高中数学必修5第二章数列第1讲等差数列与等比数列&&人教版 下载地址:: 资料下载说明:: 1、本网站完全免费，后即可以下载。每天登陆还送下载点数哦^_^ 2、资料一般为压缩文件，请下载后解压使用。建议使用IE浏览器或者搜狗浏览器浏览本站，不建议使用傲游浏览器。 3、有任何下载问题，请。视频及打包资料为收费会员专用（20元包年，超值！），网站大概需要6万/年维护费。 文件简介:: 第二章数列第一讲等差数列与等比数列【知识梳理】（一）知识框架（二）基础知识与基本技能1、数列的概念与简单表示法：（1）数列的概念：按一定次序排列的一列数数列与数集的区别：次序。数列的分类：按项数分类（有穷数列、无穷数列），按项之间的大小分类（递增、递减、常数、摆动数列）：①递增数列――an＋1＞an；②递减数列――an＋1＜an；③常数数列――an＋1＝an；④摆动数列――相邻两项间的大小关系变化不定；⑤有界数列――|an|≤M（M为常数）。运用函数观点理解数列概念数列的表示方法：与函数的表示方法相同――解析法（通项公式或递推公式），列表法，图像法（在坐标系中的一群孤立的点），区别是数列的定义域是自然数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）。（2）数列的项、项数、通项公式通项公式，注意{an}与an的区别，通项公式反应了次序对于数列的重要性。通项公式的两种重要变形――an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）（演变为裂项相消求和法）；an＝a1×（迭乘法）。注意：并不是所有的数列都有通项公式，有很多数列往往只有递推公式而没有通项公式，有些数列既有递推公式又有通项公式；有些数列的通项公式并不是唯一的。通项公式反应了数列的函数性质：在函数意义下，数列是定义域为自然数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数f（n），当n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值。通项公式的简单运用（3）递推公式递推公式与通项公式的区别与联系递推公式的运用（4）数列的前n项和：，当n≥2时，an＝SnDSnD1。在数列{an}中，an与Sn的关系：an＝。（5）常用的求数列通项公式的方法①观察法：观察项数与项之间的等量关系、前后项之间的等量关系已知前若干项时，可以通过观察与猜想、归纳求得数列的通项公式。这是最基本的方法。运用此法时，要做到：有次序，有序号，有函数观念，正确找出项与序号之间的变化规律。熟记一些常见数列，如{(-1)n}、{n}、{n2}、{2n-1}、{2n}、{2n}、{}等。②公式法：运用等差数列的通项公式直接求解。阶差法：将数列{an}的后一项减去前一项作阶差bn＝an＋1－an，得到新的数列{bn}，若阶差数列可以求和，则数列{an}可以求通项公式：an＝a1＋。③利用前n项和Sn法：。注意：在什么时候an合并书写，什么时候需分开书写④利用递推公式法2、等差数列(A.P.)：（1）等差数列的定义如果一个数列从第二项起，第一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差。即成等差数列（其中，a1和d是等差数列中的基本量）。判定一个数列是否为等差数列，不能仅通过验证前几项得知，应该根据等差数列的定义证明an－an－1＝常数，也可以利用其等价定义an－1＋an＋1＝2an。（2）通项公式：①（其中A＝d，B＝a1－d），变形为：公差公式d＝（n≠1），项数公式n＝＋1；注意：通项公式an是一个一次函数。②第二通项公式：，变形为：公差公式d＝（n≠m），项数公式n＝＋m。（3）等差数列的前n项之和Sn：①（其中A＝，B＝）第一求和公式体现了等差数列的中项对称性质，类似于梯形的面积公式。第二求和公式还可以将a1改为an。倒序相加求和技巧。②注意：第二求和公式说明等差数列的前n项之和Sn是一个二次函数，可以利用公式以及二次函数的最值性判断并求解前n项和的最值――若d＞0，则数列{an}为递增数列，Sn有最小值――通过解不等式组可得在第k项时Sn取得最小值；若d＜0，则数列{an}为递减数列，Sn有最大值――通过解不等式组可得在第k项时Sn取得最大值；若d＝0，则数列{an}为常数数列，Sn＝na1。③在等差数列{an}中，a1，an，Sn，n，d五个基本元素，通过通项公式与求和公式可以“知三求二”。④显然数列是等差数列，且的公差是{an}的公差的。（4）等差中项：数a与b的等差中项为（这是充要条件）。三数成等差数列，常设为a－d，a，a＋d，也可以设为a，a＋d，a＋2d。四数成等差数列，常设为a－d，a，a＋d，a＋2d（d为公差），也可以设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（d为公差之半）。在等差数列{an}中，am－k，am，am＋k仍成等差数列；在等差数列{an}中，任意连续3项am－1，am，am＋1仍成等差数列。（5）等差数列的性质①等差中项与中项对称下标和相等性：距离首末两项等距离的项的和相等，且等于首末两项之和，即a1＋an－1＝a2＋an－2＝a3＋an－3＝…，特别地，若项数为奇数，还有a1＋an＝a2＋an－2＝a3＋an－3＝…＝2a中。如图所示：一般地，若，则。特别地，若，则。②等差数列的选项原理下标等差性：等差数列中，每隔相同的项抽取出来的项，按照原来的顺序排列而成的数列是等差数列。如奇数项成等差数列，公差为2d；偶数项，…成等差数列，公差为2d；数列成等差数列，公差为pd。等长等距离性：等差数列中抽取的等长连续片断之和构成的新数列仍然是等差数列。如，，则有。又如，若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：。③等差数列奇、偶项之间的关系――a2n－a2n-1=d若数列有奇数2n＋1项，则S奇＝＝（n＋1）an＋1，S偶＝＝nan＋1，所以S2n＋1＝S奇＋S偶＝（2n＋1）an＋1，S奇－S偶＝an＋1，。若数列有偶数2n项，则S奇＝＝nan，S偶＝＝nan＋1，所以，。④等差数列脚标与项之间的特殊结论在等差数列{an}中，若an＝m，am＝n，则an＋m＝0（n≠m）。在等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sn＋m＝－（n＋m）（n≠m）。在等差数列{an}中，若Sn＝Sm，则Sn＋m＝0（n≠m）。⑤等差数列的相关性与组合性若数列{an}与{bn}都是等差数列，则它们的前n项和Sn与Tn存在以下关系；{an}的前n项和Sn与{bm}的前m项和Tm存在以下关系（利用中项对称可得证明）。若数列{an}与{bn}都是等差数列，则数列{kan＋pan}是等差数列，其公差d＝kd1＋pd2（d1是{an}的公差，d2是{bn}的公差）。（6）等差数列的判定方法①定义法：成等差数列。②中项公式法：an－1＋an＋1＝2an成等差数列。③通项公式法：an＝pn＋q成等差数列。――通项公式为一次函数④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn成等差数列。――前n项和为缺常数项的二次函数。⑤构造数列法：数列成等差数列成等差数列。――的公差是{an}的公差的。（7）求等差数列通项公式的方法①②③an＝pn＋q④（8）求等差数列的前n项的方法①②③④3、等比数列（G.P.）：（1）等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比。即成等比数列（其中，a1和q是等比数列中的基本量）。（2）通项公式：①，公比公式（n≠1）；变形：（该式可以改写为an＝cqn，c＝），；注意：通项公式an是指数函数形式。②第二通项公式：，变形为公比公式。（3）前n项和公式：①在等比数列的求和问题中，当不能确定“q≠1”时，应该分“q＝1与q≠1”两类讨论当q≠1时，Sn可以进行变形――Sn＝＝（其中k＝为常数，且q≠0，q≠1）。错位相减求和技巧适用于公比q≠1的等比数列和差比数列的求和。②任意连续m项的和（即从ak到ak＋m－1的和）Tm＝Sk＋m－1－Sk－1或Tm＝＝＝。③最值性质若a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1，则数列{an}为递增数列，a1是最小项；若a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1，则数列{an}为递减数列，a1是最大项；若q＝1，则数列{an}为常数数列；若q＜0，则数列{an}为摆动数列，正负项相间排列。在等比数列{an}中，a1，an，Sn，n，q五个基本元素，通过通项公式与求和公式可以“知三求二”。（4）等比中项数a、b的等比中项及其条件：a与b的等比中项（这是充要条件）。三数成等比数列，常用ac＝b2，也可以设为aq－1，a，aq，或设为a，aq，aq2。四数成等比数列，常设为aq－1，a，aq，aq2（q为公比），也可以设为aq－3，aq－1，aq，aq3（q为公比的算术平方根，该设法必须是数列的各项同号）。（5）性质：①等比中项与中项对称下标和相等性：a1an－1＝a2an－2＝a3an－3＝…，特别地，若项数为奇数，还有a1an＝a2an－2＝a3an－3＝…＝a中2。如图所示：一般地，若，则，特别地，若，则。②等比数列的选项原理下标等差性质：在等比数列中，每隔相同的项抽取出来的项，按照原来的顺序排列而成的数列是等比数列。如奇数项成等比数列，公比为q2；偶数项，…成等比数列，公比为q2；数列成等比数列，公比为qp。等长等距离性：在等比数列中抽取等长连续片断之和构成的非零数列（≠0且q≠－1）仍然是等比数列。如――设，，，则。又如，若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：。③等比数列奇、偶项之间的关系等比数列中，若q≠1，数列有奇数2n＋1项，则S奇＝＝，S偶＝＝，。若数列有偶数2n项，则S奇＝＝，S偶＝＝，。④等比数列脚标与项之间的特殊结论在等比数列{an}中，若an＝m，am＝n，则an－m＋1＝a1?（n＞m）。在等比数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n，则＝（n≠m，q≠1）。在等比数列{an}中，若Sn＝Sm，则q＝－1（n≠m）。⑤等比数列的相关性与组合性若数列{an}是非负的等比数列，则与{loguan}是等差数列，其公差为d＝loguq；若数列{an}是等比数列，则与{tan}也是等比数列，其公比仍为q；若数列{an}是等比数列，则与{|an|}是等比数列，其公比为|q|；若数列{an}是等比数列，则与{anr}是等比数列，其公比为qr。组合性：若数列{an}与{bn}都是等比数列，则数列{tkanbn}与都是等比数列，其公比分别为tq1q2与（其中，q1是{an}的公比，q2是{bn}的公比）。（6）等比数列的判定方法①定义法：成等比数列。②等比中项法：an－1an＋1＝an2（an－1an＋1an≠0）成等比数列。③通项公式法：an＝cqn成等差数列。④前n项和公式法：Sn＝（其中k＝为常数，且q≠0，q≠1）成等比数列。⑤若数列{an}是等差数列，则是等比数列。（7）求等比数列通项公式的方法（q≠1）①②③（8）求等比数列的前n项的方法①②③4、求数列{an}的最大、最小项的方法：①an＋1－an＝……：如an＝－2n2＋29n－3。②（an>0）：如an＝③an＝f（n）：研究函数f（n）的单调性，如an＝【典例剖析】（一）通项公式与数列中的项：【基础例题】1、根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)，，－，，－，，…；(4)，1，，，…；(5)0,1,0,1，….(6)3,33,333,3333，….【分析】先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解：（1）an＝(－1)n(6n－5)．（2）an＝．（3）an＝(－1)n?．（4）an＝．（5）an＝或an＝或an＝．（6）an＝(10n－1)2、已知数列。(1)求第10项；(2)是该数列的项吗?(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间内有无数列中的项?解：设（1）（2）解得，所以不是该数列的项（3），即（4）令，所以n=2时上式成立.即在区间内。3、已知数列{an}满足则a2011等于.略解：，……，∴a2011=2。4、数列{an}的通项公式为an＝log2(n2＋3)-2,则log23是这个数列的第____项.略解：，5、数列{an}的通项公式为数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x+y等于。解：令，则0＜t≤1，∴当时，an取得最小值，此时n=2，当时，an取得最大值1，此时n=1，所以x+y=3。6、数列满足,则数列中第______项最大.解:考察函数可知函数在上是增函数,在上是减函数,7、已知，试求的最大项。解：∵当n＜8时，an+1＞an；当n=8时，a9=a8；当n＞8时，an+1＜an；∴数列{an}存在最大项，最大项为a8=a9=。8、解：由题意，又∴当时，9、在数列{an}中，若，试求通项公式。解：∵①∴②①－②得当n=1时，a1=6也适合上式，所以。10、在数列{an}中，若，试求通项公式。解：当n=1时，a1=1也适合上式，所以an=n。11、已知数列{an}的前n项积为，则。解：当n≥2时，12、已知数列{an}满足，则。解：13、已知数列{an}满足a1=2,则a1?a2?a3?????a2009的值为______.解：∴（二）已知数列的递推公式求通项公式：【基础例题】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.（4）已知且求an.【分析】1)可用构造等比数列法求解．(2)可转化后利用累乘法求解．(3)可利用累加法求解．解：(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2?3n－1，∴an＝2?3n－1－1.(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1???…?＝＝.(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋.（4）倒数法。（三）由an与Sn的关系求通项公式an：【基础例题】1、已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．【分析】当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．解：由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1>1，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因为an>0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.【技巧】已知递推关系求通项，一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)逐差累加或累乘法．2、设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；(2)是否存在自然数n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝2013？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，∴数列{an}是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列．于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N*)．(2)由Sn＝nan－2n(n－1)，得＝2n－1(n∈N*)，∴S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.令2n－1＝2013，得n＝1007，即存在满足条件的自然数n＝1007.3、已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项公式an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.【分析】(1)直接套用等差数列的通项公式和前n项和公式计算；(2)直接套用等比数列的通项公式求出{bn－an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式及前n项和．解：(1)因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，即an＝－2n＋21；[3分]Sn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n，即Sn＝－n2＋20n.[6分](2)因为{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以bn－an＝3n－1，即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21，[9分]Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(30＋a1)＋(3＋a2)＋…＋(3n－1＋an)＝(30＋3＋…＋3n－1)＋(a1＋a2＋…＋an)＝－n2＋20n＝－n2＋20n.[14分]4、已知数列中，，当时，其前项和满足，求数列的通项公式。解：（四）用函数的思想方法解决数列问题：【基础例题】(14分)已知数列{an}．(1)若an＝n2－5n＋4。①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an成立．求实数k的取值范围．【分析】(1)求使anan知该数列是一个递增数列，又通项公式an＝n2＋kn＋4是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，∴－－3.……[14分]（五）等差数列的基本量的计算：【基础例题】1、设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．【分析】(1)由S5S6＋15＝0与S5＝5可构建关于a1，d的方程组．(2)由S5S6＋15＝0可化为关于a1的一元二次方程，因为{an}存在，所以关于a1的一元二次方程有解．解：(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8.所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)方法一 ∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－2或d≥2.方法二 ∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2或d≥2.2、(2011?福建)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.（六）等差数列的前n项和及综合运用：【基础例题】1、(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．【分析】(1)由a1＝20及S10＝S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．解：方法一 ∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an0，又n∈N*.故当n＝时，Sn取最小值S1004＝a1.(2)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∵d>0，d和a1－d均为常数，∴an是n的一次函数．又由S10＋S2009＝a2010，即S2010＝a2010.故方程Sn＝an有两个实数解n＝1和n＝2010.由图可知，an≥Sn的解集为{n|1≤n≤2010，n∈N*}．3、在等差数列{an}中，a1=25，S9=S17问这个数列前多少项和最大？并求出这个最大值.解1：当n=13时,Sn的最大值为169.解2：解3：∵an是递减数列,当n=13时,Sn的最大值为169.解4：∴Sn的图像时开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的纵坐标为4、在等差数列{an}中，求{|an|}的前n项和Tn。解：由得令，∴当时，当n＜5时，（七）累加法与迭乘法：【基础例题】1、已知数列{an}中，则an=_______.略解：【技巧】迭乘法适用于以分式给出递推式的，在累积后可以消去中间项：2、已知数列{an}中,a1=1,，则an=_______.略解：【技巧】累加法适用于差后等差或差后等比的数列，在累加后可以消去中间项：3、在数列中，，，则.略解：（八）整体思想在等差数列解题中的运用：【基础例题】设等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n(m≠n)，求它的前m＋n项的和Sm＋n.【分析】(1)Sm＋n＝a1(m＋n)＋d＝(m＋n)?，这样只要求出a1＋d即可．(2)由Sn，Sm可以构造出a1＋d，并求出．解：方法一 设{an}的公差为d，则由Sn＝m，Sm＝n，得②－①得(m－n)a1＋?d＝n－m，∵m≠n，∴a1＋d＝－1.∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d＝(m＋n)＝－(m＋n)．方法二 设Sn＝An2＋Bn(n∈N*)，则③－④得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m.∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1，∴A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)，∴Sm＋n＝－(m＋n)．（九）等差数列的判定与证明：【基础例题】1、已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．【分析】(1)可利用定义证明bn－bn－1(n≥2)为常数来证明数列{bn}是等差数列．(2)通过{bn}是等差数列，求得{an}的通项，然后从函数的观点解决数列的最大项和最小项的问题．(1)证明：∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝.∴n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间和内为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(n≥2)，a1＝2.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式．(1)证明：方法一，由Sn＝，得＝＝＋2，∴－＝2，∴是以即为首项，以2为公差的等差数列．方法二，∵当n≥2时，－＝－＝＝2，∴是以即为首项，以2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知＝＋(n－1)×2＝2n－，∴Sn＝，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝；当n＝1时，a1＝2不适合an，故an＝3、已知成等差数列,则x=_____.（答案）（十）等比数列的基本量的运算：【基础例题】1、(1)在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64，求{an}的前8项和S8；(2)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的第2n项．【分析】(1)利用已知条件，建立a1和q满足的两个方程，解之可得{an}，从而可求出S8.(2)利用前n项和公式列出方程组求出a1和q，使问题得到解决．需注意的是Sn应分q＝1和q≠1两种情况来考虑．解 (1)设数列{an}的公比为q，由通项公式an＝a1qn－1及已知条件得：由②得a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入①式，得q2＝－2，无解，故舍去．将a1q3＝8代入①式，得q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，a1＝1，∴S8＝＝255；当q＝－2时，a1＝－1，∴S8＝＝85.(2)若q＝1，则na1＝40,2na1＝3280，矛盾．∴q≠1，∴得：1＋qn＝82，∴qn＝81，③将③代入①得q＝1＋2a1.④又∵q>0，∴q>1，∴a1>0，{an}为递增数列．∴an＝a1qn－1＝27，⑤由③、④、⑤得q＝3，a1＝1，n＝4.∴a2n＝a8＝1×37＝2187.2、设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通项公式．解：方法一 在等比数列{an}中，由S4＝1，S8＝17，则q≠1，因此②÷①得q4＋1＝17，则q4＝16，∴q＝2，或q＝－2，由q＝2代入①得a1＝，由q＝－2代入①得a1＝－，所以数列{an}的通项公式为an＝?2n－1或an＝?(－2)n－1.方法二 q4＝＝16，则q＝2，或q＝－2.又S4＝1，当q＝2时，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得a1＝，因此an＝a1qn－1＝；当q＝－2时，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得a1＝－.因此an＝a1qn－1＝－.（十一）等比数列的定义以及判定：【基础例题】1、已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．【分析】(1)由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1转化成an与an＋1的递推关系，再构造数列{an－1}．(2)由cn求an再求bn.解：(1)证明 ∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列．∵首项c1＝a1－1，a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1，∴{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)解 由(1)可知cn＝?n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.2、设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明 由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，∴an＋1－2an＝3×2n－1，于是－＝，∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，＝＋(n－1)×＝n－，∴an＝(3n－1)?2n－2.（十二）等比数列的性质及运用：【基础例题】1、在等比数列{an}中，(1)若已知a2＝4，a5＝－，求an；(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解 (1)设公比为q，则＝q3，即q3＝－，∴q＝－，∴an＝a5?qn－5＝n－4.(2)∵a3a4a5＝8，又a3a5＝a，∴a＝8，a4＝2，∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.2、(1)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10；(2)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(3)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.解 (1)a4?a7＝a3?a8＝－512，∴，解之得或.当时，q5＝＝－32，∴q＝－2.∴a1＝＝－1，∴a10＝a1q9＝－1×(－2)9＝512.当时，q5＝＝－，q＝－.又∵q为整数，∴q＝－舍去．综上所述：a10＝512.(2)∵a3a11＝a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.(3)方法一 a1a2a3a4＝a1a1qa1q2a1q3＝aq6＝1.①a13a14a15a16＝a1q12?a1q13?a1q14?a1q15＝a?q54＝8.②②÷①：＝q48＝8?q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40?a1q41?a1q42?a1q43＝a?q166＝a?q6?q160＝(a?q6)?(q16)10＝1?210＝1024.方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1＝a1?a2?a3?a4＝1，T4＝a13?a14?a15?a16＝8，∴T4＝T1?p3＝1?p3＝8，∴p＝2.∴T11＝a41?a42?a43?a44＝T1?p10＝210＝1024.3、设首项为正数的等比数列,它的前n项之和为80,前2n项之和为6560,且前n项中数值最大的项为54,求此数列的项数．解：②÷①,得1+qn=82,即qn=81.③③代入①,得所以数列{an}为递增数列,解④,⑤,得所以数列{an}的项数为8.4、数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1＝2Sn＋1（n∈N*）。（1）求数列{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项均为正数，其前n项和为Tn，且T1=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn。解：（1）∵①，∴②①－②得即又a1=1，∴a2=2a1+1=3，∴∴即{an}是首项为1公比为3的等比数列。∴