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如何解决高斯化学计算中优化收..
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如何解决高斯化学计算中优化收敛的问题
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3秒自动关闭窗口&>&&>&《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》试题集及答案_18300字
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《数值计算方法》复习试题
一、填空题：
A???A???14?1???
???0?14???1、，则A的LU分解为
??4?A???41?1????
??1???0???? 答案：
????????????????。
2、已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得
f(x)dx?_________
,用三点式求得f?(1)?。
答案：2.367，0.25
3、f(1)??1,f(2)?2,f(3)?1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数为
拉格朗日插值多项式为
(x?2)(x?3)?2(x?1)(x?3)?(x?1)(x?2)22
答案：-1，
4、近似值x*?0.231关于真值x?0.229有(
)位有效数字； 5、设f(x)可微,求方程x?f(x)的牛顿迭代格式是(
xn?f(xn)1?f?(xn)
6、对f(x)?x?x?1,差商f[0,1,2,3]?(
),f[0,1,2,3,4]?(
7、计算方法主要研究(
8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为
9、求解一阶常微分方程初值问题y?= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为
yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]
10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(
f(x)dx??011、 两点式高斯型求积公式≈(0
度为( 5 )；
f(x)dx?[f()?f()]
2232 )，代数精
12、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均
x?1(x?1)2(x?1)3 的乘除法次数尽量地少，应将该表
x?1，为了减少舍入误差，应将表达式
13、 为了使计算
达式改写为y?10?(3?(4?6t)t)t,t?
14、 用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间
,进行两步后根的所在区间为
15、 计算积分?0.5
,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为用辛卜生公式计算求得的近似值为
0.4309 ，梯形公式的代数精度为
1 ，辛卜生公式的代数精度为
?3x1?5x2?1?
16、 求解方程组?0.2x1?4x2?0的高斯—塞德尔迭代格式为
代格式的迭代矩阵的谱半径?(M)12。
(k?1)(k)??(1?5x2)/3?x1?(k?1)(k?1)???x1/20，?x2该迭
17、 设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46,则l1(x)?l1(x)??x(x?2)f(x)的二次牛顿
插值多项式为N2(x)?16x?7x(x?1)
18、 求积公式
Akf(xk)?af(x)dx?k??0
的代数精度以(
)求积公式为最高，具
)次代数精度。
19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求?1
20、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求f?(1)?(
21、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（
?x30?x?1?S(x)??132
(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c1?x?3?2?22、已知是三次样条函数，则
23、l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，则
( 1 )，k?0
)，当n?2时k?0
k2?xk?3)lk(x)?
?yn?1?yn?hf(xn,yn)??y?f(x,y)?h?[0]
?y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?y(x)?y00?224、解初值问题的改进欧拉法?是
25、区间?a,b?上的三次样条插值函数S(x)在?a,b?上具有直到_____2_____阶的连续导数。 26、改变函数f(x)?
(x??1)的形式，使计算结果较精确
27、若用二分法求方程f?x??0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10
?2x3,0?x?1S?x???3
?x?ax?bx?c,1?x?2是3次样条函数，则 28、设
。 29、若用复化梯形公式计算
个求积节点。
，要求误差不超过10，利用余项公式估计，至少用
30、写出求解方程组
?x1?1.6x2?1?
??0.4x1?x2?2
的Gauss-Seidel迭代公式
?x1?k?1??1?1.6x2??k?1??k?1?,k?0,1,??x2?2?0.4x1，迭代矩阵为
??0?0.64????，此迭代法是否收敛
43??,则A?? 31、设
?482?U??016?
??A??2571????00??
??136?2? ??的A?LU，则U?32、设矩阵
33、若f(x)?3x4
?2x?1，则差商f[2,4,8,16,32]?。
34、数值积分公式??1f(x)dx?2
9[f(?1)?8f(0)?f?(1)]的代数精度为
??12??1?01??1???
?x??5??2??
线性方程组?10????3??的最小二乘解为
?321??A???20
36、设矩阵
??13??分解为A?LU，则U???
0021?2?? 二、单项选择题：
1、 Jacobi迭代法解方程组Ax?b的必要条件是（
A．A的各阶顺序主子式不为零
B． ?(A)?1
C． aii?0,i?1,2,?,n
?22?3?A???051?2、设
?0??，则?(A)为(
D． 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为(
4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是(
)。 A． 对称阵
B． 正定矩阵
C． 任意阵
D． 各阶顺序主子式均不为零
5、舍入误差是(
)产生的误差。
A. 只取有限位数
B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C． 观察与测量
D．数学模型准确值与实际值
6、3.141580是π的有(
)位有效数字的近似值。
7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是(
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(
)。 A．控制舍入误差
B． 减小方法误差 C．防止计算时溢出
D． 简化计算
9、用1+3近似表示?x所产生的误差是(
10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有(
)位有效数字。
11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(
A． –0．5
12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(
D． 2 13、( D )的3位有效数字是0.236×102。
(C) 235.418
(D) 235.54×10－1
14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是
(A) y=?(x)与x轴交点的横坐标
(B) y=x与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标
(D) y=x与y=?(x)的交点
?3x1?x2?4x3?1?
??x1?2x2?9x3?0??4x?3x?x??1
15、用列主元消去法解线性方程组?，第1次消元，选择主元为
16、拉格朗日插值多项式的余项是( B
),牛顿插值多项式的余项是( C
(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，
Rn(x)?f(x)?Pn(x)?
(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)， (D)
Rn(x)?f(x)?Pn(x)?
17、等距二点求导公式f?(x1) ?( A )。
f(x1)?f(x0)x1?x0
f(x1)?f(x0)x0?x1
f(x0)?f(x1)x0?x1
f(x1)?f(x0)x1?x0
18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(
),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…
一定收敛到方程f(x)=0的根。
(A)f(x0)f??(x)?0
(B)f(x0)f?(x)?0
(C)f(x0)f??(x)?0
(D)f(x0)f?(x)?0
19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建
立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A
,迭代公式:xk?1?x?1
11,迭代公式:x?1?k?12x2xk
?x,迭代公式:x?(1?x) k?1k(C)
x?1?x,迭代公式:xk?1
?y??f(x,y)?
20、求解初值问题??欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差
是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是(
x?Bx?g收敛的充要条件是（
）Ax?b21、解方程组的简单迭代格式。
（1）?(A)?1,
(2) ?(B)?1,
(3) ?(A)?1,
(4) ?(B)?1
?22、在牛顿-柯特斯求积公式：
f(x)dx?(b?a)?Ci(n)f(xi)
Ci中，当系数是负值时，公式的
稳定性不能保证，所以实际应用中，当（
）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）n?8，
（2）n?7，
（3）n?10，
（4）n?6，
（1）二次；
（2）三次；
（3）四次；
（4）五次 24、若用二阶中点公式
yn?1?yn?hf(xn?
,yn?f(xn,yn))22求解初值问题y???2y,y(0)?1，
试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（
）。 (1)0?h?1,
1.732计算x?1)，下列方法中哪种最好？（
2(4?28?(A)；
(D) 。 ?x30?x?2S(x)??3
2(x?1)?a(x?2)?b2?x?4是三次样条函数，则a,b的值为(
) ?26、已知
(D) 2。 28、形如a
f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x2)?A3f(x3)
的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为
(D) 3。 29Newton迭代格式为(
xk3xxx323?xk?1?k?xk?1?k?xk?1?k?2xk；(B)22xk；(C) 2xk；(D) 3xk。
1?3???1032
230、用二分法求方程x?4x?10?0在区间[1,2]内的实根，要求误差限为，则对分
次数至少为(
31、经典的四阶龙格—库塔公式的局部截断误差为 (
(C) O(h)；
(D) O(h)。
?x?k(k?0,1,?,9)l(x)ki32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则k?0
33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有(
)次代数精度 (A)5；
?x30?x?2S(x)??3
?1)?a(x?2)?b2?x?4是三次样条函数，则a,b
) ?34、已知
35、已知方程x?2x?5?0在x?2附近有根，下列迭代格式中在x0?2不收敛的是(
x?x?k?1k?132x?x?x?x?53xk?2。
(C)k?1kk(A)k?1 (B)；
37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为(
三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打?，否则打?）
1，2，?，m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时，1、已知观察值(xi，yi)(i?0，
Pn(x)的次数n可以任意取。
2、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。
(x?x0)(x?x2)
3、(x1?x0)(x1?x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
????253??125?
?具有严格对角占优。
) 5、矩阵A=?
四、计算题：
?4x1?2x2?x3?11
?x1?4x2?2x3?18?2x?x?5x?22(0)T
231、用高斯-塞德尔方法解方程组 ?1，取x?(0,0,0)，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式
?(k?1)1(k)(k)
x?(11?2x?x)123?4?
?(k?1)1(k)
?(18?x1(k?1)?2x3)?x2
?(k?1)1(k?1)(k?1)x?(22?2x?x)312?5 ?
f(x)dx?A[f(?1)?f(1)]?B[f(?)?f()]??1222、求A、B使求积公式的代数精度尽量
高,并求其代数精度；利用此公式求
f(x)?1,x,x答案：是精确成立，即
x(保留四位小数)。
12?182A?B?A?,B??23
f(x)dx?[f(?1)?f(1)]?[f(?)?f()]??19922 求积公式为
当f(x)?x时，公式显然精确成立；当f(x)?x时，左=5，右=3。所以代
数精度为3。
1t?2x?dx??dt?[?]?[?]
?1t?3x9?1?31?39?1/2?3?3
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。
(x?3)(x?4)(x?5)(x?1)(x?4)(x?5)
(1?3)(1?4)(1?5)(3?1)(3?4)(3?5)
(x?1)(x?3)(x?5)(x?1)(x?3)(x?4)
(4?1)(4?3)(4?5)(5?1)(5?3)(5?4)
P3(x)?N3(x)?2?2(x?1)?(x?1)(x?3)?
4(x?1)(x?3)(x?4)
f(2)?P3(2)?5.5
4、取步长h?0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题
??y(0)n?1?yn?0.2?(2xn?3yn)
?答案：解： ??
yy3y(0)n?1?n?0.1?[(2xn?3yn)?(2xn?1?n?1)]
yn?1?0.52xn?1.78yn?0.04
求f(x)的二次拟合曲线p2(x)，并求f?(0)的近似值。 答案：解：
?5a0?10a2?15?
?10a?34a?41
2正规方程组为
10311,a1?,a2?71014
?(x)?p2(x)??x?x2p2?x
?(0)?f?(0)?p2
6、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表
如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
答案：解： 应选三个节点，使误差
尽量小，即应使|?3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点
{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果
sin0.274，
sin0.63891?0.?
(0.)(0..6)(0.)3!
7、构造求解方程e?10x?2?0的根的迭代格式xn?1??(xn),n?0,1,2,?，讨论其收敛
|x?x|?10n?1n性，并将根求出来，。 x
答案：解：令 f(x)?e?10x?2,
f(0)??2?0,
f(1)?10?e?0.
??)，故f(x)?0在(0,1)内有唯一实根.将方程且f?(x)?e?10?0对?x?(??，
f(x)?0变形为
则当x?(0,1)时
(2?|??(x)|??exe
故迭代格式
收敛。取x0?0.5，计算结果列表如下：
且满足 |x7?x6|?0.?6.所以x*
x1?2x2?3x3?14?2x1?5x2?2x3?188﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 ?
?3x1?x2?5x3?20。
3A?LU???21
???1?4?答案：解：
?1????3?5????24?
令Ly?b得y?(14,?10,?72)T，Ux?y得x?(1,2,3)T
3x1?2x2?10x3?15?10x1?4x2?x9﹑对方程组 ?3?5?2x1?10x2?4x3?8
（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；
（2） 取初值x(0)?(0,0,0)T
，利用（1）中建立的迭代公式求解，||x(k?1)?x(k)||??10?3。
解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
?10x1?4x2?x3?5?
?2x1?10x2?4x3?8?3x?2x?10x?15
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
??x1(k?1)?1(4x(2k)?x(3k)?5)?
10??x(k?1)?1(?2x1(k?1)?4x(3k)
10???x(k?1)13?10(?3x1(k?1)?2x(2k?1)?15)
?(0,0,0)T,经7步迭代可得：
x*?x(7)?(0...000010)T.
10、已知下列实验数据
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解：当0<x<1时，f??(x)?ex，则 f??(x)?e，且?0exdx有一位整数. R(n)
要求近似值有5位有效数字，只须误差
f??(?)，只要
12n2?12n2?2?10
即可，解得
6?102?67.30877???
n?68，因此至少需将 [0,1] 68等份。
?1?11???x1???4?????5?43?x2??????12?? 11、用列主元素消元法求解方程组
211????x3????11??。
?1?11?4??5?43?12?
r?r?5?43?12???1?2??1?11??4?
??21111???21111?? 解：
r2?r1?5??????02
r3?r2?13??????0
128?r2?r3????????????0?
??555?128???555?? ?4
x3??1,x2?6,x1?3。
12、取节点x0?0,x1?0.5,x2?1,求函数f(x)?e在区间[0,1]上的二次插值多项式
P2(x),并估计误差。
P2(x)?e?0?
(x?0.5)(x?1)?0.5(x?0)(x?1)
(0?0.5)(0?1)(0.5?0)(0.5?1)
(x?0)(x?0.5)
(1?0)(1?0.5)
?2(x?0.5)(x?1)?4e?0.5x(x?1)?2e?1x(x?0.5)
f(x)?e?x,f???(x)??e?x,M3?max|f???(x)|?1
故截断误差
13、用欧拉方法求
|R2(x)|?|e?x?P2(x)|?
|x(x?0.5)(x?1)|3!。
在点x?0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。 解：
??y??e?x???y(0)?0
记f(x,y)?e?x
,取h?0.5,x0?0,x1?0.5,x2?1.0,x3?1.5,x4?2.0.
则由欧拉公式
yn?1?yn?hf(xn,yn)?y0?0,
y(0.5)?y1?0.5,
y(1.0)?y2?0.8894, 0
y(1.5)?y3?1.07334,y(2.0)?y4?1.12604
14、给定方程f(x)?(x?1)ex
1) 分析该方程存在几个根；
2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。
解：1）将方程
作函数f1(x)?x?1，f?x
*2(x)?e的图形（略）知（2）有唯一根x?(1,2)。
2) 将方程（2）改写为
?xxk?1?1?e?k?
构造迭代格式
(k?0,1,2,?)
计算结果列表如下：
3) ?(x)?1?e?x，??(x)??e?x
当x?[1,2]时，?(x)?[?(2),?(1)]?[1,2]，且
|??(x)|?e?1?1
所以迭代格式 xk?1??(xk)(k?0,1,2,?)对任意x0?[1,2]均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。
解：3是f(x)?x?3?0的正根，f?(x)?2x，牛顿迭代公式为
xxn?33xn?1?n?xn?1?xn?
(n?0,1,2,?)
取x0=1.7, 列表如下：
16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解：
(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)
(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(2?1)(2?1)
(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)323
f(1.5)?L2(1.5)??0.04167
17、n=3,用复合梯形公式求?0解：
的近似值（取四位小数）,并求误差估计。
[e?2(e?e2)?e1]?1.73422?3
f(x)?ex,f??(x)?ex，0?x?1时，|f??(x)|?e
|R|?|ex?T3|?
至少有两位有效数字。
??0.025??0.052
?301??x1??5????????1?31??x2???1??1?14??x???8?
??3?=??， 18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel迭代格式为：
?(k?1)1(k)x?(?x?5)13?3?
1?(k?1)(k?1)(k)
x??(?x1?x3?1)?2
?(k?1)1(k?1)(k?1)x?(?x?x?8)312?4?
?301???1?31?系数矩阵?
1?14????严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛. 取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:
?y??x?y 19、用预估—校正法求解?
?y(0)?1(0?x?1)，h=0。2，取两位小数。 解：预估—校正公式为
?yn?1?yn?1??
2(k1?k2)?k1?hf(xn,y?
n)?k2?hf(xn?h,yn?k1)??
其中f(x,y)?x?y，y0?1，h=0.2，n?0,1,2,3,4，代入上式得：
20、（8y?a?bx2
??span{1,x} AT???1
??19.032.349.073.3?
y ATA??其中
?429603??ATy??173.6?
???? C??解得：
?0..0501025??
所以 a?0.9255577，
b?0.0501025
21、（15分）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算
时，试用余项估计其误
差。用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。
hf??(?)??2?e0??0.68
T(8)?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]
?[1?2?(0...
?0.6329434
22、（15分）方程x?x?1?0在x?1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x?
11x??x??n?1x?13x?xn；n?1nx对应迭代格式对应迭代格式；(2)（3）x?x?1对应
迭代格式xn?1?xn?1。判断迭代格式在x0?1.5的收敛性，选一种收敛格式计算x?1.5附近的根，
精确到小数点后第三位。
??(x)?(x?1）3?（1.5?0.18?13解：（1），，故收敛；
1.5?0.17?1x，?（（2），故收敛；
2?（?1.5?3?1.52?1??(x)?3x（3），，故发散。
选择（1）：
x0?1.5，x1?1.3572，x2?1.3309，x3?1.3259，x4?1.3249， x5?1.32476，x6?1.32472
23、（8分）已知方程组AX?f，其中
?f??30?A??34?1????
????14??，??24??
（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。
1?(k?1)(k)
x?(24?3x)12?4?1(k?1)(k)?x2?(30?3x1(k)?x3)?4?1(k?1)(k)
x?(?24?x2)3?
4?k?0,1,2,3,?解：Jacobi迭代法：?
1?(k?1)(k)
x?(24?3x2)1?4?1(k?1)(k)?x2?(30?3x1(k?1)?x3)?4?1(k?1)(k?1)
x?(?24?x2)3?
4?k?0,1,2,3,?Gauss-Seidel迭代法：? ?0???1
BJ??D(L?U)???0
?(BJ)?(或)?0.790569
24、1、（15分）取步长h?0.1，求解初值问题?用改进的欧拉法求y(0.1)的值；用经
典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。
?yn?1?yn?hf(xn,yn)?0.9yn?0.1?
y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?0.905yn?0.095?2解：改进的欧拉法：?
所以y(0.1)?y1?1；
经典的四阶龙格—库塔法：
y?y?[k1?2k2?2k3?k4]n?n?1
?k1?f(xn,yn)?
hh?k?f(x?,y?k1)2nn?
22?hh?k3?f(xn?,yn?k2)22?
?k4?f(xn?h,yn?hk3)k1?k2?k3?k4?0，所以y(0.1)?y1?1。 ?
25、数值积分公式形如
?xf(x)dx?S(x)?Af(0)?Bf(1)?Cf?(0)?Df?(1)试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽
量高；（2）设f(x)?C[0,1]，推导余项公式
R(x)??xf(x)dx?S(x)
，并估计误差。
f(x)?1,x,x,x解：将分布代入公式得：
H3(xi)?f(xi)??
H?(x)?f?(xi)i?0,1其中x0?0,x1?1 H(x)构造Hermite插值多项式3满足?3i
f(x)?H3(x)?x(x?1)2xH(x)dx?S(x)34!则有：?0，
,B?,B?,D??
26、用二步法
R(x)??x[f(x)?S(x)]dx??x(x?1)2dx
(4)(4)(4)f(?)13f(?)f(?)2?x(x?1)dx??
4!?04!?601440
yn?1??0yn??1yn?1?h[?f(xn,yn)?(1??)f(xn?1,yn?1)]
?y??f(x,y)
y(x0)?y0时，如何选择参数?0,?1,?使方法阶数尽可能高，并求局
求解常微分方程的初值问题?
部截断误差主项，此时该方法是几阶的
Rn,h?y(xn?1)?yn?1?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)??
??0y(xn)??1(y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)??)
?h[?y?(xn)?(1??)(y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)?y(xn)??]
?(1??0??1)y(xn)?h(1?1??1)y?(xn)
1?1?1???h2(?1?1??)y??(xn)?h3(?1?)y???(xn)?O(h4)
22662 ??1?????0?01??0?1??
?1?0???1?0?
?1?1?3??1???0????22 ?所以?2
hy???(xn)12主项：
该方法是二阶的。
27、（10分）已知数值积分公式为：
[f(0)?f(h)]??h2[f'(0)?f'(h)]2，试确定积分公式中的参数?，使其代数精
确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：f(x)?1显然精确成立；
f(x)?x时，
xdx??[0?h]??h2[1?1]
xdx??[0?h]??h[0?2h]??2?h???
f(x)?x2时，?032212；
hh4h1233xdx??[0?h]?h[0?3h2]3?f(x)?x时，04212；
f(x)?x4时，?0
h5h12h543xdx??[0?h]?h[0?4h]?
所以，其代数精确度为3。
28、（8分）已知求a(a?0)的迭代公式为：
x0?0k?0,1,2?
证明：对一切k?1,2,?,xk?从而迭代过程收敛。
a，且序列?xk?是单调递减的，
1a1a(xk?)??2?xk??a2xk2xk
故对一切k?1,2,?,xk?a。
?(1?2)?(1?1)?1
x?xk，即序列?xk?是单调递减有下界，从而迭代过22xk
29、（9分）数值求积公式度是多少？
f(x)dx?[f(1)?f(2)]
2是否为插值型求积公式？为什么？其代数精
?f(1)??f(2)1?22?1
解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为
p(x)dx?[f(1)?f(2)]?02
。其代数精度为1。
30、(6分)写出求方程4x?cos?x??1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
xn?1???xn??
?1?cos?xn??4，n=0,1,2,…
x?[0,1],迭代公式都收敛。 44
∴ 对任意的初值0
31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton插值方法：差分表：
?10+0.-100)-0.(115-100)(115-121)
=10.7227555
f'''????115?100??115?121??115?144?3!
??29?0.0016368
32、(10分)用复化Simpson公式计算积分
sin?x?dx?50x的近似值，要求误差限为0.5?10。
????S1??f0?4f?f1?????0.???? S2?
?1??1??1??3??????f0?4f?2f?4f?f1??0.????????12??4??2??4??
S2?S1?0.393?10-515
sin?x?x2x4x6x8
f?x???1??????
x3!5!7!9!或利用余项： f
?0.5?10?54
2880?5n，n?2，I?S2??
33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：
0.3 -2.3333
0.3 -2.3333
?x1?4x2?2x3?24?
?3x1?x2?5x3?34?2x?6x?x?27
x??2.0,5.0000?
??13??12????x?5??1???x????234、(8分)求方程组 ???
11???2???1?
? 的最小二乘解。 ?36??x?1??ATA?x?AT
b?，??614??????x?2????8???20???x????1.3333， ???2.0000???
若用Householder变换，则：
??A,b????1.104.61880?
????1.10?4.6212.82843????000.81650??
最小二乘解： (-1.300)T
35、(8分)已知常微分方程的初值问题：
dydx?y,1?x?1.2 ?y(1)?2
用改进的Euler方法计算y(12
.)的近似值，取步长h?0.2。 k1?f?x0,y0??0.5，k2?f?x1,y0?hk1??1.?2?0.2?0.5??0.5238095
?k1?k2??2?0.1??0.5?0..1071429
36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
xf?x?dx?A?1?
0f??2???A1f?1?
取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：
2AA0?A1?，2
时，公式左右=1/4; f(x)=x3
时，公式左=1/5, 公式右=5/24
∴ 公式的代数精度=2
?1?A??111?b??2?37、（15分）已知方程组Ax?b，其中
??221??，???3??， （1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；
解：（1）Jacobi迭代法的分量形式
?x1(k?1)?1?2x2?2x3?(k?1)(k)(k)
?x2?2?x1?x3;k?0,1,2,??x(k?1)?3?2x(k)?2x(k)
?x1(k?1)?1?2x2?2x3?(k?1)(k?1)(k)
;k?0,1,2,??x2?2?x1?x3
?x(k?1)?3?2x(k?1)?2x(k?1)
Gauss-Seidel迭代法的分量形式
（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为
?B?D?1(L?U)???10?1??
???2?20??，
?1??2??3?0，?(B)?0?1，Jacobi迭代法收敛
Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为
?G?(D?L)?1U??02?3??
?1?0,?2??3?2，?(B)?2?1，Gauss-Seidel迭代法发散
??2x?y?dx?
38、（10分）对于一阶微分方程初值问题?y(0)?1，取步长h?0.2，分别用Euler预报－校
正法和经典的四阶龙格—库塔法求y(0.2)的近似值。 解：Euler预报－校正法
?1?yn?0.2(2xn?yn)?0.4xn?0.8yn?(0)
?yn?1?yn?0.1(2xn?yn?2xn?1?yn?1)?0.16xn?0.2xn?1?0.82yny(0.2)?y1?0.2?0.2?0.82?1?0.86
经典的四阶龙格—库塔法
y?y?(k1?2k2?2k3?k4)n?n?1
?k1?2xn?yn
?k?2(x?0.1)?(y?0.1k)
?k3?2(xn?0.1)?(yn?0.1k2)?
?k4?2(xn?0.2)?(yn?0.2k3)
y(0.2)?y1?0.8562
(k1?1....5943)
yn?1?yn?[?f(xn,yn)??f(xn?1,yn?1)]
239、（10分）用二步法求解一阶常微分方程初值问题
?y??f(x,y)
?y(x0)?y0，问：如何选择参数?,?的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截
断误差主项，并说明该方法是几阶的。 解：局部截断误差为
Tn?1?y(xn?1)?y(xn)?[?f(xn,y(xn))??f(xn?1,y(xn?1))]
?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)?y(xn)?[?y?(xn)??y?(xn?1)]
2!3!2 h2h3h
?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)?y(xn)??y?(xn)
hh2??[y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)?O(h3)]22!
?h(1??)y?(xn)?(1??)y??(xn)?(??)y???(xn)?O(h4)
???3?22???1???0?????1
y???(xn)12局部截断误差主项为，该方法是2阶的。
40、(10分)已知下列函数表：
(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算 解：（1）
f(1.5)的近似值。
(x?1)(x?2)(x?3)(x?0)(x?2)(x?3)(x?0)(x?1)(x?3)(x?0)(x?1)(x?2)
(0?1)(0?2)(0?3)(1?0)(1?2)(1?3)(2?0)(2?1)(2?3)(3?0)(3?1)(3?2)48
?x3?2x2?x?1
（2）均差表：327
N3(x)?1?2x?2x(x?1)?x(x?1)(x?2)
f(1.5)?N3(1.5)?5
41、(10分)取步长h?0.2，求解初值问题?y(0)?2，分别用欧拉预报—校正法和经
典四阶龙格—库塔法求
解：（1）欧拉预报-校正法：
?1?yn?0.2(8?3yn)?1.6?0.4yn?
?yn?1?yn?0.1(8?3yn?8?3(1.6?0.4yn))?1.12?0.58yn y(0.2)?y1?2.28
y(0.2)的近似值。
（2）经典四阶龙格-库塔法：
y?y?(k1?2k2?2k3?k4)n?n?1
?k?8?3(y?0.1k)
?k3?8?3(yn?0.1k2)?
?k4?8?3(yn?0.2k3) y(0.2)?y1?2.3004
42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分近似值（保留4位小数）。
2(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：
(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：
[1?2?(0....
S2?[1?4?(0..?0..111111]
43、(10分)已知方程组Ax?b，其中
????A??121b?1????112??，??
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。
解：（1）Jacobi迭代法：
?x(k?1)(k)(k)?1?(1?x2?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k)(k)
21?x3)/2??x(k?1)?(1?x(k)?x(k)3
1??22?B?D?1(L?U)??
?201???2??11?Jacobi迭代矩阵：
收敛性不能确定
（2）Gauss-Seidel迭代法：
??x(k?1)?(1?x(k)(k)
12?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k?1)(k)
21?x3)/2??x(k?1)3?(1?x(k?1)1?x(k?1)2)/2
22?G?(D?L)?1U??1
42???0?1?1Gauss-Seidel迭代矩阵：??88???
该迭代法收敛
(c?x?d)44、(10分) 求参数a,b，使得计算初值问题??y(x0)?y0
的二步数值方法
yn?1?yn?h[af(xn,yn)?bf(xn?1,yn?1)]的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。
解：y(x?hy?(xh2h3
n?1)?y(xn)n)?2!y??(xn)?3!y???(xn)?O(h4)
yn?1?y(xn)?h(ay?(xn)?by?(xn?1))
?y(xn)?ahy?n)?bh(y?(xn)?hy??(xn)?!y???(xn)?O(h42))
n)?(a?b)hy?(xn)?bhy??(xn)?2hy???(xn)?O(h4))
a?b?1?所以当??
2，即a?312,b??2时，
局部截断误差为(xbh3
yn?1?yn?1)?2y???(xn)?O(h4)?O(h3)
局部截断误差的主项为yn?1?y(xn?1)??4y???(xn)
，该方法为二阶方法。
《数值计算方法》复习试题一、填空题：???4?10?A???A???14?1??????0?14???1、，则A的LU分解为0??1??4?1??4?A???41?1??????1???0???? 答案：??????????????????。2、已知…
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