(window.slotbydup=window.slotbydup || []).push({
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size: '1000,60',
display: 'inlay-fix'概率、分布列、统计案例知识梳理
一、概率和分布列
3、分布列：
●要求列表要清晰，计算准确，不能出现只写公式不出结果的现象，改卷过程中老师很难给你算结果，分布列的表格中数据根据求期望的实际情况可以约分也可以不约分，结果若能约分则．．．．．．．在高考中必考一个解答题，解决本题要认真审题注意各种概率模型的适用条件。 1、不能干巴巴的只写结果，一般要设出事件A：“。。。。。。”，P(A
2、概率类型： ⑴●古典概型：P(A)?m
（条件是基本事件发生等可能．．．．．．．．．．．．，涉及排列组合知识） ●几何概型：P(A)?
S(条件是基本事件发生等可能．．．．．．．．．．．．，涉及长度、面积、体积) ?
⑵条件概率: P(BA)?
,P(AB)?P(A)P(BA), （往往能看出在什么事已经发生的条件下）
积事件概率P(AB)?P(A)P(BA)（A,B不用独立）可以推广到多个事件同时发生的概率。⑶●互斥事件至少有一个发生的概率：
设A,B互斥，则A,B至少有一个发生的概率为：P(A?B)?P(A)?P(B)（此可以看成是概率加法公式，条件是事件彼此互斥，即一个发生则另一个就不能发生．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，可推广到多个事件的情况）。
● 相互独立事件同时发生的概率：
设A,B相互独立，则A,B同时发生的概率为：P(AB)?P(A)P(B)（此可以看成是概率乘法公式，条件是事件彼此独立，可简单理解为事件之间不互相影响，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．可推广到多个事件的情况）。做题时要分清．．．．．．的．是．：．一个结果需要几步完成，就是几个数相乘。．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ● 二项分布：
P(??k)?Ckk
np(1?p)n?k（条件是独立重复实验，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．实验只有两种结果，某事件要么发生，．
其概率为．．．．p，要么不发生其概率为．．．．．．．．．．
一定要约分，．．．．．．
求分布列的程序一般为： ?可能取值为1,2,3--------然后逐个算出各自的概率--------列表
● 熟记公式：期望E??x1p1?x2p2?
方差D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2?
?(xn?E?)2pn
若??a??b，则E??a(E?)?b，D??a2D?
若?~B(n,p)则E??np,D??np(1?p)
标准差??应和统计中一组数据的方差，标准差的计算区分开 设有x1,x2,x3
xn共n个数，其方差
(x?x)2?(x?(x212?x)2?n?x)??
若两组数据X,Y有关系Y?aX?b，则s222
特别的当a?1时s22
也就是说原数据都减去一个数或都加上一个数得到一组新数的方差不变。 4、注意频率分布直方图，茎叶图，独立性检验（2?2列联表）之间的联系。
解决概率问题要注意四步
?等可能事件
第一步，确定事件性质??互斥事件
??n次独立重复试验
即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算??
即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式?
?等可能事件: P(A)?m
互斥事件：P(A?B)?P(A)?P(B)
??独立事件：P(A?B)?P(A)?P(B)
??n次独立重复试验:Pkkn?kn(k)?Cnp(1?p)
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
基础题不失分之概率统计专题训练一
1、（本小题满分12分）
为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
（）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积中位数的大小；
（）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”. 表3：
2、 (本小题满分12分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为 （490,495?，（495,500?，……（510,515?，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率． 3、．（本小题满分12分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图 （Ⅰ）求直方图中x的值
（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。
4、 （本小题满分12分）
为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~18cm之间的概率。 5、(本小题12分)
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别 男 女 需要 40 30 不需要
（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老
年人的比例？说明理由 。
?n(ad?bc)2
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
6、（本小题满分12分）
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求p；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；
（Ⅲ）?表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求?的期望．
7、如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．
（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量?为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量?的分布列及期望E?； (II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量?为获得1等奖或2等奖的人次，求P(??2)．
8、（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记?为射手射击3次后的总的分数，求?的分布列。
10、本小题满分12分)
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3． 各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
11、（.本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
12、（本小题满分12分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则
一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙
三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 9、（本小题满分12分） 某射手每次射击击中目标的概率是
，且各次射击的结果互不影响。 3
分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，．．．直至走完迷宫为止。令?表示走出迷宫所需的时间。 （1） 求?的分布列；
（2）求?的数学期望。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解--《教育教学论坛》2014年45期
浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解
【摘要】：在概率论与数理统计的学习中,"数学期望"是一个比较抽象的概念,本文阐述了"数学期望"概念讲解中比较重要的三个内容,即:如何"定义",如何"引申"到连续型随机变量的定义,以及如何"过渡"到方差。
【作者单位】：
【关键词】：
【基金】：
【分类号】：G642;O21-4【正文快照】：
在我们进行概率论与数理统计的教学中,教材的编排往往是在进行了随机变量及其分布函数的学习之后,立刻进入随机变量数字特征的学习,而最先面对的数字特征就是数学期望。“数学期望”这个概念的起源源于下面这个经典典故。早些时候,法国有两个大数学家,一个叫做布莱士·帕斯卡,
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浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解
优质期刊推荐论概率中数学期望在实际生活中的应用
知识来源于生活,但又不能脱离生活。对于经济管理的学生而言,学好概率统计是必要的。但是由于在现实生活中,学生接触的只是理论,导致学生思想僵化,死记硬背。我认为在教学的过程中教师应该列举大量的例子,用例子来带动思考,用例子来进行学习,而不是照本宣科地去看、去记。一、概率统计在投机领域的应用我们可以看到在做预测的人,他们其实都会概率统计学,很多人都坚信任何一个彩票的出现概率都是相等的,认为彩票的预测毫无可信度。为什么我们都不会买1234567这种数字的彩票?这里面包含了物质相似以及惯性论,理论上是相等的,但理想的概率论,它没有产生的客观条件。概率是建立在大量的数据后事件发生频率多少的一门学科。顶尖的和最低的都不容易出现,就像买彩票一样,大多数人只中过一般般的奖。那么这是不是就说概率统计不适合彩票,不适合这些领域?肯定不是,概率统计只是把胜利的希望提高,而不是胜利。如果学了概率统计就一定能中大奖,赌博行业一定将这类人拒之门外。我们在抽奖...&
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知识来源于生活,最后又运用到生活中去,这就是学习知识的价值和意义。教师教授概率这一节的知识时,尤其对我们培养技能型和应用型的高职院校,若能结合学生所学专业举出相应的实例,不仅可以大大调动学生的积极性,而且更好地让学生了解知识与生活实际有着密切的联系,确实让学生体会到“数学有用”。概率论是从数量上研究随机现象统计规律的学科,而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变量的统计规律性,但在实际问题中,求分布并不是一件容易的事,在很多情况下,人们并不需要去全面地考察随机变量的变化情况,而只需要知道随机变量的一些综合指标就够了。这些与随机变量有关的数值,虽然不能完整地描述随机变量,但能描述它在某些方面的重要特征,随机变量的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点,数学期望正好是反映随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征。1数学期望早些时候,法国有两个数学家帕斯卡和费马,帕斯卡认识两个赌徒,两个赌徒向他请教一个问题,他们说他俩下赌金之...&
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一、引言日,理查德·普莱斯(RichardPrice)在伦敦皇家学会会议上宣读了托马斯·贝叶斯的遗世之作,从此贝叶斯统计学诞生了。在整个19世纪,贝叶斯统计倍受争议和冷落,主要原因是不知道如何恰当地处理先验概率。20世纪上半叶,一个与贝叶斯统计完全不同的理论———频率统计学(Frequentist statistics)迅速发展,在统计学领域几乎占主导地位。尽管如此,贝叶斯统计思维仍在意大利的布鲁诺·菲尼蒂和英国的哈罗德·杰弗里斯等少数统计学家的努力下,得以传承[1]50-51。现代贝叶斯运动的复兴,始于20世纪下半叶,领军人物是美国的吉米·萨维奇(Jimmy Savage)和英国的丹尼斯·林德利(Dennis Lindley),由于贝叶斯后验分布在高维计算上的困难,贝叶斯统计推断非常难以实现,贝叶斯方法的应用受到了很大的限制[2]。随着计算机信息技术的发展和贝叶斯方法的改进,特别是MCMC方法的发展、Win...&
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在现代西方科学、经济商业活动以及政府决策中,贝叶斯定理已经成为一种重要的理论工具,在我国,贝叶斯定理的应用也正被人们所重视。值得注意的是,贝叶斯定理的意义是非常复杂而又极易被忽视的,不了解它,就无法合理的应用贝叶斯定理,以致造成错误的评估和决策。正因为如此,本文试图在科学哲学层面上,对贝叶斯定理的意义做一些诊释,以便协助有关工作者实现对贝叶斯定理的科学应用。 一、历史与现状 随意翻开一本现代的概率论教材,我们都不难找到贝叶斯定理。它已经成为概率数学中的一个基本定理。在西方学术杂志上,有关贝叶斯理论及其应用的文章已经常被刊登,并且已经出版了许多专门著作。例如:林德利(v.D.饰己ey)的《贝叶斯学派的概率和统计介绍),保克斯(P.E,G.肠x)和提奥(C.G.肠aO)的《统计分析中的贝叶斯推论),芝尔内(A.乙卫朋r)的《经济学中贝叶斯理论介绍)和《最优概率)等等。冯.诺伊曼(Von NeUmann)、摩尔根斯坦(0.M呷enst...&
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富丹,牡丹江医学院医学影像学院讲师,牡丹江师范学院马克思主义学院马克思主义发展史专业2012级硕士研究生,研究方向:马克思主义理论研究。科林?豪森在《科学推理:贝叶斯定理的方法》中对贝叶斯定理进行了叙述。贝叶斯认为,科学和日常推理都是在概率项上进行的。当对一个不确定的事件评价时,都依据所给定的信息计算该事件的概率,要把握贝叶斯定理的系统概率评断,关键是要理解其发展过程。一、归纳法问题假说通常都有一个与之想要阐释的经验观察相联系的一般特征。若信息都来源于经验观察,如何确定每个特称解释都是正确的问题是归纳法问题。有时被否认的是从经验观察中得到的现有信息是有限的观点,许多哲学家认为,能够采取演绎推理的方法来弥合观察与科学推理之间的鸿沟。然而,依据科学理论不能依据此原则来构建为“真”。第一,按照其观点,由于此原则疏于揭示“未来就是假定类似的过去”,缺乏真实性。第二,只要“自然的统一性原理”能够确切把给定的观察与特定的一般规律连接在一起,...&
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0引言我们首先给出贝叶斯定理即贝叶斯公式:设A1,A2,Λ,An是样本空间Ω的一个划分,且P(Ai)0,i=1,2,Λ,n。对任意的随机事件BΩ,若P(B)0,则P(AiB)=P(Ai)P(B Ai)n∑j=1P(Aj)P(B Aj),i=1,2,,Λn。贝叶斯定理可以用来修正我们对各种事件发生的可能性估计。这一思想方法所产生的统计判断原理在工程技术、经济分析、投资决策、药物的临床检验等方面已有极大的实用价值。本文介绍贝叶斯定理在审案中的应用。1贝叶斯定理在审案中的应用我们首先给出一个案例:有一名妇女在一个镇上目击了一次盗窃。而该镇上85%的居民是所谓“粉色的”,15%是棕色的。该目击者声称窃贼是棕色的,而科学实验指出,在被窃时刻的条件下,她对颜色的辨别力只有80%的准确性。这样,给出了她的证词后,并假定窃贼是该镇上的人,那么她说“窃贼是棕色的”的正确概率是多少?(“粉色的”表示肤色健康)大部分人都会说是80%,而实际上仅仅只有...&
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四、贝叶斯定理在风险决策中的应用1．利用非抽样资料和贝叶斯定理进行决策。我们仍用上期所举的调试生产线的例子来介绍利用非抽样资料和贝叶斯定理进行决策的过程。从例中已知,如果调试后生产出的第1件产品为合格品,则该生产线调试成功的概率为96石%。从表面来右 这个概率已经很大,按说可以认为生产线已调试成功,作出正式投产的决．定。但是,我们也应看到,单个产品提供的信息其代表性不高。因而正确的作法应该是多生产几件产品,看看合格率的高低后再作决策。现假定该生产线调试之后连续生产了5件产品,其中2件为不合格品,问该生产过程是否能正式投产。这就需要计算在已出现2件不合格品的条件下,该生产线调试成功的概率。令 A、AH别表示调试成功和失败,B、BH别表示生产合格品和不合格品,D表示生产3件合格品和2件不合格品。由题中可知:P(A)一0．90 P(A)一0．10刊日川一0．95 叭BH)一030卜(BA)一0刀5 P(BIA)一0厂0．根据概率乘法公...&
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