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利用牛顿迭代法求解非线性方程组
发布日期： 11:29:09
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&&&& 最近一个哥们，是用牛顿迭代法求解一个四变量方程组的最优解问题，从网上找了代码去改进，但是总会有点不如意的地方，迭代的次数过多，但是却没有提高精度，真是令人揪心！
&&&&&& 经分析，发现是这个方程组中存在很多局部的极值点，是用牛顿迭代法不能不免进入局部极值的问题，与程序的初始值有关！
&&&&&& 发现自己好久没有是用Matlab了，顺便从网上查了查代码，自己来修改一下！
先普及一下牛顿迭代法：(来自百度百科)
&&&&&& 牛顿（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是在17世纪提出的一种在域和域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x）的的前面几项来寻找方程f(x)
= 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
&&&&&&& 设r是f(x)=0的根。选取x0作为r的初始近似值，过点(x0,f(x0))做曲线的切线，求出该切线与x轴的交点，并求出该点的横坐标，称作x1是r的一次近似。如此就可以推导出牛顿迭代公式。
&&&&&&&& 已经证明，如果是的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
&&&&&&&&在网上查了一些代码，都是能指定某几个函数进行求导的，而且要是改变函数的个数，却又要对原始程序大动干戈。真的是揪心。
&&&&&&& 找到了&这个程序，貌似在Matlab上不能很好的运行，对于数据的返回值为空没有做处理，后来又找了一个网易朋友的博客，将他的代码拿过来跑跑，还可以，但是对于不同的函数方程组，以及变量个数就不同了，真的是揪心，这个就是程序设计和编码的问题了！
&&&&&& 自己就拿来改了改，可以支持多方程组和多变量了！下面附上我的代码！求大家指导！
function&[r,n]=mulNewton(x0,funcMat,var,eps)&&
%&x0为两个变量的起始值,funcMat是两个方程,var为两个方程的两个变量,eps控制精度&&
%&牛顿迭代法解二元非线性方程组&&
if&nargin==0&&
&&&&x0&=&[0.2,0.6];&&
&&&&funcMat=[sym('(15*x1+10*x2)-((40-30*x1-10*x2)^2*(15-15*x1))*5e-4')...&&
&&&&&&&&&&&&&sym('(15*x1+10*x2)-((40-30*x1-10*x2)*(10-10*x2))*4e-2')];&&
&&&&var=[sym('x1')&sym('x2')];&&
&&&&eps=1.0e-4;&&
n_Var&=&size(var,2);%变量的个数&&
n_Func&=&size(funcMat,2);%函数的个数&&
n_X&=&size(x0,2);%变量的个数&&
if&n_X&~=&n_Var&&&&n_X&~=&n_Func&&
&&&&fprintf('Expression&Error!\n');&&
&&&&exit(0);&&
r=x0-myf(x0,&funcMat,&var)*inv(dmyf(x0,&funcMat,&var));&&
while&tol&=eps&&
&&&&x0=r;&&
&&&&r=x0-myf(x0,&funcMat,&var)*inv(dmyf(x0,&funcMat,&var));&&
&&&&tol=norm(r-x0);&&
&&&&n=n+1;&&
&&&&if(n&100000)&&
&&&&&&&&disp('迭代步数太多，方程可能不收敛');&&
&&&&&&&&return;&&
end&%&end&mulNewton
function&f=myf(x,funcMat,&varMat)&&
%&输入参数x为两个数值,func为1*2符号变量矩阵,var为1*2符号变量矩阵中的变量&&
%&返回值为1*2矩阵,内容为数值&&
n_X&=&size(x,2);%变量的个数&&
f_Val&=&zeros(1,n_X);&&
for&i=1:n_X&&
&&&&tmp_Var&=&cell(1,n_X);&&
&&&&tmp_X&=&cell(1,n_X);&&
&&&&for&j=1:n_X&&
&&&&&&&&tmp_Var{j}&=&varMat(1,j);&&
&&&&&&&&tmp_X{j}&=&x(1,j);&&
&&&&f_Val(i)&=&subs(funcMat(1,&i),&tmp_Var,&tmp_X);&&
end&%&end&myf
function&df_val=dmyf(x,&funcMat,&varMat)&&
%&返回值为2*2矩阵,内容为数值&&
%df=[df1/x1,&df1/x2;&&
%&&&&df2/x1.&df2/x2];&&
n_X&=&size(x,2);%变量的个数&&
df&=cell(n_X,&n_X);&&
for&i=1:n_X&&
&&&&for&j=1:n_X&&
&&&&&&&&df{i,j}&=&diff(funcMat(1,&i),&varMat(1,&j));&&
df_val=zeros(n_X,&n_X);&&
for&i=1:n_X&&
&&&&for&j=1:n_X&&
&&&&&&&&tmp_Var&=&cell(1,n_X);&&
&&&&&&&&tmp_X&=&cell(1,n_X);&&
&&&&&&&&for&k=1:n_X&&
&&&&&&&&&&&&tmp_Var{k}&=&varMat(1,k);&&
&&&&&&&&&&&&tmp_X{k}&=&x(1,k);&&
&&&&&&&&end&&
&&&&&&&&df_val(i,j)&=&subs(df{i,j},&tmp_Var,&tmp_X);&&
end&%&end&dmyf&
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20080份文档当前所在位置：&&基于迭代稀疏表达的人脸图像超分辨率重建方法
基于迭代稀疏表达的人脸图像超分辨率重建方法
项目编号：
技术简要说明
本发明公开了一种基于迭代稀疏表达的人脸图像超分辨率重建方法，包括以下步骤：将低分辨率输入图像进行插值得到高分辨率人脸估计图像；将高分辨率人脸估计图像用一个高分辨率人脸图像字典进行线性表达，并在一定的表达误差下要求非零的表达系数尽可能少；将上述稀疏表达结果作为新的高分辨率人脸估计图像；使用基于局部线性回归方法对上述高分辨率人脸估计图像进行局部细节补偿，得到新的高分辨率人脸估计结果；迭代重复上述步骤，最后收敛到稳定值，完成超分辨率重建。本发明不仅将全局和局部方法用迭代的方式有机地结合在一起，而且提供了一种整合不同的解决图像对齐不准问题的策略，迭代能快速收敛，实现由粗到精的超分辨率重建。
该专利技术资料仅供研究查看专利技术是否侵权、技术研究，商用须获得专利权人授权。
该专利全部权利属于中山大学，未经中山大学许可，擅自商用是侵权行为。
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专利权信息
专利类型：发明
专利申请日：
公开(公告)日：
申请(专利权)人：中山大学
申请人：中山大学
公开(公告)号：CNA
分类号：G06T5/50(2006.01)I
发明(设计)人：赖剑煌;梁炎
国别省市：
总流量：165
录入日期： 02:48
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基于迭代稀疏表达的人脸图像超分辨率重建方法，其特征在于，包括以下步骤：（1）将低分辨率输入图像进行插值得到高分辨率人脸估计图像；（2）将高分辨率人脸估计图像进行稀疏表达，即将高分辨率人脸估计图像用一个高分辨率人脸图像字典进行线性表达，并在一定的表达误差下要求非零的表达系数尽可能少；之后将稀疏表达结果作为新的高分辨率人脸估计图像；（3）使用基于局部线性回归方法得到的残差补偿对步骤（2）所得到的新的高分辨率人脸估计图像进行局部细节补偿，得到补偿后的高分辨率人脸估计图像；（4）迭代重复步骤（2）和步骤（3），最后收敛到稳定值，完成超分辨率重建。
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申请（专利）号
授权公告号
法律状态公告日
法律状态类型&
&实质审查的生效
&实质审查的生效&IPC(主分类):G06T
5/50&申请日:&
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资讯24小时top10　　摘要：结合DTOA和DOA联合定位估计性好与牛顿迭代法收敛速度快的优点，提出了一种基于DTOA和DOA初值选取和牛顿法" />
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9：00&22：00
基于DTOA/DOA和牛顿迭代法的震源定位方法研究
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　摘要：结合DTOA和DOA联合定位估计性好与牛顿迭代法收敛速度快的优点，提出了一种基于DTOA和DOA初值选取和牛顿法精确迭代的震源定位方法。经过野外实验和仿真，发现该方法能有效地提高震源定位的准确性。通过对影响震源定位精度因素分析，表明减小传感器基站站盐和初至波到时差测量误差可有效提高定位精度，相同同条件下，星型布站的定位精度最高。 中国论文网 /4/view-4429766.htm　　关键词：震源定位；时差测量；俯仰角测量；牛顿迭代法；几何精度因子 　　中图分类号：P315文献标识码：A文章编号：（4-06 　　0引言 　　随着现代科学技术的发展，定位技术在航空、航天、交通、震源探测、海洋勘探等领域得到了广泛地应用。定位精度的要求越来越高，在硬件系统确定条件下，可以通过改进算法提高系统的定位精度（吕晶晶，姚金杰，2011；姚金杰，韩焱，2010）。本文提出了一种以牛顿迭代算法为基础，利用无源时差定位（DTOA）和测量波达方向（DOA）联合定位得到微震源的估计位置的算法，本算法充分利用DTOA和DOA联合定位算法的估计特性，能够有效地解决迭代法的初始值问题，保证算法收敛并且提高迭代算法的收敛速度。通过设置建立的冗余函数表达式和结束迭代的精度范围，作为判断迭代是否结束的条件，这样既能满足一定的精度，又能提高计算速度，本文通过对计算机仿真、数据分析和计算时间来证明该算法的有效性。 　　1目标定位原理 　　为了充分利用各种观测信息，以获取更好的定位效果，我们将观测数据中的角度信息与时间信息结合起来。本文运用的DTOA和DOA联合定位方法，主要利用主站增加对目标俯仰角的测量，形成一个包含3个子系统的冗余定位系统，各子系统分别对目标进行定位。最后对定位结果进行融合，将融合后的结果作为信源目标的初始估计值，再通过牛顿迭代算法进行精确定位。 　　11DTOA定位原理 　　无源时差定位利用主站和辅站之间接收到辐射源信号的到达时间差来定位。获得时差的信息之后，通过乘以波的传播速度就可以得到信源到主站和辅站的距离差，在三维空间定位中，得到一组双曲面方程组。在三维时差定位中至少需要4个测量站才能实现对目标的定位（陈玲，李少洪，2003），如图1所示。图1三维时差定位示意图 　　Fig1Schematic diagram of 3D TDOA location设震源位置坐标为P（x，y，z），基站坐标分别为Pi（xi，yi，zi）（i=0，1，2，3…n）。目标到基站的距离为ri（i=0，1，2，3…n）。目标到各分站与主站（基站P0为主站）的距离差为ri0。假设有4个基站，则根据时差定位原理有以下关系r20=（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2 　　r2i=（x-xi）2+（y-yi）2+（z-zi）2 　　r0i=r0-ri=ct0i（1）式中，t0i表示信源信号到达各分站与主站之间的时间差，c表示信号传播的速度。 　　1地震研究136卷第3期杨俊峰等：基于DTOA/DOA和牛顿迭代法的震源定位方法研究12DOA定位原理 　　测量波达方向技术在无源定位中占有极其重要的作用。随着数字信号处理技术的发展，数字相位干涉仪的测向方法由于其具有速度快、成本低、精度高的特点在工程上获得了广泛的应用。在原理上，相位干涉仪可以实现对单个脉冲测向（袁孝康，1999）。图2显示相位干涉仪（单基线）测向原理图。图2单基线相位干涉仪侧向原理图 　　Fig2Lateral principle graph of singlebaseline 　　phase interferometer假设发射信号的波长为λ，与天线视线轴的夹角为β，则到达相位干涉仪两个测向天线1、2间的相位差为=2πLsinβ1λ（2）式中，L为两个测向天线之间的基线长度，λ为入射信号的波长，β为入射信号与天线视线轴的夹角。由式（2）可以得到信号的波达角为β^=arcsin（λ12πL）（3）式中，φ是两个阵元之间输出的相位差，入射信号波长的估计值λ由信号的频率估计值f^计算得到，基线长度L则可直接测量，在上述参数确定之后，就能根据式（3）得到辐射源信号的入射角度β^。 　　2算法121DTOA和DOA联合定位算法求初始值利用相位干涉仪测向方法，各辅站测得的目标的俯仰角分别为sinα1=（z-z1）r1，（4）sinα2=（z-z2）r2，（5）sinα3=（z-z3）r3（6）式中，αi（i=1，2，3）表示各辅站测得的俯仰角；z表示目标辐射源的高度。 　　将式（1）和式（4）组成方程组（其中，i=1，2），称为子系统Ⅰ，同理，将式（1）和式（5）组成方程组（其中，i=2，3），称为子系统Ⅱ，式（1）和式（6）组成方程组（其中，i=1，3），称为子系统Ⅲ，这三个子系统均可完成对目标的空间三维定位，我们选择这三个子系统组成一个冗余定位系统，则该系统的定位方程组为：sinα1（z-z1）r1 　　r20=（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2 　　r2i=（x-xi）2+（y-yi）2+（z-zi）2 　　r0i=r0-ri=ct0i，（7）其中，i=1，2，可改写为z=（r0-r01）sinα1+z1 　　（x0-x1）x+（y0-y1）y+（z0-z1）z=k1+r0r01 　　（x0-x2）x+（y0-y2）y+（z0-z2）z=k2+r0r02（8）其中，ki=112r20i+（x20+y20+z20）-（x2i+y2i+z2i） 　　（i=1，2），可改矩阵形式为AX=F（9）其中，A=01011 　　x0-x11y0-y11z0-z1 　　x0-x21y0-y21z0-z2，A是可逆矩阵，可以求得X的最小二乘解为X^=（ATA）-1ATF（10）在消除定位模糊以后，3个子系统一共会有3个定位解，如何利用这3个定位解来获取更加精确的目标真实位置是测向测时差联合定位所要解决的关键问题。可以采用简化加权最小二乘（SWLS）的方法对目标位置进行估计（吕明，郭士民，2007；Carter，1987）。
　　假设3个子系统所得到的目标位置分别为X^i（i=1，2，3），定位协方差矩阵分别为Pi（i=1，2，3），各协方差矩阵之间互不相关。SWLS融合后的目标位置为（Petre，Li，2006；毛永毅，白菊蓉，2006）X^=x^y^z^T=∑31i=1p-1i-1∑31i=1p-1iX^i（11）22牛顿迭代定位算法 　　牛顿法是一种使用导数的算法，每一步迭代方向都是沿着当前点函数值下降的方向。因此，需设定合适的初值才能保证算法是否收敛及其收敛速度。根据牛顿迭代算法的条件，将所建立目标定位模型转换为（柳辉，2007）fi（x，y，z）=（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2-（x-xi）2+（y-yi）2+（z-zi）2-ct0i，（12）其雅克比矩阵为f′（x，y，z）=f1/x1f1/y1f1/z 　　（13）当雅克比矩阵为非奇异阵，则震源坐标用牛顿迭代法表示为x（k+1） 　　y（k+1） 　　z（k+1）=x（k） 　　y（k） 　　z（k）-fi（x，y，z）-1f1（x（k），y（k），z（k）） 　　f2（x（k），y（k），z（k）） 　　f3（x（k），y（k），z（k）） 　　（14）2计算机仿真及分析 　　在野外条件下，通过实验完成震源定位。首先测算震动波在试验场地介质中的传播速度，再根据加速度传感器接收到的震动波数据，结合震源定位的原理及算法，得出震源的位置（邹翔宇，徐翊峰，2010）。 　　震动波在该实验场地介质中的传播速度测算具体方法是：在距离待爆炸位置3 m、5 m、7 m、10 m、15 m的直线上分别依次布设5个加速度传感器A、B、C、D、E，埋深均为05 m，在同一位置爆炸3次，通过数据采集仪采集震动波数据，并将数据储存在计算机里，利用MATLAB对信号进行分析处理，计算出两个加速度传感器之间接收到震动信号的时间差，根据两个传感器距离震源的距离差计算震动波的传播速度v=Δd/Δt。通过计算测得的震动波传播速度如表1所示。表1震动波传播速度测算 　　Tab1Measurement of vibratioon wave propagation velocity 　　测试次数1速度/m·s-7313799平均值13794 　　通过加速度传感器接收到的震动波分析处理可大致得到震动波的传播规律，在距震源约7 m处的震动信号衰减为弹性波。以此为依据在待测震源周围布设加速度传感器，传感器基站的位置分别为（6，3，-05），（-4，6，-04），（-6，-5，-042），（7，-4，-028），（0，5，-038）。数据采集仪的采样率为10 kHz，采样时间为6553 8 s，采用手动触发方式。在同一地点爆炸3次，通过测算的震动波传播速度，传感器基站间接收到震动波的时差及震动定位算法以解算出震源位置。加速度传感器接收到的局部放大信号如图3所示。图3局部震动信号 　　Fig3Local vibration signal 　　利用时窗能量比法判断初至波到时，对传感器1接收到的震动信号进行预处理及时窗能量比，如图4所示。 　　以同样的方法判断其它各传感器接收到的初至波到时，结合各传感器基站位置及定位算法解算出的震源位置如表2所示。对运用本文算法所得定位结果进行误差分析如表3所示。 　　在定位过程中，由于传感器基站的布设及埋深较浅，使得Z方向的误差较大，加之震动波在传播过程中引入的误差，传感器基站站址测量误差，初至波到时估计误差等因数影响导致震源位置与实际位置之间有偏差。 　　从表3可知，本文算法定位结果的均方根误差值远远小于DTOA和DOA联合定位、LSNewton法及ChanNewton法定位结果的均方根误差值，定位结果比较理想。图4判断初至波时刻图 　　Fig4Determine the time of the first arrival表3定位结果误差分析 　　Tab3Error analysis of positioning results 　　实验1X轴误差/m1Y轴误差/m1Z轴误差/m1RMSE/m002 042 002 064 002 062 13震源定位精度分析 　　通过对震源定位进行精度分析，可以了解影响定位精度的因素以及这些因素对定位精度产生的影响，因此对震源定位进行精度分析是很必要的。下文对在不同的布站形式、基站数目、初至波到达时间差估计误差、及在不同站址测量误差情况下的定位精度变化情况进行仿真分析，仿真结果可供工程参考。图5 不同误差情况下星型布站GDOP分布图 　　（a）a=003 m，b=05 ms；（b）a=001 m，b=50 us 　　Fig5GDOP distribution in starmodel station 　　position under different error conditions设震源范围是x方向0～30 m，y方向是-5～+5 m，z方向-1 m，对4个传感器基站为星型布局时进行仿真分析。图5a中存在a=003 m的传感器基站站址测量误差，b=05 ms的初至波到达时间差测量误差。图5b中存在a=001 m的传感器基站站址测量误差，b=50 us的初至波到达时间差测量误差。由图5b可以看出，减小传感器基站站址和初至波达到时差测量误差可有效地提高定位精度。 　　以4个传感器基站为例，在相同的传感器基站站址测量误差a=001 m和初至波达到时差测量误差b=50 us的情况下，对不同布设的定位精度进行仿真，如图6所示。从图中4种布站下的GDOP图中可知，星型布站的定位精度最高；平行四边形布站的定位次之，其在X轴方向的定位精度要高于Y轴；菱形布站和倒三角布站的定位精度较差。图6不同布站形式GDOP图
　　（a）星型布站；（b）平行四边形布站；（c）菱形布站；（d）倒三角布站 　　Fig6GDOP in different forms of station arrangement 　　（a）starmodel station position；（b）parallelogrammodel station position；（c）dimodmodel 　　station position；（d）upsidedown trianglemodel station position4结语 　　本文结合DTOA和DOA联合定位法估计性好和牛顿迭代法收敛速度快的优点，提出了DTOA、DOA和牛顿迭代法相结合的地下震源定位算法。避免了DTOA和DOA联合定位法受测量误差影响较大和牛顿法对初始值选择敏感的问题。经过在野外条件下实验及仿真，实验结果表明本文算法有效地提高了震源定位的精度。在此基础上对震源系统中存在不同站址测量误差、不同初至波到达时差估计误差、不同布站形式情况下的定位精度进行了仿真分析，结果表明减小传感器基站站址测量误差和初至波达到时差测量误差可有效地提高定位精度，星型布站的定位精度要优于平行四边形布站、菱形布站和倒三角布站的定位精度。参考文献： 　　陈玲，李少洪2003无源侧向测时差定位算法研究[J].电子信息学报，（6）：771-776 　　柳辉2007解非线性方程组的牛顿迭代法及其应用[J].重庆工学院学报，21（8）：95-98 　　吕晶晶，姚金杰2011基于最小二乘法和牛顿迭代法的空中目标定位[J].微电子学于计算机，28（9）：110-115 　　吕明，郭士民2007基于数据融合的时差定位处理算法的应用[J].仪器仪学报，28（4）：100-102 　　毛永毅，白菊蓉2006空间四站时差定位中的模糊及无线研究[J].电讯技术，（6）：53-57 　　姚金杰，韩焱2010基于粒子群和牛顿迭代法的目标定位方法研究[J].计算机应用研究，27（5）：1 700-1 713 　　袁孝康1999相位干涉仪侧向定位研究[J].上海航天，（3）：1-7 　　邹翔宇，徐翊峰2010基于无线传感器网络的矿震震源定位[J].煤矿安全，（10）：53-57
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