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开心签到天数: 11 天连续签到: 2 天[LV.3]偶尔看看II
前言kmeans是最简单的聚类算法之一，但是运用十分广泛。最近在工作中也经常遇到这个算法。kmeans一般在数据分析前期使用，选取适当的k，将数据分类后，然后分类研究不同聚类下数据的特点。本文记录学习kmeans算法相关的内容，包括算法原理，收敛性，效果评估聚，最后带上R语言的例子，作为备忘。
算法原理kmeans的计算方法如下：1 随机选取k个中心点2 遍历所有数据，将每个数据划分到最近的中心点中3 计算每个聚类的平均值，并作为新的中心点4 重复2-3，直到这k个中线点不再变化（收敛了），或执行了足够多的迭代时间复杂度：O(I*n*k*m)空间复杂度：O(n*m)其中m为每个元素字段个数，n为数据量，I为跌打个数。一般I,k,m均可认为是常量，所以时间和空间复杂度可以简化为O(n)，即线性的。
算法收敛也就是当前聚类的均值就是当前方向的最优解（最小值），这与kmeans的每一次迭代过程一样。所以，这样保证SSE每一次迭代时，都会减小，最终使SSE收敛。由于SSE是一个非凸函数（non-convex function），所以SSE不能保证找到全局最优解，只能确保局部最优解。但是可以重复执行几次kmeans，选取SSE最小的一次作为最终的聚类结果。
0-1规格化由于数据之间量纲的不相同，不方便比较。举个例子，比如游戏用户的在线时长和活跃天数，前者单位是秒，数值一般都是几千，而后者单位是天，数值一般在个位或十位，如果用这两个变量来表征用户的活跃情况，显然活跃天数的作用基本上可以忽略。所以，需要将数据统一放到0~1的范围，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。具体计算方法如下：
轮廓系数轮廓系数（Silhouette Coefficient）结合了聚类的凝聚度（Cohesion）和分离度（Separation），用于评估聚类的效果。该值处于-1~1之间，值越大，表示聚类效果越好。具体计算方法如下：对于第i个元素x_i，计算x_i与其同一个簇内的所有其他元素距离的平均值，记作a_i，用于量化簇内的凝聚度。选取x_i外的一个簇b，计算x_i与b中所有点的平均距离，遍历所有其他簇，找到最近的这个平均距离,记作b_i，用于量化簇之间分离度。对于元素x_i，轮廓系数s_i = (b_i – a_i)/max(a_i,b_i)计算所有x的轮廓系数，求出平均值即为当前聚类的整体轮廓系数
从上面的公式，不难发现若s_i小于0，说明x_i与其簇内元素的平均距离小于最近的其他簇，表示聚类效果不好。如果a_i趋于0，或者b_i足够大，那么s_i趋近与1，说明聚类效果比较好。
K值选取在实际应用中，由于Kmean一般作为数据预处理，或者用于辅助分类贴标签。所以k一般不会设置很大。可以通过枚举，令k从2到一个固定值如10，在每个k值上重复运行数次kmeans(避免局部最优解)，并计算当前k的平均轮廓系数，最后选取轮廓系数最大的值对应的k作为最终的集群数目。
实际应用下面通过例子（R实现，完整代码见附件）讲解kmeans使用方法，会将上面提到的内容全部串起来1
library(fpc) # install.packages(&fpc&)
data(iris)
head(iris)
加载实验数据iris，这个数据在机器学习领域使用比较频繁，主要是通过画的几个部分的大小，对花的品种分类，实验中需要使用fpc库估计轮廓系数，如果没有可以通过install.packages安装。1
# 0-1 正规化数据
min.max.norm &- function(x){
(x-min(x))/(max(x)-min(x))
raw.data &- iris[,1:4]
norm.data &- data.frame(sl = min.max.norm(raw.data[,1]),
sw = min.max.norm(raw.data[,2]),
pl = min.max.norm(raw.data[,3]),
pw = min.max.norm(raw.data[,4]))
对iris的4个feature做数据正规化，每个feature均是花的某个不为的尺寸。1
# k取2到8，评估K
round &- 30 # 每次迭代30次，避免局部最优
rst &- sapply(K, function(i){
print(paste(&K=&,i))
mean(sapply(1:round,function(r){
print(paste(&Round&,r))
result &- kmeans(norm.data, i)
stats &- cluster.stats(dist(norm.data), result$cluster)
stats$avg.silwidth
plot(K,rst,type='l',main='轮廓系数与K的关系', ylab='轮廓系数')
评估k，由于一般K不会太大，太大了也不易于理解，所以遍历K为2到8。由于kmeans具有一定随机性，并不是每次都收敛到全局最小，所以针对每一个k值，重复执行30次，取并计算轮廓系数，最终取平均作为最终评价标准，可以看到如下的示意图， 当k取2时，有最大的轮廓系数，虽然实际上有3个种类。1
# 降纬度观察
old.par &- par(mfrow = c(1,2))
k = 2 # 根据上面的评估 k=2最优
clu &- kmeans(norm.data,k)
mds = cmdscale(dist(norm.data,method=&euclidean&))
plot(mds, col=clu$cluster, main='kmeans聚类 k=2', pch = 19)
plot(mds, col=iris$Species, main='原始聚类', pch = 19)
par(old.par)
聚类完成后，有源原始数据是4纬，无法可视化，所以通过多维定标(Multidimensional scaling)将纬度将至2为，查看聚类效果，如下
可以发现原始分类中和聚类中左边那一簇的效果还是拟合的很好的，右测原始数据就连在一起，kmeans无法很好的区分，需要寻求其他方法。
kmeans最佳实践1. 随机选取训练数据中的k个点作为起始点2. 当k值选定后，随机计算n次，取得到最小开销函数值的k作为最终聚类结果，避免随机引起的局部最优解3. 手肘法选取k值：绘制出k--开销函数闪点图，看到有明显拐点（如下）的地方，设为k值，可以结合轮廓系数。4. k值有时候需要根据应用场景选取，而不能完全的依据评估参数选取。 参考[1] kmeans 讲义by Andrew NG[2] 坐标下降法（Coordinate Decendent）[3] 数据规格化[4] 维基百科--轮廓系数[5] kmeans算法介绍[6] 降为方法—多维定标[7] Week 8 in Machine Learning, by Andrew NG, Coursera
来源:bourneli(李伯韬)的技术博客地址：/bourneli/p/3645049.html
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课程资源下载排行机器学习实战ByMatlab（4）：二分K-means算法 - 文章 - 伯乐在线
& 机器学习实战ByMatlab（4）：二分K-means算法
前面我们在是实现K-means算法的时候，提到了它本身存在的缺陷：
1.可能收敛到局部最小值
2.在大规模数据集上收敛较慢
对于上一篇博文最后说的，当陷入局部最小值的时候，处理方法就是多运行几次K-means算法，然后选择畸变函数J较小的作为最佳聚类结果。这样的说法显然不能让我们接受，我们追求的应该是一次就能给出接近最优的聚类结果。
其实K-means的缺点的根本原因就是：对K个质心的初始选取比较敏感。质心选取得不好很有可能就会陷入局部最小值。
基于以上情况，有人提出了二分K-means算法来解决这种情况，也就是弱化初始质心的选取对最终聚类效果的影响。
二分K-means算法
在介绍二分K-means算法之前我们先说明一个定义：SSE（Sum of Squared Error）,也就是误差平方和，它是用来度量聚类效果的一个指标。其实SSE也就是我们在K-means算法中所说的畸变函数：
SSE计算的就是一个cluster中的每个点到质心的平方差，它可以度量聚类的好坏。显然SSE越小，说明聚类效果越好。
二分K-means算法的主要思想：
首先将所有点作为一个簇，然后将该簇一分为二。之后选择能最大程度降低聚类代价函数（也就是误差平方和）的簇划分为两个簇。以此进行下去，直到簇的数目等于用户给定的数目k为止。
二分k均值算法的伪代码如下：
将所有数据点看成一个簇
当簇数目小于k时
对每一个簇
计算总误差
在给定的簇上面进行k-均值聚类（k=2）
计算将该簇一分为二后的总误差
选择使得误差最小的那个簇进行划分操作
Matlab 实现
function bikMeans
biDataSet = load('testSet.txt');
[row,col] = size(biDataSet);
% 存储质心矩阵
biCentSet = zeros(biK,col);
% 初始化设定cluster数量为1
numCluster = 1;
%第一列存储每个点被分配的质心，第二列存储点到质心的距离
biClusterAssume = zeros(row,2);
%初始化质心
biCentSet(1,:) = mean(biDataSet)
for i = 1:row
biClusterAssume(i,1) = numC
biClusterAssume(i,2) = distEclud(biDataSet(i,:),biCentSet(1,:));
while numCluster & biK
minSSE = 10000;
%寻找对哪个cluster进行划分最好，也就是寻找SSE最小的那个cluster
for j = 1:numCluster
curCluster = biDataSet(find(biClusterAssume(:,1) == j),:);
[spiltCentSet,spiltClusterAssume] = kMeans(curCluster,2);
spiltSSE = sum(spiltClusterAssume(:,2));
noSpiltSSE = sum(biClusterAssume(find(biClusterAssume(:,1)~=j),2));
curSSE = spiltSSE + noSpiltSSE;
fprintf('第%d个cluster被划分后的误差为：%f \n' , [j, curSSE])
if (curSSE & minSSE)
minSSE = curSSE;
bestClusterToSpilt =
bestClusterAssume = spiltClusterA
bestCentSet = spiltCentS
bestClusterToSpilt
bestCentSet
%更新cluster的数目
numCluster = numCluster + 1;
bestClusterAssume(find(bestClusterAssume(:,1) == 1),1) = bestClusterToS
bestClusterAssume(find(bestClusterAssume(:,1) == 2),1) = numC
% 更新和添加质心坐标
biCentSet(bestClusterToSpilt,:) = bestCentSet(1,:);
biCentSet(numCluster,:) = bestCentSet(2,:);
% 更新被划分的cluster的每个点的质心分配以及误差
biClusterAssume(find(biClusterAssume(:,1) == bestClusterToSpilt),:) = bestClusterA
%scatter(dataSet(:,1),dataSet(:,2),5)
for i = 1:biK
pointCluster = find(biClusterAssume(:,1) == i);
scatter(biDataSet(pointCluster,1),biDataSet(pointCluster,2),5)
scatter(biCentSet(:,1),biCentSet(:,2),300,'+')
% 计算欧式距离
function dist = distEclud(vecA,vecB)
dist = sum(power((vecA-vecB),2));
% K-means算法
function [centSet,clusterAssment] = kMeans(dataSet,K)
[row,col] = size(dataSet);
% 存储质心矩阵
centSet = zeros(K,col);
% 随机初始化质心
for i= 1:col
minV = min(dataSet(:,i));
rangV = max(dataSet(:,i)) - minV;
centSet(:,i) = repmat(minV,[K,1]) + rangV*rand(K,1);
% 用于存储每个点被分配的cluster以及到质心的距离
clusterAssment = zeros(row,2);
clusterChange =
while clusterChange
clusterChange =
% 计算每个点应该被分配的cluster
for i = 1:row
% 这部分可能可以优化
minDist = 10000;
minIndex = 0;
for j = 1:K
distCal = distEclud(dataSet(i,:) , centSet(j,:));
if (distCal & minDist)
minDist = distC
minIndex =
if minIndex ~= clusterAssment(i,1)
clusterChange =
clusterAssment(i,1) = minI
clusterAssment(i,2) = minD
% 更新每个cluster 的质心
for j = 1:K
simpleCluster = find(clusterAssment(:,1) == j);
centSet(j,:) = mean(dataSet(simpleCluster',:));
<div class="crayon-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num crayon-striped-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num crayon-striped-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num crayon-striped-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num crayon-striped-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num crayon-striped-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num crayon-striped-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num crayon-striped-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num crayon-striped-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num" data-line="crayon-571ebc<div class="crayon-num 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class="crayon-num" data-line="crayon-571ebc1
function bikMeans%%&clcclearclose all%%&biK = 4;biDataSet = load('testSet.txt');[row,col] = size(biDataSet);% 存储质心矩阵&biCentSet = zeros(biK,col);% 初始化设定cluster数量为1&numCluster = 1;%第一列存储每个点被分配的质心，第二列存储点到质心的距离&biClusterAssume = zeros(row,2);%初始化质心&biCentSet(1,:) = mean(biDataSet)for i = 1:row biClusterAssume(i,1) = numCluster; biClusterAssume(i,2) = distEclud(biDataSet(i,:),biCentSet(1,:));endwhile numCluster & biK minSSE = 10000; %寻找对哪个cluster进行划分最好，也就是寻找SSE最小的那个cluster for j = 1:numCluster curCluster = biDataSet(find(biClusterAssume(:,1) == j),:); [spiltCentSet,spiltClusterAssume] = kMeans(curCluster,2); spiltSSE = sum(spiltClusterAssume(:,2)); noSpiltSSE = sum(biClusterAssume(find(biClusterAssume(:,1)~=j),2)); curSSE = spiltSSE + noSpiltSSE; fprintf('第%d个cluster被划分后的误差为：%f \n' , [j, curSSE]) if (curSSE & minSSE) minSSE = curSSE; bestClusterToSpilt = j; bestClusterAssume = spiltClusterAssume; bestCentSet = spiltCentSet; end end bestClusterToSpilt bestCentSet %更新cluster的数目 numCluster = numCluster + 1; bestClusterAssume(find(bestClusterAssume(:,1) == 1),1) = bestClusterToSpilt; bestClusterAssume(find(bestClusterAssume(:,1) == 2),1) = numCluster; % 更新和添加质心坐标 biCentSet(bestClusterToSpilt,:) = bestCentSet(1,:); biCentSet(numCluster,:) = bestCentSet(2,:); biCentSet % 更新被划分的cluster的每个点的质心分配以及误差 biClusterAssume(find(biClusterAssume(:,1) == bestClusterToSpilt),:) = bestClusterAssume;endfigure%scatter(dataSet(:,1),dataSet(:,2),5)&for i = 1:biK pointCluster = find(biClusterAssume(:,1) == i); scatter(biDataSet(pointCluster,1),biDataSet(pointCluster,2),5) hold onend%hold on&scatter(biCentSet(:,1),biCentSet(:,2),300,'+')hold offend% 计算欧式距离&function dist = distEclud(vecA,vecB) dist = sum(power((vecA-vecB),2));end% K-means算法&function [centSet,clusterAssment] = kMeans(dataSet,K)[row,col] = size(dataSet);% 存储质心矩阵&centSet = zeros(K,col);% 随机初始化质心&for i= 1:col minV = min(dataSet(:,i)); rangV = max(dataSet(:,i)) - minV; centSet(:,i) = repmat(minV,[K,1]) + rangV*rand(K,1);end% 用于存储每个点被分配的cluster以及到质心的距离&clusterAssment = zeros(row,2);clusterChange = true;while clusterChange clusterChange = false; % 计算每个点应该被分配的cluster for i = 1:row % 这部分可能可以优化 minDist = 10000; minIndex = 0; for j = 1:K distCal = distEclud(dataSet(i,:) , centSet(j,:)); if (distCal & minDist) minDist = distCal; minIndex = j; end end if minIndex ~= clusterAssment(i,1)
clusterChange = true; end clusterAssment(i,1) = minIndex; clusterAssment(i,2) = minDist; end% 更新每个cluster 的质心& for j = 1:K simpleCluster = find(clusterAssment(:,1) == j); centSet(j,:) = mean(dataSet(simpleCluster',:)); endendend
算法迭代过程如下
biCentSet =
第1个cluster被划分后的误差为：792.916857
bestClusterToSpilt =
bestCentSet =
biCentSet =
第1个cluster被划分后的误差为：409.871545
第2个cluster被划分后的误差为：532.999616
bestClusterToSpilt =
bestCentSet =
biCentSet =
第1个cluster被划分后的误差为：395.669052
第2个cluster被划分后的误差为：149.954305
第3个cluster被划分后的误差为：393.431098
bestClusterToSpilt =
bestCentSet =
biCentSet =
最终效果图
运用二分K-means算法进行聚类的时候，不同的初始质心聚类结果还是会稍微有点不同，因为实际上这也只是弱化随机质心对聚类结果的影响而已，并不能消除其影响，不过最终还是能收敛到全局最小。
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