近世代数高代选讲大纲_百度文库
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近世代数高代选讲大纲|考​研​高​代​专​题
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第三篇 近世代数 - 西北大学精品课程建设网
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官方公共微信一道简单的线性代数题为什么说矩阵A和矩阵B可交换,则有1.（A-B）^2=A^2-2AB+B^22.(A+B)(A-B)=A^2-B^2这个不会有点废话吗,还是其中什么定义我没有弄清楚,虽然说矩阵不满足交换律,但是我觉得和这个没有多大关联._百度作业帮
一道简单的线性代数题为什么说矩阵A和矩阵B可交换,则有1.（A-B）^2=A^2-2AB+B^22.(A+B)(A-B)=A^2-B^2这个不会有点废话吗,还是其中什么定义我没有弄清楚,虽然说矩阵不满足交换律,但是我觉得和这个没有多大关联.
定理：如果AB=BA,则称矩阵A和矩阵B可交换这个很重要!一般来说AB≠BA,在矩阵中,AB叫做A左乘B,BA叫A右乘B,再看1,2（A-B）^2=（A-B）（A-B）=A^2-AB-BA+B^2 只有AB=BA才有A^2-AB-BA+B^2 =A^2-2AB+B^2 同理：(A+B)(A-B)=A^2--AB+BA-B^2 只有AB=BA才有A^2-AB+BA-B^2 =A^2-B^2
可交换，就是AB=BA(A-B)^2=(A-B)(A-B)=A^2-AB-BA+B^2=A^2-2AB+B^2(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2=A^2-B^2不可交换，则不满足。
since AB=BAso1. (A-B)^2=(A-B)(A-B)=A^2-AB-BA+B^2=A^2-AB-AB+B^2=A^2-2AB+B^22. (A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2=A^2-A+BA-B^2=A^2-B^2.If A and B can not commute, then 1 and 2 do not hold.This is a very important property in matrix series.
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14近世代数测试卷
近世代数试卷；一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“；1、设A与B都是非空集合，那么A?B??xx?A；2、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个；3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映；4、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，；5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群；6、群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,
近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A与B都是非空集合，那么A?B??xx?A且x?B?。
）2、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（
）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。
）4、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （
）5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。
）6、群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,?h?H;g?1Hg?H。 （
）7、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。
）8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。
） 9、F(x)中满足条件p(?)?0的多项式叫做元?在域F上的极小多项式。 （
）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Zp?同构的子域，这里Z是整数环，?p?是由素数p生成的主理想。
）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设A1,A2,?,An和D都是非空集合，而f是A1?A2???An到D的一个映射，那么（
）①集合A1,A2,?,An,D中两两都不相同；②A1,A2,?,An的次序不能调换； ③A1?A2???An中不同的元对应的象必不相同；④一个元?a1,a2,?,an?的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（
） a?b①在整数集Z上，a?b?；
②在有理数集Q上，a?b?abab；③在正实数集R?上，a?b?alnb；④在集合?n?Zn?0?上，a?b?a?b。3、设?是整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（
）①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。4、设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（
）①0和?x；
③k和x?2k；
④?k和?(x?2k)。5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（
） ①bc?1a?1；
②c?1a?1；
③a?1bc?1；
④b?1ca。6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果6，那么G的阶G?（
④12。7、设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（
） ①f的同态核是G1的不变子群；
②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群；
④G1的不变子群的象是G2的不变子群。8、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（
） ①若a是零元，则b是零元；
②若a是单位元，则b是单位元； ③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。9、下列正确的命题是（
）①欧氏环一定是唯一分解环；
②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环；
④唯一分解环必是欧氏环。10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（
）①?E:I???E:I??I:F?；
②?F:E???I:F??E:I?；③?I:F???E:F??F:I?；
④?E:F???E:I??I:F?。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1,2?，则有B?A?
。1、设集合A???1,0,1?；B??2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f?1?f?a???
。3、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么Ai?Aj?4、设群G中元素a的阶为m，如果an?e，那么m与n存在整除关系为5、凯莱定理说：任一个子群都同一个
同构。6、给出一个5-循环置换??(31425)，那么??1?7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为
。8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么是一个域当且仅当I是
。9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果
。10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果
。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1?a2???an里，元的次序可以掉换。 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。3、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么S?0。4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d?d'。5、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,?,an使得a0?a1????an?n?0。五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换?1???1234??,?2???1243??,?3???2134??,?4???2143?? ?????????1?1?1组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及?1?1,?2和G的,?3,?4????所有子群。2、设Z6???0?,?1?,?2?,?3?,?4?,?5??是模6的剩余类环，且f(x),g(x)?Z6?x?。如果f(x)??3?x3??5?x??2?、g(x)??4?x2??5?x??3?，计算f(x)?g(x)、f(x)?g(x)和f(x)g(x)以及它们的次数。六、证明题（每小题10分，共40分）1、设a和b是一个群G的两个元且ab?ba，又设a的阶a?m，b的阶b?n，并且(m,n)?1，证明：ab的阶?mn。2、设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b):R?R,x?ax?b,?x?R，将R的所有这样的变换构成一个集合G?f(a,b)?a,b?R,a?0，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。3、设I1和I2为环R的两个理想，试证I1?I2和I1?I2??a?ba?I1,b?I2?都是R的理想。4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。??近世代数试卷参考解答一、判断题
×二、单项选择题
④三、填空题1、??1,?1?,?1,0?,?1,1??2,?1?,?2,0?,?2,1??。
4、mn。?。
7、?xiayi,xi,yi?R。
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6、?135249、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、E的每一个元都是F上的一个代数元。四、改错题1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1?a2???an里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么S?0。S=I或S=R4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子5、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,?,an使得a0?a1????an?n?0。 不都等于零的元 包含各类专业文献、中学教育、各类资格考试、应用写作文书、高等教育、外语学习资料、行业资料、文学作品欣赏、14近世代数测试卷等内容。
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