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Abaqus中的接触建模
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abaqus――MPC问题多点约束解析79
6.MPC―多点约束；1.1MPC定义；MPC(Multi-pointconstrain；在不同的求解器模版下可以在patran中定义不同；图6-1NASTRAN中MPC类型；1.2MPC使用范围；这里提请大家注意的是，MPC建立的是多点约束关系；1）描述非常刚硬的结构单元；2）在不同类型的单元间传递载荷；3）任意方向的约束；4）刚性连杆；1.3MPC定义的
6.MPC―多点约束1.1 MPC定义MPC(Multi-point constraints)即多点约束，在有限元计算中应用很广泛，它允许在计算模型不同的自由度之间强加约束。简单来说，MPC定义的是一种节点自由度的耦合关系，即以一个节点的某几个自由度为标准值，然后令其它指定的节点的某几个自由度与这个标准值建立某种关系。多点约束常用于表征一些特定的物理现象，比如刚性连接、铰接、滑动等，多点约束也可用于不相容单元间的载荷传递，是一项重要的有限元建模技术。在不同的求解器模版下可以在patran中定义不同的MPC，比较常用的有RBE2、RBE3、EXPLICIT、RBAR、RROD、RJOINT等，具体的使用根据计算模型来定，MPC类型如图6-1所示。 图6-1
NASTRAN中MPC类型 1.2 MPC使用范围这里提请大家注意的是，MPC建立的是多点约束关系，包括刚性约束与柔性约束两种。从某种意义上说，建立约束即建立两个或多个节点之间的联系，因而也可将MPC约束说成是MPC单元。如RBAR、RBE1、RBE2建立的是刚性单元，这些单元局部刚度是无限大的；而RBE3、RSPLINE单元则是柔性单元，其只是建立了不同节点的力与力矩的分配关系，也称之为插值单元。其局部刚度为零，不会对系统刚度产生影响。1）描述非常刚硬的结构单元。如果结构模型中存在两个或两个以上的刚度相差很大的元器件时，刚硬元件在分析过程中，一方面起传递载荷作用，另一方面也发生部分变形。但其变形非常小，和柔软元件比，它是“刚性”的。这种情况下，对刚硬元件的描述显得尤为重要，如果用大刚度的弹性单元来模拟刚硬元件，会造成病态解。原因是，刚度矩阵中对角系数差别太大，引起矩阵病态。为解决本问题，应用适当的约束方程来代替刚硬的弹性单元，来创建更为合理的有限元模型。2）在不同类型的单元间传递载荷。如在有限元模型中，包含三维实体单元和壳体单元。模型看来成功，没什么问题。但是求解是，会出现“刚度矩阵奇异”的错误。原因是，实体单元和壳体单元是不相容单元，实体单元节点有三个自由度（移动），而壳体单元节点却有五个自由度（三个移动，两个转动）。若不采取特殊处理，则无法将壳体单元上的力偶传递到实体单元上。为了消除这种奇异性，必须建立一种连接，作用是在实体中建立一个耦合，以承受壳体力偶。3）任意方向的约束。当某节点可以沿着不平行于坐标轴的某个边界运动时，就需要定义一个约束方程，这个方程反映垂直于此边界的运动的约束。4）刚性连杆。 1.3 MPC定义的数学基础（1）小位移理论（2）MPC对系统刚度、质量、载荷等的影响1.4 MPC分类MSC.Nastran中常用的MPC类型有如下几种。◆ Explicit
用于定义某节点的位移与其他若干节点的位移的函数关系，该函数是一个一次多项式，具体方程如下所示：U0 = C1U1 + C2U2 + C3U3 + ... + CnUn + C0式中，U0为从自由度，Ui为主自由度，Ci是权系数，C0为常数项。◆ Rigid（fixed）固定的多点约束。其将若干个依赖节点与某个独立节点相互固定，从而使依赖节点的所有自由度与独立节点保持一致，包括位移也保持一致。这种多点约束在用曲面模拟板状实体时，可以连接不同的平面，从而可以使不同的曲面连接起来。◆ RSSCON Surf-Vol
建立二维板单元上一个从节点与三维体上两个主节点的MPC约束，从而实现不同类型单元连接时的自由度传递。该约束常用在板壳与三维体的焊接上，如图6-2所示。 图6-2 板-体连接上图中定义的MPC-RSSCON卡片如下：RSSCON
201 RSSCON
203 RSSCON
204 式中，1为板壳单元边上的节点，205、201为对应与节点1的三维体单元上节点，依次类推。 另外，板-体连接也可用RBE3单元来实现。◆ Cyclic Symmetry
在两个不同的区域之间，建立一组柱面对称的多点约束边界条件（轴对称的多点约束边界条件）。从patran的相应界面中可见，需要选择一个柱坐标系，该坐标系的Z轴作为对称轴，在“Dependent Region”和&Independent Region&文本框中，输入依赖节点和独立节点，依赖节点和独立节点必须成对出现，而且，各节点对的角度差应该相等。◆ Sliding Surface
在两个相一致的区域的节点之间，定义一个滑动曲面。对应节点间的移动自由度（即垂直于该曲面方向）被约束，但其他方向上保持自由。 ◆ RBE1◆ RBE2
刚性单元，作为一个十分简便的工具，其可将相同的几个在刚性连接在一起。式中EID
MPC编号，系统自动产生 GN
主节点号CM
从节点自由度 GMi
从节点号 注意：（1）使用RBE2单元时，只能指定一个主节点，且主节点的六个自由度被用来参与对从节点的载荷分配或约束。（2）RBE2单元与RBE1单元的区别是，RBE2的Independent只需定义节点，而不必指定自由度，因为他包含节点的6个自由度；但RBE1的Independent需要指定节点自由度。RBE2单元的使用范围：（1） 焊接： （2） 扭矩施加（3） 薄壁圆筒自由膨胀 ◆ RBE3
柔性单元，RBE3单元在分配载荷（力和力矩）方面是一个强有力的工具。与RBER和RBE1单元不同的是，其在计算中不会增加系统的刚度。力和力矩在RBE3单元的作用下，通过相应的权值，被从节点分配到一序列主节点上，且RBE3的Independent自由度最好不要有旋转自由度。在实际应用中，RBE3单元没有RBE2单元应用得广泛，原因是分配权值不好确定。RBE3单元工作原理如下：（1）将参考节点载荷（力与力矩）等效移至主节点围成面域的中心节点CG，生成新的力与力矩Reference GridFCGACGMCG FCG?FA MCG?MA?FA*e（2）将CG节点的力与力矩按照相应的权值，分配到各主节点上
F1m CGF3mMCGF2m各主节点获得的力，Fif?FCG??i????i??? ??加上由力矩MCG产生的力Fim，Fim????MCG?iri?222??r??r??r?2233??11EID
MPC编号，系统自动产生 REFGRID
参考节点（从节点）号 REFC
参考节点自由度WTi
参考节点与主节点之间自由度的连接权值 Ci
主节点的自由度Gi,j
对自由度Ci的主节点号“UM”
防止系统产生刚体位移等的设置 GMi
防止刚体位移设置的节点CMi
防止刚体位移设置的节点自由度RBE3单元应用范围：弯矩施加、不同类型单元之间的连接（如梁-板连接、梁-体连接、板-体连接等）◆ RBAR
刚性梁单元，两节点之间的刚性连接（注意只限两节点间），即两节点间6个自由度保持一致。EIDMPC编号，系统自动产生 GA、GB
定义RBAR单元的两节点号CAN、CNB
全局坐标系下，两节点GA 、GB的主自由度 CMA、CMB
全局坐标系下，两节点GA 、GB的从自由度 注意：（1）定义RBAR单元时两节点的主自由度必须将该单元约束死，不能有任何刚体位移（2）调整两节点中的某个自由度，可将“焊接”约束变成“铰接”约束，下图所示的RBAR单元B节点处连接方式为铰接。 RBAR单元使用范围：焊接、铰接◆ RBAR1◆ RROD
刚性杆单元◆ RSPLINE
内插约束单元，用于 ◆ RTRPLT
刚性三角板单元 ◆ RTRPLT1◆ RJOINT
刚性铰连接单元，铰的每个端点有6个自由度；（整理中……）包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、高等教育、各类资格考试、应用写作文书、生活休闲娱乐、abaqus――MPC问题多点约束解析79等内容。
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四星助理工程师, 积分 204, 距离下一级还需 46 积分
土木币1689
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ERR:&&结点约束指定错误,& && && &层号:& & 1, 坐标:(& &&&-7.93& && &5.38& && &0.00)
在PM 里面按坐标X1000，无法找到对应节点。请问有朋友遇到过这样的问题吗？如何解决
四星助理工程师, 积分 204, 距离下一级还需 46 积分
土木币1689
找到问题原因了。拼装节点有误，导致上下柱网节点错位。
五星工程师, 积分 1537, 距离下一级还需 963 积分
土木币1888
学习了。。
一星助理工程师, 积分 74, 距离下一级还需 26 积分
刚刚遇到一样的问题，改了一个中午没过，点了节点下传就好了~牺牲午睡得到的经验。
三星助理工程师, 积分 161, 距离下一级还需 39 积分
土木币3080
发表于 昨天&19:53
能把处理方法说清楚点么？ 重组装和对齐上下节点均无效。且下一层是上一层拷贝下来的。
8-1(商易宝)
8-2(英才网)
8-3(媒体广告)&&&&2014, Vol. 25 Issue (11):
姬靖, 刘桂雄, 郁文生. 传感网中的四锚点节点定位实解个数分析[J].软件学报,): .http://www./44.html &&
JI Jing, LIU Gui-Xiong, YU Wen-Sheng. Analysis of Real Solutions Number by Four-Anchor Node Localization for Sensor Networks[J]. Ruan Jian Xue Bao/ Journal of Software, ): .http://www./44.html &&
传感网中的四锚点节点定位实解个数分析
姬靖1,2, 刘桂雄2, 郁文生3&&&&
1. 广东工业大学 信息工程学院, 广东 广州 510006;2. 华南理工大学 机械与汽车工程学院, 广东 广州 510640;3. 上海高可信计算重点实验室(华东师范大学), 上海 200062
基金项目:国家自然科学基金(021004);国家高技术研究发展计划(863)();广东省高层次人才项目(粤教师函[2010]79);广东省科技攻关项目(45);粤港关键领域重点项目(05)
作者简介：刘桂雄(1968－),男,博士,教授,博士生导师,主要研究领域为现代检测技术与网络化控制,智能传感理论与方法,智能化光机电一体化. E-mail: megxliu@郁文生(1964－),男,博士,教授,博士生导师,主要研究领域为符号计算和实代数,系统全局优化,数学机械化与推理自动化及其在信息领域的应用. E-mail: wsyu@sei.
通讯作者：姬靖(1980－),男,山东滕州人,博士,讲师,主要研究领域为智能传感器网络,人工智能,嵌入式系统. E-mail: jijing@
摘要：针对物联网感知层调度问题,研究和分析三维空间基于四锚点节点定位实解个数的分类问题.利用不等式机器证明理论和研究成果以及不等式机器证明软件DISCOVERER,分析了四锚点定位在特定情形下的实解分类判别问题.首先给出定位问题的数学描述,将传统定位方法中存在的非线性方程组转化为不等式约束的多项式方程组;然后,利用不等式机器证明理论和工具初步探讨了方程组在部分参数固定情况下的解的分类,给出了这种情况下的解的完全分布.分析结果表明:空间四锚点定位存在多解问题,给出的多解分类判别条件对实际应用具有指导作用,对提高节点布局和精确信息感知具有参考价值.
传感网&&&&
四锚点&&&&
节点定位&&&&
实解个数&&&&
Analysis of Real Solutions Number by Four-Anchor Node Localization for Sensor Networks
JI Jing1,2, LIU Gui-Xiong2, YU Wen-Sheng3&&&&
1. School of Information Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, C2. School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, C3. Shanghai Key Laboratory of Trustworthy Computing (East China Normal University), Shanghai 200062, China
Corresponding author: JI Jing, E-mail: jijing@
Abstract: This paper studies perception layer scheduling problem for Internet of Things. In particular, it conducts research and analysis to real solution classification of three-dimensional space four-anchor node localization problem.. By employing inequality proving theory and the corresponding inequality proving analysis software DISCOVERER, the classification result of specific four-anchor localization is derived. The mathematical description of location problem is given at first and the nonlinear equations arising from traditional method are transformed into polynomial equations with inequality constraints. Inequality proving theory and tools are then used to explore the solution classification with some parameters fixed to give the complete distribution of solutions in this case. The solution classification criterion has important guiding role in practical applications and also can improve the performance of node layout and precise information perception.
Key words:
sensor network&&&&
four-anchor&&&&
node localization&&&&
real solution number&&&&
作为一种新的信息获取和处理技术,物联网技术和无线传感器网络具有广泛的应用前景.物联网感知层行为受能量、网络资源、时间等各种约束的影响,引入调度方法是保障系统有序、可靠、快速运行具有重要意义.对于感知层网络调度来说,节点的位置信息精确估计和计算是确保精确调度的前提条件.传感器节点的位置信息具有非常重要的意义,定位技术也是WSN(wireless sensor network)的关键支撑技术之一.如果位置信息估计错误,调度则会受到严重影响.国内外研究人员对定位技术进行了大量的研究,无线传感器网络定位根据定位机制分为两大类[]:基于测距的定位和基于非测距的定位.基于测距的算法一般包含两个步骤:首先测量距离或角度信息,然后利用这些信息计算未知节点坐标.测距方法主要包括:基于时间的测量方法(如TOA(time of arrival)和TDOA(time difference of arrival))、基于信号角度的测量方法、基于信号接收强度的RSSI(received signal strength indicator)方法等[, , ].目前,RSSI方法的研究较多.节点计算方法主要包括三边测量法、三角测量法、极大似然估计法、极小极大定位算法等.这类方法在获得较为精确定位结果的同时,产生了大量的计算和通信开销,对传感器节点的能量是极大的考验.另外,基于距离的定位模型存在误差累加问题.非测距的定位方法主要利用网络的连通性来估计节点的位置,其主要优点是成本低、能效低,无需借助其他硬件,但定位精度低是这类方法的主要缺点.目前,这类定位算法主要包括质心算法、凸规划法、SPA(self-positioning algorithm)算法、APIT(approximate point in triangle)算法、APS(ad-hoc positioning systems)算法、Amorphous算法等[, , ].
定位算法应当尽量降低计算复杂度和通信数据量,以节省能量,延长网络寿命.从用户角度来看,必须明确知道传感器节点的位置才可以为用户提供有用信息,实现对目标的定位和跟踪.传统的GPS接收器定位精度高,但价格昂贵[].锚点数量多虽然可以提高定位精度,但是消耗了宝贵的资源.因此,通过较少锚节点(anchor node)获得节点精确的位置信息是人们所希望的.锚点数量少有助于降低成本.基于锚点的定位方法通常至少需要 3个锚点或4个锚点才可以实现定位.目前,关于节点定位技术的研究主要针对二维平面分布的传感器网络,考虑三维空间节点定位方法的研究和成果较少,近几年,三维无线传感器网定位才成为研究的热点.在二维平面,要想得到一个节点的位置信息必须知道该节点与相邻3个锚节点之间的距离,也就是说,最少需要3个不重叠的锚节点.同样,在三维空间中,确定一个未知节点的位置至少需要4个锚节点.对于三维空间节点定位来说,会存在多解问题,因此有必要对三维空间节点定位实解个数问题进行分析和研究,得到其实解个数的分类判别条件,从而保证结果的正确性和精确性.
空间四锚点节点定位问题与计算机视觉中的经典问题P4P(perspective-4-point)问题的共同点是都存在多解问题,需要对实解个数分类判别问题进行研究,得到分类判别条件.两者在已知信息上略有不同,在无线传感器网络中,锚点是信标节点,通过未知节点与锚点的相对信息测量来计算未知节点信息;PnP(perspective-n-point)问题则利用空间特征点与像点的对应关系求解摄像机参数信息.对于PnP问题来说,当n=1,2时约束条件太少,存在无穷多个解,没有分析意义.当n&5时,如果特征点的分布为一般情况(即n个点不共面),那么PnP问题将存在唯一的解并可线性求解.当3≤n≤5时,PnP问题具有多解,而且具有非线性特点,如没有其他信息可以利用,则不可线性求解.从目前的研究来看,P3P问题[]解的完整分类判别已经给出.对于P4P问题,早在1989年,Horaud等人[]就指出:当空间4点不在同一平面上时,P4P问题可以转化为求解一个双二次一元四次方程的问题;当4个空间点在同一平面时,解是唯一的,而当4个空间点不共面时,则可能出现多个解.胡占义等人[]则证明了P4P问题最多有5个解,并给出了达到该上界的实例.目前,P4P[]和P5P[]问题由于参数太多,还没有相关研究给出其解的完整分类判别.
本文主要针对四锚点节点定位多解问题进行研究,考虑采用4点快速精确的定位方法.借助不等式机器证明理论和DISCOVERER软件包对四锚点定位实解个数分类判别问题进行了深入研究,并给出特定情形下解的完全分类判别条件.研究的目的是将新研究成果引入物联网感知层调度优化问题研究中,提高其实际应用价值.
本文首先介绍基于不等式机器证明理论多解问题分析相关理论和方法.然后给出四锚点定位问题的简化描述,并利用DISCOVERER软件包对特定情况下的四锚点定位问题进行分析.最后给出分析结果.
1 不等式机器证明理论应用
物联网感知层包含的节点数量巨大,是一个开放的复杂智能系统系统,目前,其应用遇到了严峻的挑战.人工智能(AI)与智能信息处理技术的迅速发展带来了新的机遇,其中,符号计算、逻辑推理与定理证明是人工智能技术中的一项重要研究内容,已在许多领域得到应用.其中,不等式机器证明(automated inequality proving,简称AIP)理论[]一直是数学机械化、自动推理及智能信息系统领域的研究热点,近年来取得了长足的发展,已有专著出版.定理证明是指通过模仿人的推理和演绎过程,从最基本的公理出发证明定理的正确性,它是数学机械化研究的一个重要内容.吴文俊院士在1977年提出的初等几何定理机器判定方法(简称吴方法)是这一领域的重大突破,开创了数学机械化领域的研究.而“数学机械化纲领”的一个重要内容就是:将数学机械化方法用于解决相关高科技领域的关键基础理论问题.吴方法主要是针对等式型命题的判定,其成功极大地推动了机器证明代数方法的研究.对不等式机器证明的研究则进展缓慢,其主要原因是:不等式型定理的机器证明算法依赖于实代数和实几何的自动推理,计算复杂度会随着参数维数的增加而快速增加,所以一直是自动推理领域中的研究难点.但是在1996年,杨路等人建立的多项式完全判别系统(complete discrimination system for polynomials,简称CDS)[,]为实代数自动推理提供了有效的工具,使不等式机器证明的成果得以普遍接受并付诸实际应用.其后,杨路及其团队在Maple下编制了通用程序BOTTEMA[]和DISCOVERER软件包[,,],利用多项式的判别序列、吴方法和部分的柱形代数分解算法,给出了对一大类不等式型定理完备、能够自动发现不等式的实用算法.这些软件包具有很强的实用性,例如,通用程序BOTTEMA已成功验证了包含上百个公开问题的上千个代数与几何不等式,在普通计算机上,只需很短的时间就可以证明大量的基本几何不等式定理.
基于不等式机器证明理论AIP的方法已经在许多领域中得到了应用:在计算机视觉领域,高小山[]利用机器证明理论与方法给出了计算机视觉中经典的P3P问题解的完全分类;在线性系统控制领域,关强等人[]借助不等式型定理机器证明理论研究和解决线性系统同时镇定问题中著名的比利时巧克力问题和法国香槟问题取得了一系列的结果;杨克虎等人[]利用不等式机器证明理论研究和解决了电力电子领域里特定消谐脉宽调制技术中开关角度非线性超越方程组的实解个数问题.基于此,我们利用AIP理论研究和分析物联网感知层调度中四锚点未知节点的定位问题中实解个数的分类判别.首先介绍不等式机器证明理论相关的基础知识和研究成果.
2 四锚点定位多解问题分析
2.1 零点分解方法
Wu-Ritt零点分解方法是解代数方程组的一般方法.它可以用下面三角化的形式来表示多项式组的零点集:
其中,u表示一个参数集合,x表示有待确定的变元.例如,文献[]对计算机视觉中的P3P问题考虑Zero(ES/I0),然后利用Wu-Ritt零点分解方法对其进行分解,可以得到10个组成部分:
其中,Ci=Zero(TSi/Ti),i=1,…,9;C10=Zero(TS10/T10)&EZero(TS11/T11).
在这10个组成部分中,Zero(TS1/T1)是主要成分,它具有如下形式:
所有其他组成部分可以认为是这种形式的蜕化情形.与主要成分相比,蜕化情形发生的概率要小很多,但仍然十分重要.比如,当控制点ÐACB是直角时,该情况就会经常发生.有关零点分解方法解决P3P问题的具体过程可以参考文献[],这里不再赘述,主要看如何利用不等式机器证明工具来讨论四锚点定位问题解的分类情况.
2.2 半代数系统理论和DISCOVERER软件包
利用不等式机器证明理论来分析四锚点定位问题,由于四锚点定位问题中参数过多,对方程系统直接进行三角化分解获得特征列的方法不可行.我们只能固定其中的一些参数,在运算可行的情况下实现解的分类.这对实际应用具有一定的指导意义.此内容涉及半代数系统及相关理论,因此首先给出简要回顾:所谓半代数系统(semi-algebraic system),就是指由多项式方程组与多项式不等式组构成的系统,形式为
这里,u=(u1,…,ud)表示参数为实数,x=(x1,…,xs)表示变元,t≥k≥0,m≥0.对于这种含参系数的半代数系统,需要解决的问题是:参数满足什么条件时系统有实解?参数满足什么条件时系统有正维数解?实解的维数和参数满足什么条件时系统有指定数目(不计重数)的实解,等等.对这些问题的解答,就是原系统的实解分类.1977年,吴文俊提出的初等几何定理机器判定方法是这一领域的重大突破.1996年,杨路等人[,]建立的多项式完全判别系统为自动推理提供了有效的工具.杨路等人利用多项式的判别序列、吴方法及部分的柱形代数分解算法,给出了能够自动发现不等式的实用算法.这些算法对一大类不等式型定理是完备的,并在Maple下编制了通用程序包DISCOVERER和BOTTEMA,具有很强的实用性.
下面对DISCOVERER程序包进行简单介绍.1996年,曾振炳在杨路等人提出的多项式判别系统的基础上开发了一个Maple软件包——INVENTOR,它能用于产生参系数半代数系统存在实解的必要条件,但没有使用多项式判别式序列和判别系统.1997年,杨路、夏壁灿在INVENTOR的基础上开发了一个研究半代数系统实解的新软件包——DISCOVERER[,,],开始了半代数系统求解算法的研究.自2008年起,DISCOVEREER已集成到Maple工具箱中,成为求解半代数系统的主要工具之一,在自动求解参系数半代数系统实解分类问题上具有优势. DISCOVERER工具的主要功能包括:参系数半代数系统的实解分类,常系数半代数系统的实解隔离,常系数半代数系统的实解计数,多项式的判别式序列、负根判别式序列、广义判别式序列,相对单纯分解算法,部分的柱形代数分解算法(PCAD)等[].
不等式的自动发现算法与程序包DISCOVERER是杨路、夏壁灿等人开发的一个Maple软件包,它实现了参系数半代数系统实解分类(3种情况)、常系数半代数系统实根隔离等算法.DISCOVERER主要包含tofind和Tofind两个程序,完成发现和证明不等式型定理的功能.通常,我们先调用tofind来发现一个“足够满意”的条件,然后,如果需要&/ span&,则再调用Tofind来处理参数取值于边界的情况.对形如公式(4)的参系数半代数系统,tofind的调用方式如下:
tofind([p1,…,pr],[g1,…,gk][gk+1,…,gt],[h1,…,hm],[x1,…,xn],[u1,…,ud],a) (5)
其中,a可以有以下3种输入:
(1) 一个非负整数b,求系统恰有b个互异实解的条件;
(2) 一个范围b..c(b,c是非负实数且b&c),求系统的互异实解数目介于b和c之间的条件;
(3) 一个范围b..w(b是一个非负整数,w是一个没有值的名称),求系统的互异实解数目不少于b的条件.
对系统T和一些边界条件R1=0,…,Rl=0(通常由调用tofind获得),Tofind有类似的调用方式:
Tofind([p1,…,pr,R1,…,Rl],[g1,…,gk][gk+1,…,gt],[h1,…,hm],[x1,…,xn],[u1,…,ud],a),
其中,Ri可以是tofind得到的某个参数多项式,而a同样可以有以上3种输入.
2.3 物联网感知调度中四锚点定位问题描述
首先,为了便于表示,我们对四锚点定位问题重新进行推导和简化,得到系统方程.如图 1所示,4个锚点分别为(A,B,C,D),未知为O,距离未知量:
(X,Y,Z,W)=(|OA|,|OB|,|OC|,|OD|).
图 1Fig. 1Fig. 1 Illustration of four-anchor localization problem图 1 四锚点定位问题示意图
利用余弦定理,我们可以得到定位问题的6个约束方程:
令夹角的余弦值分别为
不失一般性,其他的边长都用W=|OD|来表示,则
将上述表示代入方程组,得到:
将公式(7)中的第1个方程v=x2+y2-r1×xy代入其他方程,得到:
这就是所要求解的四锚点定位问题系统方程组.化简后的方程组与原方程组具有相同的解,待求解的变量为x,y,z.与A,B,C,D四点位置有关的参数有5个,与顶角有关的参数有6个,这些参数将决定锚点与未知节点的配置物理意义.物理条件:-2&r1,r2,r3,r4,r5,r6&2,6条底边长度和控制长度都大于0;底边三角形的两边之和大于第三边;顶角范围在[0,1]之间,且两顶角之和大于另外一个顶角;未知节点与任意的3个锚点不共面,4个控制点不共面.
化简后的方程系统共有11个参数,未知变量有3个,因此,方程的个数多于变量的个数.得到的多项式方程组是超约束方程组,由于参数过多,因此它的特征列很难求得.因此,下面就特定的四锚点定位问题进行分析.方程组有5个方程,未知量只有3个,为超约束方程组,直接对该超越方程组进行零点分解几乎是不可能的,可以利用序列的计算方法给出判定条件.但是由于变量太多,计算量太大,使得分析没有可行性.因此,这里考虑固定部分参数,选择特定情况进行研究.这里先给出一个多解的几何形式的相关命题,实际上是几个特例:
命题1. 给定空间不共面的4个锚点,给定如下条件:
(a) 4条射线中任意一条垂直于另外3个锚点所在的平面;
(b) OD垂直于ABC所在的平面,垂足为E;
(c) E是三角形ABC中角A平分线上的点并且AB=AC;
(d) AB=AC=BC.
于是,有如下情形:
· 如果只有条件(a)满足,则定位问题至少有2个正解;
· 如果条件(a)、条件(b)都满足,则至少有3个正解;
· 如果条件(a)、条件(b)、条件(c)都满足,则至少有4个正解;
· 如果条件(a)、条件(b)、条件(c)、条件(d)都满足,则至少有5个正解.
事实上,当某些参数固定时,系统方程组中的部分等式是可以合并的,避免了非超越方程组的求解.从实际的运算来看,这些情况在tofind命令下的运算是可行的.我们在运算可行的情况下研究和分析了特殊情况下的一个四锚点定位问题,给出了解的分类条件.
2.4 实解个数分析结果
虽然理论上空间四锚点定位实解个数的分类判别是完备的,但从目前的实际计算情况来看,要想用DISCOVERER工具箱对所有情况下四锚点定位实解个数给出完整的分类是非常困难的,因此,我们研究的是部分参数满足一定限制条件下的实解分类问题.这些部分参数限制下的几何分布情况在实际固定式锚点部署中经常遇到,所以条件在实际中容易满足,具有实际意义.比如,在室内采用固定部署策略下的锚点为了不占用空间,一般会均匀地分布在房间的墙角或角落里,此时,部分锚点之间的距离相等,部分锚点连线所构成的夹角也相等,方程中部分参数可以合并,数量变少,DISCOVERER软件包能够对其进行处理,快速得到分类判别结果.同时,这些情况也往往是多解存在最多的情况,需要给出详细的分类判别条件.
下面看一个实解个数分类比较复杂的情况,并对该情况给出完整的实解个数分类.事实上,由于在上面的化简过程中消去了变量|OD|,所以在讨论的过程中就忽略了由|OD|变化所产生的多解.所以,我们在实验示例中考虑到了这个问题.设|AB|=w,v=1,底边四角形6个边长都相等,则参数a=b=c=d=e=1,6个参数r1,r2,r3,r4,r5,r6满足r1=r3=r4=r6=r,r2=r5=s,代入四锚点定位方程组,可以得到:
于是,系统转化为:求r,s,w满足的条件,使得以下系统有实数解.
利用DISCOVERER,首先键入:
tofind([h1,h2,h3,h4,h5],[],[x,y,z,w,2-r,z+r,2-s,2+s,x+y-w,y+w-x,w+x-y,
x+z-w,z+w-x,w+x-z,z+w-y,w+y-z,y+z-w],[],[x,y,z],[r,s,w],1).
DISCOVERER运行0.656 s以后,程序运行的电脑配置为:Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU/2.0G,Memory 2G,Maple 10,得到的输出结果为
FINAL RESULT:
The system has given number of real solution(s) IF AND ONLY IF
[R1&0,0&R2,R3&0,0&R4,0&R5,0&R6,(1)S1]
[R1&0,R2&0,R3&0,0&R4,0&R5,0&R6,(1)S1]
[R1&0,R2&0,0&R4,0&R5,0&R6,(1)S1]
S1=r-s,S2=r+s
PROVIDEO THAT
在输出的结果中,
[R1&0,R2&0,R3&0,0&R4,0&R5,0&R6,(1)S1]
表示参数点(r0,s0,w0)应该满足R1&0,R2&0,R3&0,0&R4,0&R5,0&R6,而且r0是S1=0第1个最小的根,即r0=s0.然后再键入:
tofind([h1,h2,h3,h4,h5],[],[x,y,z,w,2-r,z+r,2-s,2+s,x+y-w,y+w-x,w+x-y,
x+z-w,z+w-x,w+x-z,z+w-y,w+y-z,y+z-w],[],[x,y,z],[r,s,w],5).
DISCOVERER运行6.593s后输出:
FINAL RESULT:
The system has given number of real solution(s) IF AND ONLY IF
[R1&0,0&R2,0&R3,0&R4,0&R5,R6&0,(1)S1]
S1=r-s,S2=r+s
PROVIDED THAT
与此相同,再分别键入tofind命令,分别获得实解个数分别为2,3,4和6,…,n情况下的分类判别条件,结果在这里不再一一列出.最终得到的系统实解分类如图 2所示.从图 2中可以看出,当参数(w,s)位于区域I、区域II时,系统有1个解;当参数(w,s)位于区域III时,系统有4个解;当参数(w,s)位于区域IV时,系统有5个解;当参数(w,s)位于其他区域时,系统无解.此处,我们忽略了系统实解在边界上的分类情况.
图 2Fig. 2Fig. 2 Real solutions distribution map of four-anchor localization problem for some specific situations图 2 特定情况下四锚点定位问题实解分布图
至此,我们可以得到实解个数的分类判别条件,说明了四锚点定位中最多有5个实解存在的可能性.在参数较少的情况下,我们很快就可以在计算机上得到运算结果.进一步可以考虑计算参数更多的情况.但从实际的运算来看,要想用DISCOVERER工具箱对所有情况下四锚点定位问题给出一个完整的解的分类是非常困难的.
为了提高物联网感知层调度的快速性和精确性,本文针对三维空间传感器节点分布情况,研究和分析了基于四锚点节点定位实解个数分类问题.利用不等式机器证明理论和不等式机器证明软件DISCOVERER,给出了特定情况下四锚点定位的实解分类判别条件.分析结果表明:空间四锚点定位存在多解问题.文中给出的分类判别条件对物联网实际应用具有参考价值,对提高节点布局和精确信息感知调度具有重要的指导意义.将不等机器证明理论和技术引入物联网感知层调度问题的研究,将是一个重要的研究课题.
致谢 在此,我们向对本文的工作给予支持和建议的同行表示感谢,向论文评审专家表示感谢.
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