【数学都知道】日
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作者：蒋迅我一直想减少对中文资讯的收集，但我必须承认，我失败了。面对如此众多的好文，我难以割舍，结果仍然保留了大量的中文连接。以往的【数学都知道】在。《数学文化》的掏宝网址是：。AutoCAD通常用在机械设计上。用来找素数也算新奇。给出一个自然数，它的翻转就是将它的各位数字按相反方向重新排列所得到的数。比如，123的相反数是321。可以证明，不存在一个自然数翻转时加倍的自然数。但有无穷多几乎加倍的自然数。相关阅读：这里是一些违背直觉的数学上的反例。阿基米德称这三个半圆构成的图形叫做“鞋匠刀(arbelos)”。曾证明鞋匠刀形的面积正好是两个小圆相切处垂线长为直径的圆的面积。公元三世纪最后一位重要的几何学家帕普斯给出了更漂亮的结果：如果鞋匠刀形内切一连串圆，由大到小，第n个圆的圆心离底线的高度是它的直径的n倍。这个图形是由制作的。现假设B'C = BC。那么在每个图中两个不同颜色的区域的面积是相等的。想学TeX？到这个沙盘上练手吧。 (英文版)英文版的九章算术：方田， 粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。值得推荐。斯坦福大学的两位数学家在arXiv.org上，宣称发现了素数的一个分布规律。素数是只能被1及其自身整除的数，它的分布至今没有观察到规律，但和 对前10亿个素数的分析，一个尾数为9的素数有约65%的概率更可能紧跟著一个尾数为1的素数而不是另一个尾数为9的素数。这项发现挑战了素数是随机分布的传统观点。绝大多数数学家认为，下一个素数尾数为1，3，7，9的机会应该是均等的。相关阅读：。英国数论学家Andrew Wiles因在1994年证明困扰数学家三百多年的费马大定理而获得。阿贝尔奖被誉为数学界的诺贝尔奖。今年62岁的将获得大约70万美元的奖金。费马大定理是指关于x、y和z的不定方程 xn + yn = zn，当n&2时没有正整数解。Wiles之前已经因为证明了这个问题而获得了许多奖项，其中最为重量级的是菲尔茨特别奖（他的年龄超过了获奖年龄上限40岁）。相关连接：David A. Cox: ，，，。AlphaGo 在全世界掀起了一股围棋热潮。借著这股热潮，我在我住的小镇搞了一个演讲，目的是普及围棋文化，顺便科普一下人工智能。因为来听讲的都是中国人，全程中文演讲。前面13分钟围棋简介，会下棋的可以跳过。演讲PPT，地址是：。Youtube分三个小视频，地址是 MIT和 Innsbruck大学的计算机科学家组装了一台5量子比特的量子计算机，，破解常用的RSA公钥加密算法。量子计算机的超叠加态特性使它在并行计算上远胜于传统计算机。MTI数学教授在1994年提出了用量子计算机分解大数的 Shor算法，但他没有办法测试它。2001年MIT的物理学家和电机工程师设法使用这个算法去分解15。但他使用的量子系统不具有按比例放大的能力，无法分解更复杂的数。在最新研究中，Chuang和他的团队想要创造一台分解大於15的数的量子计算机，这种量子计算机能稳定储存量子比特。他们的量子计算机原型使用了一系列离子，用电场固定离子的位置，用激光脉冲进行操作。他们用4个量子比特去执行Shor算法去分解数字，1个量子比特用于输出。Chuang称他们的原型能放大去分解任意大数。发表在《科学》期刊上。相关阅读：。美国计算机学会（ACM）宣布了：前Sun首席安全官 Whitfield Diffie和斯坦福教授Martin E. Hellman，以表彰他们在现代加密学上的重要贡献。1976年，Diffie和Hellman发表了突破性的论文《》（PDF），提出了公钥加密和数字签名的思想。被广泛使用的密钥交换协议DH是以他们的名字命名的。图灵奖被誉为计算机科学领域的诺贝尔奖，在获得Google的捐赠后其奖金也达到了100万美元。ACM主席Alexander L. Wolf称，加密主题是今天媒体关注的中心，被视为事关国家安全，影响政府-私营部门的关系，吸引了数十亿美元的资金投入到研究开发上。Google的杰出科学家Andrei Broder说，公钥加密系统是今天互联网行业的基础，确保了通信的完整性和保密性。2月28日，美国第88届奥斯卡奖开奖。反映2008年金融风暴的华尔街内幕喜剧片《大空头》，获得了“最佳改编剧本”奖。这部电影改编自纽约州畅销小说作家麦克尔 刘易斯（Michael Lewis）的同名非虚构小说。小说原型中，有一名来自中国上海的数学天才徐尤金（音译，Enguene Xu）。故事讲述的是2007-08年间，华尔街四名投资人预测美国房市即将崩盘，於是赌注信用违约掉期（Credit Default Swap，CDS）的金融产品。当市场真的像他们下的赌注那样溃泻时，他们就赚爆了。而准确预测这个诡异的市场走向的人，就是德意志银行的“量化分析师”，俗称“宽客”（Quant）的徐尤金。连接：“帕德滞后”(Pade Delay) 一直被当作是一件麻烦的事情。帕德近似就是为处理截断函数逼近而开发出的一个有理多项式近似法。作者用Python程序做了许多试验。历史上出现过很多非常不直观的字符编码方式。 EBCDIC 是由 IBM 提出的一种字符编码标准，它的编码方式十分古怪。如果要写出大写字母在 EBCDIC 中的编码和在字母表中的顺序之间的数学关系，这想必是非常困难的。不过，你相信吗，有一种方法可以让我们用四个数学运算符号就把这个数学关系表达出来。具体地说，存在一个只包含四个数学运算符号的函数 g(x) ，使得把上表中用到的编码代入后，所得的函数值正好表示，编码所对应的字母是字母表中的第几个字母。“离散分析”是一个新的在线期刊，连接：。 (PDF)说英语时，我们可能经常发现无法口头表达一个数学语句或词汇。没关系，都在这里了。学了复数后，我们发现直觉会出错。比如一个数的平方可能是负的：$i^2 = -1$。这里有更多的例子。蒂莫西·高尔斯对学术出版的第一大冲锋几乎开始于一次意外。2012年，这位剑桥大学数学家在自己的博客发文，哀叹期刊收取高昂的价格。高尔斯发誓要停止向世界上最大的学术出版商爱思唯尔投送他的论文。但是四年后，情况没有太大的变化。Reddit是开源的，它的Python源程序就在。作者给出了Reddit的排名算法和分析。1，现在的微分方程导引之类的材料都过期了；2，一阶微分方程的讨论要减到最小；…还有八条，自己读吧。目前，人们还没有找到任何高效的算法，能迅速判断出两个图是否同构。在普通计算机上，判断两个图是否同构，这需要花费大量的时间。因此，人们经常以图的同构为例，来解释复杂度理论和现代密码学中的诸多概念。高德纳是著名计算机学家，斯坦福大学计算机系荣誉退休教授。高德纳教授为现代计算机科学的先驱人物，创造了算法分析的领域，在数个理论计算机科学的分支做出基石一般的贡献。在计算机科学及数学领域发表了多部具广泛影响的论文和著作。1974年图灵奖得主。这是Bruce Ferrington 去年对他的一次采访。创建一个双螺旋的办法是从一个黎曼球面（恒向线）的上面做光线投影。这种类型的投影的被称为立体投影 (stereographic projection)。隐式曲面就是由方程 F(x,y,z) = 0 所定义的欧氏空间里的曲面。这里列举的是一些著名的二次、三次、四次、五次、六次及高次隐式曲面。藤村幸三郎的三角形问题（）是一个离散几何上未解决的问题，该问题首先由藤村幸三郎（Kobon Fujimura）提出。这个问题问说“对k条线进行排列，则在此直线排列（Arrangement of lines）中，以这k条线为边且彼此不重叠的三角形最多有多少个？”现在一说起人工智能的起源，公认是1956年的达特茅斯会议。殊不知还有个前戏：1955年，美国西部计算机联合大会（Western Joint Computer Conference）在洛杉矶召开，会中还套了个小会：“学习机讨论会”（Session on Learning Machine）。讨论会的参加者中有两个人参加了第二年的达特茅斯会议，他们是塞弗里奇（Oliver Selfridge）和纽厄尔（Allen Newell），塞弗里奇发表了一篇模式识别的文章，而纽厄尔则探讨了计算机下棋，他们分别代表两派观点。讨论会的主持人是神经网络的鼻祖之一皮茨（Pitts），他最后总结时说：“（一派人）企图模拟神经系统，而纽厄尔则企图模拟心智（mind）但殊途同归。”皮茨眼可真毒，这预示了人工智能随后几十年关于“结构与功能”两个阶级、两条路线的斗争。1988年7月，毛新宇北大附中毕业，其母、毛泽东的儿媳邵华曾找到北大校长丁石孙，说“我家三代都属於北大”。而丁石孙却说，“无此必然性啊”。邵华说，“新宇就该上北大”。丁石孙又言，“北大校风自由，同学好动，我担心他进来无法保障安全”。无奈之下，毛新宇最终只能屈尊就读了人大历史系。另，这位校长在。《炎黄春秋》2013年第10期上的一次专访中，丁校长说，“学生要去游行，绝对不是少数人煽动，而是学生关心国家大事。如果是少数人煽动的话，就说明我这个校长无能。我掌握学校的领导权，都煽动不起来，他们怎么能煽动起来呢？”在科学和生活中，如果说我们用到了数学，那么用到的算法多于方程。许多人在上大学之前都没有机会接触哲学课，但其实早点学习哲学对小孩子有好处。最近有一个数论的新的令人意外，但又能合理解释的素数偏差的结果。原来素数的分布并不是原来想像的那样随机。本文证明在8维实空间里，单位球的包装的密度不可能比格点包装（lattice packing）大 (PDF)制作的古色古香，大概是因为收集的多是古人的警言吧。“Number is the ruler of forms and ideas, the cause of gods and daemons.”，这是毕达哥拉斯说的。“It is impossible to be a mathematician without being a poet in soul.”柯瓦列夫斯卡娅说。“All the measurements in the world cannot balance one theorem”，高斯指的是什么？新发现的一个数学期刊。免费的。下一期的“数学嘉年华”(Carnival of Mathematics，第133期) 将由它主办。以前介绍过，然后就是很久的空缺。你去跟踪了吗？如果没一个人跟踪，那我的博客就是失败的。能填满平面的希尔伯特曲线有什么现实应用？涉及无限的数学结论怎样应用在有限的世界中？相同视频：。关于阿尔法狗的文章很多。我收集了一些在这里：这是一个在线的、免费的、需要评审的研究性杂志，领域包括实、复解析空间和映射，次解析空间、层化、奇点解、超平面构形、混合霍奇理论等等。2010年创办。Zamolodchikov的四面体方程 (Zamolodchikov tetrahedron equation) 是嵌入到四位空间中的曲面的基本定律。本文是一个介绍。这是在上的一个讨论。可以用微积分。题目似乎可以扩展。平行停车是否可以做到？这当然是可以计算的。但令人惊讶的是，这怎么跟李群也有关系？连接：。概率里有均值和中值两个概念，它们类似又不同。但为什么要中值呢？这是在Reditt上的一个讨论。这么详细的讨论好像不多见。斯坦福大学一门计算机课 (CS103) 的网页。内容很丰富。老师：。我相信我们能做得更好。仅是因为绝大部分物理教科书(并非全部)都对牛顿运动定律有著详细的解析，并不意味这种表述方式最有利於学生的理解。脸书也发论文了，很值得一看。这个学校每周一次数学品茶。当然不是真地喝茶啦，这是教授和学生们一起玩游戏的时间。上个星期，我们一起做了实验 (布丰投针问题)。都知道这是怎么回事，但你真地试过一次吗？相关阅读：。始于1981，每年在MIT逗会有这样一个比赛。参加的学生到黑板前做积分，看谁又快又好。现在这种比赛在一些大学里进行。有几个例子。对大家来说就是小菜一碟儿吧？看守打算和 A 、 B 两名囚犯做一个游戏。首先，看守从一副牌中取出大小王，将剩余的 52 张牌洗好，并在桌子上从左至右地把它们摆成一排，每张牌都是正面朝上。然后，看守让囚犯 A 来到桌前，允许囚犯 A 观察牌面，并交换其中两张牌的位置。接著，看守将囚犯 A 关回牢房，把所有牌全都翻到背面朝上（但位置不变），让囚犯 B 来到桌前。看守随便报出一张牌的花色和点数（比如“梅花 3”），要求囚犯 B 找出这张牌。囚犯 B 每次可以翻开任意一张尚未翻开的牌，但一共只有 26 次机会。如果囚犯 B 在这 26 次机会之内找到了看守想要的牌，则两名囚犯赢得游戏，无罪释放；如果囚犯 B 翻开了 26 张牌之后，还没找到看守想要的牌，则两名囚犯输掉游戏，立即死刑。在整个游戏开始之前，两名囚犯可以商量一个策略；游戏开始后，两人就不能有任何其他形式的交流。果不其然，这又是一个关满了数学天才的监狱。两名囚犯碰头后，很快就商量出了一种必胜的策略。这种必胜的策略是什么？康威生命游戏是英国数学家约翰·何顿·康威在1970年发明的细胞自动机。这么多年后还有新的发现。延伸阅读：本文对核方法（kernel method）进行简要的介绍。英文阅读：。用正则表达式并不擅长解决数学问题。对一个正则表达式系统，字符从0到9,和其他的一样，并没有什么特殊的地方。在这里我需要提到两个例外Perl和PCRE，这两个例外允许动态代码在匹配过程中的任何一点上运行，这为我们提供了大量额外的契机。Perl是通过代码嵌入正则表达式，PCRE用标注系统去表达外部函数。但正则表达式偏好这些例外，甚至利用他们去拓展自己的能力，让方程式告诉你更多，呈现的更完整。一般的，有关数学的问题像匹配数值范围（matching numeric ranges）（在匹配一些需画大量时间的长文本的任务上很有用）在运行中是一个痛，如果他们有可能的话。我去了普林斯顿念研究生。能追随施泰因(Eli Stein)学习是我最大的幸运，他不仅是一位伟大的数学家，而且也许是我见过的最好的数学老师。施泰因的教学和榜样对我的工作仍然是一个主要的影响。哥哥查尔斯(Charles) 为我树立了一个卓越的榜样，记得看到他的绚烂成就和热情时，我也非常欣赏数学，虽然我在学校的早期经历并不是非常令人满意。我对数学的喜爱直到高中后期才发展起来，那时我遇到了一个杰出的微积分老师。正是在这门课上，我决定认真地考惮7b做一个数学家，数学的优美和深度也变得极其清晰。我记得我一生中最好的教育经历是阅读函数论方面的东西，我进入大学非常坚定地要追求这个学科作为主攻方向。在马里兰大学，我的教授，特别是霍瓦特(John Horvath)和马克莉(Nelson Markley)，在为我指点进入研究生院成长所需要的背景方面展现出极大的天赋和耐心。当我进入普林斯顿研究生院时，我相信我已经准备好从那个极其富饶的环境中汲取营养。建立双方在互联网上私下沟通的安全通道，是数十亿人使用互联网的根本。每一天，个人和银行、电子商务网站、邮件服务器和云平台都在建立著联系。Diffie 和 Hellman 在 1976 年的开创性论文 New Directions in Cryptography（密码学的新方向），介绍了公钥和电子签名的方法，这是今天大多数互联网安全协议的基础。Diffie-Hellman 协议保护保护著每天互联网的沟通，以及万亿美元的金融交易。1956年的达特茅斯会议(Dartmouth Conference)被公认为是人工智能的起源。殊不知，1955年在洛杉矶召开的美国西部计算机联合大会(Western Joint Computer Conference)上已经展开了“学习机讨论会”(Session on Learning Machine)。讨论会的参加者中有两个人参加了第二年的达特茅斯会议，他们是奥利弗·赛弗里奇(Oliver Selfridge) 和艾伦·纽厄尔(Alan Newell)。赛弗里奇发表了一篇关于模式识别的文章，而纽厄尔则探讨了计算机是否能下棋。他们分别代表两派观点。讨论会的主持人是神经网络的鼻祖之一皮茨(Pitts)，他最后总结时说“（一派人）企图模拟神经系统，而纽厄尔则企图模拟心智……但殊途同归”。这预示了随后的几十年人工智能关于“结构与功能”两条路线的斗争。1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了关于探寻宇宙形状的“庞加莱猜想”，自此后的100年间，不断有数学家向这个千禧难题发起挑战，最终庞加莱猜想被俄罗斯数学家格里戈里□佩雷尔曼以令人惊叹的绝妙方法证明。然而这位神秘的天才数学家却拒绝了2006年菲尔兹奖……庞加莱猜想究竟是什么？宇宙的形状又如何？佩雷尔曼是如何证明庞加莱猜想的？本书为日本NHK特别节目制作组关于“庞加莱猜想”的专题纪录，将带领读者一起追寻宇宙的形状与神秘数学家的线索、谜题与真相。继续阅读：，。数据分析中的建模，并没有想象中那么高深莫测，人人都有机会做出自己的模型。继续阅读：NSA就是国家安全局 确切来说 也不是他们找上我的 他们在普林斯顿专设有一个机构 专门雇佣数学家 用于破解密码之类的 我本来就知道这个机构的存在 他们的政策非常诱人 因为你可以把半数时间花在你自己的数学研究上 还有至少一半的时间要为他们解决事务 而且他们给的报酬很丰厚 这有著无法抵抗的诱惑力 所以我就去那儿了。英文：。吴宝珠（Ngo Bao Chau），1972年生于越南河内，2010年菲尔兹奖得主，现为芝加哥大学教授。他因证明罗伯特·朗兰兹和戴安娜·谢尔斯塔德的自守形式基本引理而知名，获《时代杂志》选为2009年十大科学进展之一。蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。对於许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。它诞生于上个世纪40年代美国的&曼哈顿计划&，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。相关阅读：。通常，我们会遇到很多问题无法用分析的方法来求得精确解，例如由於式子特别，真的解不出来；一般遇到这种情况，人们经常会采用一些方法去得到近似解。本文要谈的随机模拟就是一类近似求解的方法，这种方法非常的牛逼。它的诞生虽然最早可以追溯到18xx年法国数学家蒲松的投针问题（用模拟的方法来求解\pi的问题），但是真正的大规模应用还是被用来解决二战时候美国佬生产原子弹所碰到的各种难以解决的问题而提出的蒙特卡洛方法（Monte Carlo)，从此一发不可收拾。本文将分为两个大类来分别叙述，首先我们先谈谈随机模拟的基本思想和基本思路，然后我们考察随机模拟的核心：对一个分布进行抽样。我们将介绍常用的抽样方法，1. 接受-拒绝抽样；2）重要性抽样；3）MCMC（马尔科夫链蒙特卡洛方法）方法，主要介绍MCMC的两个非常著名的采样算法（metropolis-hasting算法和它的特例Gibbs采样算法）。在求取有约束条件的优化问题时，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件是非常重要的两个求取方法，对於等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用KKT条件去求取。当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化。之前学习的时候，只知道直接应用两个方法，但是却不知道为什么拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件能够起作用，为什么要这样去求取最优值呢？本文将首先把什么是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件叙述一下；然后开始分别谈谈为什么要这样求最优值。一个原本有望成为国际密码学研究新技术的GGH密码映射方案，最近被西安电子科技大学综合业务网理论及关键技术国家重点实验室的胡予濮教授攻破。胡予濮教授与他的博士研究生贾惠文，对GGH映射本身以及基於GGH映射的各类高级密码应用进行了颠覆性的否定。该研究成果──《GGH映射的密码分析》（Cryptanalysis of GGH Map），日前经过同行专家的严格评审，已经被2016年欧洲密码年会（Eurocrypt 2016，简称欧密）正式接收。这一会议和美洲密码年会（简称美密），被公认为密码学界最著名的两大国际会议。日，胡予濮将赴奥地利维也纳，在欧密会上，正式向全世界的密码同行报告这一突破性成果。按照孟德尔的定律，生物的每一个形状，比如说眼睛的颜色，都是由一对基因来控制的。这一对基因中的每一个，可能是显性，也可能是隐性。当时英国的遗传学家普纳特(Reginald C. Punnett)是孟德尔定律的热情支持者，但面对反对者的这个指责，他也觉得无法自圆其说。有一天，他跟他的朋友、著名的数学家哈代(Gedfrey H. Hardy)共进午餐。普纳特向哈代简略介绍了孟德尔定律，然后说出了自己的困惑。哈代拿起笔在餐巾上算了一番，得出结论：如果没有其它因素加入的话，最初表现型的比例是多少，许多代以后也会是多少，而且一直保持不变。普纳特大喜过望，要求把这个结果拿去发表。哈代却拒绝了，在他看来，这个结论实在是太简单了，根本不值得发表，发表出来反而会影响他在数学界的名声。但是普纳特还是擅自把它发表了，并把它称为“哈代定律”。差不多同时，德国的医生温伯格(Wilhelm Weinberg)也独立作出了同样的发现，因此这条定律就被称为“哈代－温伯格定律”。后来，人们又发现美国的遗传学家卡斯特实际上在几年前就已发表了这条定律，只不过象当初的孟德尔定律一样被埋没了而已，所以这条简单的定律就有了一个长长的名称：卡斯特－哈代－温伯格定律，其现代表述是：遗传不会影响基因频率，也就是说，如果没有自然选择、突变和基因漂移的影响，一个生物群体中的表现型比例保持不变。最近一个赌场的老板发现生意不畅，於是派出手下去赌场张望。经探子回报，有位大叔在赌场中总能赢到钱，玩得一手好骰子，几乎是战无不胜。老板根据多年的经验，推测这位不善之客使用的正是江湖失传多年的“偷换骰子大法”。一位名叫HMM帅哥，告诉老板他有一个很好的解决方案。不用近其身，只要在远处装个摄像头，把每局的骰子的点数都记录下来。然后HMM帅哥将会运用其强大的数学内力，用这些数据推导出：1. 该大叔是不是在出千? 2. 如果是在出千，那么他用了几个作弊的骰子?　还有当前是不是在用作弊的骰子。3. 这几个作弊骰子出现各点的概率是多少? 天呐，老板一听，这位叫HMM的甚至都不用近身，就能算出是不是在作弊，甚至都能算出别人作弊的骰子是什么样的。那么，只要再当他作弊时，派人围捕他，当场验证骰子就能让他哑口无言。 HMM是何许人也? 在让HMM开展调查活动之前，该赌场老板也对HMM作了一番调查。HMM (Hidden Markov Model), 也称隐性马尔可夫模型，是一个概率模型，用来描述一个系统隐性状态的转移和隐性状态的表现概率。话说，有一天卡布列克偶然经过一条铁路道，瞥见铁路旁边的里程指示牌，上面写著3025公里。但是因为受到了龙卷风的影响，指示牌被拦腰折断，3025这个四位数也被一分为二，30和25。身为数学家，卡布列克对数字有著常人不及的敏感和直觉，开始琢磨起来，是哪里这么奇怪呀？突然，灵光一闪，30+25=55，而552=3025，原数又再次显现出来了。上个世纪50年代初期，马克维茨提出证券投资组合理论，第一次明确地用数学工具给出了在一定风险水平下按不同比例投资多种证券，收益可能最大的投资方法，引发了第一次&华尔街革命&。马克维茨也因此获得了1990年诺贝尔经济学奖。1973年，美国金融学家布莱克和舒尔斯用数学方法给出了期权定价模型，推动了期权交易的发展，期权交易很快成为世界金融市场的主要内容，成为第二次&华尔街革命&。浙江大学、浙江工商大学和中科院理论物理研究所的论文公布在了预印本网站上。根据媒体的宣传，研究者“找到了石头剪刀布的制胜策略”。自然而然地，很多网友的反应是：“这还需要你研究？”但是只需扫一眼就会发现，研究者不幸又被标题党坑了。他们寻找的不是怎样玩赢剪子包袱锤，而是通过人们在剪子包袱锤里的行为来判断哪一种理论更能预测人类──是传统博弈论的纳什均衡，还是演化博弈论。相关阅读： 一般来说，投影图像还具有时间和彩色的维度。但我们大部分关注静态和灰度的图像。这个图像可以表示为二维的标量函数I(x,y)，也就是给定每个位置(x,y)，会得到一个对应的灰度值I(x,y)。尽管位置和灰度值都应该是连续的，但典型的情况是离散采样。也就是说x和y是整数，而灰度值在每个点采样。在数字系统中，采样一般也是矩形。但实际上，生物系统中的空间采集采样并不是矩形的，甚至是无规律的。视觉就是从这种图像数据中提取信息的。物理环境的信息包含在这个图像中的，但很遗憾，是隐含著的。视觉系统必须将这种隐含的信息变换成明确的形式，例如识别环境中的物体。但这不是一件容易的事情。压缩感知（压缩传感，Compressive Sensing）理论是近年来信号处理领域诞生的一种新的信号处理理论，由D. Donoho(美国科学院院士)、E. Candes(Ridgelet, Curvelet创始人)及华裔科学家T. Tao(2006年菲尔兹奖获得者)等人提出，自诞生之日起便极大地吸引了相关研究人员的关注。网站上可以获取大量相关的论文。在日常生活中我们常常会看到，猫咪睡觉时总是抱成一个球，毛茸茸的一团，萌萌哒特别招人喜欢，那么，你思考过为什么猫咪抱成一个圆团睡觉呢，难道仅仅是因为姿势舒服吗？这背后是否有什么数学原理呢？实际上，不只是猫咪，许多动物睡觉时都是蜷缩起来，远远看去就像一个圆球。这是因为，在所有立方体中，球体的表面积与体积比是最小的，就是说，球形是同体积几何体中，表面积最小的。1640年，16岁的帕斯卡发表了《试论圆锥曲线》的8页论文，文中包含了三条定义，三个引理和一些定理。其中被认为是射影几何上最重要的定理：“圆锥曲线的内接六边形，延长相对的边得到三个交点，这三点必共线”。该定理命名为帕斯卡定理，定理中的六边形叫做“神秘六边形”。据说帕斯卡从这个定理导出了400多条推论。帕斯卡定理向人们展示了射影几何深刻、优美的直观魅力，其宏伟壮观的气势令人惊叹！支持学生相互讨论意味著数学可以是一种认识和存在的方式，而不仅仅是现有知识的一个实体（虽然作为一组工具的数学的价值经过长期的发展不能被边缘化），作为学生在理解什么是数学以及数学的价值时，他们更愿意把自己看作是数学家的一员，而不是一个与些无关的局外人。他们可以把自己看作是数学社团的一员。在19世纪接近尾声时，数学家康托尔发展了一种更微妙的方式定义数学的无穷，它使数学世界开始发生变化。康托尔认识到，有一个最小类型的无穷大：永无休止的自然数列1、2、3、4、5...。他称这是一个可数无穷大。任何其他的无穷大，如果可以通过把其成员以一对一的方式对应到所有自然数，也被称为可数无穷大。“无穷小”的思想实际上最初是在哲学范围内提出的，无论是在古希蜡还是在中国都是如此。哲学家对“无穷小”进行了一定的论述，这正是“无穷小”方法得以在古希蜡和古代中国的科学发展中应用的思想基础。可以说这是一篇小说。用这种形式告诉读者数学的重要很有意思。我们如何量化幽默感呢？它是如此复杂又个性化。来自阿尔伯塔大学的研究者们为此量身定做了一个数学模型，发现幽默或许不仅仅关乎个人，还与演化和社会信息交流有关。你很有可能不知道题目说的什么意思。首先你要知道什么是“摆”。不是摆好杯子的“摆”，事实上,它和傅科摆及科里奥利力相联系。不知道算不算几何学，但是莱洛三角形是挺神奇的。平稳地搬运东西不一定要用圆木。上下山问题：上山速度3m/s，下山速度5m/s，平均速度不是4m/s。芝诺悖论：阿基里斯的速度是乌龟的百倍，乌龟在阿基里斯前一百米。当阿基里斯跑到乌龟现在的位置时，乌龟多跑出去了一米；阿基里斯追上这一米时，乌龟又多跑了一厘米；以此类推，阿基里斯永远追不上乌龟。（0.999…=1与芝诺悖论是异曲同工）N之前素数的分布频率与ln(N)/N几乎相合。三门问题：三扇门背后只有一扇门有奖金，另外两扇是空门。参与者选择一扇门后，主持人打开余下两扇门中一扇空门。这时参与者换门获奖率是2/3，不换门的获奖率是1/3。男女孩问题：一家人有两个孩子，其中有一个女孩。另一个孩子是男孩的概率是2/3。对於许多学生来说，数学课就是噩梦。许多在学前班表现出很强数学能力的孩子在上学后反而开始讨厌数学。在一个斯坦福大学的教育学教授看来，这个问题是一个思维定式的问题。相关阅读：，，。上篇介绍了中学数学是什么，下篇才真正进入主题：什么人需要学习高深的数学？数学对於非数学工作者意味著什么？继续阅读：。 & &在很多人抱怨学不好数学的时候，也有人能用自己的方法学好这门课。兴趣是一个动力，方法助你走得更快。作者王冲，是一个像matrix67那样的数学爱好者。这是他的意见，供大家参考。这篇文字回答的问题在知乎上共有近万关注。作者在文中提及了大量例子，对我们学习数学有一定参考价值。继续阅读：。“最美妲己”傅艺伟吸毒检测成阳性！几天前，这一消息火爆网络。以吸引眼球为己任的部分媒体，立即进行了大篇幅报导。当然，最终以“妲己”认罪为结束。一个曾让万千粉丝喜爱的明星成为吸毒者，总是让人扼腕叹息的。但是，我在这篇文章要说的是关于吸毒者检测的事情，顺便向大家介绍一下数学概率与统计中的贝叶斯法则。可能有很多朋友在网上看过google公司早几年的招聘广告，它的第一题如下了:{first 10-digit prime found in consecutive digits e}.com，e中出现的连续的第一个10个数字组成的质数。据说当时这个试题在美国很多地铁的出站口都有大幅广告，只要正确解答了这道题，在浏览器的地址栏中输入这个答案，就可以进入下一轮的测试，整个测试过程如同一个数学迷宫，直到你成为google的一员。又如Intel某年的一道面试题目:巴拿赫病故于日。他的出生年份恰好是他在世时某年年龄的平方，问:他是哪年出生的?这道看似很简单的数学问题，你能不能能快地解答呢?下面则是一道世界第一大软件公司微软的招聘测试题:中间只隔一个数字的两个素数被称为素数对，比如5和7，17和19，证明素数对之间的数字总能被6整除(假设这两个素数都大於6)，现在证明没有由三个素数组成的素数对。这样的试题还有很多很多，这些题目乍初看上去都是一些数学问题。但是世界上一些著名的公司都把它们用于招聘测试，可见它们对新员工数学基础的重视。数学试题与应用程序试题是许多大型软件公司面试中指向性最明显的一类试题，这些试题就是考察应聘者的数学能力与计算机能力。某咨询公司的一名高级顾问曾说:微软是一家电脑软件公司，当然要求其员工有一定的计算机和数学能力，面试中自然就会考察这类能力。微软的面试题目就考察了应聘人员对基础知识的掌握程度、对基础知识的应用能力，甚至暗含了对计算机基本原理的考察。所以，这样的面试题目的确很“毒辣”，足以筛选到合适的人。相关阅读：，。卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢? 本文举四个现实生活的例子来理解卷积的物理意义。另：「卷积神经网络CNN是Deep Learning的一个重要算法，在很多应用上表现出卓越的效果，[1]中对比多重算法在文档字符识别的效果，结论是CNN优于其他所有的算法。CNN在手写体识别取得最好的效果，[2]将CNN应用在基於人脸的性别识别，效果也非常不错。」 →_→。美国总统布什曾在“国情咨文”中强调指出，保持美国竞争力最重要的是继续保持美国人在知识技能和创造性方面的领先优势。他宣布将实施“美国人竞争力计划”：在未来10年把用于数学、物理等基础学科教育和研究的财政预算翻倍；鼓励美国青少年学习更多、更深入的数学、物理等基础科学知识；增加培养约7万名高中教师，其中包括3万名数学、物理和科学研究学科的教师，以及将对研究开发活动实施永久性减税等。吴文俊认为，这是一个大国对数学的态度。CFD界：编程技巧和CFD基本理论，哪一个更加重要？网格对FVM计算重要性如何？从个人经验来讲，如何学习CFD？相对於商业代码，OpenFOAM的特性是什么？您为什么选择C++开发CFD代码而不是FORTRAN？在未来，我希望C++被一个更干净、简单、有力的语言代替，这个语言需要支持泛型编程，这对OpenFOAM以及其他相类似的代码非常重要。我一直关注编程语言的发展，我认为C++的可能的代替品有Nim，Rust以及Chapel，然而目前这些语言缺少一些我需要的必要功能，添加这些功能，比如C++中的高度的泛型编程概念，可能需要很多年。我希望他们在若干年后添加这些特性。同时，C++的缺陷需要妥善处理。在C++17中，我希望“概念”（concept）和“模块”（module）特性会被加入，所有的C++编程人员都会受益。互联网时代绝大多数的加密，都由 RSA 算法完成。过去我们认为 RSA 不可破解，但随著量子计算的发展，RSA 的安全性正受到挑战。今天刊发在《科学》杂志的最新论文，量子计算机有史以来第一次以可扩展的方式，用 Shor 算法完成对数字 15 的质因数分解。IBM 物理科学高级主管 Mark Ritter 表示，将 Shor 算法实现出来这件事，能够与经典计算中的 “Hello, World” 相提并论。英国天文学家詹姆斯金斯爵士（Sir James Jeans，瑞利-金斯公式的提出者）曾断言：“上帝是个纯粹数学家！”我们的宇宙看起来也的确是围绕著优美的数学关系式而构建的，而让物理学家们最为著迷的那个数，则是137.。最近在算路径积分的时候，频繁地遇到了以LIshang上两种无穷级数，当然，直接用Mathematica可以很干脆地算出结果来，但是我还是想知道为什么，至少大概地知道。到了计算机时代，四元数终於找到了自己的位置。在三维几何旋转的计算中比矩阵更有优势，在机器人技术、计算机视觉和图像编程领域都是极为重要的工具。1998年，一则数学新闻突然成了各大媒体报导的焦点：美国匹兹堡大学的托马斯·海尔斯（Thomas C. Hales）证明了“开普勒猜想”：在箱子里堆放大小一样的球，用“面心立方体”的堆积方式（即上层圆球安放在下一层圆球中间的各个凹处）可以使空间利用率最高。也就是说，水果商在箱子里装橙子的办法一直都是最有效的。开普勒和海尔斯的智慧结晶当然不仅仅是用来装橙子这么简单──有关最密堆积的研究成果是现代通讯技术的重要工具，是信道编码和纠错编码研究的核心内容。Bootstraping: 名字来自成语“pull up by your own bootstraps”，意思是依靠你自己的资源，称为自助法，它是一种有放回的抽样方法，它是非参数统计中一种重要的估计统计量方差进而进行区间估计的统计方法。在1967给数学家安德烈·韦伊的信中，数学家朗兰兹提出一个著名的猜想，现称为朗兰兹互反猜想。这个猜想后演变成朗兰兹纲领，在过去几十年对数学的发展产生了极大的影响。 作者系2010年度菲尔兹奖获得者，里昂大学数学教授与彭加莱研究所所长。文章来自他的个人主页（），介绍了他与合作者研究最优输运问题、刻画里奇曲率的工作的历程，最后还由此总结了一些有启发的研究体会。：“可乐数学”是由清华大学数学系毕业的创业者带领一批资深数学一线老师开发的一款动态课件。它有著干净清晰的呈现和良心的制作。最重要的是课件都是现成的，直接拿来用就OK了！简直是老师们的福音！如何讲述一位数学家的故事，是这个时代的难题。很幸运，我们在北京采访到了张益唐，一位攻破孪生素数的数学家，他极简的个人生活，和他对孪生素数天才般的敏感和激情，构成了一个传奇。就像纳什一样，传奇背后，是张益唐三十年如一日的“美丽心灵”。相关阅读：。系统学是系统科学的基础理论。文章首先试图阐述系统学的内涵、基本内容、产生背景、主要目的；然后给出作者关于复杂性挑战、平衡性意义、系统复杂性定义、平衡性与复杂性关系等的认识；最后简述系统学的发展基础、系统学在科学技术与人类社会中的作用等。我们的研究表明，十家机构投资者中有九家认为数据和分析理论是关键性的战略优先事项。但是，把一件事放在优先位置并不总是等於给予了该事项应有的关注。换句话说，投资行业的很多人吃尽苦头才学到以下道理，即在大海里捞针是一回事，用这根针来缝东西又完全是另一码事。数学与音乐，这是一个大家见过多次的题目，但本文作者以其音乐方面的修养来谈这个主题，让人从一个不同的角度来看这个题目，一定会有新的收获。数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属於代数学的范畴；研究形的部分，属於几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属於分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由於数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。从7.23动车事故开始，死亡35人便成为了一部分网民经久不衰的话题。他们认为，当事故死亡人数超过35人时，省市官员就必须为此负责，因此官员将有动机将死亡人数实际超过35人的事故压低到死亡35人以内。那么，我们如何判断这种现象是否存在？数字到底有没有被修改？看一看我们生活的周围曾经熟悉的或曾经看见过的现象，比如天空的积云或者海浪的起伏翻滚，或许见到过的袅袅炊烟，或从香烟头升起的一缕轻烟在空气中扩散开来的奇妙图案，或者宣泄的瀑布激起的浪花和涡旋，千姿百态，在激流中飞逝......这些都和湍流有关，什么是湍流呢？1.为什么理论预言引力波速度等於光速？2. GPS和相对论。3. 引力波和潮汐力。这节课的内容是《圆柱与圆锥》，上课的是一位五十岁左右的老教师。老师不但制作了课件，而且带来了教具，分发给4个小组。这节课的内容很丰富，从圆柱和圆锥的概念到特徵，有讨论，也有动手操作。总的来看，教学的任务都完成了，学生知道了什么是圆柱、圆锥，它们展开是什么图形，它们的高是什么。听完这节课，我总觉得似乎少了点什么，特别是关于圆柱和圆锥的高的教学上，似乎有一些问题。一百年以前人们已经证明了有且只有 230 种空间群。其实 230 种并不多，也不算很难。在工程材料研究中最困难的是，晶体学的论文给出的空间群经常不是标准形式，而算上非标准形式，真的很难统计到底可以有多少种不同标记的空间群了。判定一个图是不是哈密顿图，只要求出其哈密顿回路即可。有兴趣可研究一下上面的图是不是哈密顿图。指出数学无限大危机的根源，是没有物理条件约束的结果。在物理研究中，数学、逻辑推理仅仅是一种工具，指出它们之间的主次关系。在理性力学中，极分解定理与和分解定理的差别？这个问题在期刊上争了50年，到现在也在争论。静还是动这个问题不简单。你有没有想过东西为什么会动？马儿跑，鸟儿飞，溪水流，太阳东升西落……这个看似简单的问题也一直困扰著我们的祖先。通过对这一问题的思考，就诞生了科学哲学。中国的道家、八卦和阴阳等哲学思想也受益于对动静问题的思考。在数学史上，有著这样一位Doomed Solider，他自幼天赋异秉，年纪轻轻就洞察到自然界异常深邃神秘的定律。但是，他的思想超越于时代，当时的世上，无人能够理解他的思想。他对於政治，一如对数学一样狂热，最终为了自己的理念战死异国。在他死后二十年后，世界上的数学家日渐理解了他深刻晦涩的思想，最终他的理论被接纳成为主流数学，并且以他的名字来命名这一套优美的理论。这个天才不是伽罗华！他的名字叫做泰西米勒，Teichmuller。在1972年 Morris Kline 的《Mathematical Thought From Ancient To Modern Times 古今数学思想》第4卷汉译本第96页，有一个超级数学家的排名：柯西、高斯：两个了解数学的人。庞加莱，希尔伯特：几乎是通才。求教：（1）这是谁排的名次？有足够的权威性吗？（2）人类历史上的数学家排行榜，还有哪些权威的？相对论中，时间是可以伸缩的、空间是可以伸缩的。既然时间度量可以变慢变快、空间尺度可以变长变短，那么有没有什么东东在时空中保持“不变性”呢？如果没有加速度、没有外力、不扭曲，时空各处都一样，可以定义这个不变量s。s在时空一体的坐标系中，相当于圆的半径。时间是可变化的、空间是可变化的，唯有半径s不变。但是，上面的时空一体模型有点问题。因为，在圆轨迹点A&处，会违反逻辑‘因果性’。但是，上面的时空一体模型有点问题。因为，在圆轨迹点A&处，会违反逻辑‘因果性’。因为 i平方=-1，所以复空间中的“圆”，相当于实空间的“双曲线”。继续阅读：。相关阅读：谷歌在Nature发表论文阐述了其围棋AI程序AlphaGo的运行原理，作者看过以后认为，从科学实验的严谨性说，谷歌在论文中阐述的实验方法，表现不及格甚至恶劣，他认为谷歌围棋AI有科学欺诈表现，并阐述了三个重要的原因。连接：“享受数学，快乐学习。”这是徐传胜的教学理念和特色。他认为要改变中国大学生数学学习的尴尬窘境，其有效途径之一就是让学习数学人文化和人性化，让数学文化浸润和滋养学生的学习过程。Part I. 四个流水账故事：朱宋超昊，蒋禹聪，吴昊，宋文顶的故事；Part II. 帮学生与帮自己：虽然在一流学术圈子跟从一流人物深造，失败的可能性可以远高于成功的概率，但毕竟在你们年轻时上帝给了你们机会。是爱因斯坦提出了引力波的预言，来自广义相对论的预言。接下来的问题是，爱因斯坦是如何提出广义相对论的呢？这个问题很复杂。但再复杂的问题，也有简单的答法，以下是种尝试。当代轴象数学中的Stokes公式，由早期的思辩形式（哲理形式）演化为当代的超代数数学形式，是非常重要的基础理论公式（连接纯理论与工程应用）。历经近120多年的艰难困苦。在这120多年里，融合了很多的数学研究，如微积分，微分意义下的：矢量代数、张量代数、李代数，等。虽然（因我国没有完整的相关早中期文献）还不能看全整个演化历程的相关原始文献，但是由间接文献可以大概的看出其演化历程。公元前399年，苏格拉底死于雅典；公元415年，希帕提娅死于亚历山大。前者标志“古希蜡”的真正开端；后者预示“古希蜡”的实质终结。真正的奇点应该是这样的一个历史时刻：一台计算机能够设计出比自身更先进的计算机，或者一个程序能够产生比自身更为强大的程序。一旦奇点被突破，计算机软硬件就可以自动演进，爆发式成长，人类的干预将不再起到主导作用。深度学习算法实际上已经迫近或者突破了这个奇点。从数学上讲，如果从甲能推导出乙，从乙又能推导出甲，甲乙是完全等价的。否则，甲乙的前提和推论可能有较大的差异。我在前文的附文v-final.pdf给出了玻方程与刘维尔定理不相同的七个地方。（刘维尔定理是牛顿定律的一个数学推广。）莱布尼茨这个人很有意思。他生活的年代没有职业哲学家，按照现在的说法，他搞哲学相当于“民科”。他本人当时的正当职业是给神圣罗马帝国的选帝侯写家谱。由於他服务的选帝侯在他活著的前二年（1714年），被选到英国做国王（英王乔治一世）去了。为了保守秘密，就把他所有的档案封存起来。所以在德国所有的哲学家中，莱布尼茨的档案保存最为完整，里面甚至能够找到莱布尼茨的病假条。据说“二战”时期，希特勒专门安排一辆虎式坦克在他档案馆旁看守，谁都不许动里面的东西，可见德国人对莱布尼茨档案的重视。山巅一寺一壶酒，祖率承天不朽。缀术割圆万绺，不见循环纽。尺规难画方圆耦，只怪求根乌有。弧度曲直不苟，格致施身手。数学民科与职科的主要差距在於：1. 完全不了解现代数学关注点，把一些陈腔滥调的古典数学拿来研究；2. 缺乏公理化思想，误把直观当证明，结果引入大量错误命题或者循环论证。要想真正懂一些近代现代科学，你还是要多懂一些数学，特别是一些有警示意义的数学。应用数学家胜了，其中是概率、统计学家，是博弈论、最优控制理论家，是Bellman动态规划、马尔可夫决策过程胜了，是人家的信息科学胜利了。我们需要像AlphaGo这样的思想家，给定过去，他能告诉我们什么是promising的未来，而不像那些极力掩盖过去，无视全局信息，瞎子摸象般的思想家。圆是一种美妙的几何图形，圆周率是一个神奇的超越数，漂亮的形与数引发了人类无尽的思考与驻足。AI啊，你是否会像人类一样，时不时地停下脚步，细细地欣赏这一道道靓丽的风景呢？1. 圆周率；2. 白金汉Π定理；3. 圆周率不唯一、圆周率日不唯一。人类的智能主要包括归纳总结和逻辑演绎，对应著人工智能中的联结主义（如人工神经网络）和符号主义（如吴文俊方法）。人类大量的视觉听觉信号的感知处理都是下意识的，基於大脑皮层神经网络的学习方法；大量的数学推导，定理证明是有强烈主观意识的，是基於公理系统的符号演算方法。形像地说，AlphaGo有四个思考用的“大脑”，也就是DeepMind团队训练出来的四个神经网络，“快速走子网络”、“专家训练网络”、“自我提升网络”和“价值判断网络”。前三个神经网络都以当前围棋对弈局面为输入，经过计算后输出可能的走子选择和对应的概率，概率越大的点意味著神经网络更倾向于在那一点走子，这个概率是针对输入局面下所有可能的走子方法而计算的，也就是每个可能的落子点都有一个概率，当然会有不少的点概率为0。第四个神经网络是进行价值判断的，输入一个对弈局面，它会计算得出这个局面下黑棋和白棋的胜率。有些评论，对AI的理解，还停留在符号主义演绎推理智能的时代，认为这机器的判断能力是程序赋予的，是把人类掌握的知识列为规则，让机器在演绎推理中有章可循，机器不过算的快，想的深，不知疲劳而已。这思路确实是上个世纪80年代前AI的主流。Alpha Go的技术核心是基於神经网络的深度学习，用了3000万步的职业棋手棋谱来训练对棋势的“悟性”。这次的比赛，只不过是以轰动的形式，告诉人们联接主义AI的进展。费马大定理由法国数学家费马提出，这个定理自提出后300多年里没能得到证明。英国数学家安德鲁·怀尔斯因证明费马大定理而获2016年度阿贝尔奖。以前那个张益唐因为在孪生素数问题上的突破性进展获得了2014的麦克阿瑟天才奖。丘成桐解决了微分几何的著名难题──卡拉比猜想， 获范希仑奖和菲尔兹奖。陈景润因为解决哥德巴赫猜想的进展，而一鸣惊人为天下知。从人们的直觉来看，似乎是由於风吹过水面时空气与水面的摩擦力把水带动引起的波浪。其实，没有那样简单。因为要是那样的话，既然风与水之间的摩擦力，作用在水平面上，总是水平地沿著水平面并指向风吹的方向的，所以风的作用只能带动表面的水随著风的方向流动，而不会掀起那样垂直于水面起伏的波浪。所以实际情况和这种直觉并不符合。那么，水到底是怎样掀起波浪的呢？微分算子的概念已经有100多年的历史，但是，大多数人只不过是把它看成是数学上的说法，对微分方程一般形式的概括。然而，坚持算子概念是远远超越微分方程概念的学者们认为，算子是自然界客观规律的一般形式，其含义远不限於微分方程。在这种信念下，100多年来，一般算子的概念已经成为常用概念，他们把基於算子的哲学思想建立的数学理论，或是用算子理论改写的数学理论，称为算子理论。多重分形随机过程中会涉及到依概率相等的概念，常常用等号上面加一个d符号表示，这个d往往又容易被忽略掉，直接变成了简单的相等。那么，依概率相等和相等是否一回事，两者之间是否有区别呢？概率图模型是一类用图来表达变量相关关系的概率模型．分为两类：有向无环图表示变量间的依赖关系，称为有向图模型或贝叶斯网．无向图表达变量相关关系，称为无向图模型或马尔可夫网．中国画家喜欢画配诗。传世画作上常有题诗。诗画的意境也是贯通的。也有诗画两[木西]艺术家如王维、苏东坡等大家。然而在西方艺术史上，如果说可称为数学家的艺术家很少，那么同时拥有画家和诗人桂冠的艺术家就更为寥寥，而威廉.布莱克就是其中光彩多目的一颗巨星。1905年6月初，爱因斯坦写信给学数学的朋友Conrad Habicht说，要给他寄一篇刚发表的论文，是关于辐射和光的能量性质，“很有革命性”（very revolutionary）。接著，他报告了另外三篇论文：第二篇决定原子的大小，第三篇证明分子热理论的假定（即Brown运动），第四篇是关于运动物体的电动力学，并提出对空间和时间理论的修正，“其纯粹的运动学部分你可能感兴趣”。（kinematics现在译为“动理学”。）这几篇论文是小技术员在半年里业余完成的。杂志收到第四篇的时间是6月30日。那会儿小爱还没开始写第五篇──三个月后，第五篇出来了，我们会看见E=Mc2。相关阅读：。数值模拟有时也能发现“机制”──如大气的数值模拟发现了“蝴蝶”，认识了确定性混沌。不过如今的计算软件似乎只管计算，并不管算出的是牛奶还是咖啡。武大叶晓明老师的两篇文章推翻了测绘学关于测量误差理论的有些东西。从重力g（真值只有上帝知道）的测定来说，非常同意其评价方式：并非下落次数（冗余观测）越多，就能与真值逼近。而是要从所有误差源入手，综合评价给出不确定度。数学发展的一个主旋律就是将一个理论框架不停地推广再推广，将许多貌似风马牛不相及的领域有机地结合起来，从而发现许多事物的普遍联系。很多深刻的定理具有著非凡的普适性。极分解（Polar Decomposition）就是一个微小而精辟的例子，我们将它从线性代数推广到场论，再推广到曲面间的映射。打算盘要会口诀，这些口诀必须背得滚瓜烂熟。实际上，由於经常打算盘，这些口诀也差不多总是画在嘴边，所以，有时候就会脱口而出。这些脱口而出的话又往往借用到别的地方，有的只是借它的音，有的则是借它的意，用得多了也就成了所谓“成语”。，黄帝二十五子之昆孙，以地得姓。周成王时，封爵商子，在《周髀算经》中，他首次提出在直角三角形中勾三股四弦五的关系，为世界最早引用勾股定理者。非线性动态电路全过程的完全解，包含各种各样成分，它们是相互耦合在一起，不能单独求解而后迭加。为了定性分析，类比线性电路的分析方法，按非线性动态电路的物理本质划分为自然份量和受迫份量。自然份量包含有未进入稳态振荡前的暂态份量与进入稳态的自激振荡份量。对於不同的起始条件，不但有不同的暂态过程，且也有不同的稳态份量。素数虽然有无穷多个，但却越大越稀少。那么，孪生素数的对数是否也有无穷多对呢？这就是本文的中心议题。小波变换已经诞生四十多年了,其应用遍及数理化天地生各个领域,不胜红火。按理，经过多年洗礼，小波变换定义应该早就固化安定下来了。然而，最近这些年，小波变换在定义上又起波澜。
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