采用NI MyRIO实现的水下机器人（Zynq-based） _物联网在线& 机器人采用率和失业率数据分析
机器人采用率和失业率数据分析
　　来自David Autor、David Dorn和Gordon Hanson的一篇报告称，计算机并未夺走美国人的工作，而是中国夺走了。
　　这或许是事实，但现在很明显，中国工业的最大趋势也是自动化。
　　国际机器人联合会（International Federation of Robotics）最新发表了一份调查，讨论了机器人对就业的影响。调查发现，从2008年到2011年，中国的机器人采用率（即每10,000名员工对应的机器人数量比例）提高了210%（虽然基数非常低）。他们还提到，美国的机器人采用率也提高了41%。
　　调查覆盖了六个国家，其中，美国、德国、巴西、中国和韩国的机器人采用率均在增长，但日本是个例外。当然，日本的机器人采用率已经很高了。
　　IFR：日本很早就开始采用机器人，一直到最近，也仍拥有最高的机器人采用率。在日本和韩国，每名工人对应的机器人数量是最多的，10,000工人对应了超过300台机器人。之后是德国，10,000名工人对应超过250台机器人。
　　中国开始采用更多机器人，这是一个相对较新的现象，因为之前中国依靠的都是低劳动成本优势。这一转变本身就非常值得关注。
　　但真正的关注点在于，机器人是用于替代人类，还是减轻人类负担。
　　来自IFR的图表，显示了机器人数量与失业率之间的关系：
（注：蓝线为失业率，红线为机器人数量。上表中巴西和日本左边的数据与其他不同。）
　　值得一提的是，在所有六个国家中，美国是唯一 一个机器人采用率和失业率同时上升的国家。
　　相反，德国在机器人采用率上升的同时，实现了更高的经济增长，同时制造业就业率也没有减少。　　IFR说，在像日本和德国这样的国家，机器人数量的上升，可能抵消了劳动人口的减少。
　　而在中国，情况就相对复杂一些。例如，富士康的机器人就是被用于补充劳动力，而非替代劳动力。我们希望看到更多有关这方面经济效益的研究。
　　再来看另一个有趣的趋势，这次是在日本。根据《日经新闻》的报道，机器人在劳动力中的渗透率可能会停滞，但机器人却正在越来越朝类人化方向发展。
　　日本造币机械制造企业&&Glory最近就采用了一款人形机器人，这款机器人获得过日本年度机器人特别奖。以下是来自Glory公司的一些图片：
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双足机器人的建模与稳定性分析
中国科学技术大学 硕士学位论文 双足机器人的建模与稳定性分析 姓名：宋宪玺 申请学位级别：硕士 专业：控制理论与控制工程 指导教师：梁青
摘要摘要双足机器人采用类人的运动方式，与其他移动方式相比，具有很好的灵活性与适应性，并且在学术研究中具有很重要的意义，因此成为机器人研究中的 一个热点。因为双足机器人是一个非线性、变结构、强耦合的动力学系统，建立其精确的数学模型与进行稳定性分析，是对其进行深入研究的基础。为了实现双足机器人在滚转、俯仰和偏航方向的运动，设置了１２个自由度，然后采用Ｄ．Ｈ表示法，得到了双足机器人的正运动学模型，并且采用代数几何求解的方法，得到双足机器人的逆运动学模型。以运动学模型为基础，根据拉 格朗日方程，得到了双足机器人的正动力学模型，另外采用牛顿．欧拉方程，通 过递推求解，得到了双足机器人的逆动力学模型。最后对双足机器人进行了运 动规划，通过逆动力学计算得到各关节的驱动力矩，进而在ＡＤＡＭＳ中进行了 双足机器人的动力学仿真。 双足机器入在行走过程中，会与地面发生撞击，导致机器入的运动状态发 生突变。本文对这个撞击的过程进行了约束，由此建立了双足机器人的混杂动 力学模型，并定义了该混杂系统的周期轨道的稳定与渐近稳定的概念。以机器 人的摆动腿与地面撞击前的瞬间状态作为截面，定义了混杂系统的庞加莱映射， 根据庞加莱映射的不动点的性质，对双足机器人运动的周期性与收敛性进行分 析。最后对三连杆的平面双足机器人的运动进行了仿真，并根据庞加莱映射的 稳定性判据对其运动进行了分析，验证了该方法的有效性。关键词：双足机器人运动学模型Ｄ．Ｈ表示法动力学模型牛顿一欧拉方程混杂动力学模型庞加莱映射拉格朗Ｆ１方程ＩＡｂｓｔｒａｃｔＡＢＳＴＲＡＣＴＡｓａｂｉｐｅｄ ｒｏｂｏｔ ｍｏｖｅｓ ｌｉｋｅａｈｕｍａｎ，ｉｔ ｉｓ ｍｏｒｅ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ａｎｄ ａｄａｐｔａｂｌｅ ｔｈａｎｈａｓ ｖｅｒｙｏｔｈｅｒ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｒｏｂｏｔｓ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｂｉｐｅｄ ｒｏｂｏｔｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｉｎ ａｃａｄｅｍｉｃ ｒｅｓｅａｒｃｈ，ＳＯ ｉｔ ｂｅｃｏｍｅｓｏｎｅｏｆ ｔｈｅ ｈｏｔｓｐｏｔｓ ｏｆ ｒｏｂｏｔｉｃｓｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅｂｉｐｅｄｒｏｂｏｔ ｉｓａｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ｓｔｒｏｎｇ ｃｏｕｐｌｉｎｇ，ｉｔｓ ｐｒｅｃｉｓｅｉｔｓ 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保密的学位论文在解密后也遵守此规定。弋么开口保密（――年）作砉签名：菰受ｊ玺签字Ｒ期：左皇乜，盘，墨导师签名： ！Ｉ！－字ＩＩＩＩ：盟塑Ｚ！：垂：丝第１章绪论第１章绪论１．１引言自上世纪五十年代在美国诞生了第一台工业机器人之后，随着科学与技术的发展，以及社会的进步，机器人迅速进入了社会的各个方面，在工业、服务 行业及军事等多个领域做出了不可磨灭的贡献。其中双足机器人由于其仿照人 类的行走方式，对步行的环境要求很低，成为机器人研究中的一个重要的分支。 与其他类型的机器人相比，双足机器人适合在人类生活和工作环境中与人 协同工作；对步行环境有较好的适应性，可在非结构性的复杂地面行走（进入 狭窄空间、跨越障碍、上下台阶、上下斜坡、在不平整地面运动等）；在某些环境中（如原子能电站、核环境、海底、太空）可代替人进行作业，延伸和扩大人类活动领域。因此，双足机器人在工业、航空航天、医学、机器人足球赛、 体育、娱乐、日常生活等方面都有广泛的应用前景。 双足机器人是一门多学科融合交叉的综合性学科，涉及到仿生学、机械学、 控制理论与控制工程、传感器信息融合、计算机学等多门学科。同时因为其动 力学特性具有多变量、非线性、强耦合和变结构等特点，涉及到力学、稳定性 理论、控制理论等多方面的问题。因此，双足机器人的研究具有十分重要的意 义，在学术上成为一个备受关注的研究方向。 虽然经过近半个世纪的努力，双足机器人的研究取得了一系列的成果，但是现在仍未进入实际的应用领域。随着机械设计与传感器技术的不断发展，现在双足步行研究的瓶颈问题并不在于样机的开发与研制，而是在步行基础理论 的突破（付成龙，２００６）。双足机器人要取得进一步的发展，就必须要研究双足 运动的内在固有特点，建立精确的数学模型来描述双足运动，进而深入研究其 稳定性与控制机理。基于这种认识，本文着重从数学建模与稳定性分析两个方 面，对双足机器人进行研究。１．２双足机器人的研究现状双足机器人的研究最早开始于二十世纪六十年代，到现在已经有四十多年的历史。由于双足机器人在科研及应用方面的重要性，吸引了国内外的大批学 者从事于这一领域的研究，迄今为止已经取得了很多的成果，研制出各种实验型的物理样机。ｌ第１章绪论根据研制目的的不同，现在研制出的物理样机主要分为两类：主动双足机 器人与被动双足机器人。主动双足机器人是通过大力矩和高增益反馈的驱动系 统来控制和改变机器人的动力学特性，从而让双足机器人实现各种复杂的动作， 侧重于对步态规划、控制系统设计、机器人的机械结构的改善等方面的研究： 而被动双足机器人则不施加驱动力或只在关键的关节处施加很小的驱动力，强 调充分利用机器人自身机构固有的被动动力学特性，由于其结构和控制的简单 性，通过仿真和实验的方法可以从中抽取出双足步行的固有特点，分析人类行 走的稳定性与控制机理。本节对这两者分别进行介绍。１．２．１主动双足机器人的研究概况双足机器人的研究，以同本起步最早，发展最快。早稻田大学的加藤一郎教授于１９６８年率先展开了双足机器人的研究工作，１９６９年研制出ＷＡＰ．１平面 步行机；１９７１年又研制出ＷＡＰ．３型双足机器人（Ｋａｔｏ ａｎｄＴｓｕｉｋｉ１９７２），这是世界上第一台仿人双足步行机器人。早稻田大学理工学部于１９７３年建立了“人格化机器人＂研究室，相继开发出ＷＬ系列机器人，及ＷＡＢＩＡＮ系列机器人。其中ＷＡＢＩＡＮ（Ｌｉｍｅｔａ１．１９９９）完全是人形结构，高１６６２ｍｍ，重１０７ｋｇ，共４３个自由度，能以人的步行速度前进和后退，跳舞及携带重物，具有视听和交流对 话能力，脸部能表达多种表情，并且具有配合这些表情而规划的行走步态。 日本经济产业省工业技术研究院于１９９８年启动了ＨＲＰ仿人机器人的研究， 其中ＨＲＰ．２机器人（Ｋａｎｅｈｉｒｏｅｔａ１．２００３）是第一个和人类大小相似的仿人机器人，高１５４ｃｍ，重５８ｋｇ，具有３０个自由度，实现了不平地面行走、翻倒控制 与翻倒回复技术，能够完全自主地躺到地面上并能够再站立起来。２００５年９月， 川阳工业、同本产业技术综合研究所（ＡＩＳＴ）及川崎重工业联合试制出了仿人机 器人ＨＲＰ．３Ｐ。 本田公司从１９８６年至１９９３年先后研制了Ｅ系列试验样机Ｅ０，－－Ｅ６，主要目 的是为了对步行机制进行基础性研究。１９９３年本田公司开始进行完全自主型仿 人形机器人原型样机的研究，相继研制出仿入机器人样机Ｐｌ、Ｐ２、Ｐ３，并于２０００ 年１１月又推出了新型双足步行机器人ＡＳＩＭＯ。ＡＳＩＭＯ（Ｃｈｅｓｔｍｕｔｔｅｔａ１．２００５）拥有３４个自由度，身高１．２米，体重５２公斤，采用了新开发的卜ＷＡＬＫ技术 和预测移动控制技术，步行动作更为连续流畅，并能完成跑步，转弯，上楼梯等多种复杂情况下的步行动作。 Ｓｏｎｙ公司在２０００年１０月首次展示了４个仿人形机器人ＳＤＲ．３Ｘ，在２００２ 年又展示了ＳＤＲ．４Ｘ。２００３年９月，Ｓｏｎｙ再推出ＱＲＩＯ（ＫｅＮ’Ｉｃｈｉｒｏｅｔａ１．２００４）仿人形机器人，能够在不平地面上动念步行，会跳舞；由于采用了将电机和控２第１章绪论制电路一体化的智能驱动器以及机器人空中姿势的控制算法，成为世界上首台会跑、会跳的双足机器人。美国也是世界上研制双足机器人较早的国家之一。Ｈｏｄｇｉｎｓ（１９９０）和Ｒａｉｂｅｒｔ 在１９８５年研制了一个用来进行奔跑运动和表演体操动作的平面型双足步行机器人，１９８６年他们用这个机器人进行了奔跑试验，１９８８年和１９９０年他们又用 这个机器人进行翻筋斗动作试验（Ｈｏｄｇｉｎｓａｎｄ Ｒａｉｂｅｒｔｅｔ１９９０）。密歇根大学和其他 ａ１．２００３），只有一对“脚研究机构合作研制的机器人ＲＡＢＢＩＴ（Ｃｈｅｖａｌｌｅｒｅａｕ踝”，即一对枢轴，在向前迈步时，整条腿能够绕着枢轴转动。美国Ｏｈｉｏ大学的美籍华人郑元芳博士研制出双足步行机器人ＳＤ．１和ｓＤ．２，而ＳＤ．２（Ｚｈｅｎｇｅｔａ１．１９９０）是美国第一台真正类入的双足步行机器人。Ｍｉｌｌｅｒ Ｗ．（１９９４）在ＳＤ．２的基础上，增加了膝关节，采用的控制策略包括简单递阶步态生成系统和神经网 络学习器。 法国的ｄｅ Ｍｅｃａｎｉｑｕｅｄｅｓ Ｓｏｌｏｄｅｒｓ ｄｅＰｏｉｔｉｅｒｓ实验室和ＩＮＲＩＡ机构开发研制 １９９９）具有１５个自由度，可实现出ＢＩＰ２０００样机。ＢＩＰ２０００（Ｅｓｐｉａｕａｎｄ Ｓａｒｄａｉｎ站立、行走、上下斜坡和上下楼梯。另外Ａｌｄｅｂａｒａｎ公司于２００９年推出娱乐型 仿人机器人ＮＡＯ，高５８ｃｍ，重４．３ｋｇ，具有２５个自由度，具有可视化的软件 平台，可自由设置机器人的动作。 韩国先进科技研究所（ＫＡＩＳＴ）在２００４年ｌ ２月开发出ＨＵＢＯ（Ｐａｒｋｅｔａ１．２００６）机器人，高１２５ｃｍ，重５５ｋｇ，具有４１个自由度，１０个手指都能独立活动，双 眼可以转动。就在两天后，韩国另一家研究机构韩国科技研究所（ＫＩＳＴ）也推出 了ＮＢＨ．１机器人，这个机器人高１５０ｃｍ，重６７ｋｇ。 除上述研究机构以外，还有许多研究机构对双足机器人进行了深入研究， 包括比利时布鲁塞尔Ｖｒｉｊｅ大学研制的双足步行机器人Ｌｕｃｙ（Ｖｅｒｍｅｕｌｅｎ ２００４），英国的ｓｈａｄｏｗ（Ｔｕｆｆｉｅｌｄａｎｄ Ｅｌｉａｓｅｔ ａ１．２００３）项目，西澳大利亚大学ＴｈｏｍａｓＢｒａｍｎｌ教授的Ｊｏｈｎｎｙ ｗａｌｋｅｒ与Ｊｉｍ Ｂｅａｍ，英国帝国大学的ＦＬＩＰ与ＦＬＯＰ，瑞士Ｃｈａｌｍｏｒｓ大学的Ｅｌｖｉｓ与Ｅｌｖｉｒａ，新加坡大学电气与电子工程学院高级机器人智能控制中心ＡＲＩＣＣ研制的仿人足球机器人等。 与其他国家相比，我国对双足机器人的研究起步较晚，从８０年代中期才开始研究双足步行机器人。国防科技大学在１９８８年春成功地研制了一台平面型６自由度的双足机器人ＫＤＷ－Ｉ；１９８９年研制出空间型ＫＤＷ－ＩＩ；１９９０年推出 ＫＤＷ－ＩＩＩ，２０００年１１月２９同，又研制出我国第一台仿人型双足步行机器人“先行者”，高１．４米，重２０千克，可实现前进／后退、左／右侧行、左／右转弯和手臂前后摆动等各种基本步态，能在小偏差、不确定的环境行走。２００３年６月推出了具有新型机械结构和运动特性的第４代仿人步行机器入（王建文，２００３），该３第１章绪论机器人实现了无缆行走，在外形上与ＡＳＩＭＯ十分相似。 哈尔滨工业大学傅佩深教授在１９８６年成功研制出ＨＩＴ－Ｉ型双足步行机器 人，高１１０ｃｍ，重７０ｋｇ，有１０个自由度，能实现平地上的前进、左右侧行以及上下楼梯的运动。之后哈工大又相继研制出ＨＩＴ－ＩＩ和ＨＩＴ－Ｉｌｌ、ＨＩＴ－ＩＶ型（谢涛等，２００２）机器人。北京理工大学在归国博士黄强教授的带领下进行仿人形机器人研究，于２００２年１２月研制出仿人机器人ＢＲＨ．１（汪光等，２００３），能够感知机器人自身的平衡状态和地面高度的变化，实现未知地面的稳定行走和太极拳表演。２００５年研制了ＢＨＲ．２（汇童）。ＢＨＲ．２的成功研制标志着我国继同本之后成为第二个掌握集机构、控制、传感器、电源于一体的高度集成技术的国家。 清华大学于２００２年４月９日研制出具有自主知识产权的仿人机器人ＴＨＢＩＰ．Ｉ样机（刘莉等，２００２）。ＴＨＢＩＰ．Ｉ共３２个自由度，能成功实现无缆连续稳定的平地行走、连续上下台阶行走，以及端水、太极拳和点头等动作。此外，上海交通大学、南京航空航天大学、大连理工大学、中国科学技术 大学等院校和研究机构也在近几年投入了相当的人力、物力进行双足机器人的研制工作。 纵观文献表明，双足步行机器人经历了由少自由度到多自由度、由实现简 单动作到复杂动作、由简单功能到仿生复杂功能、由静态步行到动态步行、由 类人下肢到完全仿人的发展过程。１．２．２被动双足机器人的研究现状双足机器人的被动动力学概念由美国航空工程师ＭｃＧｅｅｒ（１９９０）于上世纪 ８０年代术提出。在被动步行的研究中，一般采用步态合成（毛勇等，２００７）的 方法，先构建被动机器人机构，然后通过调节被动机器人的步态参数实现稳定 步行，在对实验结果进行分析的基础上得到有价值的结论。下面介绍几种主要 的被动机器人的机构特点。 纯被动双足机器人是一组通过转动关节铰接的刚体机构，可以在无主动驱动的情况下，充分利用机器人自身的被动动力学特性，仅依靠重力稳定地走下斜坡。ＭｃＧｅｅｒ（１９９０）构建了２Ｄ无膝关节的纯被动机器人，只有髋关节１个自 由度，并且利用分别连接在一起的２条内腿和２条外腿保证机器人的侧向平衡。 进一步地，ＭｃＧｅｅｒ对上述机器人进行了扩展，构建了有膝关节的双足被动机器 人，并研究了在髋关节和两腿上引入弹性器件的双足被动跑步问题。上述被动步行机器人设计中，机器人自身没有动力源，只能在斜面上靠重 力驱动向下行走，稳定性较差。自ＭｃＧｅｅｒ的丌创性工作后，美国、欧洲与同４第１章绪论本的多所大学和研究机构在被动步行领域开展了深入的研究，所构建的被动机 器人原型的复杂度也在逐渐加大，从完全无驱动的纯被动机器人逐步转向了部 分自由度带驱动的半被动步行机器人。Ａｓａｎｏ（２００４）提出的虚重力场理论将半被动双足机器人中的主动驱动力和重力的共同作用看作方向一定的虚重力场，用 这种方法将纯被动步行研究扩展到平地上。 Ｃｏｍｅｌｌ大学最新的半被动机器人（Ｃｏｌｌｉｎｓｅｔａ１．２００５）共有５个自由度，其中１个髋关节自由度和２个膝关节自由度为不受控的自由关节，２个踝关节自由度由弹簧和电机组成的驱动器驱动。它的上体由联动机构保证总处于两腿的角度 平分线上，双臂也由机械结构保证与对应腿的运动关联。在机器人的踝关节驱 动器中，弹簧起着弹性储能器件的作用。 ＭＩＴ的无膝关节被动机器人的结构更为简单，它共有６个自由度，其中每个踝关节有２个自由度分别由２个伺服电机驱动，２个髋关节为被动关节。在此平台上的研究主要集中于通过学习生成控制策略的问题。 荷兰Ｄｅｌｆｔ大学在被动机器人机构搭建方面的研究最具代表性，所构建的机 器人从ＭｃＧｅｅｒ式的纯被动机器人开始，复杂度逐步增大，先后研制了Ｍｉｋｅ、 Ｍａｘ、Ｄｅｎｉｓｅ和Ｍｅｔａ半被动双足机器人。Ｍｅｔａ机器人（Ｓｃｈｕｉｔｅｍａｅｔａ１．２００５）是Ｄｅｌｆｔ大学最新的半被动机器人，共有５个自由度，其中２个膝关节为被动自由 度，２个踝关节和１个髋关节为主动自由度，采用伺服电机提供驱动力，主要 用于通过步态合成的方法揭示踝关节的主动驱动在步行中的作用。 除上述机器人之外，ＣＭＵ、东京理工大学等研究机构也实现了各自的 ＭｃＧｅｅｒ型纯被动机器人和简单的半被动步行机器人。 在被动步行的研究中，机器人的控制和驱动系统的结构都比较简单，机器人的稳定步行并不依赖于复杂的轨迹规划和精确的轨迹跟踪控制，而是通过离线或在线的参数调整，主要依靠机器人自身的被动动力学特性实现。由于尽可 能地消除了驱动和控制系统对步行的影响，从对仿真和实验结果的分析中就可 以有效地提取出步行的本质特征，从而进一步利用所得的结论指导双足机器人 的设计和控制，实现了降低控制器的复杂度和机器人整体能量消耗的目的。１．３稳定性分析对于双足机器人来说，因为在行走过程中，支撑机器人运动的脚与地面间 的接触面积很小，机器人很容易摔倒，因此双足步行机器人是一个不稳定的系 统，对它的稳定性的分析与控制就成了双足机器人研究中的一个很重要的课题。 对于主动双足机器人来说，可以采用大力矩和高增益反馈的驱动系统来实５第１章绪论现机器人的运动，只要保证机器人不摔倒，驱动机构即可使机器人实现期望的 运动，因此对主动机器人的稳定性，普遍采用ＺＭＰ稳定判据的方法。但对于被动双足机器人，无驱动结构或者驱动力很小，更多的是依靠自身的动力学特性 来实现机器人的运动，因此被动双足机器人的稳定性，是指机器人运动的周期 性与收敛性。１．３．１ＺＭＰ稳定判据南斯拉夫学者Ｖｕｋｏｂｒａｔｏｖｉｃ（１ ９６９）年提出了著名的ＺＭＰ稳定性概念与判据，其核心思想是要确保单腿支撑期的机器人足与地面完全接触，使得各个自由度直接可控，避免出现欠驱动的翻转情形。 当机器人处于动态平衡时，机器人的总重力和总惯性力的合力关于ＺＭＰ 点的力矩沿水平面内的两个垂直轴方向的分量为零。根据足底的力学平衡方程 可以得到姿态稳定判据为：ＺＭＰ必须时刻落在双足机器人的支撑区域内部，机 器人的行走才处于稳定状态。在动态平衡状态，即支撑脚与地面充分接触的平 衡状态，ＺＭＰ都与脚旋转指示器（ＦＲＩ）（Ｇｏｓｗａｍｉ １９９９）以及压力中，Ｌ，（ＣＯＰ）重合， 其动态稳定裕量定义为从压力中心至支撑区域所在多边形边界的最小距离。 国内上海交通大学的包志军等人（２００１）认为ＺＭＰ的描述仅仅考虑了Ｘ、 Ｙ轴的弯矩平衡，但没有考虑到绕ｚ轴的滑转和沿Ｘ、ｙ轴的滑动。他们提出了稳定运动需要满足的补充条件，认为只有既满足ＺＭＰ要求又满足摩擦圆半径条件的脚底支撑区域才是真Ｊ下意义上的运动稳定性区域。当双足机器人整个行走 过程中踝关节扭矩很小，地面摩擦系数很大时，机器人肯定不发生滑转和滑动， 此时用ＺＭＰ法表示的稳定性区域才是完整的。 主动双足机器人的步行稳定性判别主要基于ＺＭＰ稳定判据，它要求在连续 步行中的每一时刻机器人都符合此稳定判据。但是ＺＭＰ稳定判据只是保证了零 力矩点保持在支撑区域的内部，只适用于双足机器人的支撑脚与地面完全接触， 并且不发生滑动的情况，它无法判断支撑脚与地面是否有滑动，当地面不平坦， 或者机器人的其它部位与外界环境发生接触时，就不适用了；而且ＺＭＰ保持在 支撑区域内部，只能保证双足机器人在运动过程中不会摔倒，对于支撑脚是点 足的双足机器人，或者双足机器人绕脚的某个边缘进行旋转运动时，支撑区域 为零，此时ＺＭＰ稳定判据也不适用。１．３．２庞加莱映射稳定性分析与主动步行中时问连续的稳定性概念不同，被动步行中的稳定性（毛勇等，６第１章绪论２００７）是一个时间离散的概念，一般只考虑步行周期的稳定性，强调充分利用机器人自身的被动动力学特性，而不是用主动控制的方式将运动轨迹镇定到稳定轨迹上。被动步行中每步只观察一次机器人步态参数的状态，若步态参数在 １个或几个步态周期后可以映射到自身的初始值，并且对于小范围的扰动收敛，则可以认为这种步行是稳定的。 在这种稳定性的定义下，Ｗｉｓｓｅ（２００４）从动力系统的研究角度，提出了庞加 莱映射（Ｐｏｉｎｃａｒ６ ｍａｐ）的分析方法，将ｓｔｅｐ．ｔｏ．ｓｔｅｐ方程在参数空间中用庞加莱 图表示，并利用胞映射法方法在庞加莱图上找到吸引区域，若庞加莱映射的雅 可比矩阵在平衡点处的特征值在单位圆内，则周期轨道渐近稳定。双足步行的稳定步态在相空间中表现为稳定的极限环，而极限环是庞加莱映射上的不动点，所以步态的稳定性研究可简化为对庞加莱映射不动点的稳定 性研究。其计算过程是在极限环附近对机器人的状态引入小的扰动，然后计算 敏感矩阵的特征值。若所有的特征值都在单位圆内，则轨道渐近稳定。这种方 法本质上是一种全局性的稳定性分析方法，可以用来对步行的稳定程度进行有 效度量。 利用这种方法，Ｗｉｓｓｅ分析了半被动机器人设计中的稳定性问题，包括坡度、俄关节的弹簧刚度，以及上体高度、质量等对于稳定性的影响，证明了引入髋关节驱动可以大大增大被动机器人的吸引区域，并可以完全解决２Ｄ机器 人行走中容易出现的向前跌倒问题。Ｇｒｉｚｚｌｅ等人（２００１）用扩展的庞加莱映射方 法，从混杂系统的角度分析了无足双腿机器人的动态行走问题，并在法国科学 研究中一Ｉ二，（ＣＮＲＳ）研制的样机Ｒａｂｂｉｔ上实现了无足动态步行，同时将该方法进行 扩展，相继分析了平面机器人、三维机器人运动的稳定性，所研究的机器人的 自由度也逐渐增加。 由于双足机器入动力学的复杂性，通常无法得到庞加莱映射的解析形式， 只能借助于数值方法计算庞加莱返回映射，找到不动点。目前，该方法还仅适 用于简单模型的被动机器人、无足双腿机器人和基于简单模型的跳跃机器人。１．４本文的主要工作本文主要针对双足机器人的数学建模与稳定性分析问题进行研究，内容包括双足机器人的运动学模型与动力学模型的建立，动力学仿真和利用庞加莱映 射的稳定性分析。论文各个部分的安排如下：第１章阐述了双足机器人研究的来源及研究的意义，介绍了双足机器入的 发展现状，综述了双足机器人稳定性分析的两种主要的方法。７第１章绪论第２章首先介绍了双足机器人的位置与姿态的描述方法，然后采用Ｄ．Ｈ表 示法，建立了双足机器人的１２自由度的正运动模型，最后采用代数几何求解的方法得到双足机器人的逆运动学模型。第３章采用拉格朗日方程建立了五连杆平面双足机器人的正动力学模型， 采用牛顿．欧拉方程递推得到七连杆ｌＯ自由度的双足机器人的逆动力学模型，最后在ＡＤＡＭＳ中建立双足机器人的虚拟样机，进行了动力学仿真。第４章建立了双足机器人的混杂动力学模型；根据庞加莱映射的概念，对 双足机器人的稳定性进行了定义；最后对三连杆的平面双足机器人进行建模与 控制，并采用庞加莱映射的稳定性分析方法对其运动的周期性与收敛性进行了仿真与分析。 第５章总结论文的研究成果，并介绍了进一步的研究工作。８第２章双足机器人运动学模型第２章双足机器人运动学模型２．１引言 双足机器人是基于模仿人类下肢的行走动作进行研究的，忽略躯干以上的动作对行走产生的影响，因此双足机器人的机构仅包含躯干、腿部和足部。其 行走过程可分为单腿支撑期的开链机构、双腿支撑期的闭链机构和摆动腿落地 时的撞击这三个阶段。本章给出了双足机器人的运动学模型，用来确定机器人 各个关节与组成机器人的各部分之间的运动学关系，为后面建立动力学模型和 稳定性分析做准备。 在以往的研究中，通常对机器人前向运动和侧向运动分别进行考虑（赵建 东，２００４），忽略了两者之问的耦合，这样虽然能简化机器人的建模过程，但是 在对机器人进行分析时，不可避免的会出现误差。因此本章建立机器人的运动 学模型时，将机器人的前向运动和侧向运动同时进行考虑，采用Ｄ．Ｈ矩阵变化 方法，首先构造相邻坐标系问的齐次变换矩阵，然后采用矩阵相乘的方法获得 整个机器人的Ｊ下运动学模型。在对机器人建立逆运动学模型时，采用几何求解 的方法，根据各关节点的坐标进行代数运算，求得各关节的角度。２．２机器人位置与姿态的描述因为机器人在运动过程中是连续运动的，不会产生大的突变，所以受到的 力不大，机器人的各杆件不会产生大的形变，因此可以忽略其运动过程中的弹 性效应，看作质量分布均匀的刚体；而且连接相邻杆件的关节可以假设为刚性 连接，其内部间隙不计。２．２．１机器人坐标系变换图２．１参考坐标系和附体９第２章双足机器人运动学模型如图２．１所示，参考坐标系Ｏｘｙｚ是三维空间中的固定坐标系，在机器人运 动中将它作为总体坐标系，把Ｏｕｖｗ看做是附体坐标系，也就是说它固定在机器 人杆件上，并随之一起运动，其原点与Ｏｘｙｚ系的原点一致。空间中的某点Ｐ在 Ｏｍ，ｗ坐标系中固定不变，令Ｐ在Ｏｘｙｚ系和Ｏｕｖｗ的坐标分别表示为：％＝（见岛见）７’，‰．＝（凡凤Ａ．）ｒ 如和‰表示的是不同坐标系中的同一空间点。（２．１）当Ｏｕｖｗ系绕任某一轴线转动后，可以通过一个３ｘ３旋转矩阵Ｒ将原坐标系￡。变换到Ｏｘｙｚ系中的坐标％，即： 如＝脚乙 （２．２） 如果Ｏｕｖｗ坐标系绕ｍ轴转动口角，变换矩阵足．口可由坐标系的旋转得到： 足，。＝ｌ ０『ｌｏｏｃｏｓ口一ｓｉｎａ ｓｉｎａ］Ｉ（２．３）【－０别为（丁学恭，２００６）：ｃｏｓ口ｊ同样的，可以得到Ｏｕｖｗ系绕缈轴转妒角和绕Ｄｚ轴转口角的３ｘ３的旋转矩阵分ｆｃｏｓｃｐ ００ ｌ ０ｓｉｎ］０ｃｏｓ｜－ｃｏｓＯ―ｓｉｎＯ ０］ｓｉｎ ０ ＣＯｓ０ ０ ０Ｂ，伊－－１Ｌ―ｓｉｎｃｐｊｌ，Ｒ矿ｌＩ＿０ｌｊｌ（２．４）矩阵母．口，尺御和足．口被称为基本旋转矩阵。为了表示Ｏｕｖｗ绕Ｏｘｙｚ坐标系各轴的多次转动，可把基本旋转矩阵连乘起来。由于矩阵乘法的不可交换性，故完成转动的次序非常重要。除绕Ｏｘｙｚ系的 坐标轴转动外，Ｏｕｖｗ系也可以绕它自己的坐标轴转动。如果Ｏｕｖｗ系绕Ｏｘｙｚ系 的某一坐标轴转动，则可对旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵；如果Ｏｕｖｗ系绕自己的坐标轴转动，则可对旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。 描述转动刚体相对于参考坐标系的方向可以用３个角度作为广义坐标，这三个角度称为欧拉角。欧拉角的表示方法也有几种不同的类型，在此我们采用航空工程中分析飞行器的运动时采用的表示方法，将绕珊轴旋转的角度口称为 滚转角，绕＠轴旋转的角度妒称为俯仰角，绕统轴旋转的角度秒称为偏航角，则系统的旋转矩阵为：亿胍一＝足．口尺卿足．口ｅｏｓＯ＝ｌ ：ｌｎＯｏｅ ｉｓｓｌｅｏｓ呼一０ｓｉｎ妇Ｏ ｓＣ０ｓｉｎｃｐ邪ｓｉｌｎ善ｅ８ｉｏ相ｓ口＋Ｏ ｅＣｏｓｏｓａ～ｓｉｎ阳Ｏ ｓ咖ｉｎ ｃｐ卿ｅｏｓ麓ｅｏ相ｓ ８ｉｓｉｎｎ：ｌ（２．５，口＋ｔｇ口ｌ、７ｌｃｏｓ妒ｓｉｎ口 ｎ 妒ｓｌｎ口 ｉｎ伊 ｉｓ－ａｓｏｃａ（ｓｏｃ 伊ｊＪ１０第２章双足机器人运动学模型２．２．２齐次坐标和变换矩阵齐次坐标是用刀＋１维坐标来描述咒维空间中的位置，其第九＋１个分量称为比例因子。引入齐次坐标不仅对坐标变换的数学表达带来方便，而且具有坐标值缩放功能。ｘ寸－－维空ｆｂＪ位置矢量尸＝（以Ｐｙ Ｐ：）。，其齐次坐标可以表示为尸＝（豫鬈ｐ，ＩＣｐ：Ⅳ）‘。由于ｒ值的不唯一，三维空间的位置矢量的齐次坐标表达式并不是唯一的，但若将Ｋ取为１，则位置矢量变换后的齐次坐标和矢 量的坐标就相同了。在机器入学的应用中，总是将ｒ取为ｌ。 齐次变换矩阵是４×４矩阵，它能把一个以齐次坐标表示的位置矢量由一个坐标系映射到另一个坐标系。在机器人的运动分析中，齐次变换矩阵丁可写成以下形式：厂ｐＤ１丁１蒜剥原点相对于Ｏｘｙｚ坐标系原点的位置矢量。（２．６）其中墨。，表示的是Ｏｕｖｗ坐标系绕Ｏｘｙｚ坐标系的旋转矩阵，Ｅ刈是Ｏｕｖｗ坐标系若三维空间中的位置矢量尸＝（风ｐ，Ｐ：１）。，男Ｕ／－，Ｎ用齐次变换矩阵的概念，对旋转运动，３Ｘ３的基本旋转矩阵可扩展成４ｘ４的齐次变换矩阵：０ＣＯＳｌＺＣＯＳ口０ ｌ ０ ０ｓｉｎ９ Ｏ ｃｏｓ（ｐ Ｏ０ Ｏ ０ ｌＣＯＳ０－ｓｉｎ口 ｓｉｎ０ ＣＯＳ毋 Ｏ ＯＯＣ．。＝Ｓｌｎ￡Ｚ￡舻＝一￥１１１口正毋＝Ｏ Ｏ（２．７）００如果Ｄ“ｗ坐标系的原点平移到参考坐标系的［反哆ｄ：］７’点，而坐标轴保持平行，则齐次平移矩阵乙。：１ Ｏ ＴＩｒｏ。＝ Ｏ ０ ０ ｌ ０ ０ ０ ０ １ ０ ｄｘ ｄｒ ａ： １（２．８）式（２．７）和（２．８）是基本齐次变换矩阵。 基本齐次变换矩阵相乘，可以求得合成的齐次变换阵，但是因为矩阵乘法的不可交换性，要注意这些矩阵的相乘次序。因为齐次变换矩阵不仅包含了参考坐标系与局部坐标系问的旋转矩阵，而 且包含了两个坐标系原点间的平移关系。对图２．１中的点Ｐ，其在Ｏｘｙｚ系和 Ｏｕｖｗ的齐次坐标分别表示为：名＝（见ｐ，肛１）‘，只。．＝（见Ｐ．．见．１）。（２．９）第２章双足机器人运动学模型因为Ｐ点在Ｏｕｖｗ坐标系中固定不变，在Ｏｕｖｗ相对于Ｏｘｙｚ系运动时，如果齐次 变换矩阵为Ｔ，则：≮＝Ｔ。‰础坐标系中的坐标。（２．１０）因此对局部坐标系中的任意点，都可以通过齐次变换矩阵，方便的求得其在基２．２．３Ｄ－Ｈ表示法机器人是由一串转动关节连接的刚体组成，每一对关节．连杆构成一个自由度，每个杆件至多与另外两个杆件相关联，不构成闭环。为了描述相邻杆件间 平移和转动的关系，Ｄｅｎａｖｔ和Ｈａｒｔｅｎｂｅｒｇ（１９５５）提出了一种为关节链中的每一个杆件建立附体坐标系的矩阵方法。 Ｄ．Ｈ方法是为每个关节处的杆件坐标系建立４ｘ４的齐次变换矩阵，表示它与前一个杆件坐标系的关系，这样逐次变换，整个机器人的所有杆件都可以在 基础坐标系中表示出来。杆件的编号由机器人的支撑脚开始，以支撑脚与地面 接触的点建立基础坐标系，基础坐标系可看作杆件０，第一个运动的杆件（支撑脚或支撑腿）作为杆件ｌ，依次类推，最后的杆件，ｌ处于摆动阶段，或者与地 面接触。关节１处于连接杆件１和基座之间，关节ｆ处于杆件ｉ和杆件ｉ一１之间， 最后的杆件甩只通过关节，ｌ与杆件，ｚ―ｌ连接，如图２．２所示：图２．２机器人杆件与关节的描述建立局部坐标系时，咒关节的机器人需要建立刀＋１个坐标系，其中基础坐标系为Ｄ０，第ｉ关节上的坐标系为ｑ一。。坐标系的原点位于相应关节的中心位置，方向可以自己确定。根据２．２．２节中齐次变换矩阵的定义，依次建立相邻坐标系ｑ系和ｑ一。系之 间的齐次变换矩阵卜１Ｚ，而Ｑ坐标系相对于基础坐标系Ｑ的齐次变换矩阵ｏＺ是 各齐次变换矩阵卜１Ｚ的连乘积，可表示成：。７：＝。石’五…卜‘霉＝ｌ。孑 。ｆ ｌ１２ｃ２．??，第２章双足机器人运动学模型其中ｏＲ是坐标系ｆ相对于基础坐标系的旋转矩阵，ｏ暑是在基础坐标系中由基础 坐标系原点指向ｆ坐标系原点的位置矢量。因此根据。巧即可确定ｑ系与哦系的关系，进而就确定了杆件ｉ＋１在基础坐标系中的表示。２．３双足机器人的自由度配置图２．３双足机器人的侧视图（左）和后视图（右）将双足机器人的结构简化为七连杆结构，包括躯干、大腿、小腿、脚，如图２．３所示。图中，ｑ、ｑ分别表示左脚与右脚的中心点，４、４分别表示左 踝与右踝的中心点，蜀、君：分别表示左膝与右膝的中心点，ｑ、ｃ２分别表示左髋与右髋的中心点，Ｄ表示两个髋关节的中心位置，Ｅ是躯干的顶点。每个 部分都用一个质量分布均匀的连杆来表示，连杆的质心在杆的几何中心位置。 为了实现双足机器人的平地行走、上台阶、转弯、避障等动作，双足机器 人要能在滚转、俯仰和偏航三个方向上都能运动。因此，双足机器人的模型设 定为１２个自由度，其中踝关节２个，分别是滚转自由度与俯仰自由度；膝关节 １个俯仰自由度；髋关节３个，分别是俯仰自由度、滚转自由度与偏航自由度。 自由度设定好以后，就可以对各个角度进行定义如下（如图２．４所示）：Ｏｏ、ｑ左踝和右踝滚转方向的转角，设小腿向外偏转的方向为Ｊ下；允许范围为一３００到３００。幺、只左踝和右踝俯仰方向的转角，小腿向前倾斜的方向为『Ｆ；允许范围为一６００到６００。致、侠左膝和右膝俯仰方向的转角，膝盖弯曲的方向为正；允许范围为００到９００。１３第２章烈足机器＾运动学模型哦、Ｂ 止髋和右髋俯仰方向的转角．大腿§“伸的方向为正；允许范围为２０。到７００。最、最 左髋和右霞滚转方向的转角，大腿外伸的方向为一；允许范围为３００到３０。。氏、Ｂ．左髋和右髋偏航方向的转角，躯干向前进方向旋转的方向为正允许范围为一４５。到４５。。左图２４。巴。ｆ．３以翟１２ ｎ由度以足机器人ｆｎ口由度配簧在实际的机器人的结构中，各个自山度是山不同的Ｉ乜机驱动的，所以踩部 有两个电机，髋部需要三个电机。为了ｉｌ＿算的方便，我们在建屯模型时，认为 蹀关节的两个电机的转轴是相交干踝关霄的中心点，髓关节的ｊ个转轴所在的卣线相交于髋关节的中心点。２４双足机器人的运动学模型般足机器人的运动学建模就是求解机器人的各朴件的运动状态与各个关节运动状态之问的数学描述。运动学问题主要有以Ｆ两个基本问题（丁学恭，２００６）：ｌ当给定顿足机器人各个丰Ｔ件的几何参数和关节的运动情况时，求出机器 人躯＿Ｆ和摆础腿相对于幕础‘ｂ标系的位置和姿态，给定的基础坐标系一般为固 定在大地ｒ的笛卡尔坐枷、系。此为取足机器人的证运动学问题。 ２已知飙址机器人的各个；｝１＿什的几何参数，当给定摆动腿和躯Ｈ目对于参 考一ｂ标系的化姿叫，求蜊烈足机器人各个关１ｉ角的运动情况，此为双足机器人的逆运动学问题。第２章双足机器人运动学模型２．４．１正运动学模型 因为在行走过程中，机器人的支撑脚是固定不动的，可以考虑以支撑脚的 中心点作为固定坐标系，然后依次建立小腿、大腿和躯干的局部坐标系（李红 征，２００８），最后根据Ｄ．Ｈ方法来表示机器人各杆件的运动情况，从而建立双足机器人的正运动学模型。用厶表示脚的中心点距踝关节中心点的距离，厶表示踝关节中心到膝关节 中心的距离（小腿长度），乞表示膝关节中心到髋关节中心的距离（大腿长度），厶表示两个髋关节之间的距离，厶表示躯干的长度。下面以左脚作为支撑脚时为例，来建立双足机器人的正运动学模型。 首先建立一个与左脚固连的坐标系，其原点Ｄ在左脚的中心点，与ＤＩ点重合，ｘ轴指向前进方向，ｚ轴指向上方，少轴根据右手定则确定，该坐标系即作 为固定坐标系，记为Ｄ系。以左踝的中心点４为原点，建立一个与左小腿固连的坐标系，记为４系。以左膝的中心点Ｅ为原点，建立一个与左大腿固连的坐标系，记为Ｅ系。以左髋的中心点Ｇ为原点，建立一个与躯干固连的坐标系，记为ｃｌ系。以右髋的中心点Ｇ为原点，建立一个与右大腿固连的坐标系，记为 Ｃ２系。以右膝的中心点垦为原点，建立一个与右小腿固连的坐标系，记为易系。以右踝的中心点４为原点，建立一个与右脚固连的坐标系，记为４系。 当机器人处于垂直状态时，各个局部坐标系的坐标轴与Ｄ系的坐标轴分别 平行，如图２．５所示。这样机器人各连杆的局部坐标系就建立完成。图２．５各迮杆局部坐标系的示意图１５第２章双足机器人运动学模型当机器人运动时，左小腿绕左踝旋转，先在滚转方向上的旋转一ａｏ（以绕 旋转轴顺时针旋转为正），然后在俯仰方向上的旋转０２，则４系相对于０系的旋转矩阵为Ｒ（一岛）Ｂ（岛），４系的原点在Ｄ系的坐标是【ｏ４系相对于Ｏ系的齐次变换矩阵为ｔ ｃｏｓ岛 一ｓｉｎ皖ｓｉｎ８２ｇ伽２?―ｃＯｓＯｏ ｓｉｎ０２ ０ Ｏ ｓｉｎ０２ ｃｏｓ０２ ｓｉｎ８０ ＣＯＳＯｏ０Ｌｏ］ｒ，计算得到０ ０ｃｏｓ皖――ｓｉｎｏｏ Ｏｃｏｓ０２厶１（２．１２）Ｏ左大腿绕左膝关节旋转，在俯仰方向上的旋转角度为一只，则Ｂ。系相对于４系的旋转矩阵为髟（一幺），Ｅ系的原点在４系的坐标是【ｏ ０厶】ｒ，得到蜀系相对于４系的齐次变换矩阵为：ＣＯＳ幺０－ｓｉｎ幺０Ｏ ｇＡＩ焉２ １ ０ ０ｓｉｎ幺０Ｏ ＯＣＯＳ幺Ｏ厶ｌ（２．１３）躯干相对于左大腿，绕左髋关节旋转，根据髋关节三个自由度的设置，躯干先在俯仰方向上的旋转皖，然后在滚转方向上的旋转一岛，最后在偏航方向 上旋转ｑ。。因此Ｇ系相对于Ｅ系的旋转矩阵为Ｒｙ（皖）Ｒ（一凭）Ｒ（ｑ。），ｃＩ系的原点在Ｂ。系中的坐标为【ｏ ０厶】７，得到ＣＩ系相对于Ｅ系的齐次变换矩阵为：ｃｌｏｃ６一而。氏黾２ ｃｓｓｌｏ一ｃ６ｓｌｏ―ｃ１０５６黾Ｃｔｏｃｓｃｓｓ６０黾０ 气ｃ８ ０ｇＢＩＣｔ一＆ｃＩｏ―ｃ６８ｌｏ＆ ０Ｓｌｏ￥６一Ｃｌｏｃ６黾０厶１（２．１４）其中ｑ表示ｃｏｓＯ，，墨表示ｓｉｎ包，以下类同。 右大腿相对于躯干，绕右髋关节旋转，先在偏航方向上旋转ｑ．，然后在滚 转方向上旋转一岛，最后在俯仰方向上旋转一岛，因此Ｃ２系相对于ｑ系的旋转矩阵为足（ｑ，）Ｒ（一岛）Ｂ（一岛），Ｃ２系的原点在Ｃｌ系中的坐标为【ｏ一厶ｏ】７，得到Ｃ２系相对于ｃＩ系的齐次变换矩阵为：ｃＩＩｃ７一ｓｌＩｓ７ｓ９ ｃ７丑Ｉ＋ｃｔｔｓＴｓ９ｇｏ，ｃ，２一ｃ９ｓＩｌ一３７ＣｌＩ―Ｃ７ＳＩｌ如０ ｑＩ岛焉一丑Ｉ岛 ｃ７ｃ９ ０ＣＩｔｃ９ 一禺 Ｏ一厶０ ｌ（２．１５）岛ｓ７ Ｏ右小腿绕右膝关节旋转，在俯仰方向上旋转色，则Ｂ２系相对于Ｃ２系的旋转矩阵为Ｂ（岛），垦系的原点在ｃ２系的坐标是【ｏ ０一厶】７，得到垦系相对于ｃ２系的齐次变换矩阵为：１６第２章双足机器人运动学模型ｃｏｓＯ， ０ ｇｃｖｓ２２０ ｌ ０ ０ｓｉｎＯｓ Ｏ０， ０－ｓｉｎ８５ ０ｃｏｓＯ，一厶Ｏ ‘１（２．１６）右脚绕右踝关节旋转，先在俯仰方向上旋转一只，然后绕滚转方向旋转一幺， 因此４系相对于垦系的旋转矩阵为Ｂ（一幺）Ｂ（一ｑ），４系的原点在岛系中的坐标为【ｏ ０一厶】７’，则４系相对于垦系的齐次变换矩阵为：ｅｏｓｇ０ ｇａ，Ａ２２ｓｉｎ岛ｓｉｎ８，ｅｏｓＯ，一ｅｏｓＯ，ｓｉｎ岛０ｓｉｎＯ，０ ｃｏｓ０３ ｃｏｓＳｌ ０ｓｉｎ８ｓ―。ｃｏｓ０３ ｓｉｎＳ， Ｏ ０一厶１（２．１７）根据Ｄ－Ｈ表示法，可得到且系相对于Ｄ系的齐次变换矩阵为：ｇ∞２９％ｇＡＩ耳ｃｏｓ（ｅ２一包）一ｓｉｎ８００ ｃｏｓＯｏ ――ｓｉｎ８０ ０ｓｉｎ（０２一见） ｃｏｓ（Ｏ，――８４）ｓｉｎ８０ｃｏｓ８０ ｃｏｓ（０２一只） ０厶ｓｉｎ０２ｓｉｎ（０２一统）Ｏ厶ｃＯｓ吼ｓｉｎ‰厶＋厶ｃ．ｏｓａ２ｌ ｃｏｓ８０（２．１８）一ｃｏｓ８０ ｓｉｎ（０２一０４）因为齐次变换矩阵的最后一歹０表不局部坐标系的原点相对于基础坐标系的 齐次坐标，因此骂点在０系中的坐标为：只．＝【厶ｓｉｎ８２厶ｃｏｓＢ ｓｉｎ８０同理可以得到Ｃｌ点在０系中的坐标为：ｚ．０＋厶ｃｏｓａ２ｃｏｓＯｏ］７（２．１９）尼＝【厶ｓ２＋Ｌ２ｓ２―４ （厶ｃ２＋厶ｃ２―４）Ｓｏ厶＋（厶乞＋厶ｃ２―４）Ｃｏ Ｊ（２．２０）其中墨一，＝ｓｉｎ（Ｏｆ一日，），ｃｆ一，＝ｃｏｓ（Ｏ，一ｅ），以下类同。同理可得Ｃ２、反和４点在０系中的坐标。因表达式很长，在此就不列出。根据机器人在运动过程中，各关节的运动情况，可以得到各连杆相对于基 础坐标系的旋转角度分别为（角度向量的各元素分别表示滚转角度、俯仰角度 和偏航角度）：ｑ。＝［－Ｏｏ０２ｏ】７ｑ：＝【一岛０２－ｏ，ｏ】７一包 一岛幺。＋鼠。 ｇ。＝卜（铱＋最＋岛） ｇｑ。３＝：［卜－（（０铱ｏ＋＋０最８）＋岛０２）一０４＋一包０６ ｏｌｏ一］Ｔ０２＋０６岛幺。＋鼠。，１（２．２１）ｑ，＝卜（岛＋嚷＋岛）岛－ｏ．＋皖一岛＋岛鼠。＋ｑ。】７ｑ。＝【一（皖＋嚷＋０９＋ｑ）０２－ｏ，＋０６一岛＋岛－０３只ｏ＋ｑｌ】７１７第２章双足机器人运动学模型其中吼（江１，２，…６）分别表示左小腿、左大腿、躯干、右大腿、右小腿和右脚的 旋转角度。 因为机器人在行走时，躯干的晃动比较小，因此可以假定两个髋关节的连 线与地面平行，机器人的躯干保持竖直向上（如果希望躯干有一定的前倾角度， 只需皖、岛都加上这个角度即可）。如果摆动脚也与地面保持平行的话，根据 （２．２１），相当于施加了几个约束：＝ Ｂ一幺 ＢＯｏ一＋幺ｅ８＝０＋０６：０ｏ岛２二爱：爱二戛ｉ爱一０３：０一包＋见一岛＋岛一＝ｃ２．２２， Ｐ…７则嚷＝一Ｏｏ，０６＝幺一岛，岛＝一ｑ，岛＝色一０３。将其代入前面的结果，可以得 到Ｃ２点在Ｄ系中的坐标简化为：Ｉ厶ｓｉｎＯＩｏ＋厶ｓｉｎ０２＋厶ｓｉｎ（０２―０４）Ｉ（２．２３）吃＝ｌ一厶ｃｏｓａ，ｏ＋（厶ｃｏｓ０２＋厶ｃｏｓＷ２―８４））ｓｉｎＯｏ ｌ 【－ 厶＋ｃｏｓ皖（厶ｃｏｓ岛＋厶ｃｏｓ（ｅ２一幺）） ｊ得到岛点在Ｄ系中的坐标为：ｆ 厶是＋厶岛一４一厶ｑｏ（ｃｔ５置丑ｌ＋ｑｌ邑一５）＋而ｏ（厶一厶ｑＩ巳一５而＋厶而ｌｓｔ＿５） ｌ 乞＝ｌ Ｚ，Ｃ：ｏ―ｑｏ（厶一厶ｑｌｃ３―５而＋上２‘ｌｓ３―５）＋厶（ｃｊ一４ｓｏ一毛ｏ（ｃｊ一５Ｓ！ＳＩＩ＋ｑｌ邑一５））ｌ Ｌｏ＋ｃ０（厶ｃ２＋厶ｃ２―４）一厶ｃｌｃ３―５ Ｊ Ｌ令幺，．－ｑ。＋岛。，可以得到４点在０系中的坐标为：（２．２４）Ｉ厶置ｏ＋厶是一厶％ｓ３一厶巳，ｃ５ｓ３＋厶是一４一厶瓯丑Ｓ３Ｓ５一ｃ３“厶＋厶ｇｐ＾焉一厶ｑ：％）１只＝ｌ一厶ｃｌｏ＋厶ｃ，％＋厶巳－４ｓｏ＋厶ｑ，ｑｓ，＋厶巳，ｃｒ＿５置一厶屯岛一厶屯％５ （２．２５）【－Ｌｏ＋Ｃｏ（Ｉｌｃ：＋厶ｃ２－４）一ｑ（厶ｃ３＋厶ｃ０５）因为各连杆都是刚体，它们的质心在连杆自身的局部坐标系中是固定不变的，根据式（２．１０），将质心在连杆局部坐标系的齐次坐标左乘连杆局部坐标系相对于Ｄ系的齐次变换矩阵，就可以得到各连杆的质心在Ｄ系中的齐次坐标：霞。＝虱．【００厶／２ｌ】７藏：＝ｇｏ焉【００厶／２ｌ】７’（２．２６）瓦，＝‰【０一厶／２厶／２ １ｒ藏．＝弧ｊ【０ ０一厶／２ ｌ】７’ 瓦，＝酝【０ ０一厶／２ ｌ】７ 尻。＝‰【０ ０一厶ｌ】７’质心。其中ｃｆ（江１，２，…６）分别表示左小腿、左大腿、躯干、右大腿、右小腿、右脚的对于支撑腿为右腿的情况，可将基础坐标系Ｄ系设定为与右脚固连。与左腿支撑期时类似，可以依次建立各连杆的局部坐标系，求得相邻坐标系间的齐 次变换矩阵；通过齐次变换矩阵的相乘，可以依次计算得到各局部坐标系相对 于Ｄ系的齐次变换矩阵，进而得到任意点在基础坐标系中的坐标。因为篇幅关１８第２章双足机器人运动学模型系，右腿支撑期时的计算结果，在此就不列出了。２．４．２逆运动学模型 逆运动学就是根据机器人的躯干和足部的姿态，来求解各关节的角度，这对机器入运动的步态规划与控制系统设计是必不可少的。逆运动学问题可能无 解、有唯一解或者多个解，通常该问题有解析法和数值法两种求解方法，一般 的步骤是设法将逆运动学问题分解为若干个已知的子问题，这些子问题应具有 明确的几何意义和数值稳定性。下面将基于代数几何的经典消元理论来进行双 足机器人逆运动学问题的解析法求解。 为了简化求解过程，首先对双足机器人的运动做一些假设： １．双足机器人在髋关节的三个自由度的轴线要相交于髋关节的中心点，在 踝关节的两个自由度的轴线相交于踝关节的中心； ２．双足机器人在行走时，两个髋关节的连线要与地面保持平行，躯干要保 持竖直向上； ３．双足机器人在行走时，两个脚始终保持于地面平行。 由假设１，通过２．４．１节的结果，即可确定机器人的各关节角与每个关节中 心点的关系；通过假设２和３，机器人的运动就施加了几个约束，参见式（２．２２）。 此时，逆运动学问题就简化为给定两个踝关节与两个髋关节的位置，和摆动脚与前进方向的夹角，求谚（ｆ＝０，１，２，３，４，５，１０，１ ｌ》的值。 当左脚为支撑脚时，通过式（２．１２）、（２．２０）、（２．２３）、（２．２５），得到４、Ｃｌ、Ｃ２、４在基础坐标系中的位置，因此可以得到： ■＾、，－ＣＩ―Ａｌ＝ｙｃｌ＾ＺｃＩ＾哆瞄｜； ¨幺岛厶一． 幺；；哑出厶厶 岛∞顸孵州州 锄铲旷一Ｃ，－Ｃ２＝［～ｃ２Ｇ一４Ｙｃ，ｃ２２ｚｃｌＧ］７＝【厶ｓｉｎｑ。Ｌ３ ｃｏｓ０Ｉ。ｏ】７’（２．２８）２【％焉比＾乞４ｊｌ ｑ，（Ａｃ３ｓ，ｓ，ｏ＋厶钆５Ｉ而。＋Ａｑｏｓ３＋／々ｑｏｓｒ＿５）＋一Ｉ（ｃｌｏ（厶ｑ＋厶ｃ王５）而一ｓＩ。（厶邑＋厶ｓｂ”ｌ（２．２９）ｌ墨ｏ（厶ｃ揭焉ｌ＋上２（孓５ＳｉＳｔＩ＋厶ｃｌｌｓ３＋厶ｑｌｓ０５）＋ｑｏ（―ｑＩ（厶白＋厶ｃ☆）墨＋ＳＩＩ（厶岛＋厶ｓｂ））Ｉ 【． ｃＩ（厶ｃ３＋厶ｑｓ） ．Ｊ由式（２．２７）和式（２．２８），可以得到：等＝塑ｃｏｓ Ｏｏ（缈ｑ ｃｏｓ糍０２舞ｃｏｓ（Ｏ高２一ｔａｎ岛”ｚｃ＾＋厶一幺））（２．３。） ……７１９第２章双足机器人运动学模型薏＝丽／々ｓｉｎ０１０咖ｑ。％Ｇ厶ｃｏｓｑｏ（２．３１）根据Ｏｏ和ｑ。的取值范围，可以得到 岛＝ａｒｃｔａｎ（ｙｃｌ＾／ｚｃｌ＾） 鼠ｏ＝ａｒｃ ｔａｎ（ｘｃ，ｃ２／Ｙｃ，ｃ２）（２．３２） （２．３３）将式（２．３２）代入式（２．２７），因为岛∈【一３０。３０。】，所以ｅｏｓｅ０≠ｏ，得到：｛／厶－＇１ｓｉｎＩ厶Ｏ：ｅｏｓ（Ｏ： 一只）＝ｚｃＩ＾ ＋厶／ｃｏｓ Ｏｏ（２．３４）、 ７式（２．３４）是关于两个未知数０２和幺的一个方程组，该问题可转化为图２．６所 示的平面二连杆逆运动学问题（李红征，２００８）。０Ｘ图２．６平面二二连杆的逆运动学考虑图２．６所示的平面二连杆，它的币运动学模型为：｛【＝厶Ｃ０ｓ岛＋厶 ｘ＝；／厶ｎ（，．，≯）。根据余弦定理可以确定：Ｙ）４幺ｓＣ０ｉｎｓ０岛２＋＋／＿厶，２ｓ ｅｏｓ（ｅ：） ０一－２０（ｎｉ 一幺）（２．３５）、７逆运动学就是给定ｘ和Ｙ，求解岛、幺。首先建立如图所示的极坐标系口：眦∞ｓｆ，掣］其中厂：厢Ｉ２厶厶／一ｒ～，（２．３６）、７此时包可能的取值为：幺＝ｚ＋＿ｃｔ。根据幺的允许范围，舍去一个不合理的值，确定只＝万一口 下面先由图示的几何关系求解≯和∥：（２．３７）’∥＝一ｓ（警），≯＝ａｔａｎ２∽ｘ，亿３８，第２章双足机器人运动学模型霄再根据幺的取舍，可以唯一确定岛的值：皖＝等一矽＋∥（２．３９）对右腿来说，给定右脚相对于基础坐标系在偏航方向上的偏转角度％（％［－９０。９００】），则岛。＋Ｂ。＝吼，可以得到日。＝钆一ｑ。，将其代入式（２．２９），可以得到：ｓｉｎ吃ｓｉｌｌ鸟（厶００ｓ鸟＋厶∞文鸟一瞑”＋００ｓ畋心如瞑＋厶面鹕一瞑”＝ｌ―００ｓ吼ｓｉｎｑ弛ｏｏｓＢ＋厶００文Ｂ一瞑））＋ｓｉｎ吃心ｓｈｌＢ＋厶蓟“（绣一包））∞ｓ鸟心∞ｓ瞑＋厶ａ够（鸟一瞑”（２．４０）ａ：５厶ｓｉｎ岛＋厶ｓｉｎ（９３一岛），ｂ：－ｓｍｑ（厶ｃｏｓ０３＋厶ｃｏｓ（ｅ３一魄＂ 将其代入式（２．４０）得：（２．４１）牌”ａｃｏｓＯＡ。２＝ＸＧＡ２ 【一ｃｏｓ０４＋ａｓｉｎ吃＝比以解之，得：：一Ｑ如ｂ）２４．２（。’饿ｂ≮ｓｉｎＯ妻，二Ｙ篡ｃｏｓ Ｏ乏， 【＝ｋ以结合（２．４０）、（２．４１）和（２．４３），可以得到：亿４３，、 ：７因此ｔａｎ舅：皇型墅鱼！型墅三蔓竺堕鱼逖：―ｘｃ， ，ｓｉｎ ０， －―Ｙｃ＇ｖｆ２ｌ（厶 ＋岛篇ｃｏｓ Ｏ，注螂ｃｏｓＢＯ，：＝ｃｏｓＷ岛，二笨警吼叱一吗２亿４４，一包））＝气４…７ｃｏｓ１ｃｏｓＯ，（厶ｃｏｓ０３＋厶ｃｏｓ（０３一０５））ＯＡ，，根据ｑ的’ｚ（ｊ也取值范围，得ｑ：口，ｃｔａｌｌ蔓埋咝型避雌ｃｏｓ幺Ｏ，：篙ｃｏｓ（岛Ｏ，鼍意：翟／比∥衲吼Ｉ厶＋厶 一见）＝ｚｃ２．：ｃｏｓ岛（２．４５）因为ｃｏｓｏ，≠０，‘则厶ｃｏｓＳ３＋５２ ｃｏｓ（０３一只）＝％也／ｅｏｓＯｌ。结合式（２．４３），得 到：亿４６］！ｉ、得到关于两个未知数岛、岛的方程组，与式（２．３４）类似，该问题可以转化为 一个平面二连杆逆运动学问题。可以采用同样的方法求解得到岛和色，具体过程在此就不叙述。得到谚（ｉ＝ｏ，１，２，３，４，５，１０，１ １）的值后，根据式（２．２２），即可得到其余关节角度２ｌ第２章双足机器人运动学模型的值，这样就根据机器人躯干和足部的姿态求解得到了所有关节角度的值，完成了逆运动学的求解。２．５本章小结为了建立双足机器人的运动学模型，本章首先介绍了机器人的位置与姿态 的描述方法。通过两个坐标系的旋转运动，确定两者间的旋转矩阵；然后通过 对三维空间坐标进行扩展，用四维的齐次坐标与齐次变换矩阵来表示两个坐标系之间的运动关系，简化了其表示方法；而Ｄ．Ｈ表示法通过建立相邻杆件之间‘的齐次变换矩阵，将整个机器人的运动都可以在基础坐标系中表示出来。为了能让双足机器人实现多种运动方式，本章对双足机器人的自由度进行 了配置，总共设定了１２个自由度，可以让机器人实现滚转、俯仰、偏航方向上 的运动，满足了双足机器人一般的运动的要求。 因为对机器人的前向和侧向的运动分丌建模时，会导致建模误差，因此本 章针对１２自由度的双足机器人，将前向运动和侧向运动综合考虑，采用Ｄ．Ｈ 表示法，建立了双足机器人的正运动学模型；然后对双足机器人的运动做了一 些假设，在给定躯干和足部的姿态时，采用几何求解的方法进行逆运动学运算， 求得各关节角度的值。这些为双足机器人的动力学建模和稳定性分析奠定了基 础。第３章双足机器人动力学模型第３章双足机器人动力学模型３．１引言 机器人动力学研究是分析机器人的运动与关节驱动力（力矩）间的动态关系，描述这种动态关系的微分方程称为机器人的动力学模型。因为双足机器人在运动时，相邻连杆只有相对的旋转运动，因此本章只考虑双足机器人各连杆 的运动与关节驱动力矩之间的关系。 在双足机器人进行机械结构设计时，如果各关节选择电机进行驱动，则在 进行步态规划时，需要确定各关节的驱动力矩；如果各关节采用舵机进行驱动， 虽然可以直接规划舵机的旋转角度来确定机器人的行走步态，但是因为实际中 的舵机的驱动力是有限的，所以也要确定运动过程中各关节的扭矩，如果超过 了舵机的驱动能力，则要对各关节角度的变化重新进行规划。因此，机器人的 动力学分析在机器人的运动规划与控制中是非常重要的。 由于机器人结构的复杂性，机器人的动力学模型也常常很复杂，因此本章 在进行双足机器人的动力学建模时，对双足机器人的模型进行了简化，在建立 正动力学模型时，为了能方便地得到动力学方程，考虑的是五连杆平面点足的 双足机器人模型；在建立逆动力学模型时，为了能进行机器人的动力学仿真， 考虑的是七连杆１０自由度的双足机器人模型，并且只考虑其在前向和侧向的运 动，忽略机器入在偏航方向上的运动。 本章首先介绍了机器人的雅克比矩阵，以及刚体的惯性张量：然后，采用 拉格朗日法建立了双足机器人的正动力学模型，采用牛顿一欧拉方程递推得到双 足机器人的逆动力学模型；最后在机械系统动力学分析软件ＡＤＡＭＳ中建立了 双足机器人的虚拟样机，进行了简单的运动仿真，来验证动力学模型的正确性。３．２机器人的雅克比矩阵利用雅克比矩阵，可以建立起机器人的杆件在基础坐标系中的速度与各关节速度间的关系，以及术端与外界接触力与对应各关节力问的关系（丁学恭，２００６）。对于一个具有，ｌ自由度机器人，其关节变量向量可写为：Ｑ＝ｈ ｑ：…吼】７２３（３．１）第３章双足机器人动力学模型设机器人的某杆件在基础坐标系中的位雹和姿态为Ｐ，则Ｐ＝［Ｐｌ岛Ｐ３ ｎ见Ｐ６］ｒ＝［ｔ咒乙屹％艮］７（３．２）其中前３个元素表示杆件的某点在基础坐标系中的位置，后３个元素表示 杆件在基础坐标系中的姿态（滚转、俯仰和偏航的角度）。它们都是聍个关节变量的函数，所以也可写为： 尸＝Ｏ（ｑｌ，ｑ２，．．．，ｑ。） （３．３）为了求该杆件在基础坐标系中的速度，可以对式（３．３）求导，得：ｄＰ瓦２历学 ｄｔ ８０ ８ｔ简写为Ｐ＝ＪＱ。ａＤ ａ０＼’～Ｊ （３?４）该式表示机器人在基础坐标系中的速度Ｐ与关节速度Ｑ间的关系，联系它们的纽带为矩阵歹，称其为雅克比矩阵，根据式（３．３），它的展开式为：印ｌ‘，＝――２ｏ‘Ｐ， ８ｑ，，锄ａｑｌＯＱ（３．５）编＾＾织叼。＾＾ＯｑＩ因为杆件在基础坐标系中的速度户的前３个元素表示杆件的线速度，后３个元素表示角速度，所以将Ｐ写成分块形式：户糊ｘｌ，＋ ＋进而：绕，一户＝计匕瓢ＪＬ２乏］仍●＋ ＝∑以，亩＝ｆ＝ｌ坩：●－。． ． ． Ｌ 以以．吼．吼＋以以．吼．吼＋＋叱厶 ．吼．吼 ｒ－● ●Ｉ一（３．６）∑＾，Ｏｉ忙ｌｑ。其中厶和以，分别表示第ｆ个关节变量引起的三维线速度系数和三维角速度系数。由此可见，只要求出以，和以，（扛１，２，…／，／），即可确定雅克比矩阵，。对于在三维空间中运动的玎关节机器人，其雅克比矩阵的阶数为６ｘ以。当 行＝６时，／是６ｘ６方阵，可直接求其逆。当ｒ／≠６时，歹不是方阵，此时若用雅 克比矩阵的逆，就用其伪逆，用，＋表示伪逆，Ｊ＋＝Ｊ７（ＪＪ７）～。３．３机器人的惯性张量２４第３章双足机器人动力学模型对于质点或平动的刚体，是以其质量来衡量它们的惯性大小的。但对于转动刚体，是用转动惯量或惯性张量来度量其惯性大小的，它不仅取决于质量，而且也取决于刚体的质量分布。 双足机器人在运动过程中，各关节都是进行的旋转运动，因而在对机器人 各连杆进行动力学分析时，不可避免的要通过惯性张量来分析各连杆的旋转运 动与所受的驱动力矩之间的关系。３．３．１转动惯量与惯性张量对于在三维空间中运动的刚体的动力学分析，有时需要计算六个惯性量。 这些惯性称为转动惯量与惯性积，专门用于描述刚体的质量分布与相应有明确 方向和固定原点的直角坐标系的关系（Ｈｉｂｂｅｌｅｒ ｅｔ ａ１．２００６）。图３．１刚体的质量微元在三维空间中的表示如图３．１所示，对于刚体的质量微元ｄｍ对三维坐标轴的任意轴的转动惯量 定义为质量微元的质量乘以微元到各轴最短距离的平方。例如，在图３．１中，ｒ＝√ｙ２＋ｚ２，则质量为 微的 ｘ：为量惯动转的轴ｘ于对相元 ｄｍ虬＝ｄｄｍ＝《少２＋ｚ２）ｄｍ行积分来求得。因此，对每一个坐标轴，可以得到：（３．７）刚体绕三维坐标系的任意轴的转动惯量可以通过对质量微元的转动惯量进Ｌ＝￡＃拥＝￡（ｊ，２＋ｚ２）锄，厶＝Ｌ４，ｔｍ＝Ｌ（ｘ２＋ｚ２）咖，乞＝Ｉ ｒ：＇ｔｍ＝￡（ｘ２＋Ｙ２）咖（３．８）由于转动惯量是质量ｄｍ再乘以距离的平方的和，而质量总为正，由此可以看出 转动惯量总为Ｊ下值。质量微元的惯性积定义为质量微元与其到一系列两个正交平面的垂直距离的乘积。如图所３．１所示，ｘ为质量微元到Ｙ―ｚ平面的距离；Ｙ为质量微元到 工一ｚ平面的距离，ｚ为质量微元到ｘ―Ｙ平面的距离。则质量微元ｄｍ的惯性积：玑＝ｄｌ，，＝ｘｙｄｍ２５（３．９）第３章双足机器人动力学模型与刚体的转动惯量类似，通过对整个刚体质量进行积分，可以得到刚体对 各个平面的惯性积为：Ｌ ２厶２Ｊ ｗａ ｎ，乇２岛。Ｊｍｙｚｄｍ，Ｌ＝乞。Ｊ，ｌ汜咖（３．１０）惯性积可以为正、为负或为零，其符号取决于两个相互独立的坐标轴的符号。特别的，若任意一个或两个正交平面为质量的对称面，质量微元在对称面两端成对出现，在平面的一端质量微元的惯性积为正，在平面的另一端对应质 量微元的惯性积为负，此时相对于这些平面的惯性积为零。 当得到一个刚体的转动惯量与惯性积以后，其惯性属性就可以用九个项完 全表示出来，这些项可以写成：』＝鞋善］Ｉ，２（３．１１）一个刚体相对于对于质量分布均匀的刚体，可以以其质心为原点Ｄ，确定坐标轴的方向时， 可以使刚体对坐标轴的惯性积为零，这样就将惯性张量“对角线化”，表示为：Ｌ０００ ０Ｉ１００【．０此时刚体的姿态被称为基准姿态。Ｉ（３．１２）Ｌｊ当刚体从基准姿态通过旋转矩阵尺实现转动，达到某一姿念时，刚体的惯 性张量可以由基准姿态下的惯性张量厂求得：Ｉ：廊７３．３．２机器人各部分的惯性张量（３．１３）与２．４．１节类似，可以在双足机器人的各部分的质心建立局部坐标系，坐标轴的方向与２．４．１节中各局部坐标系的方向一致。通过双足机器人的正运动学模 型，即可确定各局部坐标系相对于基础坐标系的旋转矩阵Ｄ冠。 因为机器人各杆件的质量是均匀分布的，各杆件关于其局部坐标系的坐标 轴对称，故各杆件在其局部坐标系中是处于基准姿态。根据式（３．１２），可以很容 易的求得各杆件在其局部坐标系中的惯性张量‘。此时根据式（３．１３），即可得到 各杆件在基础坐标系中的惯性张量‘＝ＤＲＺ Ｄ硝２６（３．１４）第３章双足机器人动力学模型因为建立双足机器人的正运动模型时，运算量比较大，求各局部坐标系相 对于基础坐标系的旋转矩阵比较复杂，因此我们对双足机器人的模型做了一些简化，并对机器人的运动做了～些约束，根据机器人的腿、躯干和脚的运动情况，分别计算其惯性张量。因为机器人腿部的宽度相对于长度来说比较小，所以可以将大腿与小腿假设为只有长度，且质量分布均匀的连杆，其质心在连杆的中心位置。设连杆的质量为ｍ，长度为，，以连杆质心为原点建立坐标系０系，其坐标轴的方向可以任选。此时假设连杆的一个端点的坐标为Ｐｌ＝【口ｂ ｃｒ，则另一个端点的坐标为Ｐ２＝［一口一ｂ―ｃ】７’，同时４（口２＋６２＋ｃ２）＝，２。根据式（３．８），可以求出此时连杆相对于Ｏ系的转动惯量为：Ｌ＝炒存）ｄｍ＝蔗（，－２番号卜弘＋ｃ２）Ｌ＝￡（＾ｚ２）咖＝詈（口２＋ｃ２）（３．１５）ｔ＝￡（Ｘ２ ４－ｙ２）咖＝詈（口２＋６２）根据式（３．１０），求得连杆在０系中的惯性积为：岛＝厶＝￡矽锄＝￡（工?鲁?ｘ?云）出＝了ａｂｍｔ＝Ｌ＝￡ｙｚｄｍ＝ＴｂｅｒｎＪ。：，，。：ｆｘｚｄｍ：―ａｃ―ｒｅ 因此，连杆相对于０系的惯件张量为： （３．１６），＝髓卦绕ｚ轴旋转，如图３．２所示：詈（ｎｃ２）一了ａｂｍａｂｍ ３口Ｃ聊 ３ ｂｅｒｎ ３弘卅３、（３．１７）ａ册２３一Ｔｂｃｍ丝３（口２＋６２），对于双足机器人的躯干，可以简化为一个质量分布均匀的平板。假设其质 量为ｍ，在竖直方向上长度为厶，在侧方向上长度为厶，厚度为零。为了简化躯干的转动惯量的计算，我们对躯干的运动做了一些假设，让躯干在机器人的运动过程中保持竖直向上，同时髋关节的连线与地面平行。以躯干的中心为原点建立坐标系Ｄ系，其ｚ轴与躯干的平面垂直，ｚ轴与地面垂直，则躯干只能２７第３章双足机器人动力学模型烈Ｃ／。一口０／．≯》．杉口Ｌ≯６／’／．／。 ‘因此躯干的四个顶点的坐标分别为Ｐ。＝卜口一ｂ―ｃ】ｒ， Ｐ２＝【一口－６ ｃｒ，岛＝【口ｂ ｃ】ｒ，Ｐ４＝【口ｂ―ｃ】ｒ，其中２ｃ＝‘，４（口２＋６２）＝譬。根据式（３．８）和式（３．１０）进行计算，得到：Ｌ＝ｊ：Ｉ（ｙ２＋ｚ２）ｄｍ＝￡￡（ｙ２＋７２）老批＝詈（６２＋ｃ２、． ｏ＝￡（ｘ２＋ｚ２）咖＝￡￡（ｘ２＋ｚ２）去出出＝３（ａ２＋ｃ２）。（３．１８）匕＝￡（ｘ２＋ｙ２）ｄｍ＝￡【ｘ２＋（鲁ｘ）２】主三出＝詈（口２＋６２）‘＝厶＝Ｌ砂砒＝￡（ｚ?鲁ｘ）云出＝字因为躯干竖直向上，所以关于ｘ―Ｙ平面对称，因此Ｌ＝ｔ＝０根据式（３．１８）、（３．１９）和（３．２０），得到躯干的惯性张量矩阵：ａｂｍ（３．，９） （３．２０），＝匪－－ｌ：ｘ卦了ｍ（６２＋ｃ２）ａｂｍ ３ Ｏ０ ３３（ａ２＋ｃ２）ＯＯ（３．２１）詈（口２＋６２）对于双足机器人的脚来说，因为要支撑机器人的运动，所以也可以简化为一个质量分布均匀的平板。设脚的质量为ｍ，长为ｆ３（沿ｘ轴方向），宽为ｆ４（沿 Ｙ轴方向）。如果在机器人的行走过程中，脚始终与基础坐标系的坐标轴保持平行，那么脚关于工一Ｙ、ｘ―ｚ、ｙ―ｚ平面对称，其惯性积都为零。则２８第３章双足机器人动力学模型ＬＪＩ２ｙ＋Ｚ锄、Ｉ，、Ｉ－，ｌＩ０Ｉｌ￡￡２工＋Ｚ锄ＩＩｍ一●现一● 层一２最一２（３．２２）上＝￡（冉ｙ２）锄＝三（量＋层）Ｉ蟹＝Ｉｃ＝Ｉ牲＝ｏ（３．２３）因此得到脚的惯性张量矩阵为：丝ｏ，＝Ｉ一０ｏ『Ｌ ―Ｌ―Ｌ］ｏ ―ｔ１２０Ｉ：一Ｉ孑Ｉ：＼ｌ＝ ｏ堕 １２ｏ ｏｏ（３．２４）最（置＋层）通过式（３．１７）、（３．２１）和（３．２４），可以直接计算得到机器人的腿、躯干和脚的惯性张量，避免了建立Ｊ下运动学模型、求旋转矩阵的复杂过程。３．４双足机器人的动力学模型双足机器人步行运动的一个步行周期一般包括单腿支撑期和双腿支撑期两 个阶段。单腿支撑期间，可以根据开链机器人动力学，建立相应的动力学方程； 双腿支撑期间，机器人是一个闭链的结构，此时可将一只脚看作是支撑脚，另 一只脚所受的地面反力作为外力，这样机器人的闭链结构就可以看作是末端受 外力作用的单腿支撑的开链结构。因此，可以只对机器人建立统一的开链结构 动力学模型。 机器人的动力学建模也可以分为两个基本问题，其中『Ｆ动力学问题研究机 器人的各连杆在关节力矩作用下的动态响应，给定机器人在某一时刻施加的关 节力矩，和该瞬时关节的角度和角加速度，求此时的关节的角加速度；而逆动力学问题是研究在已知机器人运动状态时确定各关节驱动力矩的问题，已知某 一时刻机器人的关节的角度、角速度和角加速度，求此时关节的驱动力矩。机械系统的动力学方程有许多方法。但各种方法所建立的方程都是等价的，只是方程形式不同，从而在计算或分析方面存在差异。本章采用拉格朗同方程束建立双足机器人的『Ｆ动力学模型，可以得到用～个公式表示的机器人动力学 方程，来完整的体现双足机器人的动力学特性，因此建立的动力学模型在对双 足机器人进行分析与控制中比较方便。但因为得到的微分方程组往往比较复杂，２９第３章双足机器人动力学模型为了能方便的得到双足机器人的动力学模型，在此只考虑五连杆的平面机器人， 没有足部，只具有俯仰方向的自由度。 在建立逆动力学模型时，采用牛顿．欧拉方程，它是进行递推运算的，建立 方程比较容易，可以逐步得到机器人各连杆的动力学特性，每次的运算量都比较小，而且适合编程运算，因此虽然用它来进行理论分析不如用拉格朗日方程导出的封闭形式的机器人模型方便，但是避免了拉格朗日方程中大矩阵的推导 与运算，适合对机器人的实时步态规划与控制中。为了便于进行动力学仿真，我们考虑的是七连杆１０自由度的双足机器人的模型，即在滚转与俯仰方向上有 自由度，但无偏航方向上的运动。３．４．１拉格朗日方程采用拉格朗同方程来推导动力学公式，也即依据机械系统的能量来建立运 动方程，它用广义坐标来表示受理想约束的力学系统的运动微分方程，是推导 系统动力学方程最基本的途径之一（霍伟，２００５）。对于由Ⅳ个质点组成的具有ｎ自由度的机械系统，设各自由度为ｑｌｇ：，…ｑ。，以此为广义坐标，则系统中的某个质点ｉ在坐标系中的位置可以表示为：‘＝Ｉ【ｑｌ，９２，…ｑ。）ｉ＝１，…Ｎ由牛顿第二定律知，对机械系统中的每个质点ｉ均有（３．２５）ｍｉａｆ＝Ｃ＋Ｍ，ｉ＝ｌ，…，Ｎ（３．２６）式中ｍｉ，口，分别为质点ｉ的质量和加速度，巧，Ｍ分别为作用于质点ｉ的主动力和约束反力，因此将机械系统的质点进行累加，得到：和噜＝喜（巧＋Ｍ唔一ｂ一，刀当约束为理想约束时，有兰ｉ＝Ｊ Ｍ矗ｉａｑｊ＝。，式（３．２７）的右边化简为：Ｂ２７，喜（ｆ＋Ｍ唔＝羔ｉ＝ｌ Ｆ矗ａｑｊ口ｇ川，…力其中Ｑ，是对应于自由度ｑ，的力（或力矩）。而式（３．２７）的左边可以写成：（３．２８）３０第！童翌星塑墨△垫垄堂堡型 一一――――――――――――――――――――――――一一＊唔＝鲥７吖ｉｔ７刚；）№Ｊ一８２９，ａｑ：制瓤镑）一蚓别 ＝纠＊刳一噎１ ：喜％［丢（圭苦ｔ毒哦，）一乏１ Ａ凹，（ｔ哦，］：旦击陡峭）－者曝峭）ｊ＼ｉ＝ｌｄｔ两Ｉ厶２川’夕却，＼智 ２～‘／ＪＪ＝１，…，ｎ因Ｊ；；：咋为质点ｆ的速度，三鸭ｔ旺＝互１鸭咋叱口ｚ为质点ｆ的动能，兰丢镌ｔ赐＝羔ｌ口ｒ是整个系统的动能，故上式可写成：＊唔＝丢嚣一苦纠，…，以将式（３．２８）与（３．３０）代入式（３．２７）的两端，得到拉格朗ＦＩ ｇＦ程：ｎ３。，若定义ｇ＝ｈ…吼】ｒ，Ｑ＝【Ｑｌ…Ｑ】７，则可以将式（３?３１）１恻：一ｄｄｔ旦要一要：ｇ闩，…，刀 ｄ）１ ｔ砷？８ｑ｜一’ ３．３（ｉＯＴ一＿ＯＴ：Ｑ８矗ａ哇（３．３２）当主动力系是保守力系时，有Ｑ；一ｉＯＶ。定义拉格朗只函数￡＝丁一ｙ，因 伽势能函数仅与位置有关，此时拉格朗Ｒ方程可写为：鱼丝一丝：ｏｄｔ西却 当主动力系中只有一部分为保守力时，可将拉格朗Ｒ方程写为：（３．３３）旦丝一丝：Ｕ式中Ｕ为非保守的主动力系所对应的广义力。３ｌ（３．３４）第３章双足机器人动力学模型因此，用拉格朗日方程建立机械系统动力学方程时，只须用广义坐标将系 统的动能丁和势能ｙ表示出来，并求出非保守的主动力系的广义力，再代入式 （３．３４）计算即可。因拉格朗日方程中的广义力只是主动力系的广义力，而约束反 力不出现在方程中，这就使得用它来表示具有理想约束的系统的动力学方程十分简洁。３．４．２正动力学模型对于由Ⅳ个杆件组成的有刀个自由度的机器人来说，拉格朗日函数定义为： Ｌ（ｑ，雪）＝Ｔ―ｙ （３．３５）式中：ｑ－－［ｑ。ｑ：…吼】为机器人的关节变量；丁，ｕ分别代表机器人的动能和势能。 设机器人各连杆质心在基础坐标系中的平移速度向量为％，角速度向量为哆，质量为％，相对质心的惯性张量为‘，则杆ｉ的动能为：巧＝｛％《％＋ｉ１ ｑＴ‘ｑ江ｌ，２，…Ｎ二 二（３．３６）其中，第ｌ项为质量％平移运动的动能，第２项为杆ｉ绕其质心旋转的动能。 由于能量是可以叠加的，所以机器人的总动能为：Ⅳ１＾，丁＝∑互＝去∑（惕ｙ：％＋４１，ｑ）ｉ＝ｌ 二ｉ＝１（３．３７）与式（３．６）类似，连杆ｆ在基础坐标系中的速度与第ｉ号连杆及其之前各连杆 关节速度间的关系可表示为（丁学恭，２００６）：ｇＩ＝―． ．。 ． Ｌ ％哆 １●●●●●Ｊ―． ． ． Ｌ础螂Ｊ器 …‘，２］ ‘，２ …，２ｊ●９２●（３．３８）：●吼把式（３．３８）代入式（３．３７）中，最后可得动能的计算公式为：?ｒ＝ｉ己【％ｇ’７’ＪＬＨ’ｒＪＬ…口＋口７一’７’‘∥’口）＝专香７’Ｍｑ厶ｉ＝１ 厶ｌ１Ｎｉｖ（３．３９）式中，Ｍ＝∑Ｍ，＝Ｅ（ｍｉＪ：ｉ’７以’＋∥’７‘，？’）它为咒×刀阶的系统的惯性矩阵。（３．４０）机器人的总势能为：矿＝∑ｍｉｇ ７’Ｐｄ（３．４１）３２第３章双足机器人动力学模型点到杆ｉ质心的向量。 广义力为：Ｕ＝“＋Ｆ （３．４２）其中，Ｕ和Ｆ分别表示关节力向量和机器人末端与环境的接触力向量。将式（３．３９）、（３．４１））９１（３．４２）代入拉格朗日：Ｄ－Ｎ（３．３４），可得到机器人的动力学方程。首先将动能代入方程的首项：因为Ｍｒ＝Ｍ，是对称矩阵，所以Ｍｏ＝Ｍ“，奄：ｒ毒ｒ埘＝兰喜喜坞鹏将其代入拉格朗同方程中，得到：７埘．ｐ刀．Ｉ＝７，Ⅵ口Ｂ４３）瓦ａＬ＝可Ｏ（Ｔ－Ｖ）＝瓦ＯＴ一面ＯＶ＝杀（三２香ｒ埘）一矗（善％ｇ７’几）＝喜％圣，ｃ３．４４） 一＝一＝…＝一ｌ一日，Ｗ口ｌ一一ｌ既 篦 两，西，篦Ｌ。 。夕篦＼智一“‘／智＂¨～７●’４‘Ｉｌ丢㈡＝丢ｃ喜％，＝主ｊ＝。倒ｄｔ＝执ｊ＝ｌ妒嘉警¨３筋，吼 ―ｄＭ―ｏ．＝ｆ捌Ｏ叼Ｍｉ。Ｆ Ｍ勉智勉“ ｔｄ捌叼Ｉ ｄｑｋ－－智Ｄ ．ｏ ｄｔ Ｏ（３．４６）、 ７因为Ｍ驴是ｑｉ（扛１，２，…，，ｚ）的函数，所以坞关于时ｆＢＪ的求导为：将式（３．４６）代入（３．４５），得到旦ｄｔ㈦ｔ，ａ４，）＝私矿喜警铲执ｊ＝ｌ酊＋喜喜挚口，（３．４７，对拉格朗同方程的第二项计算，得到：瓦ＯＬ＿Ｏ（Ｔ钆－Ｖ）＝电ＯＴ?一鼍２杀（圭喜喜肘且香鹿）一杀（芸哆ｇ ７’乃）限４８， １。”）８ｑｉ悔严ｑ）ｆ，… 一 ＝三喜喜等魄一渺ｒ瓦Ｏｐ＜ｓ．ａｑｉＭ ?一一＝一Ｉ一 ａｑｉ 两？８ｑｉ ａｑｉＵ葛总ｐ７ ７．打口．１一～Ｉ７ｍｐ，）．１将式（３．４７）；ｔ和１（３．４８）代入拉格朗同方程（３．３４），得到：私妒烈警一ｊ１ ０Ｍｓ‘）咖砖聊∥鲁＝ｕ 令烈警一ｊ１ ０Ｍｓ，）撕，玎％鼽Ｇ＝警ｊ２鼍ｌＢ４９，８口８口：”…Ｊ （３．５。）３３第３章双足机器人动力学模型则式（３．４９）化简为：私州锄＋姜竹ｇｒ鲁＝∽则可以将式（３．５０写成矩阵形式：Ｍ（ｇ）牙＋Ｃ（ｑ，ｑ）ｑ＋Ｇ（ｇ）＝Ｕ Ｇ（ｇ）是重力项。（３．５?）（３．５２）其中Ｍ（ｑ）是机器人总的惯性矩阵；Ｃ（ｑ，ｑ）包含机器人系统的离心力与哥氏力；ｌ口ｒ ｃｌ Ｉ Ｃ（ｑ，ｇ）＝ｌ；Ｉ（３．５３）旧ｅ ｌＧ（ｇ）＝［以…圪］［，，ｚ。ｇ ７’…ｍ６９７］７（３．５４）对于图３．３所示的五连杆平面点足机器人来说，包括一个躯干，两个大腿， 两个小腿，每个部分都假设为连杆，只有长度，没有宽度和厚度。因为支撑腿 末端是点足，所以无驱动，但有一个俯仰自由度；膝关节、髋关节的运动只在 俯仰方向上有驱动，无滚转和偏航的角度。为了保证双足机器人的运动，支撑 腿的末端与地面接触，无弹起或滑动的情况。后 图３．３前五连杆平面双足机器人模型因为平面机器人只有前向运动，所以左右腿支撑时的动力学模型是一致的。 对于双腿支撑期，可以看作末端受外力作用的单腿支撑期，只需对式（３．４２）进行修改即可。设机器人的小腿长度为‘，大腿长度为，２，躯干长度为ｆ３；小腿质量为聊。，大腿质量为聊：，躯干质量为鸭。ｑｉ（待ｌ，…５）分别表示支撑小腿、支撑大腿、第３章双足机器人动力学模型 躯干、摆动大腿、摆动小腿在基础坐标系中的角度，其方向如图３．３中所示。以支撑腿末端与地面接触的点为原点，以前进方向为ｘ方向，竖直向上的 方向为ｚ方向建立平面基础坐标系０系。以０系原点建立与支撑小腿固连的局部坐标系４系，以支撑腿膝关节中心为原点建立与支撑大腿固连的坐标系蜀系，以支撑腿髋关节中心为原点建立与躯干固连的坐标系ｃｌ系，以摆动腿髋关节中心为原点建立与摆动大腿固连的坐标系Ｃ２系，以摆动腿膝中心为原点建立 与摆动小腿固连的坐标系易系。与２．４．１节类似，可以得到各杆件关于基础坐标系的齐次变换矩阵为：‰＝ｌ＿ｓｉｎｑｌｆ－ＣＯｓｑｔ ｓｉｎｑ―０１ ｃｏｓｑｌ ０ｌ０ ０ １Ｉｌ耻ＣＯＳｑ≮ｓｉｎｑ吼２剥『ｃｏｓｑ３葫ｆｌ ｓｉｎｑ３厶ｓｉｎｑｌ＋厶ｓｉｎｑ２１２ｌ一８ｉｏｎ９３ ｃ００ｓ９３厶ｃｏｓｇｌ＋１乞ｃｏｓ９２ｊｊ ｌ２昴ｃ２ｆ ｃｏｓｑ４ Ｉ－ｓｉｎｑ４【－０ｓｉｎｑ４厶ｓｉｎｑｌ＋／ｎ０ １ＣＯＳｑ４厶ｃｏｓｑｊ＋乞ｃｏｓｑ２ｓｉｎｑ２］ Ｉｊｆ ｃｏｓｑ５ ｓｉｎｑ５厶ｓｉｎｑＩ＋厶（ｓｉｎｑ２一ｓｉｎｑ４）１ 爵如－－Ｉ―ｓｉｎｑ５ ｃｏｓｑ５厶ｃｏｓｑｌ＋厶（ｃｏｓｑ２一ｃｏｓｑ４）ｌ１０ ０ １Ｉｑ＝［半孕了 ｓｉｎｑｌ－Ｉ一半／ｎ ｃ２ｓｑ２．］７ ｓｉｎｑ，＋酬ｎ吼＋半枷ｇｌ＋岛删：＋丁－３ Ｃｏｓｑ３］ｒ乞＝／＿ｑ ｃｏｓｑｊ斗Ｌ２ ｃ３＝Ｌｌ ｑ＝Ｌｔ（３．５５）ｓｉｎｑｌ＋Ｌｚ（ｓｉｎ旷丁ｓｉｎｑ４）ｃｏｓｑ，＋Ｌ：（ｃｏｓ纩半）丁３５岛：Ｍ妯”挚］＋Ｌｚ（ｓｉｎｑ２－ｓｉｎｑ４）厶ｆｃ啷一半卜（ｃｏｓｑ２－ｃｏｓｑ４）丁第３章双足机器人动力学模型以ｑ＝（ｇｌ，…ｑ，）作为广义坐标，则各连杆在基础坐标系中的姿态可表示为：只＝ｈ订＝网ｉ＝１，２，－－－５ｎ５６，磋㈤；；；］以：Ｉ（３．５７）Ｉ２／１ｃｏｓｑ，，。一／＿々厶ｃｓｏｉｓｎｑ吼２。００。（３．５８）以：吾Ｉ［一２２Ｌ厶Ｉ ｃｓｏｉｓｎｑｇ，。―２２Ｌ厶２ ｃｓｏｉｓｎｑ９２：一Ｌ厶３Ｓｃｓｏｉｓｎｑ９３，（３．５９）２厶ｃｏｓｑ２吼ｇ０一厶ｃｏｓｑ４ ０厶ｓｉｎｑ４０ １０ ０ ０ｌ弛吼１―２ ―． 。． ， 。―． ，＿一ｎ一２厶ｓｉｎ ｑ２０ｆｌ（３．６０）∞汪Ｏ ２厶ｃｏｓｑ２０１ｌ２厶ｃｏｓｑｌ０ｏ一２厶ｃｏｓｑ４一厶ｃｏｓｑ５０ ０Ｉ以＝吉ｌ一２厶ｓｉｎ。ｌｇｌ一２厶ｓｉｎ口２２厶ｓｉｎ９４０厶ｓｉｎｑ５１Ｉ（３．６１）ｌ因为各个连杆仅在平面上旋转，因此只需要确定连杆的转动惯量即可。根 据式（３．８），可得到各连杆绕其质心的转动惯量１＝ｍ１２／１２。 得到各连杆的雅克比矩阵和转动惯量以后，根据式（３．４０），可以计算各连杆 的惯性矩阵为：１ ０ Ｏ Ｏ ０ ０ ０ Ｏ ０ Ｏ ０ ０ Ｏ ０ Ｏ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ即争６厶２ ３厶厶ｃｏｓ（ｑＩ―ｑ２）０ Ｏ ０３厶厶ｃｏｓ（ｑＩ―ｑ２）０ ２厶２０ Ｏ Ｏ ０ ０ ０ ＯＭ，：堕。６ ０ Ｏ０３６第３章双足机器人动力学模型Ｍ，：堡。６ｋ：６＆黔２【－。０６厶乞ｅｏｓ（ｑＩ―９２） ６厶２ｑ，２，）３ｚ，ＩＪｈｅｏｓ（ｑｌ―ｑ３）００ ０ ０３厶厶ｃｏｓ（ｑ２一ｑ３）０ ２厶２０ 。０ ０―３Ｌ，／．２ ０ｌ ｌ３厶厶ｅｏｓ（ｑ２一９３）０ Ｏｌ１。０。０ｊＯ ０６厶２６厶厶ｅｏｓ（ｑｌ―９２） ６厶２０ －３／．２２ｃｏｓ（ｑｌ―ｑ４）００ ００―３厶２ ｃｏｓ（ｑ２一９４）０Ｏ ０鸠＝詈６厶２ ６厶岛ｃｏｓ（吼一吼） ６厶厶ｃｏｓ（ｑｌ―ｇ，）６Ｌ，２ ０ｃｏｓ（ｑ２一吼）０２厶２０南厶厶ｅｏｓ（ｑＩ―ｑ４） ０巧如：ｃｏｓ（ｑ，一ｑ４）Ｏ ０ ０ ０ ６Ｌ，２－－３／１２ｃｏｓ（ｑｌ－ｑ５）０一３厶厶ｃｏｓ（ｑ２一９５） ３厶厶ｃｏｓ（ｑ４一９５）２厶２鸭＝孚ＯＯ“厶厶ｃｏｓ（ｑＩ―ｑ４） 一３厶２ ｃｏｓ（ｑｌ－ｑ５）＿６厶２ ｃｏｓ（ｑ２一９４） ＿３厶岛ｃｏｓ（ｑ２一９５）３厶厶ｃｏｓ（ｑ，一吼）根据惯性矩阵的累加性，可以得到双足机器人的总惯性矩阵为：矾等＋弛铂）Ｌ，ＬＡ辑＋Ｔ３ｍ２＋鸭ｋ圭厶厶删而．，一ｗ”警ｈ一三铂ｃＩ－， 厶２（％＋等＋鸭）圭厶厶慨ｃ２一，一厶２（惕＋等）％．一三厶厶肌，ｃ２．，Ｍ＝厶２ｍ，３Ｏ １Ｏ（３．６２）厶２（％＋要） ∥ｒ７ｉ厶岛朋一ｑ一，厶２ｍＩ３因为惯性矩阵是对称阵，因此式（３．６２）中只列出了总惯性矩阵的上三角矩阵。 根据式（３．５０），可以得到：０厶（２，，ｌｌ＋３鸭＋２鸭）而一２ ２厶（２嘲＋３―１２＋２ｍ３）ｓｌ＿２０ ０ ０厶鸭而寸―三２（２Ｍ＋鸭）５卜４０ ０ ０一厶码函一５０ ０ ０一厶（２玛＋３，，１２＋２ｍ３）ｓＩ－２ｃｌ＝鲁一厶鸭ｓＩ－３ 三２（２，强＋―吃）而．４ 厶，’ｌｌ而－５２ｚ，（２，，ｌｌ＋３，，毛＋２，吩）墨－２２厶％而一３０ ０ 。―２Ｌ２（２ｍ‘Ｉ＋，，％）■一４０ Ｏ―２厶啊＿一５Ｏ?厶（２■＋３鸭＋２ｍ３）ｓＩ一２Ｏ厶（２玛＋３，，毛＋２鸭）＾－２ｃ：一生‘Ｏ ０ ０４厶鸭是．３却心哗舰ｏｏ厶（２，码＋，鸭）岛一 ％波Ｏ厶铂ｓ¨０ ０鸣（轨＋他）是．．’－厶，＇ｌＩ是一５２厶（２啊＋鸭）毛－４Ｏ２厶嘲是一ｓ３７第３章双足机器人动力学模型２厶ｓｉｎ（ｑＩ―ｑ３）Ｏ一厶ｓｉｎ（ｑｌ―９３）０００ ０ ０ ０ ｏ ｏ ｏ，Ｃ３＝＿４ｑｍ，厶ｓｉｎ（ｑｌ―ｑ３）Ｏ Ｏ驰Ⅷ幽咖一２一一厶ｓｉｎ（ｑ２一ｑ３）０ 哩吼Ｊ，Ｏ Ｏ Ｏ ０ ０ ０２厶（２ｒｎｔ＋ｍ２）ｓＩ一．０，ｏ２彳厶０一撕Ｏ０一Ｌｚ（２ｍｉ＋ｍ２）ｓｌ一．７ 能．抄‰ ｈＨ０一厶（２ｍｌ＋，％）岛一．Ｏ Ｏ ０ Ｏ ０Ｌａ（２ｍＩ＋聊２）ｓＩ一４０椭 。麓。。。≯≯ 矾， ２ｏ一厶，，ｌＩｓ４―５０ ０ ｏ厶牡 №邮¨１２厶ｓｉｎ（ｑＩ―ｑ５）００ ０ ｏ ０―２／．２一厶ｓｉｎ（ｑｌ―ｑ５）ｌ２