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如图,求 角A+角B+角C+角D+角E的度数
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（自己画图啊）
设BD与AC交于点O
EC与BD交于点F
因为角DFC是三角形DEF的外角
（*不晓得是不是叫外角）
角DFC=角D+角E
角AOB=角DFC+角C
=角D+角E+角C
角A和角B和角AOB是同一个三角形的三个角
角A+角B+角AOB=180°
所以。。。。。
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如图1,在四边形ABCD中,求证:角A+角B+角C+角D=360°
黎约压过1751
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第一章 解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”3．重视加强意识和数学实践能力学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。（三）教学内容及课时安排建议1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）1.2应用举例（约4课时）1.3实习作业（约1课时）（四）评价建议1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。课题: §1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。●教学过程Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动。思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课[探索研究]
(图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的A则定义，有a?sinA?，b?sinB，又sCi?n?c,
1asin?bsincsin?c?从而在直角三角形ABC中，asinbsin?csin
B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB?bsinA,则同理可得从而asinA?bsinB，csin??bsin?，asinAbsinBcsinC
(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。??????（证法二）：过点A作j?AC，
C???????由向量的加法可得
AB?AC?CB ?????????????????则
j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB
j??????????jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?∴csinA?asinC，即同理，过点C作j?BC，可得从而
ac ??????bc ?asinA?bsinB?csinC类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA?bsinB?csinC[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；（2）asinA?bsinB?csinC等价于asinA?bsinB，csinC?bsinB，asinA?csinC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?bsinA； sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。 ab一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，C?1800?(A?B)??81.80)?66.20；根据正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)； sin32.0根据正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm). sin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理， bsinA28sin400sinB???0.8999. 因为00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 当B?640时，C?1800?(A?B)?0)?760，asinC20sin760c???30(cm). sin40⑵ 当B?1160时，C?1800?(A?B)?60)?240，asinC20sin240c???13(cm). sin40评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习第4页练习第1（1）、2（1）题。[补充练习]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：asinAsinBsinC或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 ?b?c?a?b?c?k?k?0?； sinA?sinB?sinCⅤ.课后作业第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。课题: §1.1.2余弦定理●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；●教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。●教学过程Ⅰ.课题导入如图1．1-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和?C，求边A
B(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A?????????????????如图1．1-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则
bc???????c?c?a?ba?b??????
?ab?b??2a??bC
?a?b?2a?b?2????从而
c2?a2?b2?2abcosC
(图1．1-5) 同理可证
a2?b2?c2?2bccosAb2?a2?c2?2accosB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a2?b2?c2?2bccosAb2?a2?c2?2accosBc2?a2?b2?2abcosC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：b2?c2?a2cosA?a2?c2?b2cosB?b2?a2?c2cosC?2ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。[例题分析]例1．在?ABC中，已知a?cB?600，求b及A⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB=2?2?2?cos450=12?2?1)=8∴b?求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：b2?c2?a21⑵解法一：∵cosA?,
∴A?600.asin450,解法二：∵sinA?B＞2.4?1.4?3.8,2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A?600.评述：解法二应注意确定A的取值范围。例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形（见课本第7页例4，可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得： b2?c2?a2cosA? 2bc87.82?161.72?134.62 ??0.5543,A?56020?； c2?a2?b2cosB?134.62?161.72?87.82 ??0.8398,B?32053?；? C?1800?(A?B)???32053)Ⅲ.课堂练习第8页练习第1（1）、2（1）题。[补充练习]在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）Ⅳ.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 Ⅴ.课后作业①课后阅读：课本第8页[探究与发现]②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]思考：在?ABC中，已知a?22cm，b?25cm，A?1330，解三角形。（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。Ⅱ.讲授新课[探索研究]b,A，讨论三角形解的情况 例1．在?ABC中，已知a,分析：先由sinB?则C?1800?(A?B) 从而c?bsinA可进一步求出B； aasinC A1．当A为钝角或直角时，必须a?b才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a?b，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a?bsinA，则有两解；（2）若a?bsinA，则只有一解；（3）若a?bsinA，则无解。（以上解答过程详见课本第9?10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 bsinA?a?b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。[随堂练习1]（1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三角形的解的情况。（2）在?ABC中，若a?1，c?1，?C?400，则符合题意的b的值有_____个。 2（3）在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2?x?例2．在?ABC中，已知a?7，b?5，c?3，判断?ABC的类型。分析：由余弦定理可知a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形a2?b2?c2?A是钝角?ABC是钝角三角形a2?b2?c2?A?ABC是锐角三角形（注意：AABC是锐角三角形）解：?72?52?32，即a2?b2?c2，∴?ABC是钝角三角形。[随堂练习2]（1）在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，判断?ABC的类型。（2）已知?ABC满足条件acosA?bcosB，判断?ABC的类型。（答案：（1）?ABC是钝角三角形；（2）?ABC是等腰或直角三角形）例3．在?ABC中，A?600，b?1a?b?c，求的值 sinA?sinB?sinC111分析：可利用三角形面积定理S?absinC?acsinB?bcsinA以及正弦定理 222asinA?bsinB?csinC?a?b?csinA?sinB?sinC1解：由S?sinA?得c?2， 22则a2?b2?c2?2bccosA=3，即a? 从而a?b?ca??2 sin?sin?sinsinⅢ.课堂练习（1）在?ABC中，若a?55，b?16，且此三角形的面积S?，求角C（2）在?ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S?（答案：（1）600或1200；（2）450）Ⅳ.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。Ⅴ.课后作业（1）在?ABC中，已知b?4，c?10，B?300，试判断此三角形的解的情况。（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。（3）在?ABC中，A?600，a?1，b?c?2，判断?ABC的形状。（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x2?7x?6?0的根， 求这个三角形的面积。a2?b2?c24，求角C课题: §2.2解三角形应用举例●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题――引发思考――探索猜想――总结规律――反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B两点的距离(精确到0.1m)启发提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得AB
AC sin?ACBsin?ABCAB =
ACsin?ACB sin?ABC=
55sin?ACB sin?ABC=
55sin75?sin(180??51??75?)=
55sin75? sin54?≈ 65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30?，灯塔B在观察站C南偏东60?，则A、B之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：2a km例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，应用正弦定理得AC =BC =
asin(???) sin[180??(?????)]sin(?????)asin?asin?
=sin[180??(?????)]sin(?????)计算出AC和BC后，再在?ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB =
AC2?BC2?2AC?BCcos?分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60?略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。Ⅲ.课堂练习课本第13页练习第1、2题Ⅳ.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅴ.课后作业课本第19页第1、2、3题课题: §2.2解三角形应用举例●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导――讨论――归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力●教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题●教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件●教学过程Ⅰ.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析：求AB长的关键是先求AE，在?ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是?、?，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在?ACD中，根据正弦定理可得AC =
asin?sin(???)AB =
ACsin?+ h=
asin?sin? + hsin(???)例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角?=54?40?，在塔底C处测得A处的俯角?=50?1?。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在?ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？生：可首先求出AB边，再根据?BAD=?求得。解:在?ABC中, ?BCA=90?+?,?ABC =90?-?,?BAC=?- ?,?BAD =?.根据正弦定理,
sin(???)sin(90???)BCsin(90???)BCcos?
AB == sin(???)sin(???)解Rt?ABD中,得
BD =ABsin?BAD=将测量数据代入上式,得 BCcos?sin? sin(???)27.3cos50?1?sin54?40?
sin(54?40??50?1?)27.3cos50?1?sin54?40?
= sin4?39?≈177 (m)CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.师：有没有别的解法呢？生：若在?ACD中求CD，可先求出AC。师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？生：同理，在?ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）例5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15?的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25?的方向上,仰角为8?,求此山的高度CD.师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在?BCD中师：在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？生：BC边解:在?ABC中, ?A=15?,?C= 25?-15?=10?,根据正弦定理,BCAB =
, sinAsinCABsinA5sin15?BC
== ?sin10sinC≈ 7.4524(km)CD=BC?tan?DBC≈BC?tan8?≈1047(m)答:山的高度约为1047米Ⅲ.课堂练习课本第15页练习第1、2、3题Ⅳ.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。Ⅴ.课后作业1、 课本第19页练习第6、7、8题2、 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30?，测得塔基B的俯角为45?，则塔AB的高度为多少m？答案：20+203(m) 3课题: §2.2解三角形应用举例●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。●教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系●教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例6、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75?的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32?的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1?,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角?ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角?CAB。解：在?ABC中，?ABC=180?- 75?+ 32?=137?，根据余弦定理， AC=AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC
=67.52?54.02?2?67.5?54.0?cos137?≈113.15根据正弦定理,
AC sin?CABsin?ABCAC
sin?CAB = BCsin?ABC
= 54.0sin137? 113.15≈0.3255,所以
?CAB =19.0?,75?- ?CAB =56.0?答:此船应该沿北偏东56.1?的方向航行,需要航行113.15n mile补充例1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为?，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2?，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4?，求?的大小和建筑物AE的高。师：请大家根据题意画出方位图。生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在?ACD中，AC=BC=30，
AD=DC=10，?ADC =180?-4?，?10=sin2?30 。 sin(180??4?)因为
sin4?=2sin2?cos2?cos2?=? ,得
2?=30? 2?=15?， ??在Rt?ADE中，AE=ADsin60?=15答：所求角?为15?，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h在 Rt?ACE中,(10+ x)2 + h2=302在 Rt?ADE中,x2+h2=(103)2两式相减，得x=5,h=15?在 Rt?ACE中,tan2?=?2?=30?,?=15? h103?x= 3答：所求角?为15?，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得?BAC=?，
?CAD=2?， AC = BC =30m , AD = CD =10m在Rt?ACE中，sin2?=在Rt?ADE中，sin4?=x
--------- ① 304103,
--------- ②②?① 得
cos2?=,2?=30?,?=15?，AE=ADsin60?=15 2答：所求角?为15?，建筑物高度为15m补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45?相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,?ACB=75?+45?=120??(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2?9?10xcos120?39?化简得32x2-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去) 216所以BC = 10x =15,AB =14x =21,BCsin120?1535又因为sin?BAC === ?2AB1421??BAC =38?13?,或?BAC =141?47?（钝角不合题意，舍去），?38?13?+45?=83?13?答：巡逻艇应该沿北偏东83?13?方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅲ.课堂练习课本第16页练习Ⅳ.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 Ⅴ.课后作业1、课本第20页练习第9、10、11题2、我舰在敌岛A南偏西50?相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）课题: §2.2解三角形应用举例●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目●教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在?ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？生：ha=bsinC=csinBhb=csinA=asinChc=asinB=bsinaA1ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，21可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？ 211生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 22师：根据以前学过的三角形面积公式S=师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例7、在?ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?;（2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（1）应用S=S=1acsinB，得 21?14.8?23.5?sin148.5?≈90.9(cm2) 2b
c sinBsinCsinB(2)根据正弦定理，
= bsinC S = 11bcsinA = b2sinCsinA 22sinBA = 180?-(B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5?sin65.8?sin51.5?12
S = ?3.16?≈4.0(cm2) ?sin62.72(3)根据余弦定理的推论，得c2?a2?b2cosB = 2ca38.72?41.42?27.32= 2?38.7?41.4≈0.7697 sinB = ?cos2B≈?0.74应用S=S ≈1acsinB，得 21?41.4?38.7?0.(cm2) 2例8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， c2?a2?b2cosB= 2ca=≈0.?68sinB=?0.81acsinB
S ≈?68?127?0..38(m2) 2应用S=答：这个区域的面积是。例3、在?ABC中，求证：a2?b2sin2A?sin2B?; （1）22csinC（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设
a = b = c = k sinAsinBsinC显然 k?0，所以a2?b2k2sin2A?k2sin2B?
左边= 222cksinCsin2A?sin2B
==右边 sin2C（2）根据余弦定理的推论，b2?c2?a2a2?b2?c2c2?a2?b2右边=2(bc+ca+ab) 2bc2ca2ab=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边变式练习1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=6,求a及?ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9;a=12,S=183变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，（1） acosA = bcosB（2） sinC =sinA?sinB cosA?cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”（1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。生1：（余弦定理）得b2?c2?a2c2?a2?b2a?=b? 2bc2ca?c2(a2?b2)?a4?b4=(a2?b2)(a2?b2)?a2?b2或c2?a2?b2?根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,?sin2A=sin2B,?2A=2B,?A=B?根据边的关系易得是等腰三角形师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180?，A+B=90?(2)（解略）直角三角形Ⅲ.课堂练习课本第18页练习第1、2题Ⅳ.课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。Ⅴ.课后作业课本第20页练习第12、14、15题一．教学重点1. 理解正弦定理及余弦定理的推导证明过程，能够熟练运用正、余弦定理解三角形。2. 根据实际情况设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题3. 灵活运用正、余弦定理进行边角转化求角度、判断三角形形状等有关三角形的问题。二．教学难点：①正、余弦定理的推导证明，应用定理解三角形。②设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题，③在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题。进行边角转化三．教学过程1.2、例题讲解：例1．在?ABC中，已知B?45?，C?60?，c?1。试求最长边的长度。例2．在?ABC中，已知a:b:c?2，试判断此角形的形状并求出最大角与最小角的和。例3．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C、D，已知?ABC为边长等于a的??A1．在?ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4试试判断此角形的形状并求出最小角。2．在?ABC中，a,b,c分别是A，B，C的对边，且cosBb ?cosC2a?c（1）求角B的大小；（2）若ba?c?4，求a的值。3．a,b,c分别是?ABC的三边，若a2?c2?b2，则角B为-------度。4．测一塔（底不可到达）的高度，测量者在远处向塔前进，在A处测得塔顶C的仰角40?，再前进20米到B点，这时测得C的仰角为60?，试求此塔的高度CD。 课题
§2.1数列的概念与简单表示法●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，?正方形数：1，4，9，16，25，?Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，?，第n 项，?.例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式：a1,a2,a3,?,an,?，或简记为?an?，其中an是数列的第n项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“1”是这个数列的第“33下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：1111项
5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：an?1来表示其对应关系 n即：只要依次用1，2，3?代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列?an?的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，?它的通项公式n?11?(?1)n?1?|. 可以是an?，也可以是an?|cos22⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，?，n}）为定义域的函数an?f(n)，*当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4?）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)?，f(n)，?6．数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6?是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？[范例讲解]课本P34-35例1Ⅲ.课堂练习课本P36[练习]3、4、5[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,??；
(2) 246810, , , , , ??； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,??；
(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ??；2n1?(?1)n解：(1) an＝2n＋1；
(2) an＝； (3) an＝；
(2n?1)(2n?1)2(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ??,1?(?1)n∴an＝n＋； 2Ⅳ.课时小结本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。Ⅴ.课后作业课本P33习题2.1A组的第1题 题: §2.1数列的概念与简单表示法●教学目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与an的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项●教学难点理解递推公式与通项公式的关系●教学过程Ⅰ.课题导入[复习引入]数列及有关定义Ⅱ.讲授新课数列的表示方法1、 通项公式法如果数列?an?的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为的通项公式为； ；的通项公式为；2、 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3、 递推公式法观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1?4＝1+3第2层钢管数为5；即：2?5＝2+3第3层钢管数为6；即：3?6＝3+3第4层钢管数为7；即：4?7＝4+3第5层钢管数为8；即：5?8＝5+3第6层钢管数为9；即：6?9＝6+3第7层钢管数为10；即：7?10＝7+3若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an?n?3(1≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即a1?4；a2?5?4?1?a1?1；a3?6?5?1?a2?1依此类推：an?an?1?1（2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 定义：递推公式：如果已知数列?an?的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an?1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：a1?3,a2?5,an?an?1?an?2(3?n?8)数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用示第一项，用4、列表法．简记为． 表表示第一项，??，用表示第 项，依次写出成为[范例讲解]a1?1??例3 设数列?an?满足?写出这个数列的前五项。 1a?1?(n?1).?nan?1?解：分析：题中已给出?an?的第1项即a1?1，递推公式：an?1?1 an?1解：据题意可知：a1?1,a2?1?[补充例题] ,a3?1??，a4?1??,a5? a1a23a335例4已知a1?2，an?1?2an 写出前5项，并猜想an．法一：a1?2
a3?2?22?23，观察可得 an?2n法二：由an?1?2an
∴an?2an?1
即an?2 an?1∴ anan?1an?2a??????2?2n?1 an?1an?2an?3a1∴ an?a1?2n?1?2nⅢ.课堂练习课本P31练习2[补充练习]1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) a1＝0, an?1＝an＋(2n－1) (n∈N)；(2) a1＝1, an?1＝2an (n∈N)； an?2(3) a1＝3, an?1＝3an－2 (n∈N).解：(1) a1＝0, a2＝1, a3＝4, a4＝9, a5＝16, ∴ an＝(n－1); 2(2) a1＝1,a2＝＝?, a4＝, a5＝?, ∴ an＝; 35n?12436012(3) a1＝3＝1+2?3, a2＝7＝1+2?3, a3＝19＝1+2?3,a4＝55＝1+2?33, a5＝163＝1+2?34, ∴ an＝1＋2?3n?1;Ⅳ.课时小结本节课学习了以下内容：1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.Ⅴ.课后作业习题2。1A组的第4、6题课题: §2.2等差数列●教学目标知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。 情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。●教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。●教学难点等差数列的性质●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法――列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。课本P41页的4个例子：①0，5，10，15，20，25，?②48，53，58，63③18，15.5，13，10.5，8，5.5④1，1，10366观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？?共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等――应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字――等差数列Ⅱ.讲授新课1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{an},若an－an?1=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？2．等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d【或an?am?(n?m)d】 ?an?的首项是a1，公?差是d，则据其定义可得：a2?a1?d即：a2?a1?da3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2da4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d??由此归纳等差数列的通项公式可得：an?a1?(n?1)d∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。 由上述关系还可得：am?a1?(m?1)d即：a1?am?(m?1)d则：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d即等差数列的第二通项公式
an?am?(n?m)d
∴ d=[范例讲解]例1 ⑴求等差数列8，5，2?的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13?的项？如果是，是第几项？解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3
n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4
得数列通项公式为：an??5?4(n?1) 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，am?an m?n即-401是这个数列的第100项例3 已知数列{an}的通项公式an?pn?q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定?an?是不是等差数列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一个与n无关的常数。解：当n≥2时, （取数列?an?中的任意相邻两项an?1与an（n≥2））an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p为常数∴{an}是等差数列，首项a1?p?q，公差为p。注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。Ⅲ.课堂练习课本P39练习1、2、3、4[补充练习]1.（1）求等差数列3，7，11，??的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：（n－1）×4,即an=4na1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：an=3+－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，??的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：（n－1）×（－2）,即：an=10+an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，??的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.
∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,
∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－3说明理由. 1，－7，??的项？如果是，是第几项？如果不是，2177
∴此数列的通项公式为：an=－n+, 222777747令－n+=－20,解得n=
因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这22227解：由题意可知：a1=0,d=－3个数列的项.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an?1=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an?am?(n?m)d和an=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.Ⅴ.课后作业课本P40习题2.2[A组]的第1题?课题: §2.2等差数列●教学目标知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。 过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。●教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用●教学难点灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上节课所学主要内容：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an－an?1=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d2．等差数列的通项公式： ?an?a1?(n?1)d
(an?am?(n?m)d或an=pn+q (p、q是常数))3．有几种方法可以计算公差d① d=an－an?1
② d=an?a1a?am
n?1n?mⅡ.讲授新课问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由定义得A-a=b-A
，即：A?反之，若A?a?b 2a?b，则A-a=b-A 2a?b?a,b,成等差数列 由此可可得：A?2[补充例题]例
在等差数列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9 .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手?? 解：∵ {an }是等差数列∴ a1+a6=a4+a3 =9?a3=9－a4=9－7=2∴ d=a4－a3=7－2=5∴ a9=a4+(9－4)d=7+5*5=32[范例讲解]课本P38的例2
解略课本P39练习5已知数列{an}是等差数列
a3 =2, a9=32（1）2a5?a3?a7是否成立？2a5?a1?a9呢？为什么？（2）2an?an?1?an?1(n?1)是否成立？据此你能得到什么结论？（3）2an?an?k?an?k(n?k?0)是否成立？？你又能得到什么结论？结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，am?an?ap?aq即
m+n=p+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由am?an?ap?aq 推不出m+n=p+q ，②am?an?am?n探究：等差数列与一次函数的关系Ⅲ.课堂练习1.在等差数列?an?中，已知a5?10，a12?31，求首项a1与公差d2. 在等差数列?an?中, 若 a5?6
a8?15 求a14Ⅳ.课时小结节课学习了以下内容：1．A?a?b?a,A,b,成等差数列 22．在等差数列中， m+n=p+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q ∈N )Ⅴ.课后作业课本P41第4、5题课题: §2.3 等差数列的前n项和●教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。●教学重点等差数列n项和公式的理解、推导及应●教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题●教学过程Ⅰ.课题导入“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+?100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10?算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+?+100=5050。教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；?50+51=101，所以101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。Ⅱ.讲授新课1．等差数列的前n项和公式1：Sn?n(a1?an) 2证明：
Sn?a1?a2?a3???an?1?an
①Sn?an?an?1?an?2???a2?a1
②①+②：2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an)∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2???∴2Sn?n(a1?an)
由此得：Sn?n(a1?an) 22． 等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?n(n?1)d
2用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an但an?a1?(n?1)d
代入公式1即得： Sn?na1?n(n?1)d 2此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d （有时比较有用）[范例讲解]课本P43-44的例1、例2、例3由例3得与an之间的关系：由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn?1，即an=??S1(n?1).?Sn?Sn?1(n?2)Ⅲ.课堂练习课本P45练习1、2、3、4Ⅳ.课时小结本节课学习了以下内容：1.等差数列的前n项和公式1：Sn?n(a1?an)
22.等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?Ⅴ.课后作业课本P46习题[A组]2、3题课题: §2.3等差数列的前n项和●教学目标知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值；过程与方法：经历公式应用的过程；情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。 ●教学重点熟练掌握等差数列的求和公式●教学难点灵活应用求和公式解决问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前n项和公式1：Sn?n(a1?an)
2n(n?1)d 22.等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?Ⅱ.讲授新课探究：――课本P51的探究活动结论：一般地，如果一个数列?an?,的前n项和为Sn?pn2?qn?r，其中p、q、r为常数，且p?0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由Sn?pn2?qn?r，得S1?a1?p?q?r当n?2时an?Sn?Sn?1=(pn?qn?r)?[p(n?1)?q(n?1)?r]=2pn?(p?q) 22?d?an?an?1?[2pn?(p?q)]?[2p(n?1)?(p?q)]=2p对等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?n(n?1)d可化成式子： 2Sn?d2dn?(a1?n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 22[范例讲解]等差数列前项和的最值问题课本P45的例4 解略小结：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用an:当an&0，d&0，前nan≥0，且an?1≤0，求得n当an&0，d&0，前nan≤0，且an?1≥0，求得n（2） 利用Sn： 由Sn?d2dn?(a1?)n利用二次函数配方法求得最值时n的值 22Ⅲ.课堂练习1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。2．差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和Sn的最小值。Ⅳ.课时小结1．前n项和为Sn?pn2?qn?r，其中p、q、r为常数，且p?0，一定是等差数列，该数列的首项是a1?p?q?r公差是d=2p通项公式是an??S1?a1?p?q?r,当n?1时?Sn?Sn?1?2pn?(p?q),当n?2时?2．差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当an&0，d&0，前nan≥0，且an?1≤0，求得n的值。当an&0，d&0，前nan≤0，且an?1≥0，求得n的值。（2）由Sn?d2dn?(a1?n利用二次函数配方法求得最值时n的值 22Ⅴ.课后作业课本P46习题[A组]的5、6题课题: §2.4等比数列●教学目标知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。●教学重点等比数列的定义及通项公式●教学难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入复习：等差数列的定义： an－an?1=d ，（n≥2，n∈N）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。课本P41页的4个例子：①1，2，4，8，16，?②1，?1111，，，，? 24816234③1，20，20，20，20，?234④8，8，8，8，85，??观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。Ⅱ.讲授新课1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：an=q（q≠0） an?11?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛an｝成等比数列?an?1?=q（n?N,q≠0） an2? 隐含：任一项an?0且q?0“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件．3? q= 1时，{an}为常数。2.等比数列的通项公式1: an?a1?q由等比数列的定义，有： n?1(a1?q?0)a2?a1q；a3?a2q?(a1q)q?a1q2；a4?a3q?(a1q2)q?a1q3；? ? ? ? ? ? ?
an?an?1q?a1?qn?1(a1?q?03.等比数列的通项公式2: an?am?qm?1(a1?q?0)4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列探究：课本P56页的探究活动――等比数列与指数函数的关系等比数列与指数函数的关系： 等比数列｛an｝的通项公式an?a1?qn?1(a1?q?0),它的图象是分布在曲线y?（q&0）上的一些孤立的点。当a1?0，q &1时，等比数列｛an｝是递增数列；当a1?0，0?q?1，等比数列｛an｝是递增数列；当a1?0，0?q?1时，等比数列｛an｝是递减数列；当a1?0，q &1时，等比数列｛an｝是递减数列；当q?0时，等比数列｛an｝是摆动数列；当q?1时，等比数列｛an｝是常数列。[范例讲解]课本P50例1、例2、P58例3
解略。Ⅲ.课堂练习课本P52练习1、2[补充练习]2.（1） 一个等比数列的第9项是a1xqq41，公比是－，求它的第1项（答案：a1=2916） 93（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：a1=a2=5, qa4=a3q=40）Ⅳ.课时小结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．Ⅴ.课后作业:课本P53习题A组1、2题课题: §2.4等比数列●教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。●教学重点等比中项的理解与应用●教学难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：an=q（q≠0） an?12.等比数列的通项公式: an?a1?qn?1(a1?q?0)， an?am?qn?m(am?q?0)3．｛an｝成等比数列?数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列Ⅱ.讲授新课1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.
即G=±ab（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则an?1?=q（n?N,q≠0）
“an≠0”是数列｛an｝成等比anGb??G2?ab?G??ab， aG反之，若G=ab,则≠0）[范例讲解]课本P58例4
证明：设数列?an?的首项是a1，公比为q1;?bn?的首项为b1，公比为q2，那么数列?an?bn?的第n项与第n+1项分别为： 2Gb2b?，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列?G=ab（a?aGa1?q1n?1?b1?q2与a1?q1?b1?q2即为a1b1(q1q2)n?1与a1b1(q1q2)nn?1nnan?1?bn?1a1b1(q1q2)n???q1q2. n?1an?bna1b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以?an?bn?是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{an}也一定是等比数列吗？ bnana，则cn?1?n?1 bnbn?1探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cn??cn?1n?1abaq??(n?1)?(n?1?1，所以，数列{n}也一定是等比数列。 ancnanbnq2bnnan?1课本P53的练习422已知数列{an}是等比数列，（1）a5?a3a7是否成立？a5?a1a9成立吗？为什么？ 2（2）an?an?1an?1(n?1)是否成立？你据此能得到什么结论？ 2an?an?kan?k(n?k?0)是否成立？你又能得到什么结论？结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则aman?apak 在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？ 由定义得：am?a1qm?1
ap?a1q2p?1k?1
k ?a1?qam?an?a1qm?n?2
，ap?ak?a1qp?k?2则aman?apakⅢ.课堂练习课本P53的练习3、5Ⅳ.课时小结1、若m+n=p+q，am?an?ap?aq2、若?an??,bn?是项数相同的等比数列，则?an?bn?、{Ⅴ.课后作业课本P53习题2.4A组的3、5题2an}也是等比数列 bn课题: §2.5等比数列的前n项和●教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。●教学重点等比数列的前n项和公式推导●教学难点灵活应用公式解决有关问题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境][提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”Ⅱ.讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。1、 等比数列的前n项和公式：a?anqa1(1?qn)
当q?1时，Sn? ①
② 1?q1?q当q=1时，Sn?na1当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列a1,a2?a3,?an?它的前n项和是Sn?a1?a2?a3??an?Sn?a1?a2?a3??an由? n?1a?aq1?n2n?2n?1??Sn?a1?a1q?a1q??a1q?a1q得? 23n?1n??qSn?a1q?a1q?a1q??a1q?a1q?(1?q)Sn?a1?a1qna?anqa1(1?qn)∴当q?1时，Sn? ①
② 1?q1?q当q=1时，Sn?na1提醒您本文地址：
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