊毕达哥拉斯的一句名言谈起：“凡是美的东西都具有共同的特征，就是部分与部分及部分与整体之间的协调一致性。”
　　假设C是线段AB的一个分点，为了实现其“协调一致”，那么应该有
　　令AB=1，AC=x,则
　　这个神秘的数原来是方程
的正根，平时我们只取它的近似值，又称为“黄金比”；导致这一比值的分割，便称为“黄金分割”；上例中的C点则称为线段AB的“黄金分割点”。　　
　　自从古希腊数学家欧多克索首次发现了“黄金比”之时，它便成了一条公认的美学规律。建筑师们常常把它作为门窗的比例；一位报幕员在报幕时往往不会站在舞台正中间会站在舞台的黄金分割点上，给观众留下更美好的形象；就连我们国家庄严美丽的国旗图案中的正五角形，也蕴含着黄金比：正五角形的每条边恰好被与之相交的另外两边黄金分割。　　
　　黄金比在数学、美学、艺术中显示出了艺大的作用，随处可以见到它的影子。难怪中世纪意大利数学家帕西奥里称之为“神圣比例”。首次将它冠以“黄金”美称的，则是意大利著名科学家、艺术家和工程师达·芬奇。
更有趣的是，人体中有着许多黄金分割的例子，比如：人的肚脐是人体长的黄金分割点，而膝盖又是人体肚脐以下部分体长的黄金分割点。在口腔比较解剖学范畴内，符合0.618…这个比例的六龄牙(六岁时萌出的第一颗大磨牙)，由于其牙冠大、牙尖多、咀嚼面积广、牙根分叉结实等特点，显出它“与众不同来”，它不仅在咀嚼食物时发挥作用最集中、担负咀嚼压力最大，同时它在维持颜面下三分之一部位的端正(面容)，和保持上、下牙弓间的咬合关系，均起着重要的作用。
德国天文学家开卜勒研究植物叶序问题(即叶子在茎上的排列顺序)时发现：叶子在茎上的排列也遵循黄金比。
我们知道：植物叶子在茎上的排布是呈螺旋状的，你细心观察一下，不少植物叶状虽然不同，但其排布却有相似之处。比如相邻两张叶片在与茎垂直的平面上的投影夹角是137°28＇，科学家们经计算表明：这个角度对植物叶子通风、采光来讲，都是最佳的(正因为此，建筑学家们仿照植物叶子在茎上的排列方式设计、建造了的新式仿生房屋，不仅外形新颖、别致、美观、大方，同时还有优良的通风、采光性能)。
有趣的是：这个角度正是把圆周分为1&#…的两条半径的夹角。
开卜勒还发现：叶子在茎上环绕的圈数和它绕一个周期时茎上叶数之比ω随植物不同而异。他观察后发现了许多种树的ω值，比如榆树为
请注意它们的分子和分母分别是：
　　1，1，2，3，5，……
　　2，3，5，8，13，……
这恰恰是两列斐波那契数列(这个数列的特点是从第三项起，每项均为其前面两项之和)。有人还从花的瓣数中，找到了这个数列(花瓣通常只是2，3，5，……瓣)。
在股票分析中，美国人艾略特于1934年在研究股指(股票指数)变化规律时，提出了所谓“波浪理论”(他于1942年出版了《宇宙奥秘之自然规律》一书)，该理论可对许多经济活动作出预测和估计，而其中重要结论是：这类经济活动的指数波动中遵循斐波那契数列规律而变化。
此外，人们还在许多领域中发现了该数列的身影，比如在晶体结构研究中，人们对某些准晶体中结点分布规律里，也发现与该数列有关(详见文献〔33〕)。
更为有趣的是：这个数列前后两项之比，越来越接近黄金比值0.618…
上世纪德国一位心理学家曾做过一次试验：他展出20种不同规格的(即长宽比例不一的)长方形，让参观者从中选出自己认为最美的，结果多数人选择了长∶宽=1&#…或接近这个比的长方形。
由于0.618…满足关系式x2+x-1＝0，而它的倒数u满足u2-u-1=0，
考察数列1，u，u2，…，un…，注意到
　　u3=u·u2=u(1+u)=u+u2=u+(1+u)=2u+1，
　　u4=u·u3=u(2u+1)=2u2+u=2(1+u)+u=3u+2，
　　u5=u·u4=u(3u+2)=3(1+u)+2u=5u+3，
　　一般地，un=nu+(n-2)u。
　　又un=un-1+un-2(n≥2)。
故u2，u3，u4，……恰好也构成一个斐波那契级数(指广义的，确切地讲应称为鲁卡斯数列)。而1，u，u2，……也恰好在下页嵌套的五角星群中体现：这些除了“黄金分割”自身直觉的美感外，还有一种奇异美(即它的许多美妙性质)，比如：人们还发现这个数与其它一些数有密切联系：除了前面提到的斐波那契数列中前后两项比的极限是0.618…外，它还和“杨辉三角”有关系(详见后文)。
近年来，人们又在最优化方法中找到了这个数的应用，比如优选学中的“0.618…方法”，就是利用了黄金数去选优(它显然应视为数学美的一个应用)。
笔者还曾以0.618为尺度，提出过一个“小康型购物公式”，它先后被国内不少家报刊转载，从中亦可见人们对这个“黄金数”的偏爱。这个公式是这样的：
小康型消费价格＝0.618&(高档消费价格-低档消费价格)+低档消费价格。
它的图示见下图：
这就是说：您在选购商品时，您据自己的财力状况若认为高档价格过于昂贵，而低档价格的商品款式、性能等不尽人意，那么您可以选购价格为上面公式所给出的档次的商品——它的价格中等偏上，堪称得上“小康”水准。
当然，这里的高、低档概念与界限系依个人财力(经济状况)、爱好(包括习惯)、市场现状等等诸多因素决定的，它会因人而异，也会因时而别(十年前彩电系高档商品，如今已相当普及)，特别是高档的涵义是对您自己而言，而非市场现有的或者是你盲目追求，但不切实际的奢望。
就拿彩电来讲，商店中的高、低档价格相去数万元，那里的高档非一般家庭能力所及，这样你在选购前先确定你打算购买的基本档次(包括规格)，比如你打算买台21吋国产机，这类彩电中高档的(平面、直角、遥控、多画面)价格在2800元左右，而低档的(非平面直角)价格在1800元左右，那么您的小康消费水准为：
()&0.618+(元)，
换言之，价格为2400元左右的为宜。这正是大多数家庭喜欢，且能够接受的档次(市场调查发现。此档次彩电销量最大)。
上述公式对指导商品生产也有实际价值。
数学自身的美，还体现在许许多多方面。
哲理是抽象的，常常使人感到枯燥无味，难以理解，但是用数学知识来做比喻却能使许多哲理富有形象，生动感人，发人深思。
时间是宝贵的，但有些人却不知不觉地白白浪费。德国诗人歌德稍作计算，就使人们大吃一惊：“一个钟头等于
60分钟，一天就超过了1000分钟。明白这个道理后就可知道人能对世界作出多少贡献！”没有时间就没有贡献，浪费时间意味着什么，岂不令人深思？
很多人都想掌握成功的秘诀，于是爱因斯坦就用一道公式来回答众人：X+Y+Z=A。且他解释说：“X代表艰苦的劳动，Y代表正确的方法”。“Z代表什么呢？”有个年轻人急不可耐地问道，爱因斯坦严肃地回答说：“少说空话！”这个比喻告诉人们成功所必备的三个条件。
爱迪生曾用百分比来比喻灵感和劳动的关系。他说：“一个好的发明只有百分之一决定于他的天才和灵感，其余百分之九十九决定于他的劳动和汗珠。”这正是“天才出于勤奋”的生动说明。
古希腊哲学家基诺用几何图形中的圆圈来比喻人们掌握的知识，讲了一段颇富哲理的话：“大圆圈比小圆圈掌握的知识当然多一点，但因为大圆圈比小圆圈的圆周长，所以它与外界空间的接触面就比小圆圈大。因此更感到知识不足，需要努力地学习才能弥补。”在“知识爆炸”的当今时代，这个比喻尤有其现实意义：学习学习再学习，这是永恒的真理。
有些人不能正确认识自己，稍有成绩就骄傲自满。托尔斯泰用分数做比喻告诫道：“一个人就好像是一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母愈大则分数的值就愈小。”看来人要有点自知之明是多么重要。
这几年社会上曾流行这样一道算式：8-1＞8。这在数学上是不成立的，但在生活中却饱含着辩证法。它告诉人们：每天八小时中拿出一小时锻炼身体，其效果要比八个小时全学习、工作还好。
上述比喻除了证明人们对于数学的偏爱之外，也说明数学本身内涵的美——有了数学这才使比喻更富哲理，更加形象，更为生动。
数学与美学还有更特殊、更密切的关系：
当一门学说可以用精确的数学形式表达时，它才成为科学的，由于数学还未进入美学(既然美学是一种科学，它应当可由数学语言来描述)，因而美学仍处于前科学状态。美学家李泽厚先生说：审美……结构……具体形式将来可以用某些数学方程和数学结构来作出精确的表述。美感是尚待发现和解答的某种未知的数学方程式。这方程式的变数很多，不同比例的配合可以变成不同种类的美感。寻找审美心理的数学方程式是使美学进入科学王国的重要途径。同时也为数学自身的美找到了依托，得以发挥。
英国学者波兰尼提到的“意会知识”认为：“数学是概念的音乐，音乐是感觉的数学。”这是将数学与艺术揉合到了一起。数学家G．D．彼尔霍夫说：大多数数学家早就预料到哲学思想的三个基本方面不断地数学化的趋势，这三个方面分别是逻辑学、美学和伦理学。因为数学家可能都同意法国伟大的哲学家兼数学家笛卡儿的话：“对我来说，每一件事都变成数学”。
美学的数学化问题，人们正在探索中。著名科学家爱因斯坦说过：“这个世界可以由音乐的音符组成，也可由数学的公式组成。”美学研究的本身当然也不例外。
“美”只有数学化以后才有标准。不久前美国心理学家麦克·克尼根从“选美”活动入选者的照片中，做了统计分析，且给出美女的“数量化”的标准：
　　(1)眼睛的宽度占眼睛所在面部位置的3／10；
　　(2)下巴长度占脸长的1／5；
　　(3)从眼珠到眼眉的距离是脸长的1／10；
　　(4)从正面端详，眼珠竖长占脸长的1／14；
　　(5)鼻部面积占脸整个面积的5％以下；
　　(6)嘴占嘴所在脸部宽度的50％。
当然，仅有上面的数字是不够的(因为选美标准还有其它方面要求，再者不同地区、不同种族对美的标准也不尽一样)，但这确实说明数学在美学研究中的作用。
古希腊学者柏拉图就认为：我们在艺术中也可以像在逻辑和更高级的数学中那样，学习到抽象的秩序和关系。
数学家们有这样一个广泛的看法：莫扎特、巴赫等人其实都是“隐蔽”的数学天才。音符与数字对应着，乐章看上去是一些数字的语言或组合，音乐可以像文字那样描写自然，甚至它可更形象(比文字)地表现感情。巧妙地运用数字的组合(这一点人们已用计算机作了尝试)，或许可写出更生动、更优美的旋律。质(素)数与音乐表情素质有着神秘的对应关系是数学家的一大发现：仅出现素数2的八度音程，具有单一、相象的表情素质；出现素数2和3的四、五度音程，具有完全协和乃至空旷、单薄的表情素质；出现素数5的大小三、六度关系的和声音程，具有相当和谐且饱满丰富的表情素质；出现素数7和5、17和3、19和3的增四减五度关系的和声音程。具有不协和、不稳定、充满紧张度的表情素质，等等。(奇怪的是：素数11和13的艺术表现力尚未被总结或发现)。
我们还想再举一个小例子，说明数学与艺术的千丝万缕的联系：
函数Exp｛ex｝的麦克劳林展开式为：
其每项分子的系数1，2，5，15，……称为Bell数(记作Bn)，它在“组合分析”中甚为有用。
如何计算Bell数，多宾斯基给出公式：
当然真的算起来并不容易，一个较为简便的方法是用递推而得到Bell三角形，它遵循规则：
　　(1)首行从1开始，以后每行的最后一个数字是下一行的第一个数字；
　　(2)表中从第二行起，“每个数字=该数左面的数字+该数左上方的数字”。
　　这样可以得到：
表中的第一列数字1、2、5、15、52、203、…即为Bell数。奇妙的是，人们通过研究发现：应用Bell数可算出诗词的各种韵律。
比如B5=52，国外艺术家们判断五行诗有52种不同的押韵方式，他们在雪莱的《云雀》及其他著名诗人的诗篇中找到了佐证。日本学者也在他们的古诗中发微探幽，得出相同的结果。这说明即令在似乎风马牛不相及的文艺领域，也潜含着某种数学模式。
有人对我国律诗中平仄问题采用过数学方法研究，得到十分有趣的结果。律诗中讲究“一三五不论，二四六分明”。人们将诗中“平”用“0”、“仄”用“1”去对应，比如律诗中一种韵律可与右面的4&5矩阵对应：
如果再规定下面的运算：
　(2)对换：比如T(ε1，ε2，ε3，ε4，ε5)=(ε1，ε2，ε5，ε4，ε3)。则16种平仄规则可用下面方式给出：
且a2k+1=T(a2k)，a2k+2=a2k+1(k=1，2，3)，这里ak表示矩阵A的第k行。
应该指出一点，这儿的公式须先确定a2，再从a2推出a1，a3，a4来。
数学中蕴含着无穷的魅力，有着使人入魔的趣味——这是由于它的美。人们对于数学的探讨，正是人们对于数学中美的发掘，数学的发展，正是人们对于数学美的追求的结晶。正如数学家莫尔斯所说的那样：
　数学中的发现与其说是一个逻辑问题，倒不如说它是神功所使，没有人懂得这种力量，但那种对美的不知不觉的认识必定起着重要的作用。
看看那些数学家们，他们生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志，也刻着他们对于数学美的挚灼的爱恋。
古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马乱兵之手后(死前他正在地上演习几何题，并对乱兵说：“不要弄坏我的圆。”)，人们为纪念他便在其墓碑上刻上“球内切于圆柱”的图形，以纪念他发现“球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二”的著名定理。
德国数学家高斯()，在他研究发现了正十七边形的“尺规作法”后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献。他的墓碑底座就是按照他生前的遗愿做成正十七边形的棱柱。
十六世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数后二十三位，后人称之为“鲁道夫数”，他死后人们便把这个数刻到他的墓碑上以示铭记。
瑞士数学家雅谷·伯奴利()生前对螺线(被誉为生命之线)有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“虽然改变了，我还是和原来一样。”这是一句既刻画螺线性质，又象征他对数学热爱的双关语。
数学美那么令人神往，使人陶醉。数学美的特征是什么？概括起来讲有简洁性、和谐性和奇异性。具体地有：
数学美是科学美的一种，但数学美又有其独特的个性，它又一直是科学美研究的重要课题。有人说数学美是科学美的皇后，不仅数学家、物理学家追求数学美，连天文学家、工程师也醉心于数学美。
艺术追求美，科学也追求美，二者都崇尚真、崇尚创造、崇尚对束缚的解脱、崇尚人和自然、崇尚对自然和人的超越。
这样，艺术发展了，科学发展了，人类社会也进步了。
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