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【标题】用火箭发射人造卫星的道理 【作者】张 莉 【关键词】火箭??人造卫星??轨道??数学模型??速度??质量 【指导老师】杨 世 显 【专业】数学与应用数学 【正文】1?问题的提出用火箭发射卫星时，通常都采用三级火箭作为运载工具。例如，我们的长征2号火箭和欧洲共同体的阿里亚娜火箭都是三级火箭。火箭从地面发射时，先点燃第一级火箭的推进器加速火箭的飞行，到第一级火箭的燃料耗尽时将第一级火箭丢弃同时点燃第二级火箭，到第二级火箭的燃料燃尽时丢弃第二级火箭同时点燃第三级火箭，使火箭加速到一定的速度并将卫星送入轨道。使用三级火箭是不是偶然的？为什么不用一级、二级或四级火箭呢？使用三级火箭而不用一级或其他多级火箭绝不是偶然，而是采用数学模型与数学方法进行定量分析的结果。可以从数学上论证，采用三级火箭在某种意义下是最优的。要做这样的分析，必须建立合适的数学模型，下面我们将建立运载火箭的数学模型并说明采用三级火箭是最优的方案。运载火箭是一个十分复杂的系统，影响它飞行的有许多因素，例如发动机是否足够强大，火箭的结构是否有足够的强度，火箭的外形是否使前进阻力减小到足够最低限度，火箭的控制系统是否灵敏可靠，等等。要构造数学模型必须找出主要的因素。我们现在讨论的问题是将运载火箭垂直于地面发射，最后将卫星送入绕地球旋转的轨道并使它保持在轨道上运动而不致因地球的引力而坠落，要达到这一目的，卫星必须保持一定的速度，从而要求运载火箭在将卫星送入轨道时达到较大的速度。但此速度又是通过火箭推进器加速火箭的飞行获得的。由牛顿（Newton）第二定律，力等于加速度乘以质量，要获得较大的加速度，应当具有较大的推力和较小的质量，所以必须讨论火箭发动机的推力和火箭系统的质量。归结起来，我们将分别考虑卫星的速度计算问题，如何决定火箭的推力和如何决定火箭与卫星的质量，然后确定运载火箭的最佳级数。至于火箭的结构、外形及控制等问题，在确定火箭的最佳级数时不是主要的因素。我们只假定它们能满足保证火箭正常飞行的需要而不加以考虑。（1）?设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为?，要把卫星送上离地面?的轨道，火箭末速度?应是多少。（2）用动量守恒原理证明?，由此认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。（3）证明若?（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为?。求?。这个说明什么。（4）假设燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，用动量守恒原理证明?。问燃料用完时火箭末速度是多少，与前面的结果有何不同。（4）是个理想化的模型，实际上只能建造多级火箭的办法一段段的丢弃无用的结构部分。求出?级火箭的速度公式。计算要使?，发射一吨重的卫星需要多重的火箭。若用二级或四级火箭，结果如何。由此得出使用三级火箭发射人造卫星的道理。2?具体模型2.1卫星的速度2.1.1问题的假设设地球是半径为?的均匀球体，卫星的轨道是以地球为中心，半径为?的圆周，并且设卫星绕地球做匀速圆周运动，?为地表的重力加速度；设卫星的质量为?，地球质量为?，万有引力常数为?，地球引力常数为?；假设地球和卫星之间只考虑相互间的引力，其他星体的作用由于距离较远可以忽略不计。2.1.2?问题的分析由地球是均匀球体的假设，可以将地球的质量集中在它的中心，应用牛顿万有引力定律得地球对距地心?处的质量为?的质点的引力为??????????……………..??(1)为决定地球引力常数?，我们考察质量为?的质点在地表所受的力。由引力公式（1）,它受到地球引力的作用，由牛顿第二定律有????,从而可得?????………….?..??(2)和引力公式?????????????……………??（3）2.1.3?模型的建立由于卫星体积相对于地球而言是十分小的，可以视为一个质点，公式(3)即可作为描述地球对卫星的引力公式。现考察卫星的运动，设卫星以速度?绕地球做匀速圆周运动（线速度为?），所以卫星没有切向加速度，法向加速度为?。卫星此时只受到地球的引力，于是由牛顿第二定律有???????????????????从而得?????????……………..??（4）???这就是卫星绕地球旋转不致因地球引力而坠落的速度。2.1.4?模型的求解卫星是用火箭送入轨道的，所以火箭的末速度至少也应达到?。若近似的取?，可得?，这是所谓的第一宇宙速度，若卫星距地球?，则?，从而由（4）得?。2.2?火箭推力问题首先将火箭简化为一个由载满燃料的燃料仓和火箭发动机构成的系统，燃料在发动机中燃烧，产生大量气体，从火箭的尾部喷射出来，对火箭产生向前的推力。2.2.1问题的假设假设在时刻?火箭的质量为?，火箭的速度为?；设?为气体喷射相当于火箭的速度，初速度?，初始质量为?；为简化分析，我们忽略影响不大的重力和空气阻力等。2.2.2?问题的分析考察时段?火箭系统的动量变化，在时刻
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[组图]朝鲜卫星发射控制台疑使用Windows操作系统
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航天火箭发射失误：卫星系统却工况正常&据中国航天科技集团公司官方网站消息，日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射中星9A&广播电视直播卫星，发射过程中火箭三级工作异常，卫星未能进入预定轨道，具体原因正在调查分析。
航天火箭发射失误 具体原因正在调查分析
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三级火箭发射人造卫星分析
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为什么要用三级火箭来发射人造卫星构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?（1）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设： （i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 R为地球半径， 星的引力忽略不计。2分析： 约为6400公里 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: F ? k m 在地面有: 故引力:km R2? mg2得: k=gR2r? R ? F ? mg ? ? ? r ?假设(ii)卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 故又有: F ? m ? 从而: ? ? R g2rr假设(i)（2）火箭推进力及速度的分析 设g=9.81米/秒2，得: 假设：火箭重力及空气阻力均不计2分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 100 dm ?t ? O (?t ) 有： m ( t ? ? t ) ? m ( t ) ?dt卫星离地面高度 (公里)卫星速度 (公里/秒) 7.86200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数）， v? dm 2 ? m ( t )? ( t ) ? m ( t ? ? t )? ( t ? ? t ) ? ? ? t ? O ( ? t ) ? ? (? ( t ) ? 7.58 u) 600 ? dt ? m-dm d? dm ? m ? ? ?u 故： m 由此解得：? ( t ) ? ?800 u ln ? 0 ? 7.47 (3.11) ? 0 dm dt dt m (t ) ? ?由动量守恒定理：4007.69u-v1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 速度u及质量比决定。7.37（2）火箭推进力及速度的分析 现将火箭――卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量） （iii）mS（结构质量――如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为mP + mS ，初始速度为0， 所以末速度： ? u ln m ?O P S 火箭推进力在加速整个火箭时，其 实际效益越来越低。如果将结构质 根据目前的技术条件和燃料性 量在燃料燃烧过程中不断减少，那 能，u只能达到3公里/秒，即使 么末速度能达到要求吗？ 发射空壳火箭，其末速度也不 超过6.6公里/秒。 目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星m ?m2、理想火箭模型 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ，假设火 箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量 与燃料质量以λ与（1-λ）的比例同时减少。建模:dt 哈哈，我还是有可能 上天的！ 得到： m d m ? ? u (1 ? ? ) d m 考虑到空气阻力和重力等因素，估 dt dt 只要m0足够大，我们可以 计（按比例的粗略估计）发射卫星 解得： m0 使卫星达到我们希望它具 要使υ=10.5公里/秒才行，则可推 ? ( t ) ? u (1 ? ? ) ln m (t 算出m0/ 有的任意速度。 ) mp约为51,即发射一吨重的 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料 卫星大约需要50吨重的理想火箭 dt由m ( t )? ( t ) ? m ( t ? ? t ) ? ?dm? ( t ) ? t ? (1 ? ? )dm(? ( t ) ? u ) ? t ? O ( ? t )2耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，所以最终速度为： ?? u (1 ? ? ) ln m0 mP3、理想过程的实际逼近――多级火箭卫星系统记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 为简单起见，先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道，先权作 考虑二级火箭： 讨论的方便吧 由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：? 2 ? u lnm1 ? m 2 ? m P当第二级火箭燃尽时，末速度为：? 2 ? ? 2 ? u lnm2 ? mP? m1 ? m 2 ? m P? m2 ? mP? m1 ? m 2 ? m P m2 ? mP ? ? u ln ? ? ? ? m1 ? m 2 ? m P ? m 2 ? m P ? ?又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式， 并仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则 可得： ? ? m ? ? m ? ?1 2 ? 1? ? 1? ? ?? ? 2 m2 ? mP mP ? k ?1 ? ? k ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 ln ? ? ? 3 ln ? ? 6 ln ? ? ? ? ? 0 .1 m ? ? 0 .1 m 2 ?? ? 0 .1 k ? 1 ? ? 0 .1 k ? 1 ? 1 是否三级火箭就是最省 ? 1? ? ? 1? ? ?? m2 ? mP mP ?? ? ? ?? ? ? 呢？最简单的方法就是 1 0 .5 k ?1 对四级、五级等火箭进 ? e 6 ? 5 .7 5 2 0 .1 k ? 1 行讨论。 m1 ? m 2 ? m P ? 149 mP要使υ =10.5公里/秒，则应使:即k≈11.2，而:类似地，可以推算出三级火箭：? 3 ? u ln ?? m1 ? m 2 ? m 3 ? m P ? ? m1 ? m 2 ? m 3 ? m P3?m2 ? m3 ? mP? m2 ? m3 ? mP?m3 ? mP ? ? ? m3 ? mP ?在同样假设下:? k ?1 ? ? k ?1 ? ? 3 ? 3 ln ? ? 9 ln ? ? ? ? 0 .1 k ? 1 ? ? 0 .1 k ? 1 ?三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而 （m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。考虑N级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2表3-2n（级数） 1 2 3 4 5 … … ∞（理想） 50火箭质量（吨） / 149 77 65 当然若燃料的价钱很便宜 60而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话， 由于工艺的复杂性及每节火箭 也可选择二级火箭。 都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合 算的，三级火箭提供了一个最 好的方案。4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该 假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭 结构的最优设计。 记 W =m +…+ W + m ? ? mn 解条件极值问题： P 1 火箭结构优化设计讨论 W 1? ? W +km ? k ? 中我们得到与假设（ii） W mn ? 2 则 W2=mu +…+ m in ? 1 k P? ?n ? ? 2 ln ? ? ?W ? ? …… 相符的结果，这说明前2W k?n 1 ? ? 1 ? k1k ? ?? ? 1? ? 1 ?? ? ? ? 面的讨论都是有效的！W s .t . W ? ? Wn= mn+?m?P [ ? k ? (1 ? ? )] ? [ ? k ?? (1? ? ? )] ? C ? ? 1 n k?? k Wn+1= mln ? u P [ ? k ? (1 ? ? )] ? [ ? k ? 或等价地求解无约束极值问题：(1 ? ? )] 应用（3.11）可求得末速度： ? ? ?? k k ?k ? ? W W W in ? W k ? k ? a ? ? m k ?C?? W W W 又 ? ? ? ? ? k ? u lnk ? k ? ? ?1 n 2 n ?1 n 1 n 2 n ?1n1n12n112W n ?1W2 W3? ? W n ?111 2nn 12记 W1 Wn 可以解出最优结构设计应满足： ? k1 , ? , ? kn k1 ? k 2 n 问题化为，在υn一定的条件下，求使k1?k? ? k最小 W2 W n ?1 2…kn? ?? ?n[ ? k 1 ? (1 ? ? )] ? [ ? k n ? (1 ? ? )] ? ? m1 ? W 2 ? m 2 ? W 3 ? m n ? W n ?1 ? ? ?1 2 n
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