a1=1,a(n 1)=(2an)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-07-27 20:41 标签： 已知数列an满足a1 1
设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{an}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞-1，求证n≤n2(a1+an)，并给出等号成立的充要条件．【考点】；；；．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据Sn+1=a2Sn+a1，再写一式，两式相减，即可证得{an}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，n=n2(a1+an)等号成立，设n≥3，a2＞-1，且a2≠0，由（I）知a1=1，n=a2n-1，所以要证的不等式可化为2+…&+a2n-1≤n2(1+a2n-1)（n≥3），即证2+…&+a2n≤n+12(1+a2n)（n≥2），a2=1时，等号成立；再证明a2＞-1且a2≠1时，（2n-1）（2n-1-1）＞0，即可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵Sn+1=a2Sn+a1，①∴Sn+2=a2Sn+1+a1，②②-①可得：an+2=a2an+1∵a2≠0，∴n+2an+1=a2∵Sn+1=a2Sn+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1∵a2≠0，∴a1=1∴{an}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，n=n2(a1+an)等号成立设n≥3，a2＞-1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1，n=an-12，所以要证的不等式可化为2+…&+a2n-1≤n2(1+a2n-1)（n≥3）即证2+…&+a2n≤n+12(1+a2n)（n≥2）a2=1时，等号成立当-1＜a2＜1时，2n-1与2n-1-1同为负；当a2＞1时，2n-1与2n-1-1同为正；∴a2＞-1且a2≠1时，（2n-1）（2n-1-1）＞0，即2n+a2n-1＜1+a22n-1上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得2+…&+a2n-1)＜(n-1)(1+a2n)∴2+…&+a2n≤n+12(1+a2n)综上，n≤n2(a1+an)，等号成立的充要条件是n=1或2或a2=1．【点评】本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，考查叠加法的运用，需要一定的基本功，属于中档题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：刘长柏老师　难度：0.31真题：3组卷：153
解析质量好中差
&&&&，V2.17943已知数列{an}满足，a1=1，a2=2, a(n+2)=[an+a(n+1)]/2,令bn=a（n+1)-an，证明：{bn}是等比数列_百度知道
已知数列{an}满足，a1=1，a2=2, a(n+2)=[an+a(n+1)]/2,令bn=a（n+1)-an，证明：{bn}是等比数列
（2）求{an}的通项
提问者采纳
证明 令bn=a(n+1)-an2a(n+2)=an+a(n+1)∴2[a(n+2)-a(n+1)]=an-a(n+1)=-[a(n+1)-an]bn=a(n+1)-an,
∴2b(n+1)=-bn, 即b(n+1)/bn=-1/2∴{bn}是等比数列b1=a2-a1=2-1=1, {bn}是首项为1,公比为-1/2的等比数列∴bn=1*(-1/2)^(n-1)∴a(n+1)-an=(-1&#4哗龚糕夹蕹蝗革伟宫连7;2)^(n-1)∴an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2),
a(n-1)-a(n-1)=(-1/2)^(n-3)
a2-a1=(-1/2)^0上面各式叠加得 an-a1=(-1/2)^0+……+(-1/2)^(n-3)+(-1/2)^(n-2)
=[1-(-1/2)^(n-1)]/(1+1/2)=(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]∴an=a1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]=5/3-(2/3)*(-1/2)^(n-1)=5/3+(1/3)*(-1/2)^(n-2)
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出门在外也不愁设b>0,数列{an}满足a1=b ,an=nba n-1 / a n-1 +2n-2 (n≥2).证明对于一切正整数n,an≤[b^（n+1）]/a(n-1)+1上面错了，题目是这个：证明对于一切正整数n，an≤[b^（n+1）]/2^(n+1)+1高考压轴题最后一问。
油条喝豆浆32
先求出an后面就好做了.
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扫描下载二维码已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a≠0），（其中p为非零常数，n∈N*）．（1）判断数列是不是等比数列？（2）求an；（3）当a=1时，令，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn．考点：数列的求和；等比关系的确定．.专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由an+2=p?可求得=p?，利用等比数列的定义即可判断数列是否为等比数列；（2）利用累乘法an=?…?a1=（apn﹣2）×（apn﹣3）×…×（ap0）×1即可求得an；（3）当a=1时，bn==np2n﹣1，利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列{bn}的前n项和Sn．解答：解：（1）由an+2=p?得=p?…（1分）令cn=，则c1=a，cn+1=pcn．∵a≠0，∴c1≠0，故=p（非零常数），∴数列是等比数列，…（3分）（2）∵数列{cn}是首项为a，公比为p的等比数列，∴cn=c1?pn﹣1=a?pn﹣1，即=apn﹣1．…（4分）当n≥2时，an=?…?a1=（apn﹣2）×（apn﹣3）×…×（ap0）×1=an﹣1，…（6分）∵a1满足上式，∴an=an﹣1，n∈N*．…（7分）（3）∵=?=（apn）×（a?pn﹣1）=a2p2n﹣1，∴当a=1时，bn==np2n﹣1．…（8分）∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n﹣1，①p2Sn=1×p3+…+（n﹣1）p2n﹣1+n×p2n+1②∴当p2≠1，即p≠±1时，①﹣②得：（1﹣p2）Sn=p1+p3+…+p2n﹣1﹣np2n+1，∴Sn=﹣，p≠±1．…（11分）而当p=1时，Sn=1+2+…+n=，…（12分）当p=﹣1时，Sn=（﹣1）+（﹣2）+…+（﹣n）=﹣．…（13分）综上所述，Sn=…（14分）点评：本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想，属于难题．广东省深圳市2013届高三第一次模拟数学理试卷答案
考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（）由可求得，利用等比数列的定义即可判断数列是否为等比数列；（）利用累乘法（）（）（）即可求得；（）当时，，利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列的前项和．解答：解：（）由得（分）令，则，．∵，∴，故（非零常数），∴数列是等比数列，（分）（）∵数列是首项为，公比为的等比数列，∴，即． （分）当时，（）（）（），（分）∵满足上式，∴，∈． （分）（）∵（）（），∴当时，． （分）∴，①（）②∴当，即时，①②得：（），∴，．　 （分）而当时，，（分）当时，（）（）（）．（分）综上所述，（分）点评：本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想，属于难题．相关试题

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