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随机微分方程引论（第二版
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随机微分方程引论（第二版 内容简介
本书着重介绍随机微分方程的强解、弱解及其与扩散和带跳跃的马氏过程间的联系。第一章讨论Brown运动的随机积分。第二章介绍了随机过程的一般理论的梗概。着重于随机过程的对偶投影理论。第三章与第四章讨论了连续半鞅的随机微分方程的强解。Ito方程的弱解，马氏型Ito方程弱解的存在唯一性条件及其与扩散过程的联系。第五章讨论一维情形，着重论述边界点的分类、常返性与保守性。第六章介绍带边界的随机微分方程与扩散，Fichera边界分类。第七章给出了一般半鞅的分解及Ito公式，拟左连续的O有限点过程的积分。还讨论了带有平稳点过程的典型情形。本书*后还有一个关于连续鞅与Brown运动构造及凸函数的广义导数的简短附录。
随机微分方程引论（第二版 本书目录
第一章 Brown运动的随机积分
1.1 有关Brown运动的某些性质
1.2 Ito积分的可积函数
1.3 平方可积鞅与局部平方可积鞅
1.4 对Brown运动的Ito积分
1.5 Ito积分的例子
1.6 关于无穷限情形的注记
1.7 Ito过程与Ito积分的链法则――Ito公式
1.8 指数上鞅与指数鞅
1.9 随机积分的内蕴时间
1.10 Brown运动的平衡与Girsanov变换
1.11 Brown参考族及有关于它的局部鞅
习题第二章 鞅与鞅的随机积分
2.1 严格事前代数及可料时
2.2 截口定理
2.3 过程的投影理论与（DL）类下鞅的Doob-Meyer分解
2.4 局部平方可积鞅的特征与随机积分
2.5 局部平方可积鞅的分解
2.6 半鞅及对半鞅的随机积分
2.7 连续半鞅的Ito公式与随机微积分计算
2.8 连续半鞅的局部时
2.9 Brown局部时的Engelbert-Schmidt零一律
习题第三章 随机微分方程的一般概念
3.1 连续半鞅 的随机微分方程
3.2 简单的例子
3.3 Brown运动的随机微分方程，弱解与分布唯一性
3.4 弱解与鞅问题
3.5 Prohorov-Skorohod方法
3.6 （弱）解的存在性
3.7 含×函数的Ito过程与Ito公式
习题第四章 齐次马氏型随机微分方程
4.1 解的存在性与分布惟一性
4.2 有限时间可能爆炸的解
4.3 随机微分方程的解和扩散过程
4.4 扩散族的弱收敛第五章 一维随机微分方程与一维扩散第六章 具有边界的随机微分方程第七章 对半鞅的积分和含点过程的随机微分方程附录一般记号特殊记号首次出现的章节名词索引参考文献
随机微分方程引论（第二版
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目录概念简介伊藤积分对平方可积鞅的随机积分斯特拉托诺维奇积分其他类型的随机积分随机微分方程参考书目 bk.view.catalog.start();nslog.set("catalogshow",1);概念简介　　随机分析（Stochastic Analysis）主要研究现代随机积分和随机微分方程。现代鞅论是随机积分的基础，它的内容主要的有测度论的条件期望、连续时间鞅、停时过程、可选过程、可料过程、测度的投影、截口定理、半鞅的Doob-Meyer分解、可变变差鞅、平方可积鞅、局部鞅等。然后从可料过程对L2鞅的随机积分开始，逐步深入到对一般适应过程的随机积分。Ito引理、Ito公式、Girsanov定理、Brown局部鞅的随机积分表示、半鞅局部时是随机分析的重要工具。其中，Girsanov定理给出的测度数变换在现代数理金融学中有重要的意义。随机微分方程的强解和弱解问题、解一类随机微分方程等也是随机分析的主要内容。伊藤积分　　这是对布朗运动定义的一种随机积分。布朗运动的样本函数虽然连续，但几乎所有的样本函数非有界变差，甚至处处不可微，因而无法按样本函数来定义通常的黎曼－斯蒂尔杰斯积分（简称RS积分）或勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称LS积分）。一般来说,RS积分定义中的达布和不会以概率1收敛到一定的极限,但在适当的条件下，达布和的均方极限存在。伊藤清正是利用这一性质定义了对布朗运动的随机积分。设（公式1）t∈R+= 【0,∞)}是一族上升的子σ域,布朗运动W＝{W(t),t∈R+} 是鞅。如果样本连续的有界随机过程φ＝{φ(t),t∈R+}是适应的，那么当有限区间【α,b】嶅R+的分割随机积分 的直径（公式2）趋于零时，达布和 （公式3）的均方极限存在，记作随机积分,它称为φ在区间【α,b】上对W 的伊藤积分。值得注意的是,在达布和的构造中,被积过程在【tk-1,tk】上的取值点不是随意一点,而只能是它的左端点 tk-1。这是一个严格的限制。完全不加限制时其极限不存在，如作其他的限制，则可能得到另外的极限，从而定义出另外的积分，但最有用的是这种限制。伊藤积分最重要的性质是著名的伊藤公式:设F是二次连续可微的实函数，则这一公式及其各种推广在理论上和应用上都有重要的作用。例如，可以用来证明关于布朗运动的鞅刻画的莱维定理：一个从零出发的样本连续过程W={W(t),t∈R+} 为布朗运动的充要条件,是W 和{W 2(t)-t,t∈R+} 都为鞅。对平方可积鞅的随机积分　　使E（公式5）的鞅x＝{x(t),t∈R+} 称为平方可积鞅，其中x(∞)是当t→∞时，x(t)以概率1 收敛的极限。对一个平方可积鞅x, -x2是类(D)上鞅，因此根据上鞅分解定理,x 2可唯一地表成一致可积鞅M和可料增过程A 之和, X 2(t)＝M(t)+A(t)。由此，对任何样本连续的有界适应过程 φ，当［α，b)］的分割的直径δ(墹)趋于零时，达布和随机积分的均方极限存在,这个极限就称为φ 在【α,b)】上对x的（公式6）。这种积分也有相应的伊藤公式：对二次连续可微的函数F，（公式7） 　　右边最后一项是按轨道的LS积分,可料增过程A的轨道是右连续增函数。这种随机积分还可以进一步推广到对局部鞅以至半鞅的积分。斯特拉托诺维奇积分　　在伊藤积分定义的达布和中，如果用在小区间【tk-1,tk】中点的被积过程值φ(或者等价地， 用在两个区间端点的过程值的算术平均代替左端点的过程值φ(tk-1)，则均方极限也存在,但此极限与伊藤积分不相同,它定义了用斯特拉托诺维奇命名的另一种积分，记作（公式8）这种积分的一个优点是，对一个三次连续可微的函数F，（公式9） 　　它保持了普通微积分中牛顿-莱布尼茨公式的形式。其他类型的随机积分　　常见的还有均方（公式10）和对正交增量过程的积分。对一个均方连续的随机过程x，即对一切t0∈R+满足随机积分的x，达布和的均方极限存在，它定义了x在区间【α,b)】上的均方,记作其中是【α,b】的分割，sk可在【tk-1,tk】上任取,均方极限是在δ(墹) 趋于零的条件下取的。设Z 是一个正交增量过程,即对一切那么对任一［α，b］上的连续函数ƒ，达布和的均方极限定义了ƒ在［α,b］上对Z的积分，记作。这种对正交增量过程积分的最重要的应用是宽平稳过程的谱表示（见平稳过程）。随机微分方程　　形如方程称为伊藤方程,其中α(s,x)、σ(s,x) 是一次连续可微的二元函数,W是布朗运动,X是待求的半鞅。由于形式上还可以将方程改写为 dx（t）＝α(t,x(t))dt+σ(t,x(t))dW(t) 这种微分表示,习惯上常称为(伊藤)随机微分方程。理论上对它已有很多研究，解的存在唯一性问题已经解决,并且有各种形式的推广,如用半鞅代替布朗运动等。但能把解明确表达出来的还只有少数简单的特例，如对x(0)=1,α(s,x)呏0，σ(s,x) 呏x,方程（公式11）有唯一解（公式12）它是一个样本连续鞅。 　　此外，对于均值函数为零的实二阶过程x(见随机过程),可定义其各阶均方导数。若x的协方差函数 Г(s,t)＝Ex(s)x(t) 二次连续可微，则差商【x(t+Δt)-x(t)】/Δt当 Δt→0 时的均方极限总存在，它定义了x的一阶均方导数随机积分。一般地，若 Г(s,t)2n次连续可微，则x的n阶均方导数存在。联系着一个二阶过程x及其各阶均方导数之间的方程，如（公式13）等，称为均方随机微分方程。求解它，就是要找出满足该关系式的二阶过程x。例如（公式14）在初值x(0)=ξ下的唯一解是（公式15）其中α是实常数，ξ为已知的随机变量，Y为已知的均方连续随机过程，而积分是均方随机积分。
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