Beta分布参数的区闻划分_论文_百度文库
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Beta分布参数的区闻划分
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&&B​e​t​a​分​布​根​据​所​取​参​数​的​取​值​不​同​可​以​具​有​多​种​分​布​形​式​。​所​以​B​e​t​a​分​布​的​参​数​取​值​非​常​重​要​。​为​此​,​对​B​e​t​a​分​布​的​参​数​取​值​进​行​讨​论​,​并​给​出​具​体​的​区​间​划​分​,​为​利​用​B​e​t​a​分​布​在​误​差​分​析​、​数​据​拟​合​、​及​先​验​分​布​的​参​数​估​计​等​应​用​中​提​供​方​法​。
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要根据指定的数值、alpha分布参数、beta分布参数和上下界，返回Beta累积分布函数值，可以使用BETADIST 函数来实现。函数语法BETADIST函数返回累积Beta分布的概率密度函数。累积Beta分布函数通常用于研究样本中一定部分的 变化情况，例如人们一天中看电视的时间比率。语法形式。BETADIST(x，alpha，beta，A，B)x:用于进行函数计算的值，居于可选性上下界(A和B)之间。alpha:分布参数。beta:分布参数。a:数值x所属区间的可选下界。b:数值x所属区间的可选上界。选中F2单元格，在公式编辑栏中输入公式: =BEADIST(A2，B2，C2，D2，E2)， 按Enter键即可返回Beta累积分布函数值。复制F2单元格的公式即可返回其他数值对应的Beta累积分 布函数，如图8-108所示。
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要根据Beta分布的概率值、alpha分布参数、beta分布参数和上下界，返回指定Beta分布的累积分布函数 的反函数值，可以使用BETAINV函数来实现。函数语法BETAINV函数返回指定的Beta分布的累积分布函数的反函数值，即如果probability=BETADIST(x，...)，则 BETAINV(probability，...)=x...…
根据指定的变换数值，求该变换数值的Fisher变换值，可以使用FISHER函数来实现。函数语法FISHER函数返回点x的Fisher变换，该变换生成一个正态分布而非偏斜的函数。使用此函数可以完成相 关系数的假设检验。语法形式。FISHER(x)。 其中，x表示要对其进行变换的数值。如果x为非数值型...…
根据指定的反变换数值，求该反变换数值的反函数值，可以使用FISHERINV函数来实现。函数语法FISHERINV函数返回Fisher变换的反函数值。使用此变换可以分析数据区域或数组之间的相关性。如 y=FISHER(x)，则FISHERINV(y)=x。语法形式。FISHERINV(y)。 其中，y表示要对其进行反变换的数...…
STANDARDIZE函数用于返回以mean为平均值，以standard_dev为标准偏差的分布的正态化数值。函数语法语法形式。STANDARDIZE(x，mean，standard_dev)x:表示需要进行正态化计算的数值。mean:表示分布的算术平均值。standard_dev:表示分布的标准偏差。选中D2单元格，在公式编辑栏中输入公式...…
TDIST函数用于返回指定数值和自由度的学生t分布的百分点，t分布中的数值(x)是t的计算值(将计算 其百分点)。t分布用于小样本数据集合的假设检验，使用此函数可以代替t分布的临界值表。函数语法语法形式。TDIST(x，degrees_freedom，tails)x:表示需要计算分布的数值。degrees_freedom:...…
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2. 认识Beta/Dirichlet分布
2.1 魔鬼的游戏—认识Beta 分布
统计学就是猜测上帝的游戏,当然我们不总是有机会猜测上帝，运气不好的时候就得揣度魔鬼的心思。有一天你被魔鬼撒旦抓走了，撒旦说：”你们人类很聪明，而我是很仁慈的，和你玩一个游戏，赢了就可以走，否则把灵魂出卖给我。游戏的规则很简单，我有一个魔盒，上面有一个按钮，你每按一下按钮，就均匀的输出一个[0,1]之间的随机数，我现在按10下，我手上有10个数，你猜第7大的数是什么，偏离不超过0.01就算对。“ 你应该怎么猜呢？
从数学的角度抽象一下，上面这个游戏其实是在说随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n {\stackrel{\mathrm{iid}}{\sim}} Uniform(0,1)$，把这$n$ 个随机变量排序后得到顺序统计量 $X_{(1)},X_{(2)}，\cdots, X_{(n)}$, 然后问 $X_{(k)}$ 的分布是什么。
对于不喜欢数学的同学而言，估计每个概率分布都是一个恶魔，那在概率统计学中，均匀分布应该算得上是潘多拉魔盒，几乎所有重要的概率分布都可以从均匀分布$Uniform(0,1)$中生成出来;尤其是在统计模拟中，所有统计分布的随机样本都是通过均匀分布产生的。
潘多拉魔盒Uniform(0,1)
对于上面的游戏而言 $n=10,k=7$, 如果我们能求出 $X_{(7)}$ 的分布的概率密度，那么用概率密度的极值点去做猜测就是最好的策略。对于一般的情形，$X_{(k)}$ 的分布是什么呢？那我们尝试计算一下$X_{(k)}$ 落在一个区间 $[x, x+\Delta x]$ 的概率，也就是求如下概率值
$$ P( x \le X_{(k)} \le x+\Delta x) = ? $$
把 [0,1] 区间分成三段 $[0,x), [x,x+\Delta x], (x+\Delta x,1]$,我们先考虑简单的情形，假设$n$ 个数中只有一个落在了区间 $[x, x+\Delta x]$内，则因为这个区间内的数$X_{(k)}$是第$k$大的，则$[0,x)$中应该有 $k-1$ 个数，$(x,1]$ 这个区间中应该有$n-k$ 个数。不失一般性，我们先考虑如下一个符合上述要求的事件$E$
\begin{align*}
E = \{ & X_1 \in [x, x+\Delta x], \\
& X_i \in [0,x)\quad (i=2,\cdots,k), \\
& X_j \in (x+\Delta x,1] \quad (j=k+1,\cdots,n)\}
\end{align*}
\begin{align*}
P(E) & = \prod_{i=1}^nP(X_i) \\
& = x^{k-1}(1-x-\Delta x)^{n-k}\Delta x \\
& = x^{k-1}(1-x)^{n-k}\Delta x + o(\Delta x)
\end{align*}
$o(\Delta x)$表示$\Delta x $的高阶无穷小。显然，由于不同的排列组合，即$n$个数中有一个落在 $[x, x+\Delta x]$区间的有$n$种取法，余下$n-1$个数中有$k-1$个落在$[0,x)$的有$\binom{n-1}{k-1}$种组合，所以和事件$E$等价的事件一共有 $n\binom{n-1}{k-1}$个。继续考虑稍微复杂一点情形，假设$n$ 个数中有两个数落在了区间 $[x, x+\Delta x]$，
\begin{align*}
E’ = \{ & X_1,X_2\in [x, x+\Delta x], \\
& X_i \in [0,x) \quad (i=3,\cdots,k), \\
& X_j \in (x+\Delta x,1] \quad (j=k+1,\cdots,n)\}
\end{align*}
事件E’
$$ P(E’) = x^{k-2}(1-x-\Delta x)^{n-k}(\Delta x)^2 = o(\Delta x)$$
从以上分析我们很容易看出，只要落在$[x, x+\Delta x]$内的数字超过一个，则对应的事件的概率就是 $o(\Delta x)$。于是
\begin{align*}
& P( x \le X_{(k)} \le x+\Delta x) \\
& = n\binom{n-1}{k-1}P(E) + o(\Delta x) \\
& = n\binom{n-1}{k-1}x^{k-1}(1-x)^{n-k}\Delta x + o(\Delta x)
\end{align*}
所以，可以得到$X_{(k)}$的概率密度函数为
\begin{align*}
f(x) & = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{P( x \le X_{(k)} \le x+\Delta x)}{\Delta x} \\
& = n\binom{n-1}{k-1}x^{k-1}(1-x)^{n-k} \\
& = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}x^{k-1}(1-x)^{n-k} \quad x \in [0,1]
\end{align*}
利用Gamma 函数，我们可以把 $f(x)$ 表达为
$$ f(x) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}x^{k-1}(1-x)^{n-k} $$
还记得神奇的 Gamma 函数可以把很多数学概念从整数集合延拓到实数集合吧。我们在上式中取$\alpha=k, \beta=n-k+1$, 于是我们得到
\begin{equation}
f(x) = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
\end{equation}
这个就是一般意义上的 Beta 分布！可以证明，在$\alpha,\beta$取非负实数的时候，这个概率密度函数也都是良定义的。
好，我们回到魔鬼的游戏，这$n=10,k=7$这个具体的实例中，我们按照如下密度分布的峰值去猜测才是最有把握的。
$$ f(x) = \frac{10!}{(6)!(3)!}x^{6}(1-x)^{3} \quad x \in [0,1] $$
然而即便如此，我们能做到一次猜中的概率也不高，很不幸，你第一次没有猜中，魔鬼微笑着说：“我再仁慈一点，再给你一个机会，你按5下这个机器，你就得到了5个[0,1]之间的随机数，然后我可以告诉你这5个数中的每一个，和我的第7大的数相比，谁大谁小，然后你继续猜我手头的第7大的数是多少。”这时候我们应该怎么猜测呢？
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