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高考数学2014届一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）直线、平面垂直的判定与性质.doc16页
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直线、平面垂直的判定与性质
[知识能否忆起]
一、直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理及推论
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ?l⊥α
推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面?b⊥α
3.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行?a∥b
二、平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直?α⊥β
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 ?l⊥α
[小题能否全取]
1.教材习题改编已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则
A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D.垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直
解析:选D A中平面可与α平行或相交,不正确.
B中直线可与α垂直或斜交,不正确.
C中平面可与直线l平行或相交,不正确.
2.2012?厦门模拟如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是
C.A1D1 D.A1C1
解析:选D 易知A1C1⊥平面BB1D1D.
又B1O?平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O.
3.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是
A.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
B.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
C.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥
正在加载中，请稍后...如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，PD⊥底面ABCD，PD=AD=AB=1，CD=2AB．E为PC的中点．（I）证明：EB∥平面PAD；（II）求证：BC⊥平面PBD；（II）求四面体P-BDE的体积．考点：；；．专题：．分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质是证明线线平行的常用方法之一．如图取CD的中点F，连接EF、FB，可得到EF∥PD，BF∥AD，进而可正得结论．（Ⅱ）要证明BC⊥平面PBD，只要证明BC垂直于平面PBD内的两条相交直线即可．为此可证明BC⊥PD，及BC⊥BD．要证明PD⊥BC，由已知PD⊥底面ABCD，可证得；由BF=DF=FC，或利用勾股定理即可证明BC⊥BD．（Ⅲ）由BF⊥平面PCD，把求VP-BDE转化为求VB-PED即可．解答：解：（Ⅰ）证明：取CD中点F，连接EF、BF，又∵PE=EC，据三角形的中位线定理得EF∥PD，∵EF?平面PAD，AD?平面PAD，∴EF∥平面PAD．∵AB∥DC，AB=DC=，∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF∥AD，∵BF?平面PAD，AD?平面PAD，∴BF∥平面PAD．而BF∩EF=F，∴平面BEF∥平面PAD，∴BE∥平面PAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：四边形ABFD是平行四边形，AD⊥DC，∴四边形ABFD是矩形，∵AD=1，CD=2AB，∴DF=FC=FB=1，∴△BCD是Rt△．∴BC⊥BD．∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，又∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PBD．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：BF⊥DC，PD⊥BF，∴BF⊥平面PCD．∵PE=EC，∴S△PED=S△PCD=．∴VP-BDE=VB-PED=△PED×BF==．点评：本题考查了线线、线面、面面平行和垂直及三棱锥的体积，充分理解和掌握判定和性质是解决问题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　日期：日☆☆☆☆☆推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差如图所示在四棱锥P_ABCD中AB⊥平面PAD，AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点，且DF=1/2AB,PH为三角形PAD-中国学网-中国IT综合门户网站
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如图所示在四棱锥P_ABCD中AB⊥平面PAD，AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点，且DF=1/2AB,PH为三角形PAD
转载 编辑：李强
为了帮助网友解决“如图所示在四棱锥P_ABCD中AB⊥平面”相关的问题，中国学网通过互联网对“如图所示在四棱锥P_ABCD中AB⊥平面”相关的解决方案进行了整理,用户详细问题包括:求三棱锥E－BCF的体积（3）证：PH垂直平面ABCD（2）若PH=1，FC=1，AD=根号2（1）证，具体解决方案如下：解决方案1：三棱锥E－BCF的体积是1&#92。第二题就简单了啊，懒得画。用向量，证明1就是建立空间直角坐标系嘛图都没有解决方案2：谢谢！解决方案3：空间向量解决方案4：1. ∵AB垂直平面PAD，AB⊥PH∵PH是△PAD的高，∴PH⊥AD那么，PH⊥平面ABCD （垂直于两条相交的直线=垂直于其平面） 2. 既然PH⊥平面ABCD，那么PH就是整个四棱锥的高！∵E是PB的中点，∴E点到平面ABCD的距离就是P点到平面ABCD的距离的一半！那么三棱锥的高是1/2 (PH=1) ∵AB⊥△PAD，AB∥CD ∴CD⊥△PAD ∴CD⊥AD那么S△BFC=1/2FC·AD=(根2)/2三棱锥体积 V(E-BFC)=(1/3)(根2/2)(1/2)=(根2)/12 3.设PA的中点是Q，链接EQ，QD∵E是PB的中点，所以EQ是△PAB的中位线EQ=1/2AB EQ∥AB∵DF=1/2AB DC∥AB (DF∈DC)∴EQ∥DF且EQ=DF∴四边形EQDF是平行四边形∵AB⊥平面PAD ∴EQ⊥平面PAD ∴EQ⊥QD所以四边形EQDF是矩形那么， EF⊥QE ∵EQ⊥平面PAD ∴平面EQDF⊥平面PAD那么，EF⊥平面PAD ∴EF⊥PA∴EF⊥平面PAB通过对数据库的索引,我们还为您准备了：问：（2012??广东）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD...答：1. ∵AB垂直平面PAD，AB⊥PH那么，PH⊥平面ABCD （垂直于两条相交的直线=垂直于其平面）2. 既然PH⊥平面ABCD，那么PH就是整个四棱锥的高＿E是PB的中点，∴E点到平面ABCD的距离就是P点到平面ABCD的距离的一半！那么三棱锥的高是1/2 (PH=1)∵AB⊥△PAD，AB...===========================================问：证明CD垂直平面PAE 若直线PB与平面PAE所构成的角和与平面ABCD所构成的角...答：你的题目给的是不是有问题啊BC=3 AD=5 ∠DAB=∠ABC=90，边长怎么可能和角度有相等的数量关系，抄错了吧？？？===========================================问：（1）证：PH垂直平面ABCD （2）若PH=1，AD=根号2，FC=1，求三棱锥E－BCF...答：图都没有，懒得画，证明1就是建立空间直角坐标系嘛。用向量。 第二题就简单了啊， 三棱锥E－BCF的体积是1\3什么什么的体积 第三题就是找EF垂直平面PAB内的两条相交线===========================================问：如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,且AB//DC，侧面PAD是正三角形...答：（1）证明：平面PAD⊥底面ABCD， 又AB⊥AD， 由面面垂直的性质定理得， AB⊥平面PAD。 （2）解：取AD的中点为O，则PO⊥AD， 又平面PAD⊥底面ABCD， 则PO⊥底面ABCD， 连接CO ，∠PCO为直线PC与底面ABCD所成的角， 在Rt△PCO中， ，===========================================问：四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA ⊥ 平面ABCD,E,F 分别是AB,PD的中点，又二...答：解：设点A到平面PEC的距离为d，作PC中点G，连结EG 因为PA⊥ 平面ABCD，所以PA⊥CD 又CD⊥AD，且AD.PA是平面PAD内的两条相交直线 所以CD⊥平面PAD 则PD⊥CD 所以∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角 则可得∠PAD=45° 所以Rt△PAD是等腰直角三角形 即PA=AD=2 又...===========================================问：如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABVD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2，E、F...答：二面角P-AB-D＝45º [∠PAD是其平面角，⊿PAD等腰直角。]===========================================问：如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABVD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2，E、F...答：二面角P-AB-D＝45º [∠PAD是其平面角，⊿PAD等腰直角。]===========================================问：如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABVD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2，E、F...答：在DC上取中点Q，连MQ、NQ 因为M、N是所在棱上的中点， 所以 MQ//AD 而 MQ 平面APD，AD 平面APD 所以 MQ//平面APD 同理：NQ//平面APD 又 MQ NQ=Q 所以 平面MNQ//平面APD 而 MN 平面MNQ 所以 MN//平面APD===========================================问：（1）证明：PB∥平面AEC；（2）证明：平面PCD⊥平面PAD； （3）求二面角E-...答：延长CM交DA延长线于点ＥPE为面PCM与面PAD的交线(PE显然即在面PAD中又在面PMC中）易证M为CE中点与是MN//PE(中位线）于是（１）得证PA垂直底面，所心PA垂直CDCD垂直AD 所以CD垂直于面PAD所以CD垂直于PE所以CD垂直于MN由PA=AD=a知AM=MC=sqrt(5)/2a...===========================================图都没有,懒得画,证明1就是建立空间直角坐标系嘛。用向量。 第二题就简单了啊, 三棱锥E-BCF的体积是1\3什么什么的体积 第三题就是找EF垂直平面PAB内的两条相...===========================================解:在四棱锥P-ABCD中,因PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,故PA⊥AB. 又AB⊥AD,PA∩AD=A,从而AB⊥平面PAD.故PB在平面PAD内的射影为PA, 从而∠APB为PB和平面...===========================================ABCD (垂直于两条相交直线=垂直于其平面) 2. 既PH⊥平面ABCDPH整四棱锥高 ∵EPB点∴E点平面ABCD距离P点平面ABCD距离半 三棱锥高1/2 (PH=1) ∵AB⊥△P...===========================================由勾股定理可知:△ADB为直角三角形,角ADB为直角,即BD⊥AD, 又由平面PAD⊥平面ABCD可得:BD⊥平面PAD, 因BD在平面MBD上,故平面MBD⊥平面PAD===========================================解:过点P做PO⊥AD 过点O作OE⊥AB,连接PE, ∵PO⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD ∴PO⊥AB,∴AB⊥平面POE,∴AB⊥PE,∴∠PEO即为所求角 △PAD...===========================================既然PH⊥平面ABCD,那么PH就是整个四棱锥的高! ∵E是PB的中点,∴E点到平面ABCD的距离就是P点到平面ABCD的距离的一半! 那么三棱锥的高是1/2 (PH=1) ∵AB⊥...===========================================ABCD, PA⊥CD CD⊥AD CD⊥平面PAD CD在平面PDC内 所以平面PDC⊥平面PAD 2. E为PC中点, 取PD中点M ,连接EM,AM EM//=1/2CD AB//=1/2CD EM//=AB 四边形...===========================================AB?平面ABCD, AD?平面ABCD, ∴PH⊥平面ABCD. 由于PH⊥平面ABCD,E为PB的中点,PH=1,故E到平面ABCD的距离h=1/2,PH=1/2. 又因为AB∥CD,AB⊥AD,所以...===========================================AB,又PA,EG都在平面PAB内, 所以EG//PA, 又PG垂直于平面ABCD 所以EG垂直于平面ABCD 又PA=AB,PA垂直于AB,E为PB中点,PB=2 所以AB=二分之根号2,EG=四分...===========================================⊥平面ABCD可得:BD⊥平面PAD, 因BD在平面MBD上,故平面MBD⊥平面PAD 2)四边... 故四边形ABCD的面积=△ADB的面积×1.5=4×8÷2×1.5=24 四棱锥P-ABCD的高=2...===========================================
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＞＞＞如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=P..
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E为PC的中点．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求二面角E-BD-C的余弦值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）详见解析；（2）．试题分析：（1）要想证明线面平行，由线面平行的判定定理可知：只需证明此直线与平面内的某一直线平行即可，考虑到E为PC的中点，所以取中点为,连接和AF;然后利用三角形的中位线的性质及空间中平行线的传递性可证BE//AF,再注意BE在平面PAD外,而AF在平面PAD内,从而可证BE∥平面PAD；（2）由已知可知直线DA、DC、DP两两互相垂直，所以我们可以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．从而由已知就可写出点Ｐ、C、A、B的坐标.进而因为E是PC的中点，求出E的坐标，然后就可写出平面BDE内不共线的两个向量的坐标，如，再设出平面BDE的一个法向量为，利用可求出平面BDE的一个法向量；而平面BDC的一个法向量显然为：，从而利用两法向量的夹角公式：就可求得所求二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：令中点为，连接，&&&& 1分点分别是的中点，,.四边形为平行四边形.&& 2分,平面,平面&&&&&&&&&&&&&&&&4分(三个条件少写一个不得该步骤分）&&&&　　　　&&&&&&&5分（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）．则.&&&&&因为E是PC的中点，所以E的坐标为&&&&&&&&&&&&&&&6分设平面DBE的一个法向量为，而则令则所以&&&&&&&&&&&&&9分而平面DBC的一个法向量可为故&&&&&&&&&&&&&&&&&12分所以二面角E-BD-C的余弦值为。&&&&&13分
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=P..”主要考查你对&&空间向量的定义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
空间向量的定义
空间向量的定义：
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
空间向量的坐标表示：
如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。&空间向量的理解：
（1）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
发现相似题
与“如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=P..”考查相似的试题有：
869510761784853736812854876532874866知识点梳理
用空间向量求平面间的夹角1、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。 2、直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 3、求二面角的方法 （1）定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角； （2）垂面法：已知二面角内一点到两个面的时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角。4、二面角的平面角：或（，为平面α，β的法向量）。5、两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量与，在空间中任取一点O，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作。注：（1）规定：，当=0时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记。（2）两个向量的夹角唯一确定且。 6、空间向量夹角的坐标表示：。
与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
性质定理：如果两条同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD...”，相似的试题还有：
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2a，AB=a，PA⊥平米ABCD，F是线段BC的中点．H为PD中点．(1)证明：FH∥面PAB；(2)证明：PF⊥FD；(3)若PB与平米ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．(Ⅰ)证明：PF⊥FD；(Ⅱ)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值；．
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．