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复杂网络数学建模
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你可能喜欢&&&&&& 近年来，学界关于复杂网络的研究正方兴未艾。特别是,国际上有两项开创性工作掀起了一股不小的研究复杂网络的热潮。一是1998年Watts和Strogatz在Nature杂志上发表文章，引入了小世界(Small-World)网络模型，以描述从完全规则网络到完全随机网络的转变。小世界网络既具有与规则网络类似的聚类特性,又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度。(Watts＆Strogatz,p.440-442)。二是1999年Barabasi和Albert在Science上发表文章指出，许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律形式。由于没有明显的特征长度,该类网络又被称为无标度(Scale-Free)网络。（Barabasi&Albert,p.509-512）而后科学家们又研究了各种复杂网络的各种特性。(Strogatz，p.268-276)国内学界也已经注意到了这种趋势，并且也开始展开研究。(吴金闪、,第18-46页）加入复杂网络研究的学者主要来自图论、统计物理学、计算机网络研究、生态学、社会学以及经济学等领域，研究所涉及的网络主要有：生命科学领域的各种网络（如细胞网络、蛋白质－蛋白质作用网络、蛋白质折叠网络、神经网络、生态网络）、Internet/WWW网络、社会网络，包括流行性疾病的传播网络、科学家合作网络、人类性关系网络、语言学网络，等等；所使用的主要方法是数学上的图论、物理学中的统计物理学方法和社会网络分析方法。&&&&&&&& 给出了复杂网络的一个较严格的定义：具有、、、、中部分或全部性质的网络称为复杂网络。 复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性主要表现在以下几个方面：1）结构复杂，表现在节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。2）网络进化：表现在节点或连接的产生与消失。例如world-widenetwork，网页或链接随时可能出现或断开，导致网络结构不断发生变化。3）连接多样性：节点之间的连接权重存在诧异，且有可能存在方向性。4）动力学复杂性：节点集可能属于，例如节点状态随时间发生复杂变化。5）节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体，万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。6）多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。例如，设计一个电力供应网络需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间频繁进行能量传输时，他们之间的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。 &&&&&&& 目前，复杂网络研究的内容主要包括：网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，网络的演化动力学机制等问题。其中在自然科学领域，网络研究的基本测度包括：度（degree）及其分布特征，度的相关性，集聚程度及其分布特征，最短距离及其分布特征，(betweenness)及其分布特征，团的规模分布。&
&&&&&& 复杂网络一般具有以下特性：&&&&&&&&第一，。它以简单的措辞描述了大多数网络尽管规模很大但是任意两个节（顶）点间却有一条相当短的路径的事实。以日常语言看，它反映的是相互关系的数目可以很小但却能够连接世界的事实，例如，在社会网络中，人与人相互认识的关系很少，但是却可以找到很远的无关系的其他人。正如麦克卢汉所说，地球变得越来越小，变成一个地球村，也就是说，变成一个小世界。 &&&&&&& 第二，(clustering coefficient)的概念。例如，社会网络中总是存在熟人圈或朋友圈，其中每个成员都认识其他成员。集聚程度的意义是网络集团化的程度；这是一种网络的内聚倾向。连通集团概念反映的是一个大网络中各集聚的小网络分布和相互联系的状况。例如，它可以反映这个朋友圈与另一个朋友圈的相互关系。 &&&&&&& 第三，（power law）的度分布概念。度指的是网络中顶（节）点（相当于一个个体）与顶点关系（用网络中的边表达）的数量；度的相关性指顶点之间关系的联系紧密性；介数是一个重要的全局几何量。顶点u的介数含义为网络中所有的最短路径之中，经过u的数量。它反映了顶点u（即网络中有关联的个体）的影响力。无标度网络（Scale-freenetwork）的特征主要集中反映了集聚的集中性。
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贡献光荣榜网络的网络：复杂网络的第二次革命 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
网络的网络：复杂网络的第二次革命
系统科学前沿 network of networks，网络之网络
本文作者:秦鹏
“人脑连接组计划”（Human Connectome Project）利用扫描数据绘制的脑细胞髓鞘分布图。髓鞘是包在神经元分支外面的白色膜层，成分是髓磷脂。髓磷脂含量分布是表示神经元分支和信息传递速度的重要指标。人脑连接组计划准备用5年时间绘制出人脑的线路图。
（文／Elizabeth Quill）每晚约有6、7次，我们熟睡中的身体会表现出非凡的协调本领。
当你流连在黑甜乡的最深处时，身体的支持系统还在依照它们自己的时间表运行。神经细胞在你脑中吟唱着，嘈嘈切切的低语形成了标志着深度睡眠的慢波。不过，心脏仍按着自己的节奏将血液通过血管泵往全身，这种神经系统的细声细语与它并没有什么关系。同样地，空气在似乎随意的呼吸之间溜进鼻孔、穿过气管；肌肉的伸缩令双腿像毫无来由一般来回抽搐。大体上而言，肌肉、脑细胞、呼吸道和肺、心脏和血管的网络是各自独立运作的。
不过每隔几个小时，大约在短短30秒的时间内，各网络之间的藩篱会烟消云散。忽然之间，不同的网络统一了步调，深睡眠中所有各自为政的活动开始与周围环境建立关联。每一个网络——分别由自己的肌肉、细胞或分子集体运行——都加入了一个更大的群体。
这种变化标志着由深睡眠向浅睡眠的过渡，研究人员最近才了解它的细节过程。我们采用了一种全新的视角，去审视身体中无数的网络是在何时、以何种方式联结起来，形成一个超级网络的。
“当我从一种状态转向另一种状态时，生理系统之间的联系立刻改变了。”波士顿大学的生物物理学家普拉门o伊万诺夫（Plamen Ivanov）说，“这相当出人意料。”
而这种现象不仅发生在身体中，日常生活中类似的情况一直都在发生。各种类型的系统时时相连。火车站附近出现了公交车站，使得通勤者可以从一个交通网络进入另一个。新的朋友加入了你的社交圈，将你的交际网络和他们的连接起来。电话、银行、电厂全部登陆互联网，并在网上互联互通。
长久以来，人们想弄明白参与者（player）——不管是身体器官、人员、公交车站、公司还是国家——是如何连接、交互，创造出网络（network）结构的。20世纪90年代后期，随着网络科学的突飞猛进，网络如何运作以及为何有时又会发生故障，这些问题都得到了深入而细致的分析。但是近来一些研究者意识到，仅仅了解独立的网络如何工作是不够的，研究网络之间如何交互同样重要。如今，前沿领域不再是网络科学，而是研究 网络的网络 （network of networks）的科学。
“当我们孤立地考量单一的一个网络，我们便错失了相当多的背景信息。”加州大学戴维斯分校的物理学家、工程师雷萨o德苏萨（Raissa D’Souza）说，“我们会做出与真实系统不符的错误预测。”
和单一网络一样，网络的网络也比比皆是。你早上醒来，去上班并开动脑筋，便是在连接不同的网络了。当你向朋友介绍一名家庭成员，或者在微博上发送一条消息并同步到其他社交网络（比如说果壳，哈哈），同样的事情也在发生。其实只要你连接互联网，就是在进入互相依存的系统——互联网以电网为支撑，而电网通过通信网得到指令。如果经济衰退导致你的投资贬值，你便能感觉到这种系统出问题时的后果。
目前的研究结果表明，网络的网络产生灾难性危害的风险高于分散的系统。一个看似无害的干扰可以像涟漪一般造成扩散性的负面效应。有时候这种效应造成的损失可达数百万甚至数十亿美元之巨，比如股票市场崩溃、半个印度停电或者冰岛火山喷发造成航线关闭以及酒店和租车公司倒闭。在另外一些情况下，网络的网络内部是否发生故障可能意味着疾病是小规模爆发还是大面积流行，一场恐怖袭击是被挫败还是夺去几千人生命。
网络研究出现了一次重大突破，研究者发现很多现实世界中的网络都拥有近似的形态。这些被称为“小世界”的单一网络具有聚簇和短接的特征。随着注意力转向网络的网络，另一次思维方法的革命正在进行中。［上］单一网络：一个网络由连接（线）和节点（点）构成。科学家按照节点数和平均度（平均连接数）对网络进行分类。在规则网络（regular network）中，每个节点拥有相等的连接数；在随机网络（random network）中，每个节点的连接数是随机的；小世界网络（small-world network）介于两者之间，往往和现实世界中的情形比较接近。［下］网络的网络：在现实中，网络通常会互相联结。尽管科学家们尚不清楚这些超级网络的一般形态，但一些量化的性质仍然适用。超级网络中的连接至少有两种形态：相连（类似单一网络中的连接，以黑色表示）和相依（对某节点来说生死攸关的连接，以橙色表示）。图片：T. Dubé
要想参透这些生死攸关的场景，我们应当放弃研究单一网络时得出的一些根深蒂固的想法。科学家们现在了解到，网络的网络的行为并不总是像单一网络那样。紧跟着这一深刻认识的，是一场进行中的革命。不同领域的研究者们正试图弄清楚网络之间如何联结，这些联结又会带来哪些后续结果。
伊万诺夫等研究者正在分析海量的数据，以便理解不同的生理系统如何协作实现身体机能。其他一些研究者则在探索身边的地球，力图识别出是哪些联结保持着这颗星球的平衡。近期还有很多关注对准了这种联结带来的潜在危险。在一项里程碑式的研究中，波士顿大学和其他地区的研究者们开发出了一种数学方法，用以解释网络的网络是如何突然崩溃的。同时从优劣两方面一起研究，也许能够对集成系统的设计提出某种指导意见，使之不仅在平时表现良好，还能在出错时保持运行。
突然崩溃的超级网络
发布于视频网站Youtube上的一系列CNN新闻片断凸现了互相依存系统的脆弱。沃尔夫o布利策（Wolf Blitzer）反复提醒观众节目仅仅是“演习”，片中前美国政府官员们集合起来应对一场模拟的网络攻击。在这个《世界之战》（The War of the Worlds）式的报道中
，最初是一台俄罗斯计算机使一部智能手机染上病毒。蠕虫感染了另外一些智能手机之后，来到了美国的计算机上。它在美国摧毁了通信网络，继而干掉了电站。接踵而至的停电使交通网络陷于瘫痪。当单独一次感染的效应在不同系统间来回传递时，每一次故障都会造成更多的故障。美国政府控制不了俄罗斯计算机系统，也没有权力禁用智能手机，对此无能为力。
日，根据英国作家赫伯特o乔治o威尔斯（Herbert George Wells）的小说《世界之战》改编的同名广播剧在美国哥伦比亚广播公司（CBS）播出，主播是奥森o威尔斯（Orson Welles）。由于采用了模仿现场新闻播报的表演方式，该剧造成了大规模的恐慌和经济损失。
以色列巴伊兰大学（Bar-Ilan University）的歇洛莫o赫复林（Shlomo Havlin）经常在讲解网络的网络时播放这些新闻视频。赫复林说：“一个系统中有了损毁，便会造成另一个系统中的损毁。”但他指出，对这种连锁性损毁的关注并非前所未有。很多像CNN新闻片这样的报道都对互相依存系统的脆弱性表达了忧虑。“我们仍不知道应该如何系统性地研究这一课题，我们尚未建立起一个理论框架。”
赫复林最初对这个问题感兴趣是在2009年，当时一位美国国防威胁降低局（U.S. Defense Threat Reduction Agency）的程序评审员访问了波士顿大学物理系。该局资助赫复林和H.o尤金o斯坦利（H. Eugene Stanley）以及波士顿的同僚吉莱德o保罗（Gerald Paul）和谢尔盖o布尔德烈夫（Sergey Buldyrev）共同研究侵扰单一网络的问题。评审员提出了一个新课题：当差错出现时，互相作用的网络复原能力有多强？他要求研究者们在数周之后提出建议。尽管时间紧迫，研究团队以及后来加入的巴伊兰同事罗尼o帕沙尼（Roni Parshani）还是决定攻克这一难题。
赫复林很快想到了一个思路。一般用被线条连接起来的点来代表单一网络。这些点被称为节点（node），是网络的参与者。线条则被称为边（edge）或者连接（link），代表参与者之间的联系。赫复林的见解是用一种新的连接来联结一个网络中的节点和另一个网络中的节点。他的新连接叫做相依边（dependency link），标识出一个网络中的哪些节点需要依赖另一个网络中的节点才能够发挥功能——比如说，一台计算机离开其专有电源便无法运行。这些关键性的依赖关系能使故障在系统之间传播。
赫复林提出思路之后，布尔德烈夫便立刻通过数学方法展开工作。这并不容易，他必须用方程式来表达每个网络的每种状态，当随机选择的某个节点被去除时会引起其他节点的消失。被保罗称为“数学天才”的布尔德烈夫解决了这个难题。该问题的解决仅仅花了大约一周。
“一天早晨我进门的时候，歇洛莫非常非常兴奋，就差站在桌子上跳舞了。”保罗说。
当一个网络依赖于其他网络时，比如通讯网络依靠电网运行，故障能够在两者之间来回传递。这种行为也许能够解释关联系统的突然崩溃。这样，对单独一个节点的攻击可能把一个最初有12个运行节点的超级网络（上图）缩减到只剩下4个节点。图片：S.V. Buldyrev et al/Nature 2010, adapted byT. Dubé
通过分析关联网络，研究者们发现了一种无法用单一网络的知识推导出的数学行为。在单一网络中，移除一个节点之后，故障会逐步传播，网络一点一点地破碎。但是在网络的网络中，去除节点意味着崩溃可以突然发生。当节点失效时，系统一开始表现得运行正常，但突然之间达到一个阈值。这时如果再有一个节点丢失的话，“砰”地一声，一切分崩离析。
“就算只多了一个失效的节点，网络也会彻底崩溃。”赫复林说，“这让网络变得愈加危险。”
斯坦利把单一网络比作一名醉酒的囚犯试图用一把断线钳越狱。他在栅栏上随机剪切，一个洞最终会变得越来越大。过一小会儿也许囚犯便能伸过去一只手臂，再剪几下，头也能伸过去了，最终也许整个身体都能够穿过。但是在网络的网络中，囚犯只剪断一两根线，便会像是触动了一根魔法线，整个栅栏支离破碎。囚犯马上就逍遥法外了。
“这就好像有人扳动了一个开关。”斯坦利说，“但其实这个开关并不存在。”
研究者们改进了数学方法、进行了几番模拟之后，向《自然》（Nature）杂志投递了一篇论文。该论文于2010年发表，已经被150多篇其他论文引用。
其他一些团队也在网络的网络中发现了出乎意料的行为。2009年，德苏萨和一名同事证明，在网络的网络中联结一大批节点，需要的连接比在类似的单一网络中少。其他一些科学家则发现，由于人类流动性网络具有互相勾连的性质，因此强制推行旅行禁令，对于流行病传播的遏制作用也许并不像期望中的那么大。2008年，意大利研究者报告称一座电站的关闭导致了互联网通讯失灵，继而造成更多电站的故障，引发了一场影响了意大利许多地区的大停电。在《自然》杂志的论文中，波士顿团队以这次停电事故为例，说明了故障如何能在网络之间来回传递。
《自然》的那篇论文独树一帜，它提供了一种简单的数学模型来解释现实世界中的现象。这一研究成果结合着另外一些发现，为研究网络的网络奠定了理论基础。
“他们实际上为这一问题确立了一个框架。”美国东北大学（Northeastern University）的艾伯特－拉斯洛o巴拉巴西（Albert-László Barabási）说。他曾对单一网络的研究做出过影响深远的贡献。
做出这一发现之后，波士顿团队的核心力量没有止步于理论框架。他们和一群研究生一起，开始研究3个及更多关联网络的弱点。在另一项研究中，他们发现恐怖分子对一座重要电力枢纽造成的破坏，也许并不同于老鼠咬穿了电线这类更随机的破坏。
在一些网络中，连接通畅的节点更有可能与其他连接通畅的节点联系起来。斯坦利、研究生周迪（音）和同事们发现，如果相依系统中有一个网络具备这种同配性（assortativity），整个系统便会更加容易陷入混乱。
出人意料的是，这些早期的发现是基于单一网络研究的，这使得科学家们好奇网络的网络中还可能藏有什么样的待解之谜。“很多问题立刻呈现出来，”赫复林说。
1998年，网络科学领域有过一次类似的突飞猛进，起因是康奈尔大学的史蒂芬o斯托加茨（Steven Strogatz）和当时的同事邓肯o沃兹（Duncan Watts）在《自然》杂志发表了一篇突破性的论文——《“小世界”网络的集体动力学》（Collective dynamics of “small-world” networks），这篇论文解释了为何有时我们觉得世界非常小。
那个时候，“小世界现象”的名声已经有点臭了。20世纪60年代，心理学家斯坦利o米尔格兰姆（Stanley Milgram）证明，随机选择的一位生活在内布拉斯加州的人，只需要通过很少几个（通常是6个）人，就能以熟识关系联系到马萨诸塞州的一位目标人士。宾夕法尼亚州雷丁市奥尔布赖特学院的一些学生根据演员凯文o培根（Kevin Bacon）在很多影片中的出镜，发明了一个名为“六度空间”的游戏，使得这个想法在20世纪90年代中期广为人知。把共同出演一部电影定义为连接，可以在6步以内把培根与好莱坞任何一位名人联系起来。在演员构成的网络里，比方说要从凯文o培根的节点移动到希拉里o斯万克（Hilary Swank），你只需要经过不到6部电影。事实上，很难找到离开凯文o培根超过2至3度的好莱坞演员，不信你可以到www.oracleofbacon.org上去试试。
从深睡眠到浅睡眠的转换过程中，体内的网络忽然间协调一致。每一个小圆代表一个身体系统的度量，而线条显示出在4分钟的时间里哪些系统在一致行动。从交互网络的观点来看，深睡眠与浅睡眠截然不同，后者更像是醒来。图片：A. Bashan et al/Nature Communications 2012, adapted by T. Dubé
小世界网络，或者说沃兹-斯托加茨网络，有两个特性：其一，高度集群化，也就是说节点像中学女生团体那样集束成群；其二，这些团体之间有捷径相连，比如拉拉队长有时候会和书呆子团体的某个成员玩在一起。
让我们回到康奈尔团队的那篇突破性论文，斯托加茨和沃兹的发现揭示了一个网络的行为方式。斯托加茨说，“在博弈的情况下——让人员、公司、国家参与囚徒困境——我们能够证明小世界结构对于博弈的演进具有重大影响，系统同步得更快，流行病传播得更迅猛。”
但真正引发“沃兹-斯托加茨革命”的是，他们模型中的一些特征与现实世界多重网络有相似之处。电力网络、与凯文o培根有关联的演员和蠕虫的神经网络中都隐藏着一个秘密，而科学家们刚刚把这个秘密揭开。
“前人引入了比较剖析的方法，来考察网络的问题。”斯托加茨说，“我们能够证明的是，一些网络在科学上毫无关联，但在数学上遵循相同结构原理，这些不同网络都遵循着一些普遍原则。”
不同学科的研究者们几乎立刻把思维的火力转移了过来，他们开始为蛋白质、飞机、电站和病原体构建网络数学。有关朋友、电影演员和金融玩家们的研究也都受到了关注。在最近这十来年的时间里，这一股研究热潮已经使我们加深了对许多问题的认识，例如，不同类型的节点如何连聚成网，如果移除其中一个节点会发生什么。
不过截至目前，大部分工作还是专注于单一网络的比较剖析。关于网络的网络的惊人发现提出了一个全新的、有待回答的问题：隐藏在停电、金融市场崩溃、交通堵塞以及健康突然恶化等现象背后的超级网络，在更深层次上是否拥有一个共通的结构？
斯坦利认为这是有可能的。他下楼梯的时候习惯抓着扶手。他说，摔坏髋骨可以引发身体网络的网络中一系列的脱节。 即便修复手术成功，髋骨骨折的老年人在接下来的一年里的死亡几率大增，这已经是广为人知的事情。然而人们尚不清楚，在这种健康的突然恶化背后，是否隐藏着波士顿团队勾画出的网络行为。也许要等到科学家们弄清楚，躯体内、金融市场上和自然界中的网络的网络有何共通之处，答案才会呈现出来。
探索网络的网络
在所有与网络的网络有关的难题中，气候变化是最难解决的一个。全球气温在下一个世纪里将升高多少，取决于空气、海洋、陆地以及地球上所有生物的行为模式。自然循环受到人类网络的影响——经济掌控着温室气体的排放、政治推动着替代能源的发展，社会认知决定着全球变暖问题的地位。
在最近的一项研究中，为了研究大气层中的网络，德国波茨坦气候影响研究所（Potsdam Institute for Climate Impact Research）的物理学家乔纳森o邓格斯（Jonathan Donges）绘制了与气压有关的几十万个数据点。通过追踪数据如何随着时间变化，他识别出一系列包裹在地球周围的水平网络，像俄罗斯套娃般一层套一层。他和同事在去年发表于《欧洲物理学学报B》（European Physical Journal B）的论文中指出，北极仿佛某种大气边界巡查，控制着水平层级之间的交互，从而起到了连接的作用。
“从联系地表与高层大气的大气动力学来看，北极至关重要。”邓格斯说。
如果觉得空气分子构成的网络听起来挺复杂，那再想想人体细胞里纷纷扰扰的生理过程构成的网络吧，那里的节点及其连接都有着不同的形态。你身体的每一个细胞里，DNA、RNA和蛋白质之间的舞步从不停歇。DNA编码了2万多段基因构成的网络，每时每刻都有很多被解码编入信使RNA的互补链。信使RNA则在指导蛋白质生产的过程中构建了自己的网络。这些蛋白质能够与其他蛋白质翩跹对舞，在自己网络中相互作用，或者通过把基因置入、移出联结到其他网络。
“你不能孤立地看待这些网络。”爱丁堡大学罗斯林学院的汤姆o迈克尔（Tom Michoel）说，“网络之中的一切都是互相关联的。”
迈克尔研究特定系统中出现频率高于预期的小规模模式，以此来理解网络的网络，并对其总体功能有所阐述。试想，在一个普通的工作场所中，一位中间人可以充当老板和员工之间的联络点。迈克尔在酵母菌细胞中发现了很多例类似的模式。有两个连接起来的网络中，其中一个网络包含着规范基因活动的相互作用，即一种蛋白质（老板）给一段基因作化学标记，而这段基因负责为另一种蛋白质（中间人）编码；另在一个网络中，蛋白质之间直接交互（中间人和员工之间）。
通过观察小规模模式如何聚簇、重叠，迈克尔发现一名“老板”与一名“中间人”交互，但是每个“中间人”都代表了许多“员工”，就好像工会发言人代表工会成员一样。没有超级网络分析，便无法理解“老板”和“中间人”这两种截然不同的角色。而重要的大规模相互作用仍有待破解。
揭示未知的相互作用只是网络的网络研究的课题之一。网络之间的联结强度也很重要。比如说，某条线路上运行的公交车数量在高峰时间也许会上涨。在你的社交网络中，你几乎每天都会见到一位同事，但高中时代的朋友却只能一年见上一面。
在对睡眠周期的研究中，伊万诺夫证明了只需改变两个网络互相联结的紧密程度，而不必新建或者删除连接，便可以影响生理状态。
曾师从斯坦利的伊万诺夫花费了十多年的时间收集心律、呼吸频率、肌肉紧张度和眼动等方面的数据，以研究身体各个网络在睡眠的不同阶段是如何交互的。和邓格斯研究大气层的方法差不多，伊万诺夫分析每个系统的可测量标记如何随时间变化彼此并行，以此来定位连接并推断这些连接的性质。他的团队发现了网络之间是如何相互勾连及松脱，以及这些联结是如果变化的。
伊万诺夫认为他关注的问题，以及体内出现的其他网络的网络谜团，要比斯坦利和赫复林的团队破解的理想情况更具挑战性。
“即便节点之间的某个特定连接不消失，我们还是可能会出毛病。”伊万诺夫说，“我们仍旧拥有所有的连接，但是强度变了，系统也可能会停顿。”
这些值得思考的问题使人们意识到还有很多东西有待学习，这个正在迅猛兴起的领域陡然增加了更多的难题。
美国东北大学的物理学家、计算学家亚历山德罗o维斯皮那尼（Alessandro Vespignani）研究流行病以及网络中的其他传播过程。他把当前人们对这一领域的认识比作2000年前罗马人对非洲的认识。罗马人有相当精确的世界地图，但是他们并不深入非洲。“那里有狮子，这就是全部的信息。”维斯皮那尼说。
如今，科学家们有了一幅网络科学的未来地图，网络的网络提供了一片令人兴奋的新疆域，但人们才只是刚刚踏足其中。“我们需要定义新的数学工具。”维斯皮那尼说，“我们需要收集很多数据。我们需要不断探索才能真正摸清这片领域的情况。”
连接的弹性
加州大学戴维斯分校的德苏萨迈开了勘疆划域的新步伐。她和同事们对网络的网络产生兴趣时，关注的是系统的正常运行而非出故障。
“我们并没有关注节点永远消失之类的情况。”德苏萨说，“我们对网络持续运转的动力更感兴趣。”
在近期的一项研究中，她的团队关注了分别覆盖美国东西部的两个电网，希望研究这两个关联的电力网络是如何交互的。她在两个电网之间创建了连接。这些连接与电网内部节点之间的连接类似：节点之间存在交互，但是一个节点的存续并不完全依赖于另一个节点。她称之为连接边（connectivity link）。
每张网络中的每个节点被赋予一个容量，这个数字代表一座电站被用电需求压垮之前能够承受的最大载荷。连接代表电站转派其载荷的通路。如果一座电站无法满足需求，它可以把其中一部分转给其他连入的电站，并可以一直转派下去。研究者不断加大需求，就如同朝沙堆上继续追加沙子，直到载荷激增造成系统崩溃。正如同加到沙堆上的沙子最终会开始从侧面垮塌，载荷会停止在节点之间传送。网络科学家们形象地称这种崩溃为“连锁性崩溃”（sandpile cascade）。
在分析这种崩溃的数学原理过程中，德苏萨和同事们证明了，拥有两个网络有助于减少单一网络的部分负担，将发生大型崩溃的威胁降到最低。“少许的连接极为有益，”德苏萨说，“第二个网络成为第一个网络分配部分载荷的蓄水池。”
但是，团队3月份在《美国科学院院报》（PNAS）上报告称，网络之间的连接太多，又有可能造成更大的崩溃。
互联互通的电网是很好的合作网络实例，德苏萨说。增加通往一个网络的输电线路也许能够大幅提升另一个网络的传输能力。但是这样的网络之间也会具有竞争性，比如一个网络中的改进会将另一个网络置于供能弱势。
德苏萨的研究说明，网络的网络的思想可以涉及其他领域。在社交网络中，你拥有重叠的网络，也就是说你同时属于朋友组和家人组。也可能在一些网络中，节点一样，但连接不同，想一下有些银行在一个网络中互相借款，又在另一个网络中互相投资。
此外还有一个网络建筑在另一个之上的系统，比如以超链接组织起来的网页就建立在在电子、光纤和无线通讯网络的基础之上。人脑中也有这些“覆盖网络”（overlay network）。脑的生理结构网络，使得了脑功能网络——思想、记忆、理性——得以运转。
印第安纳大学的奥拉夫o斯庞斯（Olaf Sporns）指出，功能性活动的变化更加虚幻缥缈、更难以描述。斯庞斯是人脑连接组计划（Human Connectome Project）的主要成员。这一项目旨在理解脑中的神经元如何交互。“如果我们拥有足够优良的仪器，我们就能够测量脑的生理结构。”他说，“它其实就是布线。”
脑科学家们也认为功能网络必然以某种方式植根于结构网络。但是一个网络究竟如何生发出另一个网络？这个问题尚没有答案。节点与连接的谜宫本已很难掌握，而这两个网络又互相依存，给这个谜题又加入了演化的因素。构造刻画、限制并塑造着功能，而功能则随着时间的流逝在结构上留下经验的痕迹。
斯庞斯认为，结构网络的成本与功能网络的需求之间有着一个动态的平衡作用。斯庞斯和一名同事5月份在《自然神经科学综述》（Nature Reviews Neuroscience）中写道，“在脑部网络的演化、成长及适应变化的认知需求的过程中，这种反反复复的讨价还价一直在发生，长则几十年，短则一毫秒。”
脑随时间变化时，身体行为也在变化——从而影响到一切有人参与的更大的网络。
这将使科学家们面临更大的难题。维斯皮那尼说，问题扩展到网络的网络怎样应对某个网络内部发生的事情，而人又如何适应这个系统。“如果我知道停电了，我会采取某些对策。如果我知道发生了经济危机，我会去银行取出所有的钱。如果发生流行病，我会待在家里。”
一些科学家推测，现有的超级网络理论也许因过于简单而不够实用。一名经济学家甚至警告，过度应用波士顿团队的研究结果会带来危险。他认为，不能因为手里握着一把锤子就把一切问题都看成钉子。不过大部分研究者的观点更加谨慎。
在一次对意大利超级网络的模拟中（圈代表电网，菱形代表通讯网），只要保护4个节点就能够降低系统的风险。在左图中，所有的通讯服务器都与电网连接起来；而在右图中，其中4台被脱离开。不同的颜色代表了当服务器故障之后某个节点的故障率。数据来源：C.M. Schneider et al/arxiv.org 2011; 地图：Geoatlas/graphi-ogre, adapted by T. Dubé
构建更好的系统
当物理学家和数学家们奋力追求简化问题的时候，莱斯大学的莱昂纳多o杜埃尼亚斯－奥索里奥（Leonardo Due?as-Osorio）这样的工程师则喜欢数据驱动的模拟方法，结合实体系统中的真实情况来丰富网络科学的工具。
“面临复杂问题时，将分析抽象化能帮助你缩小关注范围。” 杜埃尼亚斯－奥索里奥说，“接下来你就要加以精细的调整，让模型更加贴近现实。”
两种方法——基于理论的和基于数据的——都在现实世界中得到了一定的回报。有了数学方程式，“你可以得出很多见解深刻的推论。”他说，“这些推论都非常有价值，不过有时你必须为简化系统付出代价。”
杜埃尼亚斯－奥索里奥等人是这样构建网络模型的：将每个节点固定在合适的位置上，并根据年龄或者活跃性等因素，赋予其不同的故障概率。这些研究者中很多是在现场获得的数据。
2010年，杜埃尼亚斯－奥索里奥去震后的智利旅行。他收集了变压器故障、管道破损等信息，并与公共事业公司交谈，以追踪服务的中断。“这些信息使我们对系统之间的联结强度有所了解。”他说。
这样的数据也告诉我们系统还有哪些地方有待改进。一些遭到自然灾害严重打击的地区不具备足够的连接——比如说只有一座电站支撑着一处泵站。
赫复林及同事也为设计更好的系统提供了其他建议。有选择地保持一个网络中的某些节点独立于第二个网络可以防止突然的大崩溃。回顾意大利的那场大停电，研究者们发现他们只需将联结电网的4台通讯服务器拆开就能够防护住系统。“这样，我们就有希望把系统变得更加坚韧。”赫复林说。
正是这一前景引起了政府和其他机构的兴趣。美国之外的其他国家也行动起来。欧盟在Multiplex上花费了几百万欧元，召集起一支全明星级别的网络科研团队，为之创建一个坚实的理论基础。一个由意大利投资，名为危机实验室（Crisis Lab）的项目，将在三年内接收900万欧元资金，用以评估现实世界的危机风险：电网、电信系统及其他关键基础设施之间的相互依存。
根据杜埃尼亚斯－奥索里奥的展望，最终出现的不仅是一套如何模拟并研究网络的网络的指导方针，还会有一套怎样从一开始就以最优方案联结组网的指南。他评论说，美国和其他国家都有设计独立网络的规程。修造建筑和桥梁都有最低要求，但是没人规定网络的网络该如何组建。
伊万诺夫希望开发一个类似的人体规则手册，能够展现真实的情况。很多医生的办公室里挂着身体不同系统的图表——循环系统、呼吸系统、运动系统。但是没有哪个体现出这些系统是如何交互的，而这些知识也许在对抗疾病时至关重要。
随着更多数据的涌入，人造系统研究者与自然系统研究者目标也许会合二为一。比起生物系统、社会系统和技术系统是否呈现出相似的数学性质来，更重要的是它们应不应该呈现出相似的数学性质（是否要对设计出来的社会和技术系统进行人工干预，让它们不同于自然系统，变得更好？）。人类能否通过向自然界中存在的系统学习而设计出更好的系统呢？
斯庞斯预测答案可以是肯定的。“这些系统能存在到今天，说明它们优化到一定地步了。”他说，“它们证明了我们也可以拥有这样的复杂系统：在结构上能够建造、实现及保持，同时具有充沛的活力、能够抵御扰动并不断演化。”
如何在网络的网络中使可持续性、适应性和演化性达到最大化仍旧是一个极为开放的问题。遗传学家在基因中寻觅答案；生理学家求问于更大范围的身体结构；生态学家则要在支配着所有生物的相互作用里上下求索。在这些正在成长的知识网络中，联系不断形成，工程师们的模型和理论家们的框架也一并在发展，为一个正在大踏步前进的脑力远征提供了急需的燃料。
如果这些努力能有成效，也许有一天预防停电、控制流行病和处理复杂通勤会变得非常简单，就像早晨从睡梦中醒来一样自然。
附录：超级网络的灾难
网络的网络一旦灾难降临将会发生什么事情？尽管研究者还没有细致地分析过，但近期现实世界中发生的一些事情提醒了人们。
2012年，印度大停电
thetimes.co.uk
今年早些时候印度电网崩溃，几亿人失去电力供应。断电引发了运输中断，本地和长途列车停止运行。据推测，电网过载的原因是雨季时雨水不够，农民使用了更多电力灌溉农田。
2010年，冰岛火山喷发
2010年，冰岛埃亚菲亚德拉冰盖下的火山喷发。火山灰造成了全欧空中交通关闭。但是受到影响的并非只有旅客：制造商、医药供应商和农作物生产者无法运输他们的货物。地质活动的影响进入了燃料、宾馆和租车行业。
2009年，墨西哥猪流感流行
telegraph.co.uk
2009年墨西哥爆发猪流感疫情时，官方以旅行禁令和其他管制措施作为应对。但是进出墨西哥的国际空中交通的减少并没有遏制疫情扩散。病毒通过一个复杂的全球性超级流动网络不断传播。这一网络不光包括长途航班，还包括本地通勤，并与社交及经济网络发生着交互。
编译自: Science News When Networks Network内文图片: sciencenews.org；（附录小图）见图片标注题图说明: 人脑连接组计划（Human Connectome Project）绘制的大脑髓鞘分布图。髓磷脂含量分布是表示神经元分支和信息传递速度的重要指标。髓鞘是包在神经元分支外面的白色膜层，成分是髓磷脂。不同颜色代表髓鞘分布密度水平，如红色和黄色表示髓磷脂含量高的区域，蓝色、紫色和黑色表示含量水平较低。
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好长。。。第一段写得真好～
确实好长。。
好长，非手机必定看不完
进化论带给我们的本身就是一个复杂的世界，不过，最后的结果也许就是复杂后的简单。。。。
对脑的网络感兴趣
Muse的新专The 2nd Law封面就是用的题图……
好文。这几年脑科学的网络研究大热啊，从只有几十个神经元的线虫到复杂的人脑功能/结构联接，看来得考虑做下这方面了....
好文，这个内容真的很有意义，这是有一个研究的进步
好文。一直就对这方面比较感兴趣。
人类的希望啊
勘查技术与工程专业，编程爱好者
有高维空间的赶脚
网络真的是一把双刃剑
蝴蝶效应的科学解释
电力电子博士生，文史爱好者
终于看完了
我只知道其中一方面的应用这来龙去脉都都清楚了赞
能发现问题所在，那么相信离解决也就不远了。
赞!要的就是这种思维和建模!
的话：好长。。。第一段写得真好～第一反应荷塘月色。。。
看得迷迷糊糊, 不是很懂.
空间信息与数字技术专业
的话：蝴蝶效应的科学解释同意 网络间的复杂性，似乎也决定了稳态的脆弱性
的话：同意 网络间的复杂性，似乎也决定了稳态的脆弱性同意 网络间的复杂性，似乎也决定了维稳的脆弱性
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