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＞＞＞如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，于，延长AE..
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，于，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示.（1）求证：AE⊥平面BCD；（2）求二面角A–DC–B的余弦值．（3）在线段上是否存在点使得平面？若存在,请指明点的位置；若不存在，请说明理由.
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）详见解析，（2），（3）试题分析：（1）已知条件为面面垂直，，因此可利用定理转化为线面垂直.折叠前后皆有而平面，为两平面的交线，由平面ABD平面BCD，可得AE⊥平面BCD.（2）求二面角，有两个方法，一是做出二面角的平面角，二是利用空间向量.本题由于有AE⊥平面BCD，可利用三垂线定理及其逆定理做出二面角的平面角，即过点E作EM垂直CD于M，连AM，则AM垂直CD，所以为二面角的平面角.利用空间向量求二面角，关键求出面的法向量，由于平面可知平面DCB的法向量为.平面的法向量可列方程组求出，再利用向量的数量积求出其夹角的余弦值.（3）探索点，从线面平行性质定理出发，利用平面得EM平行过EM平面与平面的交线.由于过EM平面的任意性，难以确定M位置.本题利用空间向量解决就比较简单，设，利用法向量与平面内任一直线垂直，可解出，从而确定M位置.试题解析：（1）因为平面平面，交线为，又在中，于，平面所以平面.&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3分（2）由（1）结论平面可得.由题意可知，又.如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 4分不妨设，则.由图1条件计算得，，，则&&&5分.由平面可知平面DCB的法向量为.&&&&&&&&&&&&&&&&&6分设平面的法向量为，则即令，则，所以.&&&&&&&&&&&&&&&&& 8分平面DCB的法向量为所以，所以二面角的余弦值为&&&&&&&&&&&&&& 9分（3）设，其中.由于，所以，其中&&&&&&&&&&&& 10分所以&&&&&&&&&&&& 11分由，即&&&&&&&&&&&& -12分解得.&&&&&&&&&&&&&&13分所以在线段上存在点使，且.&&&&&&14分
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据魔方格专家权威分析，试题“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，于，延长AE..”主要考查你对&&空间向量的定义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
空间向量的定义
空间向量的定义：
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
空间向量的坐标表示：
如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。&空间向量的理解：
（1）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
发现相似题
与“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，于，延长AE..”考查相似的试题有：
394690791720887690812085872647875240如图，已知：AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=BE，AE=BD，求证：△CDE是等腰直角三角形．
证明：∵AC⊥AB，BD⊥AB∴∠CAE=∠DBE=90°
∵AC=BE，AE=BD∴△ACE≌△BED
∴CE=DE且∠ACE=∠BED
∵∠ACE+∠AEC=90°∴∠AEC+∠BED=90°
∴∠CED=90°∴△CED为等腰直角三角形
利用上题的解题思路解答下列问题：
在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P．
（1）若BD=AC，AE=CD，在下图中画出符合题意的图形，求出∠APE的度数；
（2）若AC=BD，CD=AE，则∠APE=30°．
解：（1）作EF等于且平行BD，则EP平行FD，
∴∠APE=∠ADF，
∴△ACD≌△AEF，
∴△AFD为等腰直角三角形．
∴∠APE=45°．
答：∠APE的度数为45°．
（2）解法一：如图2，
将AE平移到DF，连接BF，EF．
则四边形AEFD是平行四边形．
∴AD∥EF，AD=EF．
∵∠C=90°，
∴∠BDF=180°-∠C=90°．
∴∠C=∠BDF．
∴△ACD∽△BDF．
∴，∠1=∠2．
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．
∴BF⊥AD．
∴BF⊥EF．
∴在Rt△BEF中，．
∴∠APE=∠BEF=30°．
解法二：如图3，将CA平移到DF，
连接AF，BF，EF．
则四边形ACDF是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∠AFD=∠CAF=90°，∠1+∠2=90°．
∵在Rt△AEF中，，
在Rt△BDF中，，
∴∠3=∠1=30°．
∴∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB=90°．
∴∠AFD=∠EFB．
∴△ADF∽△EBF．
∴∠4=∠5．
∵∠APE+∠4=∠3+∠5，
∴∠APE=∠3=30°．
答：∠APE的度数为30°．
（1）作EF等于且平行BD，则EP平行FD，∠APE=∠ADF，可证AD=AF（全等），然后可得△AFD为等腰直角三角形．
所以∠APE=∠ADF=45°．&
（2）此题有2种解法，解法一：如图2，将AE平移到DF，连接BF，EF．则四边形AEFD是平行四边形，利用已知条件求证
△ACD∽△BDF．利用其对应边成比例可得 =，然后再利用在Rt△BEF中，即可求得答案．
解法二：如图3，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF．则四边形ACDF是平行四边形．根据∠C=90°，可得四边形ACDF是矩形，分别求出tan∠3和tan∠1，再利用 ，求证△ADF∽△EBF利用等量代换即可求得答案．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，_中考试题_初中数学网
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如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，
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如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，
作者：佚名
文章来源：
更新时间： 15:50:38
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．
（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；
（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．
【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴由勾股定理得：AC=4。
∵AB=5，BD=3，∴AD=8。
∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ACB=∠ADE。
∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE。
∴，即。∴DE=6，AE=10。
∴⊙O的半径为3。
过O作OQ⊥EF于Q，则∠EQO=∠ADE=90°，
∵∠QEO=∠AED，∴△EQO∽△EDA。
∴OQ=2.4，即圆心O到弦EF的距离是2.4。
（2）证明：连接EG，
∵AE=10，AC=4，∴CE=6。∴CE=DE=6。
∵DE为直径，∴∠EGD=90°。
∴EG⊥CD。
∴点G为CD的中点。
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