Autoregressive Integrated Moving Average Model即自回归移动平均ARMA模型预测要解决的问题。它属于统计ARMA模型预测要解决的问题中最常见的一种用于进行时间序列的预测。其原理在于：在将非平稳时间序列转化为平穩时间序列的过程中将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的ARMA模型预测要解决的问题。

这里有两个具體的例子实现了ARIMA

这两个例子介绍了如何根据acf、pacf选择ARIMA的pdq

这里我们用predict实现了ARIMA的滚动预测也可以手动实现（虽然不必要）可以参考：

       在统计学角度来看时间序列分析是统计学中的一个重要分支, 是基于随机过程理论和数理统计学的一种重要方法和应用研究领域.  时间序列按其统计特性可分为平稳性序列囷非平稳性序列. 目前应用最多的是Box一JenkinS ARMA模型预测要解决的问题建模法, 它是由G.E.P.Box和英国统计学家G.M.JenkinS于1970年首次系统提出的.Box一JenkinS方法是一种较为完善的统計预测方法 , 他们的作用是为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测 , 以用对ARMAARMA模型预测要解决的问题识别、估计和诊断的系统方法. 优点茬于如果建立精确的ARMA模型预测要解决的问题后,并确定ARMA模型预测要解决的问题的系数之后,就可以根据有限的数据集对其发展进行预测 , 其中对於平稳性时间序列多采用ARMAARMA模型预测要解决的问题 , 对于非平稳性时间序列ARMA模型预测要解决的问题常通过适当地变换 (如差分、取对数) 将它变为ARMAARMA模型预测要解决的问题后再进行建模,这类ARMA模型预测要解决的问题Box一JenkinS称为ARI琳(求和自回归滑动平均ARMA模型预测要解决的问题) 。

平稳性是时間序列分析中很重要的一个概念一般的，我们认为一个时间序列是平稳的如果它同时满足一下两个条件：

1）均值函数是一个常数函数。

2）自协方差函数只与时滞有关与时间点无关。

以上面两个时间序列为例两个序列均满足条件1），因为标准正态分布白噪声和其形成嘚随机游走的均值函数都是值恒为0的常数函数再来看条件2）。白噪声的自协方差函数可以表述为：

可以看到只有在时滞为0时值为1其它均为0，所以白噪声是一个平稳序列

而随机游走我们上面分析过，其自协方差为：

很明显其自协方差依赖于时间点所以是一个非平稳序列。

后面可以看到一般的时间序列分析往往针对平稳序列，对于非平稳序列会通过某些变换将其变为平稳的例如，对于随机游走来说其一阶差分序列是平稳的（显然其一阶差分是白噪声）。

       注意时间序列中的每一个元素都是一个普通的随机变量如果忽略序列的时间性，那么我们面对的实际上是一个随机变量集合所以从这个角度来说时间序列的统计分析与普通统计分析没有太大不同，相關的理论也是通用的

       对于随机变量集合来说，要完整描述其统计特性需要处理其多元联合分布这是非常复杂的。所以实际我们往往做┅些必要的简化假设避免处理复杂的多元联合分布。

现假设我们有随机时间序列

下面先给出一些常用的统计量后面会接着通过一些常見序列来举例说明各统计量如何计算。

均值函数被定义为关于自变量t的函数：

t的均值函数值表示在t时刻随机变量Yt的期望

与均值類似，方差是t时刻序列元素的方差：

自协方差是一个二元函数其自变量为两个时间点，值是两个时间点上序列值的协方差：

当t=s時自协方差就是t时刻的方差。

自相关系数是两个时刻的值的相关系数：

如果忽略元素来自时间序列这一事实各统计量的意義实际上与普通的统计学中无异。因此这些统计量的一些性质也可以无缝推广到时间序列分析例如期望的线性性质等等。如果有需要可鉯自行复习一下这些统计量的相关计算性质后面的推导会主要集中于这几个统计量的计算。

常见的随机时间序列有：白噪喑、布朗运动（随机游走）、

       考虑一个时间序列其中每一个元素为独立同分布变量，且均值为0这种时间序列叫做白噪声。之所鉯叫这个名字是因为对这种序列的频域分析表明其中平等的包含了各个频率，和物理中的白光类似

由于每个元素服从N(0,1)所以均值μt=0，方差σ2t=1又因为每个え素独立，所以对于任何t≠sγt,s=0，ρt,s=0这些统计特征与对图像的直观观察基本一致。

白噪声的重要之处在于很多其它的重要时间序列都可鉯通过它构造出来这一点下文会看到。我们一般用e表示白噪声将白噪声序列写作：

下面考虑这样一个时间序列，其在t时刻的徝是前面白噪声序列的前t个值之和设{e1,e2,…,et,…}为标准正态分布产生的白噪声，则：

布朗运动的模式在于其位置是连续曲线但曲线的处处不鈳微。

对协方差的计算需要用到一個协方差性质：

从统计性质可以看到，随机游走的“趋势性”实际是个假象因为其均值函数一直是白噪声的均值，不存在偏离的期望泹是方差与时间呈线性增长并且趋向于无穷大，这意味着只要时间够长随机游走的序列值可以偏离均值任意远，但期望永远在均值处

粅理与经济学中的很多现象都被看做是随机游走，例如分子的布朗运动股票的价格走势等等。

从协方差和相关系数看如果起点t固定，則越接近的点相关性越大例如ρ1,2=0.707，ρ1,3=0.577ρ1,4=0.500。同时起点不同，时滞相同自相关系数也不同越往后同时滞自相关系数越大，例如ρ2,3=0.816ρ3,4=0.866。

实际上从纯数学角度可以将自相关系数看成一个二元函数自变量是时间点t和时滞s-t。认识到这点很重要因为它与时间序列分析中一个偅要的概念——平稳性有着密切的关系。

4、AR、MA、ARMA认是平稳时间序列最主要的参数ARMA模型预测要解决的问题. ARARMA模型预测要解决的问题的正则方程昰一组线形方程 ,而MA和ARMAARMA模型预测要解决的问题是非线性方程.Word分解定理告诉我们任何有限方差的ARMA或MA平移过程可以用可能是无限阶的ARARMA模型预测要解决的问题表达;同样,任何ARMA或ARARMA模型预测要解决的问题可以用可能是无限阶的撇ARMA模型预测要解决的问题表达.因此,如果在这三个ARMA模型预测要解决嘚问题中选一个与信号不匹配的ARMA模型预测要解决的问题,但只要ARMA模型预测要解决的问题的阶足够高,它能够比较好地逼近被建模的随机过程.三種ARMA模型预测要解决的问题中ARARMA模型预测要解决的问题具有一系列好的性能,因此,是研究最多并获得广泛应用的一种ARMA模型预测要解决的问题

       上標f表示前向预测(forwardprediction)·凡(,)表示在t时刻m步前向预测。利用自相关法、Burg算法、协方差、改进的协方差法等方法得到ARMA模型预测要解决的问题的参数后,僦可以进行前向预测,利用预测值递推可依次得到多步预测值

四、非平稳时间序列ARMA模型预测要解决的问题

?? ARMAARMA模型预测要解决的问题称为自回归移动平均ARMA模型预测要解决的问题是时间序列里常用的ARMA模型预测要解决的问题之一。ARMAARMA模型预测要解决的问题是对不含季节变动的平稳序列进行建模它将序列值表示为过去值和过去扰动项的加权囷。ARMA模型预测要解决的问题形式如下：

为扰动项ARMA模型预测要解决的问题可以简记为：

称为自回归系数多项式。

称为移动平均系数多项式

的本质和ARMA是一样的，将ARMAARMA模型预测要解决的问题里的序列值

换成一阶差分的值即可

：均值为常数，且两个变量间的协方差只取决于它们の间的时间间隔而不取决于时间点即

：所有随机变量的均值为0，方差不变为常数且彼此之间不想管的序列即为白噪声序列。一般假设ARMA模型预测要解决的问题的残差为白噪声即

1、画出时序图和自相关图

??画出序列的时序图，观察序列是否平稳利用acf()函数画出序列的自相关图，通过自相关图判断序列是否平稳若自相关图里的自相关系数很快的衰减为0，则序列平稳否则为非平稳。对于非平稳序列需要将其转化为平稳序列才可用ARMA进行建模。以R自带的时间序列Nile（尼罗河的流量）为例

?? 从时序图可以看到序列再1990姩有一个下降的趋势，并且自相关图里自相关系数没有快速的减为0（一般认为自相关系数低于2倍标准差即图中蓝色虚线一下时即为0）而昰呈现出拖尾的特征，故判断序列为非平稳序列

2、对序列进行平稳化处理

??若序列为非平稳，则需将序列通过差分转化为平稳序列差分可以消除序列的线性趋势。ndiffs()函数可以帮助我们判断需要进行几次差分将序列取对数可以保证ARMAARMA模型预测要解决嘚问题同方差的假设。代码如下：

?? 从上图可以看到1阶差分以后序列变为平稳序列，苴自相关图显示自相关系数在滞后1阶后就快速的减为0进一步表明序列平稳。

3、ARMAARMA模型预测要解决嘚问题的定阶及参数估计

?? 如上表所示我们可以通过acf和pacf图来判断ARMA模型预测要解决的问题的阶数。还可以通过ARMA模型预测要解决的问题的AIC和BIC值来选取ARMA模型预测要解决的问题AIC和BIC的介绍见前面的基本理论知识。R里面的auto.arima()函数就是通过选取AIC和BIC最小来选取ARMA模型預测要解决的问题的
?? R可以通过arima()函数估计ARMA模型预测要解决的问题参数，调用格式为：

?? 通过上面的acf和pacf图，我们可以选取建立ARIMA(0,1,1)ARMA模型预测要解决的问题最后估计出来的ARMA模型预测要解决的问题为

?? ARMA模型预测要解决的问题参数检验包括两个检验：参数的显著性检验和残差的正态性和无关性檢验。
参数的显著性检验：用估计出的系数除以其的标准差(se)得到的商与T统计量5%的临界值（1.96）比较商的绝对值大于1.96，则拒绝原假设认为系数显著的不为0，否则认为系数不显著系数不显著的可以去掉，语法为arima(data,order,fixed=c(NA,0,NA…))fixed为0的位置即为被去掉的参数的位置。
?? 残差的正态性检验：画出残差的QQ图即可判断QQ图中残差基本完全落在45°线上即为符合正态性假设。否则ARMA模型预测要解决的问题可能出现错误。语法为：
?? 殘差的无关性检验：也称为残差的白噪声检验由前面白噪声的定义可知，残差（=估计值-真实值）应为不相关的序列常用LB统计量来检验殘差。

服从自由度为K-p-q的卡方分布其中n为样本容量。语法为：

??从 画出的QQ图和LB检验的结果来看残差符合正态性假设且不相关，则认为ARMA模型预测要解决的问题拟合数据比较充分可以用来进行下一步预测。

??从预测结果可以看到 预测的后四年的值均为801.69。时间序列茬做预测时经常会出现这个问题如果数据能够多一点，做出来的ARMA模型预测要解决的问题可能预测效果会好一点时间序列ARMA模型预测要解決的问题只适合短时期的预测，不适合长时期的而且我个人认为时间序列的ARMA模型预测要解决的问题在加入外生变量方面不是很方便，没囿回归做起来方便（这一点是在参加天池的比赛时体会到的）这也是时间序列ARMA模型预测要解决的问题应用的一个缺点。所以在时间序列ARMA模型预测要解决的问题的基础上再结合回归不知道结果会不会更好一点。希望以后能有更多的机会实践也希望有丰富实践经验的前辈們不吝赐教！