高数,定积分,为什么∫[x,a]xf(t)dt=x∫[x,a]f(t)dt?中括号里的表示[积分上限,积分下限]为什么x可以移出来，这样的话x岂不是像常数一样，x不应该是自变量，t不是中间变量吗？
因为是对t求积分 与x无关啊,就是y=f（t）,对y求积分啊,与x无关的
你的说法好像有点道理，但我还是有点似解非解的感觉，我那个关于x是自变量，t是中间变量的说法对吗？，我的那道式子还有没有中间步骤呢？有的话可以说一下吗？关于定积分的学习你有什么推荐的吗？
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注意后面是dt不是dx那你就可以把x理解成常数，可以直接放到前面去
不是有这么一道式子吗？对∫[φ(x),a]f(t)dt求导会等于f ' [φ(x)]×φ '(x)?
扫描下载二维码第三节 微积分基本公式与 基本定理一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、小结、思考题 四、作业一、微积分基本公式变速直线运动的速度与路程问题 在 设一物体沿直线作变速直线运动， t 时刻物体 的路程为s(t), 速度为v(t)(为了方便，设v(t) ≥ 0). 由定积分定义， 物体在时间间隔 [t1 , t 2 ] 所走过 的路程为 t2 s = ∫ v ( t )dt 另一方面，s = s( t 2 ) ? s( t1 ). 所以t1∫t2 t1v ( t )dt = s( t 2 ) ? s( t1 ).第三节、微积分基本公式2∫ ∫t2 t1t2 t1v ( t )dt = s( t 2 ) ? s( t1 ).上式表明： v(t)在区间 [ t1 , t 2 ] 上的定积分值v ( t )dt 可以由函数s (t)在积分区间[t1, t2]上两个端点处的函数值之差 s( t 2 ) ? s( t1 ) 得到.第三节、微积分基本公式31. 原函数的定义 定义1 若在区间 I 上定义的两个函数F (x)及f (x) 满足 F ′( x ) = f ( x )或 dF ( x ) = f ( x ) d x , 则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 . 例(sin x )′ = cos x′sin x 是cos x 的原函数.1 ln x 是 在区间(0,+∞ )内的原函数. x1 (ln x ) = ( x & 0) x第三节、微积分基本公式42. 牛顿-莱布尼茨公式 定理1 设函数 f ∈? [a , b], F (x)是 f (x)在区间 [a, b]上的一个原函数, 则∫baf ( x )dx = F (b ) ? F (a ).证明 在区间[a, b]内任意插入n-1个分点,a = x0 & x1 & x2 & & xn?1 & xn = b. , n),于是[a, b]被分割为 n个小区间 [ xi ?1 , xi ] ( i = 1, 2,设 Δxi = xi ? xi ?1 ( i = 1, 2, , n), 由拉格朗日中值定理, 必存在 ξ i ∈[ xi ?1 , xi ], 使得 F ( xi ) ? F ( xi ?1 ) = F ′(ξ i ) ( xi ? xi ?1 ) = f (ξ i )Δxi ,( i = 1, 2,第三节、微积分基本公式 5, n).∑ f (ξ )Δx = ∑ ( F ( x ) ? F ( x )) = F (b) ? F (a ),i i i =1 i i =1 i ?1nn令 λ = max{Δxi }, 由函数f (x)在区间[a, b]上可积及定积 1≤ i ≤ n 分定义得F (b ) ? F (a ) = lim ∑ f (ξ i )Δxi = ∫ f ( x )dx . λ →0b i =1 a n∫b af ( x )dx = F (( x ) a F (a ) = F b) ?bNewton-Leibniz 公式定理1 揭示了定积分与被积函数的原函数之间的 内在联系, 因此定理1 被称为微积分基本公式.6第三节、微积分基本公式∫b af ( x )dx = F (( x ) b F (a ) = F b) ?aNewton-Leibniz 公式dx . 例1 计算 ∫?1 2 1+ x ′ 解 因为 ( arctan x ) =31 , x ∈ ( ?∞, + ∞ ), 故 2 1+ x∫?133 dx = arctan x 2 ?1 1+ x = arctan 3 ? arctan( ?1) π π = 7 π. = ?(? ) 3 4 12第三节、微积分基本公式7例2计算正弦曲线 y = sin x 在 [0, π] 上与 x 轴所围成 y y = sin x 的面积 . 解A = ∫ sin x d x0 ππ x O 由于 ? cos x 是 sin x 在 ( ?∞, + ∞ ) 上的一个原函数, 所以A = ∫ sin x d x0 ππ = ? cos x 0= ?[?1 ? 1 ] = 2.第三节、微积分基本公式8可以利用定积分来求某些和式的极限. 1 1 ? ? 1 + + + 例3 求极限 lim ? ?. n→∞ n + 1 n+ 2 n+ n? ? n 1 lim ∑ 解 原式＝ n→∞ i =1 n + i n 1 1 = lim ∑ ? n→∞ i n i =1 1+ n 1 1 =∫ dx 0 1+ x= ln(1 + x ) 01= ln 2.第三节、微积分基本公式 9要使用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分, 被积函数 f (x)必须存在原函数且能求出原函数. 问题:(1) 当f (x)满足什么条件时才有原函数呢？ (2) 在f (x)有原函数时, 又如何求出原函数呢？下面先讨论第一个问题.第三节、微积分基本公式10二、微积分基本定理1. 积分变限函数设函数 f (t) 在区间[a, b]上可积， 由积分区间的可加性， 对任意x ∈ [a , b], 定积分 f ( t )dt 存在. ∫x ayy = f (t )O axx x bt第三节、微积分基本公式11∫xyf ( t )dt 是定义在[a, b]y = f (t )aΦ( x ) x x b t O a x x Φ( x ) = ∫ f ( t )dt , x ∈ [a , b], 即 a 积积 分分 称为积分上限函数. 变变 同理, 可以定义区间[a, b]上的函数 限限 函函 b Ψ ( x ) = ∫ f ( t )dt , x ∈ [a , b], 数数 x上的函数, 记作 Φ( x ),称为积分下限函数.第三节、微积分基本公式122. 积分变限函数的性质Φ( x ) = ∫ f ( t )dt ,x a定理2 设函数 f (x)在区间[a, b]上可积, 对于变上限积分 则 (1) 函数 Φ( x )在区间[a, b]上连续; (2) 若函数 f (x)在区间[a, b]上连续, 则 Φ( x ) 在区间 [a, b]上可导, 且Φ′( x ) = f ( x ). 证明Φ( x ) = ∫ f ( t )dt ,x a(1) 对[a, b]上任一点x, 任取 Δx ( x + Δx ∈[a , b]),x + Δx aΔΦ = Φ( x + Δx ) ? Φ( x ) = ∫ =∫x + Δx xf ( t )dt .f ( t )dt ? ∫ f ( t )dtax因为f (x)在区间[a, b]上可积, 所以存在M & 0, 使得 f ( x ) ≤ M , x ∈[a , b].第三节、微积分基本公式 13定理2 设函数 f (x)在区间[a, b]上可积, 对于变上限积分Φ( x ) = ∫ f ( t )dt , a 则 (1) 函数 Φ( x )在区间[a, b]上连续; x + Δx f ( t )dt . f ( x ) ≤ M , x ∈[a , b]. ΔΦ = ∫x xΔΦ =∫x + Δx xf ( t )dt ≤Δ x →0∫x + Δx xf ( t ) dt ≤ M | Δx |,由此得到lim ΔΦ = 0.故函数 Φ( x ) 在点x连续. 由 x ∈[a , b] 的任意性可 知, 函数 Φ( x ) 在区间[a, b]上连续.第三节、微积分基本公式14定理2 设函数 f (x)在区间[a, b]上可积, 对于变上限积分Φ( x ) = ∫ f ( t )dt , a (2) 若函数 f (x)在区间[a, b]上连续, 则 Φ( x ) 在区间 在区间[a, b]上可导, 且Φ′( x ) = f ( x ). (2) 取定 x ∈ [a , b], 任取 Δx ≠ 0 ( x + Δ x ∈ [a , b]), 由积分中值定理, 得 1 x + Δx ΔΦ = ∫x f (t )dt = f ( x + θ Δx ), 0 ≤ θ ≤ 1, Δx Δx 由于函数 f (x)在区间[a, b]上连续, 有 ΔΦ lim = lim f ( x + θ Δx ) = f ( x ). Φ′( x ) = Δx →0 Δx Δx →0x故函数 Φ( x )在点x可导, 从而 Φ( x ) 在区间[a, b]上可导.第三节、微积分基本公式 15定理2 设函数 f (x)在区间[a, b]上可积, 对于变上限积分Φ( x ) = ∫ f ( t )dt ,x a则 (1) 函数 Φ( x )在区间[a, b]上连续; (2) 若函数 f (x)在区间[a, b]上连续, 则 Φ( x ) 在区间 在区间[a, b]上可导, 且Φ′( x ) = f ( x ). 该定理表明: 当函数 f (x) 在区间[a, b]上可积时,∫xaf ( t )dt 是积分上限x的一个连续函数；当函数 f (x) 在区间[a, b]上连续时, 就是 f (x) 在区间[a, b]上的一个原函数.∫xaf ( t )dt第三节、微积分基本公式16推论（原函数存在定理） 则 若f (x) 在区间[a, b]上连续， f (x)在 [a, b]上必存在 原函数, 且积分上限的函数Φ( x ) =∫x af ( t )dt就是f (x)在 [a, b]上的一个原函数. 定理的重要意义：(1) 肯定了连续函数的原函数是存在的. (2) 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.第三节、微积分基本公式17对Ψ ( x ) = ∫ x f ( t )dt , 当函数 f (x)在区间[a, b]上 连续时, 有 d Ψ ′( x ) = dxbΦ( x ) = ∫ f ( t )dt ,x a(∫b xd f ( t )dt = ? dx)(∫xbf ( t )dt = ? f ( x ).)第三节、微积分基本公式18定理 3 设函数 f (t) 在区间[c, d]上连续, 函数 ? ( x )、 ψ ( x ) 区间[a, b]上可导, 且 ? ([a , b]) ? [c , d ]、 ψ ([a , b]) ? [c , d ]，则函数G( x ) = ∫? ( x) ψ ( x)f ( t )dt积分变限函数在区间[a, b]上可导, 且G ′( x ) = f (? ( x ) ) ? ′( x ) ? f (ψ ( x ) )ψ ′( x ).第三节、微积分基本公式19证明 因为函数 f (t) 在区间[c, d]上连续, 所以f (t)在区间[c, d]上有原函数F (t),定理3 定理3由Newton-Leibniz 公式及复合函数求导法则得 d ? ( x) d G ′( x ) = ∫ψ ( x ) f (t )dt = dx ( F (? ( x ) ) ? F (ψ ( x ) ) ) dx = F ′ (? ( x ) ) ? ′( x ) ? F ′ (ψ ( x ) )ψ ′( x )= f (? ( x ) ) ? ′( x ) ? f (ψ ( x ) )ψ ′( x ).显然,当 ψ ( x ) = a , ? ( x ) = x 时, 上式就是定理2(2)的 结论.第三节、微积分基本公式20注 变限积分求导:d ? ( x) ∫a f (t ) d t = f [? ( x )]? ′( x ) dx d b ∫ x f (t ) d t = ? f ( x ) dxd ? ( x) ∫ψ ( x ) f (t ) d t = f [? ( x )]? ′( x ) ? f [ψ ( x )]ψ ′( x ) dx第三节、微积分基本公式213. 与原函数的有关的几个问题 (1) 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? (2) 若原函数存在, 原函数是否唯一？ (3) 若原函数不唯一, 它们之间有什么联系？ (4) 若原函数存在, 它如何表示 ?连续函数一定有原函数. 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数第三节、微积分基本公式 223. 与原函数有关的几个问题 (2) 若原函数存在, 原函数是否唯一？ (3) 若原函数不唯一, 它们之间有什么联系？ (4) 若原函数存在, 它如何表示 ?第三节、微积分基本公式23定理4(微积分第二基本定理) 若 F ( x ) 是 f ( x )的一个原函数 , 则 f ( x )的所有 原函数都在函数族 F ( x ) + C ( C 为任意常数 ) 内 . 证 1) ∵ ( F ( x ) + C )′ = F ′( x ) = f ( x )∴ F ( x ) + C 是 f ( x )的原函数2) 设 Φ ( x ) 是 f ( x )的任一原函数 ， 即又知 ∴ [Φ ( x ) ? F ( x )]′= Φ′( x ) ? F ′( x ) = f ( x ) ? f ( x ) = 0 故Φ ( x ) = F ( x ) + C 0 (C 0 为某个常数 ).24Φ′( x ) = f ( x ) F ′( x ) = f ( x )即 Φ ( x ) = F ( x ) + C 0 属于函数族 F ( x ) + C .第三节、微积分基本公式微积分第二基本定理给出了f (x)在区间I上的所有 原函数的一般表达式. 只要求出函数f (x)的一个原 函数F (x), 其它原函数都可由表达式F ( x) + C ,通过适当选择常数C得到.第三节、微积分基本公式25例1 求函数f ( x ) = 3 x 2 的一个原函数F(x), 使它满足 条件F(0) = 1.解 由于 ( x 3 )′ = 3 x 2 , 所以 x 3 是 f ( x ) = 3 x 2的一个原函数, 故 f ( x ) = 3 x 2 的所有原函数为F ( x ) = x 3 + C (C为任意常数)由F(0) = 1得1= 0+C,故所求原函数为 F ( x ) = x 3 + 1.第三节、微积分基本公式26注: 如果被积函数f (x)在区间[a, b]上是分段连续的(即除去有限个第一类间断点外, f (x)在区间[a, b]上连续), 那么, 虽然函数f (x)上可积, 但是, 可以证明 它在区间[a, b]上不存在原函数. 因此, 牛顿-莱布尼 茨公式不能直接使用. 在这种情况下, 可以在每个 分段子区间上分别使用牛顿-莱布尼茨公式, 再利用定积分关于积分区间的可加性, 就得到所求 的定积分.第三节、微积分基本公式27例2 设 解2 x , x ∈[0, 1), 2 f ( x) = 1, x ∈[1, 2], 求∫ 0 f ( x )dx .2 0{∫f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx= ∫ 2 xdx + ∫ 1dx0 1 0 1 1 2 2 1 0212=x+ x 1 = 2.第三节、微积分基本公式282 ?2 x 0 ≤ x ≤ 1 例3 设 f ( x ) = ? , 求 ∫0 f ( x )dx . 1& x ≤ 2 ?5解∫02f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx1 2 0 112y原式 = ∫ 2xdx + ∫ 5dx= 6.o1 2x第三节、微积分基本公式29例4 解f ( x) =I = ∫ max{1, x 2 , x 3 }dx . 计算?22记 y = f ( x ) = max{1, x 2 , x 3 }, 因为x2 , 1, x3 ,?1 ?22?2 ≤ x & ?1 ?1 ≤ x ≤ 1 1& x ≤ 2-2 -1y8 6 4 2则I=∫1 2O12xx dx + ∫ 1 dx + ∫ x 3dx?1197 . = 12第三节、微积分基本公式30变限函数的应用思考题f ( x ) ∈ C [a , b ] ,比较区别与联系x2 a∫ax2xf ( t )dt , x ∫f ( x )d x ,∫ax2xf ( x )d x ,第三节、微积分基本公式31例5x2 f ( x) = xx0{0≤ x &1 1≤ x ≤ 2求Φ ( x ) = ∫ f ( t )dt在[0， 上的表 达 式 2]解： x ∈ [0,1) 时 ,Φ ( x ) = ∫ f ( t )dt = ∫0xx 20x ∈ [1,2] 时 ,x1 2 01 2 t dt = x 3xΦ ( x ) = ∫ f ( t )dt = ∫0 t dt + ∫11 2 x ? 3 ∴Φ ( x ) = ? 1 ? 1 + ( x 2 ? 1) 3 2321 1 2 tdt = + ( x ? 1) 3 2x ∈ [0,1) 时 , x ∈ [1,2] 时 ,第三节、微积分基本公式例6 设 Φ( x ) = ∫ sin t 2dt , 求 Φ′( x ). x 由定理3, 得Φ′( x ) = sin( x 3 )2 ?( x 3 )′ ? sin x 2 ? x′x3解 由于 f ( t ) = sin t 2 连续, ? ( x ) = x 3 , ψ ( x ) = x 可导,= 3 x 2 sin x 6 ? sin x 2 .第三节、微积分基本公式33例7. 求解:x2 2 e ?cos x ? ( ? sin x ) 原式 = ? lim x →0 2x1 = 2elimx →0∫cos x e1?t 2dt0 0第三节、微积分基本公式34例8确定常数 a , b , c 的值, 使 a x ? sin x lim x = c (c ≠ 0). x →0 ln(1 + t 2 ) d t ∫b解 ∵ x → 0时,ax ? sin x → 0, c ≠ 0 , ∴ b = 0 .a ? cos x a ? cos x = lim =c 原式 = lim 2 2 x →0 x →0 ln(1 + x ) xc ≠0 , 故 a = 1 .又由1 ? cos x ～1 x 2 , 得 c = 1 . 2 2第三节、微积分基本公式35例9设 f ( x ) 在[0, + ∞ )内连续 , 且 f ( x ) & 0, 证明F ( x ) = ∫ t f (t ) d t0x∫0xf (t ) d t在 (0 , + ∞ ) 内为单调递增函数 .x x只要证 F ′( x ) & 0证 F ′( x ) =x f ( x )∫ f ( t ) d t ? f ( x )∫ t f ( t ) d t0( ∫02xf (t ) d t )02=f ( x )∫ ( x ? t ) f ( t ) d tx( ∫00 xf (t ) d t)=f ( x ) ? ( x ? ξ ) f (ξ ) x( ∫0x∴ F ( x ) 在 0， ∞ )内为单调增函数 . （ +第三节、微积分基本公式 36f (t ) d t ) (0 & ξ & x )2&0例10设函数 f(x) 在区间[0, 1]上可微, 且当 x ∈ (0, 1)时, 0 & f ′( x ) & 1, f (0) = 0, 试证(∫1 0f ( x )dx分析1 即证 只要证 证法1(∫令(∫x)2& ∫ f 3 ( x )dx11 0f ( x )dx20f ( t )dt) ?∫)0 2? ∫ f 3 ( x )dx & 0,01x0f ( t )dt & 0, x ∈ (0, 1]3F ( x) =(∫x0f ( t )dt)2? ∫ f 3 ( t )dt , x ∈ [0, 1]x0第三节、微积分基本公式37则 F (0) = 0, 且F ′( x ) = 2F ( x) =x ∈ ( 0, 1) 时, f ( x ) & 0. 记 g( x ) = 2? 2 x f ( t )dt ? f 2 ( x ) ? , x ∈ 0, 1 . = f ( x ) ? ∫0 ( ) ? ? ? 由已知 f (0) = 0, 0 & f ′( x ) & 1 ( x ∈ ( 0, 1) ) , 故当(∫x0f ( t )dt ? f ( x ) ? f 3 ( x )()(∫x 0f ( t )dt)2? ∫ f 3 ( t )dtx 0)有g(0) = 0, 当 x ∈ ( 0, 1) 时, g′( x ) = 2 f ( x ) ? 2 f ( x ) f ′( x ) = 2 f ( x ) ( 1 ? f ′( x ) ) & 0,第三节、微积分基本公式 38(∫x0f ( t )dt ? f 2 ( x ),)x ∈ ( 0, 1)从而, 当 x ∈ (0, 1) 时, g ( x ) & g (0) = 0,x ?? g ( x ) f ( t )dt ∈ (0,2 ( x ) ? F ′( x ) = f ( x ) ? 2 ∫ & 0, x ? f 1) ? 0 ? ? 所以, 当 x ∈ (0, 1] 时, F ( x ) & F (0) = 0, 特别F (1) & 0,()于是即(∫1 0f ( x )dx)2& ∫ f 3 ( x )dx .01第三节、微积分基本公式39例8设函数 f(x) 在区间[0, 1]上可微, 且当 x ∈ (0, 1)时, 0 & f ′( x ) & 1, f (0) = 0, 试证(∫1 0f ( x )dx)2& ∫ f 3 ( x )dx01分析2只须证明(∫∫1 0 1 0f ( x )dx)2f 3 ( x )dx& 1.第三节、微积分基本公式40证法2 令 F ( x ) =(∫xx0f ( t )dt)2, x ∈ [0, 1].x ∈ [0, 1].((问题) 问题)G ( x ) = ∫ f 3 ( t )dt ,0由柯西中值定理, 有(∫∫1 0 1 0f ( x )dx)2f 3 ( x )dxF (1) ? F (0) F ′(ξ ) = = G (1) ? G (0) G ′(ξ )=2 ∫ f ( t )dt ? f (ξ )0ξf 3 (ξ )第三节、微积分基本公式41(∫∫1 0 1 0f ( x )dx3)2f ( x )dx 2=2 ∫ f ( t )dt f (ξ )2 0 0 0ξ(0 & ξ & 1)f 2 (ξ ) ? f 2 (0) 2 f (η ) 1 = = & 1, 2 f (η ) ? f ′(η ) f ′(η )=(∫ξ0f ( t )dt ? ∫ f ( t )dt)(0 & η & ξ & 1).即(∫1 0f ( x )dx)2& ∫ f 3 ( x )dx .01例8 设函数 f(x) 在区间[0, 1]上可微, 且当 x ∈ (0, 1) 时, 0 & f ′( x ) & 1, f (0) = 0, 试证0 第三节、微积分基本公式(∫1f ( x )dx)242& ∫ f 3 ( x )dx01例91下列计算是否正确？ 若不正确， 指出错在何处？1 1 dx ∫?1 x = ln | x | ?1 = 0.1 dx 可积. 即使在反常积分意义下, ∫?1 也是发散的. x11 解 不正确. 因为 x 在区间[?1, 1]上无界, 不满足 1 函数可积的必要条件, 所以 在区间[?1, 1]上不 x第三节、微积分基本公式43三、小结、思考题1. 微积分基本公式设 f ( x ) ∈ C [a , b], 且 F ′( x ) = f ( x ), 则有ξ ∈ (a, b)∫a f ( x ) d x =bf (ξ )(b ? a) = F ′(ξ )(b ? a) = F (b) ? F (a)微分中值定理积分中值定理牛顿 C 莱布尼兹公式第三节、微积分基本公式442. 变限积分求导公式d ? ( x) ∫a f (t ) d t = f [? ( x )]? ′( x ) dx d ? ( x) f ( t ) d t = f [? ( x )]? ′( x ) ? f [ψ ( x )]ψ ′( x ) d x ∫ψ ( x )第三节、微积分基本公式45四、作业P261 3, 5(偶), 6(奇), 7（单）, 10, 13(偶), 15; 17,第三节、微积分基本公式46关于变上限定积分的问题，教教学妹吧。。。。。。题目为：F(x)=自变量范围是x到-2,函数为e^2tsintdt，我想问的是：自变量为x,函数中的自变量为t,为什么要多此一举，函数的自变量直接写成x就可以的，为什么函数中要用t做自变量，不是多此一举吗，直接写成e^2x乘sinxdx看起来不是更简便吗
意义不同，积分可以表示面积、体积的变化，一个普通的函数只是一条曲线而已。只不过这世界存在一些巧合，使2个不同意义的式子相等而已。就好像f(x)在某一点的导数正好等于那一点切线的斜率tan a一样。
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扫描下载二维码已知函数f（x）=4x
2x+t-1，x∈R，其中，t∈R，
（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0．f（0））处的切线方程；
（2）当t≠0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）证明：对任意的t∈（0，∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
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科目: 高中数学最佳答案
当t=1时，f（x）=4x3+3x2-6x，f′（x）=12x2+6x-6，f′（0）=-6，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．
f′（x）=12x2+6tx-6t2，令f′（x）=0，解得x=-t，或x=．因为t≠0，以下分两种情况讨论：①若t＜0，则，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
（t，-∞）
所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，），（-t，∞）；f（x）的单调递减区间是（）．②若t＞0，则-t，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
（-∞，t）
所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，t），（，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-t，）．综上可得：当t＜0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，），（-t，∞）；f（x）的单调递减区间是（）．当t＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，t），（）；f（x）的单调递减区间是（-t，）．
由（2）可知，当t＞0时，f（x）在（0，）内的单调递减，在（）内单调递增，以下分两种情况讨论：①当，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减，f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t2+4t+3≤-6&4-4&2+3＜0．所以对任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．②当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，）内的单调递减，在（，1）内单调递增，若t∈（0，1]，f（）=3+1-1＜-
t3＜0，f（1）=-6t2+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3＞0，∴f（x）在（）内存在零点，若t∈（1，2），f（）=-3+(t-1)＜-3+1＜0，f（0）=t-1＞0，∴f（x）在（0，）内存在零点．
解析解：（1）当t=1时，f（x）=4x
f′（x）=12x
2+6x-6，f′（0）=-6，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．
（2）f′（x）=12x
令f′（x）=0，解得x=-t，或x=
因为t≠0，以下分两种情况讨论：
①若t＜0，则
，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
（t，-∞）
所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，
），（-t，∞）；f（x）的单调递减区间是（
②若t＞0，则-t
，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
（-∞，t）
所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，t），（
f（x）的单调递减区间是（-t，
综上可得：
当t＜0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，
），（-t，∞）；f（x）的单调递减区间是（
当t＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，t），（
）；f（x）的单调递减区间是（-t，
（3）由（2）可知，当t＞0时，f（x）在（0，
）内的单调递减，在（
）内单调递增，以下分两种情况讨论：
，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减，
f（0）=t-1＞0，
f（1）=-6t
2+4t+3≤-6&4-4&2+3＜0．
所以对任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，
）内的单调递减，在（
，1）内单调递增，
若t∈（0，1]，f（
f（1）=-6t
2+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3＞0，
∴f（x）在（
）内存在零点，
若t∈（1，2），f（
3+(t-1)＜-
f（0）=t-1＞0，
∴f（x）在（0，
）内存在零点．相关试题大家都在看推荐文章热门知识点
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设函数f（x）=x2-2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）-f（x2）|≤8，求t的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
因为f（x）=x2-2tx+2=（x-t）2+2-t2，所以f（x）在区间（-∞，t]上单调减，在区间[t，∞）上单调增，且对任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t-x），（1）若t=1，则f（x）=（x-1）2+1．①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范围为[1，2]；②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范围为[1，10]；所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（3分）（2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）]max≤5”．①若t=1，则f（x）=（x-1）2+1，所以f（x）在区间（-∞，1]上单调减，在区间[1，∞）上单调增．②当1≤a+1，即a≥0时，由[f（x）]max=f（a+2）=（a+1）2+1≤5，得-3≤a≤1，从而&0≤a≤1．③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）]max=f（a）=（a-1）2+1≤5，得-1≤a≤3，从而-1≤a＜0．综上，a的取值范围为区间[-1，1]．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（6分）（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）-f（x2）|≤8”等价于“M-m≤8”．①当t≤0时，M=f（4）=18-8t，m=f（0）=2．由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1．从而&t∈?．②当0＜t≤2时，M=f（4）=18-8t，m=f（t）=2-t2．由M-m=18-8t-（2-t2）=t2-8t+16=（t-4）2≤8，得4-22≤t≤4+22．从而&&4-22≤t≤2．③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2-t2．由M-m=2-（2-t2）=t2≤8，得-22≤t≤22．从而&2＜t≤22．④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18-8t．由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8，得t≤3．从而&t∈?．综上，t的取值范围为区间[4-22，22]．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（10分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=x2-2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
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