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一次换面法求交叉两直线的最短距离工程制图-03第三章 投影变换_百度文库
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工程制图-03第三章 投影变换
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【交流】请大家继续讨论能带理论中能隙形成的原因
看了虫友讨论能带的帖子，大家讨论了能带形成的原因，非常有深度。但没有深刻讨论能隙形成的原因，孤立原子形成能级间距是因为驻波条件（类似玻尔的轨道量子化条件，其实是一种广义的边界条件）。而晶体也有边界（玻恩-卡曼条件，与轨道量子化条件对应），但晶体的边界条件产生的是能带内子能级分离，而不是能隙形成的原因。所以能隙形成原因真让人费解，请大家继续讨论能隙形成的原因。
正是因为玻恩-卡曼边界条件，才导致能带分离成N条子能级，请见黄昆《固体物理》第168页，你怎么能说“在黄昆先生《固体物理》中，从来就没有说实际的边界对能带形成的影响！”，如果没有完全理解问题实质时，请不引经据典误导大家好吗。
根据这段话，我猜upersolid226认为我没学过量子力学，真是冤杀我矣，我不仅学过量子力学，还学过量子场论、群论、量子统计，李正中的固体理论我还从头到尾推过一遍。
周期性边界条件可以认为是数学上为了方便解决固体问题而引入的，是为了体现晶格平移对称性而引入的条件。
第一，我们研究的固体在理论上为无限大完美周期性体系（不考虑缺陷），然而实际的晶体总是有限的，但是由于大块晶体的尺寸（宏观大小）是远大于晶包的（微观尺寸），所以在这里表面效应并不重要（通俗的说，如果你处在晶体深处是感受不到表面的影响的），大块体系的属性近似于表面无关。但是为了体现有限晶格的平移不变并在数学上便于处理，人为的设计的了周期性边界条件。
第二，在固体物理中研究的晶体，隐含了一个热力学极限条件，即原子数N和晶体体积都为无穷大，而两者比值为有限的。所以，虽然可以取周期边界条件，但在热力学极限下（以无限大的体系为周期，这个周期实际就是“非周期”的，也就是摆脱了边界条件的影响而只关注体相的性质）
最后，如果非要考虑开放性边界条件，比如存在实际的晶体表面。其实，这往往会引入表面态或表面共振态，这种状态会在能带的带隙中引入新的能级。但是，在能带论的单电子近似下，这种能级对于处于体内的电子，是感受不到的。换句话说，晶体表面是不会对整个能带结构有重大的影响的（只是在带隙中引入表面能级）。如果你熟悉表面的东西的话，应该能理解我的说法。
你这个问题可以从两方面来说，今天放假，所以可以多说两句。既然你前面一直提到原子能级和固体能带的关系，我们就从这里说起。
第一，我举个最简单的例子，比如金属Li所形成的金属体系。我们知道自由Li原子的电子壳层是1s22s1，宽展成能带时，形成1s带和2s带，其中前者完全充满，而后者是半满的，呈现金属特性。这说明什么？说明我们考虑晶体是金属、半导体，绝缘体（其实绝缘体就是一种电介质）的能带时，主要关注的是最高能带的“相对”占据情况（也就是电子跟能带所包含能量状态的相对关系）。比如说，即使采取热力学极限，Li金属的价带总是半满的，这个比值1/2是不会随着N趋于无穷大而改变的。对于半导体或是绝缘体也类似，如果原子的最外层是满壳层，则展宽成价带时也是全满的，不会出现半满或是部分占据的情况。所以热力学极限不会改变晶体的电学性质，不会出现你说的电子永远填不满的情况。当然，这里没有考虑能带交叠的情况，比如金属Mg等的第二主族元素，就存在这种情况。这是由晶格结构所导致的，与问题关系不大，不多说。
第二，在固体中N是一个10^{23}数量级的大数，但显然也是有限的。所以我们所谓的热力学极限，肯定是物理上的（而非数学上的）。但是，固体中对这两者并没有严格划分，比如在固体中对某些求和化为积分的时候，其实是采用了数学上的无穷大才能这么做。但在讨论另一些问题，比如BZ中的状态点的时候，就又把N这个“大数”拿出来说话。并且经常根据需要在这两者之间“自由切换”，却没有进一步说明。
这么做是有道理的，既然你学过量子统计物理。就应该知道无论对哪种系综，其涨落是正比于1/N的，无论N取10^{23}或是真正的无穷大，对于体系的物理学量的计算并没有什么影响，或是说，影响可以忽略不计。因此，这里面是一个对N的理解问题。
其实，你上面所说的东西，都是最基本的概念问题，不是吗？:)
在周期性边界条件中，对于三维晶格，一般所取的三个方向的晶包数目，比如N1,N2,N3，已经是“物理上的无穷大了”，此时总的晶包N=N1*N2*N3，才能体现宏观三维晶体的体相性质。从晶包的选取上，不仅体先了周期性，而且满足热力学极限。两者并不矛盾。
我冒昧问下，LSS是不是刚开始学固体物理。固体物理如此清楚的理论居然还要"猜"？
我上面已经说了，从实际角度，表面对实际的固体是有影响的（比如在带隙中产生表面态），但是如果我们关注是体相性质，表面的影响可以忽略。在理论上，如果采用热力学极限（理想固体肯定满足这个条件），周期边界的影响可以忽略不计，换句话说，与你选择的边界条件无关（其实，对于理论上无限大的体系，根本就没有表面或是边界！）。固体总是可以看做一个热力学系统，而对于热力学问题，边界条件的具体形式是没有关系的。对这一点的说明，我随手CHECK了一下汪志成的第三版热统，你看看223第9行就明白了。
看了ML童鞋的帖子，让我有点哭笑不得，呵呵。我上述的帖子已经很清楚了，热力学极限下的边界条件的选择不会影响能带结构，能带容纳电子的能力也不会变化（所谓不变，就是指那个1/2的比值不变）。最简单的原因，就是热力学极限下固体没有边界，也没有表面。
当然，如果非要从数学模型上讲，比如说原子数为N的固体，跟原子数为N+1的固体，能带肯定是不一样的。如果一个原子只考虑一个轨道贡献，比如S轨道。那么前者S带的状态数是N而后者是N+1，虽然状态数多了一个，但是电子也多了一个，因此虽然1/2的比值不变（仍以锂金属为例的话），但是能带状态和电子数都改变了。但是，却不会改变晶体实际的性质，比如电学性质。
因此，这只是物理模型（而非数学模型）的选取问题，所以对N（N为10^{23}数量级）和N+1，N+2等等等等，一直到理论上的（数学）热力学极限过程，其实是能带由准连续到真正连续的一个过程。但是无论N到底究竟选哪个具体值，能带的本质特点（电子的相对占据数），是不会变。这在固体物理上是不会加以区分的。
对于赫伯特模型和赫伯特U，是强关联最基本的模型，考虑自旋相反电子的库伦排斥而导致能带的一种新的重构或者重整化，在某些材料的金属-绝缘相变中起到了重要作用。不过，这个问题已经超出了单电子近似的范围，在这里不多讨论。
根据你（高手，不是童鞋）的思路，热力学极限情况是从非热力学极限顺推过去的，比如能带容纳电子的能力和比值1/2，既然能带容纳电子的能力和比值1/2都是在非热力学极限下由边界条件推出来的（见黄昆固体物理168页），为什么边界条件推出的结论一顺推到热力学极限，然后这个边界条件就退休了，而他的结论还照用？
我似乎明白LS的结症了。其实，黄的书有些误导你了。在黄的书中，N，就是一个“热力学极限的标识，是一个大数”，即是一个数量级为10^{23}的数，这是一个隐含的条件。为什么？因为形成了能带。
我不知道LS对于凝聚态中的量子限域效应是否熟悉。比如对于0维的纳米颗粒，当然你可以把它理解为一个大分子，在这种体系中，原子数是有限的，而电子的色散关系，不是能带而是孤立的能级。因此，如果讨论能带，不言而喻，就是指体系的N为10^{23}的数量级。
其实，相对占据为1/2的比值是不会随着原子数的变化而变化的，即使对于小的体系也是如此。比如，常见的H2分子，很显然，其分子轨道只有两个，成键轨道和反键轨道（如果非要从能带理论考虑，可以认为是价带和导带），两个电子占据成键轨道，电子数2与轨道的能态数4(考虑自旋能容纳4个电子)比值为1/2。
另外，我的思路不是你所谓的“热力学极限情况是从非热力学极限顺推过去的”，在我看来，无论是N是10^{23}的数量级还是真正的数学无限大，两者并没有什么区别，在物理上是一致的（虽然数学不完全一样），而固体中的处理方式也是这么默认的。我上面这么说只是为了便于你理解，其实这么说明完全没有必要。因为固体处理的本来就是多粒子体系。:)
我不是什么专家顾问，网上的东西都是虚的。我只是一个对物理稍微有些兴趣的普通人，甚至可以说是一个搓人。:)
当然，我这里所说的能带，肯定不是指单电子近似下的能带。更普适的说，是一种电子色散关系。但是，能带作为一个术语，还是可以使用的。你既然自称看过李正中老先生的书，你看看他第11章401页对于强关联体系的电子色散关系是怎么描述的，图11.3。外文的书也是称作BAND，呵呵。
这个问题我曾经和李老爷子讨论过，李老爷子的原话，是“能带的观念早就推广了，对于原来固体中的电子色散关系或是强关联体系中的色散关系，都可以称为能带，只要不引起误解，是可以这么说的”。看了LZ的知识没有与时俱进啊。
这正是你的错误所在，你错误的对比了势阱中电子和晶体电子的关系。在无限深势阱中，这种电子的波函数的边界是物理要求（在无限深势阱处为0）。而在固体中，周期边界只是为了处理问题而提出的数学手段。其实能带跟带隙，即使不用周期边界，也是存在的。
好了，从跟你讨论的过程，我个人觉得有些东西你或许需要再熟悉一下，包括一些术语或是基本概念。既然你坚持你自己的看法，这是你的自由，至于对不对，还是让实践来评判吧。
最后，欢迎常来物理版。:)
严格来说不能称之为能带，能带理论对强关联都失效了，还把强关联的色散关系叫能带，只能说明你们李老爷子做学问不严谨。
如果强关联如果可以纳入能带理论的框架，那么强关联就不是世界性的难题，也就不需要发展非费米液体理论了。
不是我的知识没有与时俱进，而是你们太守旧了，才导致中国老是拿不到诺贝尔奖，连“猜”的勇气都没有的民族，你能指望他拿诺奖。
这里不是把强关联纳入传统的能带理论，这是错误或是愚蠢的，也是不可能的。这里只是为了描述的方便而借用一下单电子的“能带”这个词，用这个名词来表示强关联体系的色散关系。因为，即使在强关联体系中，能级也是很密集的，所以称之为“带”也是没有什么太大问题的。
至于各种非费米液体，比如拉亭格液体等等，这些东西还要进一步研究。在这里不多说，恐怕也说不清楚。不是吗？
我也认为这也是你的错误所在，你并没深刻理解一个能带只能容纳有限个电子的原因，和你没法交流，也没法说到一块。但还是感谢你参与讨论。
另外，别老是用专家的口气说话，小木虫封你为“专家顾问”，不见得所有领域你都是专家，要知道山外有山的道理，做人嘛，谦虚一点好。
好了，既然这样，那么我们就没有必要再讨论下去了。另外，我刚才也说了，我不是什么专家顾问，只是一个比较喜欢物理的普通人。人外有人的道理我自然懂。但是，我还是觉得你对一些问题的理解是有问题的。可能这个话你听了会不爽，也或者，你认为是我理解有问题。但是，这都无所谓，因为小木虫的目的就是欢迎畅所欲言的讨论。而不是在讨论达不成一致时“恼羞成怒”，呵呵呵呵:D
meanyee，我觉得你才是藏而不露的高手，你能不能和我讨论一下为什么一个能带容纳的电子数是有限的而不是无限的（即使在热力学极限下也有个1/2）？
您的意思是不是说，由于布罗赫定理中的k指标是从晶体的平移对称性导出的（李正中的书确实是这么推导的），但由于这种平移对称性本身是一种破缺的对称性（只能按正格矢平移，不能连续平移），所以导致k指标不能连续变化，从而导致能带的不连续，正是平移对称性的部分对称破缺导致能隙的出现，不知道我理解的对不对？
仔细思考了一晚上，觉得您说得有道理，我分析如下：由于晶体点阵在实空间具有部分破缺的平移对称性，那么它产生的周期场也同样具有部分破缺的平移对称性，如果我们要恢复周期场完整的平移对称性（即任意平移不变性），只能把周期场的起伏部分抹去，则周期场就变成了恒场，见黄昆固体物理158页图4-1，而恒场下的单电子近似得出的色散关系（E-K关系）是的抛物线，不存在k的取值奇点，这样能带的不连续就消失了，也就是说能隙消失了。因此周期场平移对称性的部分破缺是能隙产生的根本原因，从对称破缺去理解能隙产生原因是有道理的，这也进一步证实了我前面对能隙与周期场束缚有关的直觉猜测。
对头，对称性可以解释很多这方面的现象。
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