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洛伦兹曲线
洛伦兹曲线
lorenz curve洛伦兹分布曲线为对称的山峰形形状,其函数表达式为:式中x0为分布曲线的峰顶位置;B为
与"洛伦兹曲线"相关的文献前10条
本文推广了文献(Sarabia J,Castillo E,Slottje D J.An ordered family of Lorenz curves[J].Journal of
文章根据洛伦兹曲线的特性 ,设计出一条非常简明的洛伦兹曲线方程 ,对洛伦兹曲线进行直接拟合 ,分析结果表明 ,该方程具有明确的经济学含义 ,拟合效果又很好 ,由此推出的基尼系数的
洛伦兹曲线是用来比较和分析一个国家在不同时期或不同国家在同一时代的收入与财富的分配平等情况,但只是从总体上对收入分配进行区分缺乏进一步的深入分析。对洛伦兹曲线进行切线分析,划分出
为了正确评价油藏剖面的纵向动用程度,为改善油藏开发效果奠定基础,通过运用洛伦兹曲线分析方法评价油藏注水剖面不均匀程度,应用不均匀系数进行不同油藏剖面的不均匀程度或进行措施前后的效
通过分析产液剖面和吸水剖面可以了解油藏的纵向动用程度,进而为改善油藏开发效果提供依据。阐述了常规产液剖面与吸水剖面的研究方法,详细论述运用洛伦兹曲线分析油藏产液剖面与吸水剖面不均
本文借鉴经济学中的洛伦兹曲线原理,基于中国县域单元农业统计资料,构建年中国粮食-耕地匹配曲线,将中国县域单元的耕地分为五类,统计相关年份各类耕地及其所生产的粮食
在对数正态分布这一特定条件下,本文对洛伦兹曲线与基尼系数进行了研究,结果表明,在这一条件下,社会经济指标ζ的洛伦兹曲线具有对称性,与基尼系数一一对应,他们完全取决于该指标取对数后
本文依据洛伦兹曲线特征,采用最小二乘原理,研究当Gini系数取理论最优值时,与之相应的洛伦兹曲线的拟合及其方程特征.
对一阶矩有限的任何非负随机变量给出了洛伦兹曲线和基尼系数的定义,克服了已有文献上定义的局限性。并在十分广泛的条件下,论证了基于样本数据所得到的洛伦兹曲线和基尼系数的估计量都具有强
洛伦兹曲线通常被用于描述社会收入分布的不平均程度。根据洛伦兹曲线可以计算基尼系数。目前 ,洛伦兹曲线和基尼系数在经济领域中的应用已十分广泛。它们不仅仅被用于收入分配问题的研究 ,
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<font color="#0-　　基尼系数是从洛伦茨曲线产生的。洛伦茨曲线的横坐标是人口（或家庭）百分比，纵坐标是收入百分比，基尼系数就是绝对平均分配的洛伦兹线与实际曲线所包围面积（图中黄色部分）的2倍，可通过积分洛伦兹曲线得到基尼系数。学过微积分或数值分析的同学都可以解决它。它适用于衡量一切社会的贫富差距，而不只是市场经济国家。从理论上说，绝对平均的社会基尼系数为0，全部收入集中于1%甚至1个人的社 会，基尼系数为1。这两种情况都不可能存在。国际上一般通用的分类是，低于0.2表示收入绝对平均；0.2――0.3表示比较平均；0.3――0.4表示相对合理；超过0.4表示收入差距过大，一般认为，0.4是国际警戒线，也有称之为黄色警戒线，将0.5称为红色警戒线。改革前中国的基尼系数约为0.2，属于绝对平均之列，但实际上，农民、 工人、干部、知识分子的收入都有差别，只是差别不大而已。　　通常根据家庭和个人收入分布的统计数据，就可以容易地得到洛伦兹曲线。只要得到了洛伦兹曲线，计算基尼系数，在数学上就是比较容易的。问题是，统计资料经常不完备，难以得到洛伦兹曲线。我国在收入方面的统计资料就是这种情况。日政协会议，李毅中 、厉以宁等委员发问，为什么不公布基尼系数。国家统计局局长马建堂7日回应说，目前中国居民收入方面的调查是城乡分开的，基尼系数也是城乡分开的，发布全国统一的基尼系数有待于城乡住户调查一体化。
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1965年生于安徽。高校从事教学和科研工作，研究方向是污水处理和水体修复技术。本博客探讨解决我国环境和经济问题的对策，欢迎朋友们指教。
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基于对数正态分布的洛伦兹曲线与基尼系数_成邦文
基于对数正态分布的洛伦兹曲线与基尼系数# 127#基于对数正态分布的洛伦兹曲线与基尼系数成邦文(华中科技大学管理学院)[摘要]在对数正态分布这一特定条件下,了研究,结果表明,在这一条件下,社会经济指标F的洛伦兹曲线具有对称性,与基尼系数一一对应,他们完全取决于该指标取对数后的均方差R=DlnF,只要测算出R,根据关键词 洛伦兹曲线 基尼系数 对数正态分布中图分类号 F12611
文献标识码 ALorenzCurveandGINICoefficientunderConditionofLognormalDistributionAbstract:ThispaperdealswiththeproblemofLorenzcurveandGINIindex1Itcon-cludesthatunderconditionoflogarithmnormaldistribution,Lorenzcurvesofsocialoreconom-icalindicatorsFhascharacteristicofsymmetryandcorrespondstoGINIcoefficientsonebyone,whichalldependonR=DlnF1AslongasRisgivenbycalculating,accordingtotheformulasgiveninthepaper,thecorrespondingLorenzcurveandGINIindexcanbedrawnandcalculated1Basedonempiricalanalysis,itisshownthatsocialoreconomicindicatorsreflect-ingsystemscaleobeythelognormaldistributionsothattheresultsofthispaperhavepracticalvalues1Finally,someexamplesareusedtoillustratetheresultsofnewmethodaboutcalculat-ingGINIindexandtoshowthevalidityofourresults1Keywords:LorenzCGINIILognormalDistribution引
言在社会经济领域,一些重要的社会经济指标如人口、产值、销售收入等的分布都不是均匀的,具有高度的集中性。洛伦兹曲线与基尼系数,是描述与测度分布不均匀性与集中性的重要的统计分析工具,在社会经济领域的定量分析中获得了广泛的应用。关于洛伦兹曲线与基尼系数的分析与测算,采用的方法主要有几何计算法、曲线拟合法与分布函数法3种。几何计算法,是根据分组资料描述洛伦兹曲线,按几何图形分块计算基,,# 128#5数量经济技术经济研究62005年第2期基础上计算基尼系数。目前,Beach等(1983)、Basmann等(1990)、Sarabia等(1999)、Ryu等(1996)、Chotikapanich等(2002)已提出了各种形式的曲线方程(),可以适合不同情况下对分析与测算的需要。这方面研究的主要方向是使曲线模型具有较少的限制和更宽广的适用性,在设定洛伦兹曲线以及估计参数时考虑到变量的分布,以适应各种不同分布形式下的需要(Ryu等,1996;Chotikapanich等,2002;欧阳植等,1994;程永宏等,1998)。分布函数法,是基于对指标的概率密度函数或概率分布函数的假设,估计其分布参数,然后对洛伦兹曲线与基尼系数进行估计(McDonald,1995)。McDonald在总结已有的各类分布函数的基础上,进行统一并提出了广义的贝塔分布函数(GB)和幂函数形式的广义贝塔分布函数(EGB),通过实证分析说明可以用于描述居民收入分布、金融有关变量的分布以及在回归分析方面的应用。然而,由于分析的复杂性,到目前为止,很少见到根据指标的分布函数直接推导与分析洛伦兹曲线与基尼系数的研究与分析的论文,这一方法也很少使用。一、社会经济规模指标的对数正态分布社会经济指标是反映社会经济系统状态的特征量,共有两类:一类是绝对量,另一类是相对值。绝对量是从总量上反映系统规模大小的特征量,如人员总数、产值、固定资产总值等,在此称为/规模0变量。设F是某个社会经济指标,以8表示由全部研究对象组成的总体,X为8中的个体,则F=F(X),可以看作是定义在8上的随机变量。例如,当F表示经济系统的某项产出,若8是由所有企业X1,X2,,组成的总体,则F(X)、XI8表示企业的该项产出;若8是由所有产业部门X1,X2,,组成的总体,则F(X)、XI8表示产业部门的该项产出;若8是由全国所有省(市)、自治区X1,X2,,组成的总体时,则F(X)、XI8表示省(市)、自治区的该项产出。作为随机变量的社会经济指标的分布,反映了社会经济系统的结构特征。有关研究(成邦文等,01;2003)提出这样一个假设:描述系统规模大小的指标F(X)可以用对数正态分布来描述,即随机变量lnF(X)近似服从正态分布。对社会经济指标而言,这一结论是否正确,可以采用实证的方法予以证明。随机变量是否符合对数正态分布,可以用非参数的K-S方法进行检验(Conover,1980),计算其显著性水平A,当A大于规定的临界值A0时,可以认为该分布符合对数正态分布,否则就不符合。一般情况下,A0可以取0105,当研究对象的个体数目很大时可以取0101。常用的统计分析基于对数正态分布的洛伦兹曲线与基尼系数# 129#表1是对企业的产值等9项规模指标的检验结果,数据来自科技部和国家统计局1995年对2968家企业的调查。K-S检验的显著性水平都大于0101,结果表明,从微观看,这些社会经济规模指标在企业的分布符合对数正态分布。表2、表3是对我国地区以及行业国民生产总值等10项规模指标的检验结果,数据来自5中国统计年鉴6。K-S检验的显著性水平都大于0105,这表明,从中观看,这些社会经济规模指标的地区以及行业分布也符合对数正态分布。表4是对国家的国民生产总值等7项规模指标的检验结果,依据年世界发展报告6提供的132个国家的数据。K-S检验的显著性水平都大于0105,这表明,从宏观看,这些社会经济规模指标的国家分布也符合对数正态分布。在此,虽然未能对所有社会经济规模指标一一进行检验,然而表1~表4所列指标分布的对数正态性的出现决不是偶然的,这只能表明这样一个事实:社会经济规模指标可以用对数正态分布来描述。表1指 标工业总产值新产品产值产品销售收入新产品销售收入产品销售利润企业经济规模指标对数正态分布检验显著性水平0指 标新产品销售利润固定资产原值技术改造经费技术引进经费显著性水平资料来源:科技部与国家统计局1995年对2968家企业的调查数据。表2指 标国民生产总值工业总产值工业增加值最终消费全社会固定资产投资地区经济规模指标的对数正态分布检验显著性水平2指 标外商直接投资财政收入财政支出出口商品总额进口商品总额显著性水平5数据来源:5中国统计年鉴6,中国统计出版社,2000。表3指 标工业总产值工业增加值工业企业固定资产行业经济规模指标对数正态分布检验显著性水平939指 标工业企业职工数各行业基建投资显著性水平数据来源:5中国统计年鉴6,中国统计出版社,。# 130#5数量经济技术经济研究62005年第2期表4指 标国民生产总值(1998)商品与服务进口总额(1998)商品与服务出口总额(1998)经常性税收收入(1999)国家经济规模指标对数正态分布检验显著性水平指 标国内投资总额(1999)外国直接投资(1999)股票市场总值(1999)显著性水平444数据来源:5世界发展报告6,中国财政经济出版社,。二、基于对数正态分布的洛伦兹曲线及其特征设F(x)、f(x)分别是社会经济规模指标F的分布函数与密度函数,根据定义,洛伦兹曲线上任意点D的横坐标P与纵坐标L为:P(D)=F(x)L(D)=1EF-]tf(t)dtQx(1)(2)2其中,EF是F的数学期望。设L=ElnF,R=DlnF分别是lnF的均值与方差,在对数正态分布下,有(王梓坤,1979):f(x)=F(x)=51xRRexp-22P1lnx-LR12R2(3)(4)lnx-LEF=expL+其中x&0,5(#)为标准正态分布函数。应用式(3)、式(4),经过运算,有:Qtf
(t)dt=-]x1RRexpQ-]xxlnt-1lnt-L2RR2dlnt2=1exp-Q]1lnt-L-R22+L+R22dlnt=EF#5令y=lnx-L-RRlnx-L,这时式(1)、式(2)变为:RP(D)=5L(D)=5lnx-LR=5(y)(5)(6)lnx-L-R=5(y-R),0&x&],-]&y&+]R式(5)、式(6)为洛伦兹曲线方程,对给定的R\0,根据标准正态分布函数表,就可以绘制出洛伦兹曲线。((基于对数正态分布的洛伦兹曲线与基尼系数# 131#(1993)等人对此已有研究。在对数正态分布下,洛伦兹曲线除具有他们所指出的性质外,还具有以下重要特点(见图1)
。图1 洛伦兹曲线(1)由式(5)、式(6)可以看出,洛伦兹曲线完全由R决定,基尼系数也完全由R决定(见下一节)。这表明,洛伦兹曲线、基尼系数以及R这三者间存在着一一对应关系。这一结论与已有的结论是不同的,通常认为这种对应关系是不存在的。(2)洛伦兹曲线以BC为轴对称。这一结论与目前已有的看法也不一致,通常认为这种对称性并不存在。只需证明,洛伦兹曲线上任意点D的坐标P(D)、L(D)关于BC为轴的对称点Dc的坐标P(Dc)、L(Dc)也在洛伦兹曲线上。由于5(#)为标准正态分布函数,对任意t有5(t)+5(-t)=1,注意到式(5)、式(6),由图1,D的对称点Dc的坐标为:P(Dc)=1-L(D)=1-5(y-R)=5(-y+R)L(Dc)=1-P(D)=1-5(y)=5(-y)(7)(8)令yc=-y+R,则P(Dc)=5(yc)、L(Dc)=5(yc-R),由方程式(5)、式(6),Dc一定在洛伦兹曲线上。(3)过洛伦兹曲线与BC交点E的切线与OA线平行,且E点的坐标为:P(E)=5R2
L(E)=5-2(9)首先,我们证明E点的坐标为式(9)。由于E点与其对称点Ec重合,即P(E)=P(Ec),式(5)、式(7)代入得5(y)=5(-y+R),于是y=R2(6)就得到式(9)。现在进一步证明,过E点的切线与OA线平行。洛伦兹曲线上任意点的切线的斜率方程为:
=/=5(y-R)/5(y),代入式(5)、式# 132#5数量经济技术经济研究62005年第2期=expyR-切线过E点时y=12R2(10)dL,代入(10)得=1,该切线与OA线平行。2dP三、基于对数正态分布的基尼系数及测算在洛伦兹曲线坐标式(5)、式(6)下,根据定义,基尼系数为:G=2(P(D)-L(D))#dP(D)=2(5(y)-5(y-R))#d5(y)
Q1Q1(11)给定R\0,按式(11)积分,就可以计算出基尼系数。表明与洛伦兹曲线一样,基尼系数也由R惟一确定。为便于使用,表5 基尼系数R与G对照表
基于对数正态分布的洛伦兹曲线与基尼系数# 133#G=Gi+(Gi+1-Gi)(R-Ri)/(Ri+1-Ri)测算基尼系数的关键是对R的测算,通常有以下两种情况:(12)(1)在社会经济系统中,随机变量F通常可以表示为x1,x2,,,xn。这时,R可按式(13)估算:CR=i=1E(lnxi-CL)/(n-1)
L=2C1nElnxii=1Cn(13)在实际操作时,可由专门的统计分析软件,例如SPSS完成这一计算,并对x1,x2,,,xn是否符合对数正态分布进行检验。若能通过检验,就可以根据计算出的R和表5测算出基尼系数G。如不能通过检验,从理论上说,很可能是数据有问题。(2)随机变量F是以分组的形式给出的分布资料。这时,可以根据分组资料估算出R。设有m个相互衔接的分组,分组的指标均值为x1,x2,,,xm,各分组的个体数量为N1,N2,,,Nm,N=N1+,+Nm,vi=Ni/N,则R可以按式(14)计算:CR=N-1i=1Evi(lnxi)2-LC2L=Ci=1Evilnxim(14)四、实
例以下举例说明(1)地区国内生产总值分布的基尼系数推算。表6是根据5中国统计年鉴6公布的1995CC~2002年各地区GDP数据,对基尼系数进行测算的结果。表中的L与R以及显著性水平,是用SPSS软件进行计算的。显著性水平表明,年各地区GDP数据服从对数正态C分布,因此可以应用表6年 份C地区国内生产总值分布的基尼系数498448458418379398362338L显著性水平*CR基尼系数*为对数正态分布检验的显著性水平。(2)城市居民收入基尼系数的测算。居民收入基尼系数的测算,一直是收入分配研究领域的重要内容。下面以5中国统计年鉴6公布的2001年城镇居民收入分布数据,用法推算城镇居民的基尼系数,推算过程列于表7。表中第4列vi=wipi/Ewipi,第7列最下面的数为L,第8列最下面的数为Evi(lnxi)2。由于N很大,近似认为NUN-1,由式()0,5CC# 134#5数量经济技术经济研究62005年第2期表7分 组最低收入户低收入户中等偏下户中等收入户中等偏上户高收入户最高收入户E户组比重wi2001年城镇居民基尼系数的推算每户人口数pi2164人口比重vi人均年收入(元)xi198lnxivilnxi1473vi(lnxi)根据上述算法和5中国统计年鉴6公布的数据,表8年份R3我国城镇居民的基尼系数及比较(年)基尼系数(基尼系数(钱敏泽,2002)注:由于作者缺少1991年数据,未能计算这一年的基尼系数。基于对数正态分布的洛伦兹曲线与基尼系数# 135#五、结
论参考文献[1]Beach,C1,andR1Davidson,19831Distribution-freestatisticalinferencewithLorenzcurvesandincomeshares[J],ReviewofEconomicStudies,723~7351[2]Basmann,R1,K1Hayes,J1Johnson,andD1Solottje,19901AgeneralfunctionalformforapproximatingtheLorenzcurve[J],JournalofEconometrics43,77~901[3]Sarabia,J1M1,Castillo,E1,Slottje,19991AnorderedfamilyofLorenzcurves[J],JournalofEconometrics91,43~601[4]Ryu,H1K1,Slottje,D1J1,19961TwoflexiblefunctionalformapproachesforapproximatingtheLorenzcurve[J],JournalofEconometrics72,251~2741[5]Chotikapanich,D1,Griffiiths,W1E1,20021EstimatingLorenzcurvesusingaDirichletdistribution[J],Bus-inessandEconomicStatistics20,290~2951[6]欧阳植等:5分组数据的收入分布拟合及洛伦兹曲线与基尼系数6[J],5数量经济技术经济研究61994年第6期。[7]程永宏等:5利用个人收入分配函数确定基尼系数的新方法6[J],5华东经济管理61998年第1期。[8]McDonald,J1B1,Xu,Y1J1,19951Ageneralizationofthebetadistributionwithapplication[J],JournalofE-conometrics66,133~1521[9]成邦文等:5科技活动分布集中性的度量方法及其应用6[J],5中国科技指标学术研讨会论文集6,1998。[10]成邦文等:5科技规模指标的对数正态分布6[J],5科学学与科学技术管理62000年第9期。[11]成邦文等:5统计数据质量检查与异常点识别的模型与方法6[J],5系统工程62001年第3期。[12]成邦文等:5多维统计数据质检与异常点识别的模型与方法6[J],5数学的理论与实践62003年第4期。[13]W1J1Conover1PracticalNonparametricStatistics[M],JohnWiley&Sons,Inc119801[14]王梓坤:5概率论基础及其应用6[M],科学出版社,1979。[15]李海涛等:5洛伦兹曲线与基尼系数的应用6[J],5甘肃科学学报62003年第1期。[16]章迪平等:5洛伦兹曲线与基尼系数6[J],5杭州应用工程技术学院学报61999年第4期。[17]钱敏泽:5中国现行统计方法基尼系数的推算及结果6[J],5经济理论与经济管理62002年第11期。[18]周方:5关于GINI系数6[J],5数量经济技术经济研究61993年第6期。(责任编辑:朱长虹)
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