如何用matlab实现仿射变换吉文斯旋转或吉文斯变换

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在中,吉文斯旋转(Givens rotation)是在两个坐标轴所展开的平面中的旋转。吉文斯旋转得名于,他在 1950 年代工作于时把它介入到数值分析中。
吉文斯旋转表示为如下形式的
这里的 c = cos(θ) 和 s = sin(θ) 出现在第 i 行和第 k 行与第 i 列和第 k 列的交叉点上。就是说,吉文斯旋转矩阵的所有非零元定义如下::
乘积 G(i,k,θ)Tx 表示向量 x 在 (i,k)平面中的逆时针旋转 θ 弧度。
Givens 旋转在中主要的用途是在向量或矩阵中介入零。例如,这种效果可用于计算矩阵的 。超过的一个好处是它们可以轻易的并行化,另一个好处是对于非常稀疏的矩阵计算量更小。
当一个吉文斯旋转矩阵 G(i,k,θ)从左侧乘另一个矩阵 A 的时候,GA 只作用于 A 的第 i 和 k 行。所以我们集中于下列问题。给出 a 和 b,找到 c = cos θ 和 s = sin θ 使得
明确计算出 θ 是没有必要的。我们转而直接获取 c, s 和 r。一个明显的解是
但是为了避免上溢出和下溢出,我们使用不同的计算,采用比率 b/a (它是 tan θ)或它的倒数(Golub & Van Loan 1996)。如 Edward Anderson (2000) 在改进
时发现的,前瞻数值考虑是连续性的。要完成它,我们要求 r 是正数。
if (b = 0) then {c ← copysign(1,a); s ← 0; r ← abs(a)}
else if (a = 0) then {c ← 0; s ← copysign(1,b); r ← abs(b)}
else if (abs(b) & abs(a)) then
u ← copysign(sqrt(1+t*t),b)
u ← copysign(sqrt(1+t*t),a)
copysign(x,y) 函数写成的,它提供了安全和廉价的方式复制 y 的符号到 x。如果不能获得它,使用的 x*sgn(y) 可作为替代。
注意这里的sgn定义为
而不是常用的
后者常在高级语言中作为标准库函数被提供,注意不要直接应用于本算法中。
; . Matrix Computations. 3/e. Baltimore: Johns Hopkins University Press. 1996. .
Anderson, Edward. (2000) . LAPACK Working Note 150, University of Tennessee, UT-CS-00-454, December 4, 2000.
D. Bindel, J. Demmel, W. Kahan, O. Marques. (2001) . LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, January 31, 2001.
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吉文斯旋转
编辑:www.fx114.net
本篇文章主要介绍了"吉文斯旋转",主要涉及到吉文斯旋转方面的内容,对于吉文斯旋转感兴趣的同学可以参考一下。
在中,吉文斯旋转(Givens rotation)是在两个坐标轴所展开的平面中的旋转。吉文斯旋转得名于华莱士·吉文斯,他在
1950 年代工作于时把它介入到数值分析中。
吉文斯旋转表示为如下形式的
这里的 c = cos(θ) 和 s = sin(θ) 出现在第 i 行和第k 行与第
i 列和第 k 列的交叉点上。就是说,吉文斯旋转矩阵的所有非零元定义如下::
乘积 G(i,k,θ)Tx 表示向量
x 在 (i,k)平面中的逆时针旋转 θ 弧度。
Givens 旋转在中主要的用途是在向量或矩阵中介入零。例如,这种效果可用于计算矩阵的。超过的一个好处是它们可以轻易的并行化,另一个好处是对于非常稀疏的矩阵计算量更小。
当一个吉文斯旋转矩阵 G(i,j,θ)从左侧乘另一个矩阵 A 的时候,GA 只作用于A 的第
i 和 j 行。所以我们集中于下列问题。给出 a 和 b,找到c&= cos&θ 和
s&= sin&θ 使得
明确计算出 θ 是没有必要的。我们转而直接获取 c, s 和 r。一个明显的解是
但是为了避免上溢出和下溢出,我们使用不同的计算,采用比率 b/a (它是 tan&θ)或它的倒数(Golub & Van Loan 1996)。如 Edward Anderson (2000) 在改进 时发现的,前瞻数值考虑是连续性的。要完成它,我们要求r
if (b = 0) then {c ← copysign(1,a); s ← 0; r ← abs(a)}
else if (a = 0) then {c ← 0; s ← copysign(1,b); r ← abs(b)}
else if (abs(b) & abs(a)) then
u ← copysign(sqrt(1+t*t),b)
u ← copysign(sqrt(1+t*t),a)
这是依据 IEEE 754r copysign(x,y) 函数写成的,它提供了安全和廉价的方式复制 y 的符号到
x。如果不能获得它,使用的x*sgn(y) 可作为替代。
注意这里的sgn定义为
而不是常用的
后者常在高级语言中作为标准库函数被提供,注意不要直接应用于本算法中。
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