扭曲的几何：球面上的世界观 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
扭曲的几何：球面上的世界观
地图是怎么画出来的？球面几何学有什么用？地图投影法有哪几种？
本文作者:TF01
你肯定听说过“天圆地方”。站在一望无垠的地上看，大地是平的。到地球之外的天上再看，大地是曲形的球面。而在数学家看来，平面和球面，是两种截然不同的几何，两种不同的世界观。让我们从最简单的面积测量开始说起。
古代由于土地测量的需要催生了几何学。利用平面几何知识，我们可以很容易算出自家房屋占地面积有多大。但如果你的领土面积再大一些呢？假如你在地球上建立了一个巨大的帝国，你的国土大得已经不能再看作一个平面图形，该如何算出它的领土面积呢？
球面上的圆形帝国
首先让我们先考虑简单一点的情形。假设地球是一个标准球体，你的帝国是地球上一个巨大的圆形。如图所示，这个圆将地球表面分为两部分，上面那部分就是你的帝国。假设地球的半径是 R，帝国中心到帝国边界所在平面的距离是h，现在我们来计算帝国的面积。
我们先用若干个与边界圆平行的平面将帝国分割为一个个细窄的环带。每个平面间的距离是 Δh。
考虑其中一个环带，当 Δh 足够小时，环带的上边缘和下边缘的长度相差就很小。假设环带上一点到球心连线与帝国中心到球心连线的夹角为 θ，那么这个环带的边缘的长度近似等于 2πRsinθ。根据半径与球面的垂直关系，可以得出这个环带上下边缘之间的一条最短的线段与用于切割的平面的夹角也是 θ，所以这个环带的宽度是 Δh/sinθ。然后就可以得出这个环带的面积是 2πR sinθ×Δh/sinθ = 2πRΔh。从这里可以看出，所有的环带的面积都相等，都是 2πRΔh。
如果我们将这些环带的面积加起来，就能得到帝国的面积是 2πRh。
如果把帝国中心到帝国边界的直线距离记为 L，如图，由相似三角形的关系，可以推出 2Rh = L?。所以帝国的面积可以写为πL?，它与平面上一个半径为 L 的圆的面积相等。
如果你征服了全球，就会有 L = 2R，根据上面的公式，你的帝国的面积是 4πR?。这正是整个地球的表面积。
实际上，上面所写的球表面积公式以及球面上的圆面积公式最早是由古希腊的阿基米德得出的。他在《论球和圆柱》中用穷竭法证明了这个定理。穷竭法由古希腊的安提芬( Antiphon )最早提出，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。后来，古希腊数学家欧多克斯( Eudoxus of Cnidus )做了改进，将其定义为：在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小。阿基米德进一步改进后，将其应用到对曲线、曲面以及不规则体的体积的研究和讨论上，为现代积分学打开了一道隐隐的门。
球面上的三角形帝国
算出了圆形帝国的面积，我们再来考虑复杂一些的情况，假如你的帝国是地球上的一个多边形。
先定义什么是球面上的多边形。在球面上，两点间最短的距离是大圆的弧线段的长度。所谓球面上的大圆，指的是圆心与球面的球心重合的圆（例如地球的经线都是大圆，而纬线只有赤道是大圆）。这种连接曲面上两点的最短弧线称为测地线，顾名思义，它是由古代的数学家们测量两地距离时发现的。而一个球面 n 边形，就是由 n 条测地线段首尾相连所组成的闭合图形。与平面的情形类似，每条测地线段称为多边形的边，两条测地线段的交点称为顶点。顶点处两条测地线的切线的夹角就是多边形的内角。
不妨先算一个三角形帝国的面积。设地球的半径为 R， △ABC 是其上一个球面三角形。我们分别以 α，β，γ表示三个顶点的内角，仍然用 △ABC 表示它的面积。延长三角形的三条边，将其延长为完整的大圆。球面上的两个大圆会有两个交点，这两个交点是球面的一条直径的端点，这样的两个点称为对径点。记A，B，C的对径点分別是A'，B'，C'。
我们考虑半圆弧 ABA' 和半圆弧 ACA' 所围成的区域。由于球面关于直径 AA' 是旋转对称的，所以我们可以推出这块区域与整个球面的面积之比为 α/2π。前面我们已经得出球面的面积公式是 4πR?。所以这块区域的面积是 2αR?，即
△ABC + △A' BC = 2αR?
按照同样的方法，我们还可以得出：
△ABC + △AB'C = 2βR?
△ABC + △ABC' = 2γR?
因为 △ABC' 和 △A'B'C 关于球心对称，所以它们的面积相等：
△ABC' = △A' B' C
又由于上述三角形的其中四个可以拼成半个球面：
△ABC + △A'BC + △AB'C + △A'B'C = 2πR?
所以根据以上 5 个方程，可以解出：
△ABC = (α+β+γ－π)R?
这就是球面三角形面积公式。它最早是由英国数学家托马斯o哈里奥特发现的，但被称为笛沙格定理，因为法国数学家吉拉德o笛沙格最早地将这个定理发表了。
高斯眼中的球面三角形
一个很有意思的地方是，球面三角形的内角和大于π。也就是说球面几何其实是一种
当年，高斯在主导汉诺威公国的大地测量工作时，他通过测量三座山峰Brocken、Inselsberg、Hohehagen所构成的三角形的内角和，以此验证非欧几何。最终测出这个三角形的内角和为 180°0′14.85″。不过高斯认为这什么也证明不了，因为测量误差可能就远大于 14.85″。三座山峰构成的三角形太小了，只有在更大的三角形中才能看出其内角和与π的显著差距。此时高斯已经认识到了非欧几何的深远意义：非欧几何在逻辑上是相容的，它可以来描述物质空间，和欧氏几何一样地正确，欧氏几何并不是物质空间所必然有的几何。
仿照平面几何中的思路，我们可以把球面上的多边形分割成若干个三角形。如此就能算出球面上多边形的面积。
一个球面 n 边形可以分割为 n－2 个球面三角形，对每个三角形应用上面的公式，然后把这些等式加起来，我们就得到球面上 n 边形的面积公式：
其中 α i 是 n 边形的 n 个内角。
如果我们用外角（外角是内角的补角）来表示这个公式，它可以写得更简洁：
其中 θ i 是 n 边形的 n 个外角， θ i = π－ α i 。
按照这个公式，你只要沿着帝国的边界走一圈，回到原来的位置、原来的方向，那么你转过的角度与2π的差值就代表了帝国领土的大小。
最后再来介绍一下更一般的情形。假如有一个光滑的曲面，在这个曲面上有一个由测地线组成的三角形，那么对这个曲面三角形，有
其中K是曲面的高斯曲率，dA 表示对面积的积分， α 1 、 α 2 、 α 3 是三角形的三个内角。
一个半径为R的球面的高斯曲率等于 1/R?，于是我们可以看到，球面三角形面积公式是上面这个公式的特例。这个公式是高斯在《关于曲面的一般研究》中证明的。
高斯的这篇文章提出了一个全新的概念，即一张曲面本身就可以看成是一个空间。随后这个概念得以推广，从而为非欧几何学开辟了一片新的天地。
你可能感兴趣
杀花已经木有了。。看完吧。。。
呃，看不懂啊看不懂。。。。
额.. 这么牛
呵呵，这篇文章看完肯定杀花啊
我狂晕啊，小编，
讲“球面上的三角形帝国”时没有图啊，让人怎么看啊？如何理解啊？小编一定是疏忽了吧，另外第一种求“球面上的圆形帝国”方法确实比较牛，不用什么定积分，直接就微元法出来了
前排围观···等明天仔细再看看~~
的话：我狂晕啊，小编，
讲“球面上的三角形帝国”时没有图啊，让人怎么看啊？如何理解啊？小编一定是疏忽了吧，另外第一种求“球面上的圆形帝国”方法确实比较牛，不用什么定积分，直接就微元法出来了漏了一个不好意思
Gauss–Bonnet theorem确实很好，揭示了几何量和拓扑量之间的关系
什么一曲面就一空间？
球面三角学是天文学的必修课程啊。。。告诉我，你到底用了多少的Cookies来储存数据?羊驼大人！！！
的话：我狂晕啊，小编，
讲“球面上的三角形帝国”时没有图啊，让人怎么看啊？如何理解啊？小编一定是疏忽了吧，另外第一种求“球面上的圆形帝国”方法确实比较牛，不用什么定积分，直接就微元法出来了可以看下题图
应用数学硕士，维基百科编辑
好文章，要是最后能展开一下一般曲面上的测地线以及高斯曲率的定义就更好了。
一曲面=一空间...不太懂...来自
数学系博士生，TBBT资深爱好者
不懂流形只懂流行的一律判流刑发配流星。。。
顶一下,Gauss-Bonnet-Chen 定理是我最喜欢的数学定理，文章再深入下去讲一点就好了。
搞不懂球面三角形有什么特殊之处。内角和大于180度也没什么奇怪的，如果和直线边的三角形相比。当然曲线边的三角形也并非我们通常意义所说的三角形了。
这个文章很牛逼吗？
修过一门微分几何，表示很难~
生物技术专业
看得雾蒙蒙的，看来什么都还给老师了
老子是看不懂滴……搞画画的淡定飘过……
空间信息与数字技术专业
话说昨天刚刚学过空间信息导论就讲到把地球投影为平面图形的问题。。。
的话：老子是看不懂滴……搞画画的淡定飘过……+1
电影视觉导演，艺术电影制作者
的话：老子是看不懂滴……搞画画的淡定飘过……+2
电影视觉导演，艺术电影制作者
果壳主题站的所有文章我都要过一遍， 有时候我在想 我会不会学的太杂或者看的太乱？
标题很赞，内容嘛。。。。看不懂
本人是正在被地图学大地投影大地坐标折磨的人。
感谢啊，终于有通俗点的解释了……让俺学习了……
显示所有评论
(C)2016果壳网&&&&京ICP证100430号&&&&京网文[-239号&&&&新出发京零字东150005号&&&&
违法和不良信息举报邮箱：&&&&举报电话：查看: 1953|回复: 14|关注: 0
在球面上画曲线的问题
<h1 style="color:# 麦片财富积分
新手, 积分 6, 距离下一级还需 44 积分
如何在球面上画出一条曲线，条件是已知球面上一个定点，围绕这一定点画一条曲线，大概的样子如下图：
<h1 style="color:# 麦片财富积分
大概用什么思路，指导一下即可~感恩感恩~
论坛优秀回答者
关注者： 81
如果对于曲线没其他特定要求，只需要利用球极投影即可。
先将球面上的点映射到平面上，然后在该平面上随意画出围绕该点的曲线；接着把这条曲线的点映射到球面即可。
请点击&回复此楼&，否则我将无法收到回帖提醒。
问题如果比较复杂或较难，请邮箱联系
<h1 style="color:# 麦片财富积分
如果对于曲线没其他特定要求，只需要利用球极投影即可。
先将球面上的点映射到平面上，然后在该平面上随意 ...
感谢感谢！再请教一下，如果曲线上的点到定点的距离（即在球上的弧长）是一组数值，那要大概怎么画？
论坛优秀回答者
关注者： 81
感谢感谢！再请教一下，如果曲线上的点到定点的距离（即在球上的弧长）是一组数值，那要大概怎么画？ ...
你所说的“距离”是指最短距离（即测地线，在球面应该是大圆的弧）吗？
请点击&回复此楼&，否则我将无法收到回帖提醒。
问题如果比较复杂或较难，请邮箱联系
论坛优秀回答者
关注者： 81
如果是这样的话，那么3楼的方法就不行了，可以通过方位角来计算出满足大圆弧长度固定的那些点，然后随着角度改变，得到弧长不同的点。如果曲线离散点过少的话，就用弧线连接（相邻样点点之间还需要进一步离散），如果够密的话就直接直线连接。
请点击&回复此楼&，否则我将无法收到回帖提醒。
问题如果比较复杂或较难，请邮箱联系
<h1 style="color:# 麦片财富积分
你所说的“距离”是指最短距离（即测地线，在球面应该是大圆的弧）吗？ ...
对的，指的是大圆的弧~
<h1 style="color:# 麦片财富积分
如果是这样的话，那么3楼的方法就不行了，可以通过方位角来计算出满足大圆弧长度固定的那些点，然后随着角 ...
感恩感恩~对的，论文上大概也是这个思路，但是我还是不太明白，怎么“通过方位角来计算出满足大圆弧长度固定的那些点”？
<h1 style="color:# 麦片财富积分
如果是这样的话，那么3楼的方法就不行了，可以通过方位角来计算出满足大圆弧长度固定的那些点，然后随着角 ...
大神，麻烦指导一下，感恩感恩~
论坛优秀回答者
关注者： 81
|此回复为最佳答案
感恩感恩~对的，论文上大概也是这个思路，但是我还是不太明白，怎么“通过方位角来计算出满足大圆弧长度 ...
给定球面上一点，那么过该点的大圆有无穷多个，任意选择一个作为起始点，或者自己根据题目条件选择其实方位角（即经度），于是大圆所在平面被确定。然后根据弧长计算出圆心角，有了经度角和圆心角，就能计算出坐标了。剩下的点同样处理。最后把它们连结起来。连结的方式有两种：一种是直线连结，取决于你给的曲线采样点个数是否多。第二种是按大圆弧来连结，即相邻两个采样点和球心可确定大圆平面，然后大圆也被确定，有了起始点和终点，那么大圆弧自然就被确定了，进行细分取样连线即得到圆弧，剩下的也是类似处理。
中间的计算过程并不复杂，高中生都会，所以就不用多说了吧。
请点击&回复此楼&，否则我将无法收到回帖提醒。
问题如果比较复杂或较难，请邮箱联系
站长推荐 /3
利用MATLAB进行机器学习
Powered by&#167;6.4空间角和距离
§6.4空间角和距离
一、知识导学
1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算.
2．掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.
二、疑难知识导析
1．求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角.
2．求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等.
3．空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得
4．球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆.
5．要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用.
三、经典例题导讲
[例1]　平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_________________.
错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况.
[例2]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个.
错解：4个.
错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧.
正解：7个.
[例3]一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（&&&&&
A.&& 　　　B.&& 　　　C. 　　　 D.&&
错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得.
当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多
最多可盛原来水得1－
[例4]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积.
错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证.
正解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公共边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=a，∴BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，∴S侧=(1+)ab
[例5]已知CA⊥平面α，垂足为A；AB α，BD⊥AB，且BD与α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D两点间的距离.
本题应分两种情况讨论：
（1）如下左图.C，D在α同侧：过D作DF⊥α，垂足为F.连BF，则于是.
根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB.
在Rt△ABF中，AF=
过D作DEAC于E，则DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故
(2)如上右图.C，D在α两侧时：同法可求得CD=
点&评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解.
[例6] （06年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.
（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；
（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.
并证明你的结论.
解：解法一（1）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,
故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.
又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP与平面所成的角.
在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.
所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为.
（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为
D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，
又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP.
那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。
解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)
又由知，为平面的一个法向量。
设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。
（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。
[例7]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PA⊥AB，
求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；
（2）D点到平面PBC的距离．
（1）设AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE，则∠EPD=90°，PD⊥PE
又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD．
∵ DC∥AB，∴
DC⊥平面PAD．
由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan，．
（2）由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC，
因此平面PDC⊥平面PBC，
作DH⊥PC，H是垂足，则DH是D到平面PBC的距离．
在Rt△PDC中，，DC=2，，．
平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctan，D到平面PBC的距离为.
[例8] 半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B和A与C的球面距离都是，B与C的球面距离是，求过A、B、C三点的截面到球心O距离．
转化为以球心O为顶点，△ABC为底面的三棱锥问题解决．
由题设知△OBC是边长为1的正三角形，△AOB和△AOC是腰长为1的全等的等腰三角形．
取BC中点D，连AD、OD，易得BC⊥面AOD，进而得面AOD⊥面ABC，过O作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长即为
所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=
本题若注意到H是△ABC的外心，可通过解△ABC和△AHO得OH．或利用体积法．
四、典型习题导练
1．在平面角为600的二面角内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱的距离为____________.
2．异面直线a ,
b所成的角为，过空间一定点P，作直线，使与a ,b
所成的角均为，这样的直线有&&&&&&&&
3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A1到平面EFB1D1的距离为&&&&&&&&&&&&&
4.二面角－－内一点P，分别作两个面的垂线PA、PB，A、B为垂足．已知PA=3，PB=2，∠APB=60°求－－的大小及P到的距离．
5.ABCD是边长为4的正方形，CG⊥面ABCD，CG
2．E、F分别是AD、AB的中点．求点B到面EFG的距离．
6.如图：二面角α--β为锐角，P为二面角内一点，P到α的距离为，到面β的距离为4，到棱的距离为，求二面角α- -β的大小.
7.如图，已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.
(1)求点A到平面B1BCC1的距离；
(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.
馆藏&42607
TA的最新馆藏[转]&[转]&[转]&[转]&[转]&[转]&