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第三方登录：《二重积分交换积分次序》_优秀范文十篇
范文一：第九章 二重积分复习题一、 选择题 1.设D?{(x,y)|x2?y2?4}，则二重积分??dxdy?（
）D2（A） ?
（D） 4? 3. 设区域D是单位圆x?y2?1在第一象限的部分，则二重积分??xydxdy?（
）D(A)??x21?x211?y2dx?dy
0dy?xydx(C)?12ydx??y2xydy
0dy? 2xydx4. 设圆x2?y2?a2 (a>0) 所围成区域的面积为S ，则 ? a0a2?x2dx=（
(D) 14S 5. 交换二次积分顺序后，?1?xdx?1
0f(x,y)dy=（
）1(A)?111 ?xdy?
f(x,y)dx ?1-
0dy?f(x,y)dx6.??dxdy?（
），其中D由直线y?x,y?2x,y?1所围.D(A)132(B)14(C) 1
(D)27. 设D由y?1,x?2及y?x所围成，则??f(x,y)dxdy?（
1(A) ?21dx?1f(x,y)dy
xf(x,y)dy(C)?22
0dy?2f(x,y)dx8. 设D:x2?y2?1,则??xdxdy＝（
(D) 2?9. 设区域D为1?x?2,3?y?4，积分??dxdyD(x?y)2的值为（
）(A) ln43(B) ln34(C) 0
(D) ln21y10. 二次积分?dy?yf(x,y)dx?（
））（A）（C）?1dx?xx2f(x,y)dy
（B） ?dx?1x2xf(x,y)dy?ydx?1f(x,y)dy
（D）2?1dx?y2f(x,y)dy11. 若区域D为x1?y2?1，则二重积分??f(x,y)dxdy化为累次积分为（
1dx??x2??x2f(x,y)dy f(x,y)dy（B）
（D）?1?1dx?21?x2f(x,y)dyf(x,y)dx?dx?1?x2?1?x2?1?1dy??x2??x214. 设区域Ｄ是由x轴 y轴和直线x+y=1所围成,则??2dxdy＝（
（D）4 15. 设f(x,y)连续，则??dx?2?
1sinxf(x,y)dy?(
)(A)?1dy?????arcsinyf(x,y)dx
(B)?1dy?????arcsinyf(x,y)dx f(x,y)dx）(C)?1dy???arcsinyf(x,y)dx
(D)?1dy???arcsiny16. 设区域D由2y?1,x?2和y?x围成，则??f(x,y)dxdy?（Dx
(C)?1dy?f(x,y)dx2
(D)??21dx?f(x,y)dxx
x1?21dy?f(x,y)dx21dx?f(x,y)dx18. 设D是由|x|?1,|y|?1围成的平面区域，则二重积分??xd??（
(C) 20. 设D由?D(D) 0y?x,y?0及x2?y2?1所围 ,则??d??(
248222221. 设D?{(x,y)|x?y?4}，则二重积分(x?y)dxdy?（
8? 二、填空题 1.??xedxdy =
（D由y?x、x轴和x?1所围）Dy2.?1dy?f(x,y)dx在交换积分次序后的累次积分为_____________.e 13．改变二次积分?dx?lnx 0f(x,y)dy的积分次序得.4. 设f(x,y)为连续函数，则交换二次积分?dy?2f(x,y)dx的次序为
.y115. 交换?1dx?-x
--x2f(x,y)dy的积分次序后为
.6. 设D为矩形0?x?1
，则二重积分
??3 dxdy?Dx2y2??1,则??f(x,y)dxdy化为二次积分为
7. 设D:49D9. 交换二次积分顺序后，10.?1dx?1?xf(x,y)dy=______________.?2dy?2yy2f(x,y)dx在交换积分次序后的累次积分为_____________.12. 改变二次积分13. 交换积分次序?1dx?f(x,y)dy的顺序x1?21dy?f(x,y)dx=
.y214. 变换积分顺序后，15．二次积分?1dx?1xf(x,y)dy?
.?1dx?xx2f(x,y)dy交换次序后所成的二次积分是18. 交换二次积分的次序19.?dx?11?xf(x,y)dy?_________________2，其中D由x________??dxdy?__________D?y2?1所围..20. 交换积分21. 交换?1dx?f(x,y)dy??dx?1x
2?xf(x,y)dy的次序得?1dx?1-xf(x,y)dy的积分顺序为22. 交换积分顺序后23. 交换积分?1dx?22-xf(x,y)dy?
..?2dx?2xx
xf(x,y)dy的次序得24. 二次积分三、解答题 1. 计算?1dx?f(x,y)dy交换次序后所成的二次积分是
.2x??ydxdy，其中D由y?0,y?x,x?1所围 D2.1y2y?x,y?,x?2所围 ()dxdy,其中D由??xDx3. 求sinxdxdy,其中D由y?x,y?x2所围 ??xD4. 计算二重积分2，其中D:y?x??yxydxdy??D5. 求sinxdxdy，D由y?2x,x?2y与x?2围成的第一象限中的区域 ??xDy?1,y?x,y?2围成，求二重积分??(x?1)dxdy xDx?ye??dxdy，其中Ｄ是闭区域：｜x｜＋｜y｜≤１ D9. 设D由10. 计算二重积分12. 设D是以O(0,0),A(1,0),B(1,1)为顶点的三角形区域，求13、计算积分15、求16. 求17. 求??xcos(x?y)dxdy.D??(x?1)dxdy,D由y?D2x?1及x轴围成.?ye??dxdyD,其中D?{(x,y)|0?x?1,x?y?1}．xyxe??dxdy.D是矩形:1?x?2 , 1?y?3. D??(xD2?2y)dxdy
D:0?x?1,0?y?2xyye??dxdy，其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域. D18. 计算二重积分19. 计算20. 计算??(x?6y)dxdy,D由y?x,y?3x,x?1围成D??xydxdy，其中D由y?x,y?1,x?2所围.D21、利用二重积分求由平面x?2y?22. 计算23. 求z?1和三个坐标面围成的体积.??(x?y)dxdy，其中D由y?x,y?1,x?2所围.D??(x?2y)dxdy
D：由y?D2x,x?2,y?0所围.?x26. 求??edxdyD,其中D由y?x,y?0及x?1所围1227. 交换积分顺序并计算?1dy?exdxy
范文二：《高等数学》（下）——说课稿说课教师：方政蕊 （经济与数学系）各位评委、老师：大家好!我是经济与数学系的数学教师方政蕊，很荣幸能够参加此次的说课活动，希望各位评委、老师对我的说课内容提出宝贵意见。下面我将就本学期我所担任的《高等数学》这门课程所使用的教材、该课程的地位作用、教学方法的选择、学生学法的指导和教学过程的设计等几个方面来向大家做一简要介绍。 一、教材介绍这门课所使用的教材是同济大学出版社出版的面向21世纪普通高等教育规划教材《高等数学》的下册，该教材内容符合教学大纲的要求，知识系统、体系结构清晰、例题丰富、语言通俗易懂，讲解透彻难度适中，在上册一元函数微积分的基础上进一步较系统地介绍多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数和微分方程等高等数学的知识。 二、课程介绍1、地位和作用高等数学在当今社会的各个领域都有广泛的应用，因而“高等数学”是理工类本科教学重要基础课之一，通过本课程的教学，旨在使学生掌握该课程的基本概念、基本理论和方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力，为学生继续学习后续相关专业课奠定必要的数学基础。 2、教学目标
（1）、理解多元函数的概念、会求二元函数的偏导数和全微分
（2）、能将多元函数应用到几何上，会求极值
（3）、理解多元函数的概念、性质，掌握二重积分的计算方法
（4）、掌握三重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法
（5）、理解无穷级数的概念、性质，掌握判别级数收敛性的方法
（6）、会将函数展开成幂级数或傅里叶级数
（7）、理解微分方程的概念，掌握求微分方程的解的方法 3、教学重点和难点
（1）、求二元函数的偏导数、极值
（2）、求二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分
（3）、无穷级数的收敛性判别、将函数展开成幂级数或傅里叶级数
（4）、解微分方程 二、教学方法科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。数学是本科教学中的重要基础课，是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，我主要采取教师启发讲授、适当点拨和学生探究学习的教学方法。教学过程中，教师可以系统的传授知识，充分发挥教师的主导作用，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，在思考中体会数学图象变换过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受，特别是通过多媒体课件的演示，直观展示函数图象的变化过程，激发学生的兴趣，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力，突出学生的主体地位．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。 三、学生学法指导我们常说：“授人以鱼不如授人以渔”，因而在教学中要特别重视学法的指导。转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。我以教学大纲和课程标准为指导，辅以多媒体手段，结合师生共同讨论、归纳，着重引导学生学会探索研究的学习方法。探究式学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程，在探究的过程中激发学生的好奇心和创新意识，在探究过程中学习科学研究的方法,在探究过程中培养坚韧不拔的精神。学生掌握了这种学习方法后，对学生终生学习都有积极意义。 四、
教学过程的设计为完成本门课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为六个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握求法，适当延展；适当练习，巩固新课；归纳小结，提高认识；作业布置，巩固提高。具体过程如下： 1、创设情境，引入课题在学生原有的知识体系上,通过类比逐步引导学生从一元函数的极限、连续、求导和积分到多元函数的的极限、连续、求导和积分过渡,发现两者之间的内在联系, 这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。 2、归纳探索，形成概念由引例得出新课的知识点，如在讲多元函数积分的概念上，由两个引例求曲顶柱体的体积和平面薄片的质量的讲解，归纳总结出多元函数积分的概念。 3、掌握求法，适当延展通过例题的讲解，让学生掌握多元函数微积分的计算方法。在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。在课本例题的基础上，适当将题目引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。 4、适当练习，巩固新课针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，具体做法是课堂提问和让学生到黑板上解题。5、归纳小结，提高认识知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。6、作业布置，巩固提高：根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择“二重积分”的教学方案的设计经济与数学系
方政蕊二重积分是《高等数学》下册第六章第一节的内容。在此之前，学生已学习了定积分,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容在高等数学中，占据着重要地位，以及为其他学科和今后专业课程的学习打下基础。本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学目标、教学重点和教学难点: 一、教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分 二、教学重点与难点：二重积分的计算三、教学准备：1、教师：查看参考书、编写教案或课件制作
2、学生：课前预习 四、教学时间：2课时 五、教学方案设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学环节设计为四个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握求法，适当延展；归纳小结，提高认识，具体过程如下： 1、创设情境，引入课题长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本节的教学中，我从具体的两个实例引出概念： （1）、曲顶柱体的体积先用两分钟时间，让学生回忆学习定积分时求曲边梯形面积的方法，再利用类比的方法讲解求曲顶柱体的体积。 （2）、平面薄片的质量用同样的方法求出平面薄片的质量 2、归纳探索，形成概念把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步，以上两个实例可以抽象地给出二重积分的定义，从而引出二重积分的概念。 （1）、对概念作进一步解释，并与定积分的概念作比较，加深学生的印象，最后强调几个要点。 （2）、给出二重积分的性质，使学生能更深刻地理解二重积分。 3、掌握求法，适当延展 （1）、直角坐标系下二重积分的求法在讲二重积分的计算前，先让学生回顾定积分的基本公式和计算方法，提问两位学生，得出结论。再重点介绍二重积分的计算方法，对于不同的区域要用不同的积分次序进行积分，详细讲解两种区域的特点，推导出计算二重积分的公式。 （2）、讲解例题选择典型而具有代表性的例题3个，一个的积分区域是X-型，一个既是X-型又是Y-型，一个既不是X-型也不是Y-型，使学生掌握不同积分区域的二重积分的计算，并及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。 （3）、极坐标下二重积分的求法很多学生没有学过极坐标，所以先对极坐标作简单的介绍，再讲解用极坐标求二重积分，通过直角坐标与极坐标的变换得出公式，并强调在什么情况下选择用极坐标求二重积分。 （4）、讲解例题选择例题2个，一个是既可以用直角坐标计算又可以用极坐标计算，另一个是只能用极坐标计算的例子，经过对比，使学生了解有时用极坐标计算二重积分会减少很多计算量。 （5）、能力训练为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，并且把课本的例题熔入即时训练题中，随机抽两位学生到黑板上做课堂练习，再作评讲，使学生能巩固所学知识与解题思想方法。 （6）、变式延伸，进行重构重视课本例题，适当对题目进行引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。 4、归纳小结，提高认识提出问题：这节课你们学到了什么？鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。5、布置作业
根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择。 六、板书设计好的板书就像一份微型教案，此板书力图全面而简明的将授课内容传递给学生，清晰直观，便于学生理解和记忆，理清文章脉络。我在上这节课时较注重板书的设计，将定义、性质和计算方法写在黑板的左边，例题和讲解写在黑板的右边，特别是有的例题没有马上擦去，保留到下一个例子讲完，这样就可以进行对比。下面附上板书设计与详细教案： 附1：板书设计附2：教案第一节
二重积分教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分 教学重点与难点：二重积分的计算 一、二重积分的概念 1. 引例1：曲顶柱体的体积设有一空间立体?,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z?f(x,y)(f(x,y)?0)，称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:(1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域??1，??2，?，??n，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体?分划成n个小曲顶柱体??1，??2，?，??n。
（假设??i所对应的小曲顶柱体??i,这里??i既代表第i个小区表示它的面积值, ??i既代表第小曲顶柱体,又代表它的体积从而V????ii?1n为域,又i个值）。图9-1-1(2) 由于f(x,y)连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将第i个小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是??i?f(?i,?i)??i，(?i,?i)???i) 整个曲顶柱体的体积近似值为V??f(?i,?i)??ii?1n(3) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为?,定义V?lim?f(?i,?i)??i??0i?1n2.引例2：平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在(x,y)处的面密度为?(x,y)（?(x,y)?0）,现计算该平面薄片的质量M。(1)将D分成n个小区域 ??1，??2，?，面??n，??i既代表第i个小区域又代表它的积。(2)第i小平面薄片的质量可近似为
9-1-2?Mi??(?i,?i)??i，(?i,?i)???i)整个平面薄片的质量的近似值为
M???(?i,?i)??ii?1n图(3)记?i为??i的直径，??max{?1,?2,?,?n}, 整个平面薄片的质量定义为M?lim??(?i,?i)??i??0i?1n综上，两种实际意义完全不同的问题, 都归结同一形式的极限。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。3. 二重积分的定义定义 设f(x,y)是闭区域D上的有界函数。 (1) 将区域D任意分成n个小区域??1，??2，?，??n其中, ??i既表示第i个小区域, 也表示它的面积。(2) 在第i个小区域??i上任取一点(?i,?i)，作乘积 f(?i,?i)??i，(i?1,2,?,n)，作和?f(?i,?i)??ii?1n(3) 记?i为??i的直径，??max{?1,?2,?,?n}，若极限
lim?f(?i,?i)??i??0i?1n存在，则称此极限值为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记作 ??f(x,y)d?，D即??f(x,y)d??lim?f(?i,?i)??iDn??0i?1其中: f(x,y)称为被积函数, f(x,y)d?称为被积表达式,d?称为面积元素,x,y称为积分变量, D称为积分区域, ?f(?i,?i)??i称为积分和式。i?1n4. 几点说明：(1) 极限 lim?f(?i,?i)??i的存在性不依赖区域D的分割，也不依赖??0i?1n(?i,?i)的取法。(2) 二重积分的存在性定理：若f(x,y)在闭区域D上连续, 则f(x,y)在D上的二重积分存在。(3) ??f(x,y)d?中的面积元素d?象征着积分和式中的??i。D由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D,因此,可以将d?记作dxdy (dxdy为直角坐标系下的面积元素 )
二重积分也可表示成为。
图??f(x,y)d?D9-1-3(4) 若f?x,y??0,二重积分表示以z?f(x,y)为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积，即V?lim?f(?i,?i)??i???f(x,y)d???0i?1Dn二、二重积分的性质 1. 线性性质??[?f(x,y)??g(x,y)]d?????f(x,y)d?????g(x,y)d?DDD其中:?,?是常数。 2. 对区域的可加性若区域D分为两个部分区域D1,D2则??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?DD1D23. 若在D上, f(x,y)?1,?表示区域D的面积,则??f(x,y)d????1?d???d???DDD4. 若在D上, f(x,y)??(x,y),则有不等式??f(x,y)d?????(x,y)d?DD特别地,由于?|f(x,y)|?f(x,y)?|f(x,y)|，有??f(x,y)d????DDf(x,y)d?5. 估值不等式设M与m分别是f(x,y)在闭区域D上最大值和最小值,?是区域D的面积,则m????f(x,y)d??M?D6. 二重积分的中值定理设函数f(x,y)在闭区域D上连续, ?是D的面积,则在D上至少存在一点(?,?),使得??f(x,y)d??f(?,?)?D证明：由于f(x,y)在闭区域D上连续，故f(x,y)在闭区域D上取得其最大值M和最小值m。由性质5，得m????f(x,y)d??M?D显然??0，因此有m?f(x,y)d??M ???D1再由二元函数的介值性质知道，至少存在一点(?,?)?D，1使得??f(x,y)d??f(?,?)
即??f(x,y)d??f(?,?)??DD例1 比较积分??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]2d?，其中D是三顶点为(1,0)，DD(1,1)和(2,0)的三角形。例2 估计积分值I???(x?y?1)d?D其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?2} 三、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分根据二重积分的几何意义可知, 当f(x,y)?0时，??f(x,y)d?的值等于以DD为底,以曲面z?f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。 在区间[a,b]上任意取定一个点x0, 作平行于yoz面的平面x0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[?1(x0),?2(x0)]为底,z?f(x0,y)为曲边的曲边梯形,其面 积为A(x0)???2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy一般地,过区间[a,b]上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为A(x)??b?2(x)?1(x)f(x,y)dyb利用计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法,该曲顶柱体的体积为V??A(x)dx??[?aa?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dxf(x,y)dy]dx从而有??f(x,y)d???[??Dab?2(x)1(x)这也称为先对y, 后对x的二次积分，也常记作??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy其中：积分区域D为{(x,y)|a?x?b,?1(x)?y??2(x)}。如果积分区域D为{(x,y)|c?y?d,?1(y)?x??2(y)}， 则二重积分也可化为??f(x,y)d???Ddcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx例1 计算 I???(1?x2)d?，其中DD?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}解：由二重积分的计算方法，得I???(1?x2)d???dx?(1?x2)dyD1x??dx(1?x2)y011??x1?x2x4?12
??(1?x)xdx?????04?04?2例2 I???y?x2?y2d?，其中D是由直线y?x、x??1和y?1所围成D的闭区域。解：由于积分区域D?{(x,y)|?1?x?1,x?y?1}，得I???y?x2?y2d???dx?y?x2?y2dyD?1x3?1?222????(1?x?y)?dx3?1??x1121313???(|x|?1)dx???(x?1)dx?3?13021111例3计算 I???xyd?，其中D是由抛物线y2?x、y?x?2所围成的闭区D域。解：由与积分区域可表为D?{(x,y)|?1?y?2,y2?x?y?2}， 用先对x后对y的积分次序，得I???xyd???dy?D?1222y?2y2xydxy?2?x????y?dy?12??y2
?1225[y(y?2)?y]dy??1221?y443y6?2???y?2y??2?436??145?8如果用先对y后对x的积分次序，积分区域分成两个区域，即D1?{(x,y)|0?x?1,?x?y?x}D2?{(x,y)|1?x?4,x?2?y?x} 因此I???xyd????xyd????xyd?DD1D14xx?21??dx?1x?xxydy??dx?xydyV?8V1?163R 32、利用极坐标计算二重积分直角坐标(x,y)与极坐标(?,?)的变换关系为x??cos?，y??sin?在极坐标(?,?)下，面积元素为d???d?d?因此有??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d?DD如果积分区域为D?{(?,?)|?1(?)????2(?),?????}则??Df(?cos?,?sin?)?d?d???[??????2(?)?1(?)f(?cos?,?sin?)?d?]d???d???2(?)?1(?)f(?cos?,?sin?)?d?如果积分区域为D?{(?,?)|0????(?),?????} 则??f(?cos?,?sin?)?d?d????[?D??(?)f(?cos?,?sin?)?d?]d???d?????(?)f(?cos?,?sin?)?d?如果积分区域为D?{(?,?)|0????(?),0???2?} 则??Df(?cos?,?sin?)?d?d???[?02?02??(?)f(?cos?,?sin?)?d?]d???例4计算??e?xD2d???(?)f(?cos?,?sin?)?d??y2dxdy，其中D是中心在原点、半径为a的圆周围成的区域。解：在极坐标下，D可表示为0???a,0???2?，因此?xe??D2?y2dxdy???e???d?d???[??e??d?]d?D02?a22?a2?1??2????-e?d?02??02?122??(1?e?a)d???(1?e?a)02例5 求球体x2?y2?z2?4a2被圆柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解：由对称性V?4??4a2?x2?y2dxdyD其中D为半圆周y?2ax?x2与x轴所围成的区域，即D?{(x,y)|0?x?2a,0?y?2ax?x2}利用极坐标计算，得V?4??4a2?x2?y2dxdy?4??4a2??2?d?d?DD?2acos?0?4?2d??4a2??2?d??a?(1?sin3?)d??a3(?)03323?作业：P88
范文三：二重积分练习题一、 化二重积分I???f(x,y)dxdy为不同次序的两个二次积分，其中D积分区域为1）2） 由直线y?x及抛物线y2?4x所围成的闭区域 由直线y?x,x?2及抛物线y?所围成闭区域 1x二、 改变下列二次积分顺序 1、?0dy?yf(x,y)dx
2、?1dx2?x222y2f(x,y)dy
3、?0dx??sinxf(x,y)dy2?sinx三、选用适当的坐标计算下列各题 1、??Dx2其中D是由直线x?2,y?x及曲线xy?1所围成闭区域 y2其中D是由圆周x2?y2?1及坐标轴所围成的第一2、D象限内的闭区域3、??(x?y)2sin2(x?y)dxdy其中D是由平行四边形闭区域，他的四个顶D点是(?,0),(2?,?),(?,2?),(0,?) 4、??x2y2dxdy其中D是由两条双曲线xy?1,xy?2，直线y?4x,y?x所D围成的在第一象限内的闭区域x2y2x2y25、??(2?2)dxdy其中D是由D?{(x,y)|2?2?1} ababD四、计算由四个平面x?0,y?0,x?1,y?1所谓成柱体被平面z?0,2x?3y?z?6截得的立体体积。五、计算以xoy平面上的圆周x2?y2?ax围成的闭区域为底，而以曲面z?x2?y2为顶的去顶主体体积。
范文四：第九章 二重积分复习题一、 选择题 1.设D?{(x,y)|x2?y2?4}，则二重积分??dxdy?（
）D2（A） ?
（D） 4? 3. 设区域D是单位圆x?y2?1在第一象限的部分，则二重积分??xydxdy?（
）D(A)??x21?x211?y2dx?dy
0dy?xydx(C)?12ydx??y2xydy
0dy? 2xydx4. 设圆x2?y2?a2 (a>0) 所围成区域的面积为S ，则 ? a0a2?x2dx=（
(D) 14S 5. 交换二次积分顺序后，?1?xdx?1
0f(x,y)dy=（
）1(A)?111 ?xdy?
f(x,y)dx ?1-
0dy?f(x,y)dx6.??dxdy?（
），其中D由直线y?x,y?2x,y?1所围.D(A)112(B)4(C) 1
(D)327. 设D由y?1,x?2及y?x所围成，则??f(x,y)dxdy?（
1(A) ?21dx?1f(x,y)dy
xf(x,y)dy(C)?22
0dy?2f(x,y)dx8. 设D:x2?y2?1,则??xdxdy＝（
(D) 2?9. 设区域D为1?x?2,3?y?4，积分??dxdyD(x?y)2的值为（
）(A) ln43(B) ln34(C) 0
(D) ln21y10. 二次积分?dy?yf(x,y)dx?（
））（A）（C）?1dx?xx2f(x,y)dy
（B） ?dx?1x2xf(x,y)dy?ydx?1f(x,y)dy
（D）2?1dx?y2f(x,y)dy11. 若区域D为x1?y2?1，则二重积分??f(x,y)dxdy化为累次积分为（
1dx??x2??x2f(x,y)dy f(x,y)dy（B）
（D）?1?1dx?21?x2f(x,y)dyf(x,y)dx?dx?1?x2?1?x2?1?1dy??x2??x214. 设区域Ｄ是由x轴 y轴和直线x+y=1所围成,则??2dxdy＝（
（D）4 15. 设f(x,y)连续，则??dx?2?
1sinxf(x,y)dy?(
)(A)?1dy?????arcsinyf(x,y)dx
(B)?1dy?????arcsinyf(x,y)dx f(x,y)dx）(C)?1dy???arcsinyf(x,y)dx
(D)?1dy???arcsiny16. 设区域D由2y?1,x?2和y?x围成，则??f(x,y)dxdy?（Dx
(C)?1dy?f(x,y)dx2
(D)??21dx?f(x,y)dxx
x1?21dy?f(x,y)dx21dx?f(x,y)dx18. 设D是由|x|?1,|y|?1围成的平面区域，则二重积分??xd??（
(C) 20. 设D由?D(D) 0y?x,y?0及x2?y2?1所围 ,则??d??(
248222221. 设D?{(x,y)|x?y?4}，则二重积分(x?y)dxdy?（
8? 二、填空题 1.??xedxdy =
（D由y?x、x轴和x?1所围）Dy2.?1dy?f(x,y)dx在交换积分次序后的累次积分为_____________.e 13．改变二次积分?dx?lnx 0f(x,y)dy的积分次序得.4. 设f(x,y)为连续函数，则交换二次积分?dy?2f(x,y)dx的次序为
.y115. 交换?1dx?-x
--x2f(x,y)dy的积分次序后为
.6. 设D为矩形0?x?1
，则二重积分
??3 dxdy?Dx2y2??1,则??f(x,y)dxdy化为二次积分为
7. 设D:49D9. 交换二次积分顺序后，10.?1dx?1?xf(x,y)dy=______________.?2dy?2yy2f(x,y)dx在交换积分次序后的累次积分为_____________.12. 改变二次积分13. 交换积分次序?1dx?f(x,y)dy的顺序x1?21dy?f(x,y)dx=
.y214. 变换积分顺序后，15．二次积分?1dx?1xf(x,y)dy?
.?1dx?xx2f(x,y)dy交换次序后所成的二次积分是18. 交换二次积分的次序19.?dx?11?xf(x,y)dy?_________________2，其中D由x________??dxdy?__________D?y2?1所围..20. 交换积分21. 交换?1dx?f(x,y)dy??dx?1x
2?xf(x,y)dy的次序得?1dx?1-xf(x,y)dy的积分顺序为22. 交换积分顺序后23. 交换积分?1dx?22-xf(x,y)dy?
..?2dx?2xx
xf(x,y)dy的次序得24. 二次积分三、解答题 1. 计算?1dx?f(x,y)dy交换次序后所成的二次积分是
.2x??ydxdy，其中D由y?0,y?x,x?1所围 D2.1y2y?x,y?,x?2所围 ()dxdy,其中D由??xDx3. 求sinxdxdy,其中D由y?x,y?x2所围 ??xD4. 计算二重积分2，其中D:y?x??yxydxdy??D5. 求sinxdxdy，D由y?2x,x?2y与x?2围成的第一象限中的区域 ??xDxye??dxdy，其中D为矩形：0?x?3,?1?y?1 D7. 求二重积分8. 求蝌arctanDy dsxD为由y??x2与
x轴围成的区域.9. 设D由y?1,y?x,y?2围成，求二重积分??(x?1)dxdy xDx?ye??dxdy，其中Ｄ是闭区域：｜x｜＋｜y｜≤１ D10. 计算二重积分12. 设D是以O(0,0),A(1,0),B(1,1)为顶点的三角形区域，求13、计算积分15、求16. 求17. 求??xcos(x?y)dxdy.D??(x?1)dxdy,D由y?D2x?1及x轴围成.?ye??dxdyD,其中D?{(x,y)|0?x?1,x?y?1}．xyxe??dxdy.D是矩形:1?x?2 , 1?y?3. D??(xD2?2y)dxdy
D:0?x?1,0?y?2xyye??dxdy，其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域. D18. 计算二重积分19. 计算20. 计算??(x?6y)dxdy,D由y?x,y?3x,x?1围成D??xydxdy，其中D由y?x,y?1,x?2所围.D21、利用二重积分求由平面x?2y?22. 计算23. 求z?1和三个坐标面围成的体积.??(x?y)dxdy，其中D由y?x,y?1,x?2所围.D??(x?2y)dxdy
D：由y?D?x??edxdyD2x,x?2,y?0所围.26. 求,其中D由y?x,y?0及x?1所围1x227. 交换积分顺序并计算?1dy?edxy
范文五：P75--例1 计算I???xyd?，其中D是由抛物线y?x2与D直线y?x?2所围成的闭区域．解：法1?y?x2如图由?,，?y?x?2得交点 (?1,1)，(2,4)I??2?x?22?y2y?x?2??1????x2xydy??dx???1?x??2y?x2?dx???2x?12?12??x?2??x4?dx?458解：法二：如图I???xyd????xyd?D1D2??1?xydx?40????dy???1???y?2xydx??dy??1?0??y?dy??4?1??y???dx ???0?12?41y(y?(y?2)2)dy?458【画出区域草图，选取先对谁?x还是y?积分很重要！ 曲线方程怎么写？定上、下限的方式？】
1P75--例2 计算I???yd?．其中D由Dxy??1（a,b?0） ab与两坐标轴围成．
（1991，Ⅰ）?b?a?1?解： I?????0?0?2?ydy?dx??4??ab22?121dx?ab??30?（计算积分时可令：1?t?x?a(1?t)2） 【本题的关键是画D的草图，根据方程的特点，利用初等函数在定义区间上是连续函数的性质，知其表示第一象限里单调递减的连续曲线，并与两个坐标轴相交。】bP76--例3
计算xamax{b2x2,a2y2}I???ed?，其中DD:0?x?a,0?y?b．解：I???ebxd????eaD1D2a?bx22bx02222yd?????e0??aa?b?y?22dy?dx????eaydx?dy?0?????b?a22?1a2b2?bb2x2?e?1 ???xe?dx???yeay?dy?00baba??????注：b2x2?a2y2?bx?ay?y?bx利用分块性质，去掉被积函数中的特殊符号，再根据区域形状，选取先对哪个变量?x还是y?积分 注1
同类型题：含min[f(x,y),g(x,y)]，sgnf(x,y)，f(x,y)2注2?xne?x2dx??当n为奇数时，“可积分”,
?当n为偶数时，“不可积分.注3
下列函数的原函数不是初等函数1e?x2，
?k2sin2x （k?1）．P76--例4
交换积分次序I??21[?x21f(x,y)dy]dx．解：I??4?2?1??f?x,y?dx??dy【根据原来积分的上、下限，画出积分区域D的图形】P76--例5
计算I???[?siny?xydy]dx．
解：I????ysiny???siny0ydx??dy????y?ydy???00sinydy?2【由于??sinyxydy积不出来，必须交换积分次序】32P76--例6
交换积分次序
I??11?y?2[?y?1f(x,y)dx]dy．解：I???f?x,y?d????f?x,y?d?
D1D2??0?x?1??3???f?x,y?dy??dx??1?0??f?x,y?dy???dx1P77--例7
I??yyy12dy?1exdx?1yx42?1dy2?yedx．解：y1?xyI???edxdy??131?2??xDx2edy?dx???1x?e?ex?dx?e1?D228注意：1. 先x后y一定做不出来，必须先交换积分次序； 2. 两个积分一定可以合成一个积分； 3. D1?D2?D4P77--练习1
交换积分次序 I??1x2?1[?1f(x,y)dy]dx．I???1?11?1????x2f?x,y?dy??dx????0??f?x,y?dx???dyP77--练习2
设f(x,y)连续，且f(x,y)?xy???f(u,v)dudv，D其中D由y?0，y?x2，x?1围成，求f(x,y) ．解：设??f(u,v)dudv?A，则f(x,y)?xy?A，D两边在D上二重积分，有A???f(x,y)dxdy?D????xy?1?D?8??dxdy，??1x21x21dx?0xydy?A?0dx?0dy?A?8则f(x,y)?xy?18P77--练习35计算I???x2?y2?d?，D其中D:0?x?1，0?y?1．解：I???(1?x2?y2)d????(x2?y2?1)d?D1D2???(1?x2?y2)d????(x2?y2?1)d????(x2?y2?1)d?D1DD1?2??(1?x2?y2)d??D??(x2?y2?1)d?1D??2?210d??(1?r2)rdr??1dx?1(x2?y2?1)dy??4?13?2P77--练习4
计算I??20[?xsinxy]dx???2??2[2?xsinxy]dx．解：I???[y2x?xx?y0y2sin]dy?y?0?ycosyx?y2dy2???y(cosy2?cosy)dy=2(??1)P78--练习5
设函数f(x,y)连续，6则?2dx?2f(x,y)dy??24?y1x1dy?yf(x,y)dx?（
）．（2009-Ⅱ）
(A) ?2?x1dx?41f(x,y)dy.
(B)?21dx?4?xxf(x,y)dy.(C) ?2dy?4?yf(x,y)dx.
(D)?22111dy?yf(x,y)dx.解：?2224?y1dx?xf?x,y?dy??1dy?yf?x,y?dx??24?y1dy?1f?x,y?dx，【区域D由x?1,x?y?4,y?1,y?2围成，不可能先y后x，】极坐标一般当积分区域D与圆有关，可考虑用极坐标（此时若被积函数中含x2?y2，一定用极坐标）直角系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分三个地方要换：1.被积函数中变量转换 ??x?rcos??y?rsin?，（x2?y2?r2）2.面积元素：d??rdrd?3.积分区域D要用极坐标方程表示（即边界曲线要用极坐标方程表示）则??f(x,y)d??D??f(rcos?,rsin?)rdrd?DP78—例1 计算I???(x?y)d? ，其中D由y?y?x轴所围成．D7解：I????x?y?d??x?y?d?D???1D2????2???2cos??rcos??rsin??rdr???d? ????2?rcos??rsin??rdr?0d? ?14?????0??32或I????2?0???0?rcos??rsin??rdr??d?????2cos?0???0?rcos??rsin??rdr???d? ?14?3?2利用结论：?(n?1)!!????2??n!!?2n为偶数0sinnxdx??2cosnxdx???(n?1)!!
??n!!n为奇数一般情形：若D是圆或圆的一部分，且圆心在(x0,y0)， 可令??x?x0?rcos?,?rsin?.即平移坐标系?y?y0P78—例2计算I???(x?y?3)d? ，其中D:(x?2)2?(y?1)2?1．D8解：y?1)2?1?x?2?rcos?如图令??y?1?rsin?I??2?????10??2?rcos????1?rsin???3?rdr?0??d??4?P79—练习1
计算二重积分??(x?y)dxdy，其中D??(x,y):(x?1)2?(y?1)2?2,y?x?． D解：如图 令??x?1?rcos??y?1?rsin?5?I????1?rcos?rdr??0????1?rsin??????d???83—练习2
计P79算I???yd? ，D由y?0，y?2，x?所D围成．（1999，Ⅲ—Ⅳ）解：2009）x??2，9（I???yd??DD??yd???D??yd?1D1??0??2???20ydy???dx?????2???2sin?0rsin??rdr???d??4?83??sin4?d??4?8?3?20cos4?d?2?4?831??3?4?2?2?4?2P79—例1 计算I???(x3?sinxy?y)d? ，D：x2?(y?1)2?1．D解：如图因为D关于y轴对称，而x3?sinxy是关于x的奇函数，则???x3?sinxy?d??0D?I?2??yd??2?2?2sin?0???0rsin??rdr??1?d???D或 I???yd??2???10??0(1?rsin?)rdr?D???d???P79—例2
计算I???x(y3cosx?1)d? ，D为x2?y2?1，(x?1)2?y2?1的公共部分．D解：如图10因为D关于x轴对称，而xy3cosx是关于y的奇函数，
则??xy3cosxd??0D?I?2??xd??2?2cos?D?0???1rcos?rdr??d??2?1?3P90—例3 I???(xy?cosx?siny)d?，D由y?1，y?x，x??1围成．
则I?()D择题）（A）．I?2??oscnisx?dy?D1（B）．I?2??dyx?D1（C）．I?4??(yx?oscnisx)?yd?D1（D）．0解：如图??xyd??0，D1?D2?cosx?siny?d??0，D???xy3?D4cosx?sinyd??2??cosx?sinyd?
，D??1?D2D1I?2??cosx?sinyd?D1P80—练习1
计算I???y[1?xe(x2?y2)]d?，D由y??1，y?x3，x?1围成．D解：如图1991，Ⅰ选11（I?2??yd??2?1??x3ydy?dx
D0?3???1?? ??10?x6?1?dx??67P80—练习2
如图，正方形?(x,y):x?1,y?1?被其对角线划 分为四个区域Dk(k?1,2,3,4)．令Ik???ycosxdxdy，Dk则max1?k?4?Ik??（
（2009-Ⅰ）(A)I1
(D)I4解：由对称性I2???ycosxdxdy?0， I4???ycosxdxdy?0，D2D4在D1上，ycosx?0，所以I1???ycosxdxdy?0，D1在D3上ycosx?0，所以I3???ycosxdxdy?D3故max1?k?4?Ik??I1，选(A)P80—练习3 计算二重积分 I???(x?y)3d? ，D其中 D由曲线x?与两条直线x?0围成, 解：I???(x3?3x2y?3xy2?y3)dxdy （D关于x轴对称）D12???(x3?3xy2)dxdy?2D??(x3?3xy2)dxdyD1?2?1dyx3?3xy2dx?112?0(1?2y2?3y4)dy?3?10(y2?y4)dy?1415P81—例5 设f(t)连续，在t?0处可导，且f(0)?0，f?(0)?3，求 lim1t?0?t3(x2?y2)d?．x2???fy2?t2解：原式?lim?2??t???0f(r)?rdr???d?2??t0f(r)?rdrt?0?t3?lim0t?0?t3?lim2?f(t)?tt?0?3t2?2?3limf(t)t?0?t?2?3limf(t)?f(0)t?0?t?0?2?3?f?(0)?2?注1
在（*）处不可再用L’Hospital法则．(1) f(t)在t?0附近不一定可导；(2) 即使f(t)处处可导，此时在（*）虽可用L—法则，但也不能确定limf?(t?0?t)； (3)若f?(t)连续，则tlim?0?f?(t)?f?(0)．P81—例6
求lim1t?0?t2)d?．x2???exycos(x?yy2?t2解：记D:x2?y2?t2?exycos(x?y)在D上连续， 由中值定理，13?(?,?)?D，使得??exycos(x?y)d??e??cos(???)??t2D原式?limt?0??e??cos(???)??e0cos0??推广
将例2中的exycos(x?y)换为任一连续函数f(x,y)， 即求极限1tlim?0?t2(x,y)d???f(0,0)x2???fy2?t2补例：计算二重积分I???xe?yydxdy，其中D是由曲线y?4x2和y?9x2在第一象限所围成的区域. D解：I???xe?y2dxdy??5D????y2edy144补例：计算二重积分I???r2sin?，其中D????r,??0?r?sec?,0?????D?4??.解：将积分化为直角坐标下的二重积分为I???r2sin????r2sin?DD????1?1dx?(1?x2?y2D200)?13x11?33?10(1?x2?y2)20dx?3?0??1?(1?x2)2???dx设x?sint，则I?1?1??2co4330std?t13??13?3?11?4?2?2?3 16(1990)1415
范文六：第24卷第4期2011年8月高等函授学报(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)
Vol.24No.4 2011#大学教学#二重积分在极坐标系下交换次序的转化肖俊1,2林燕3(1.武汉科技大学理学院,武汉.冶金工业工程系统科学湖北省重点实验室,武汉430081;3.武汉市第二职业教育中心学校,武汉430060)摘 要:本文探讨了二重积分在极坐标系下如何交换次序的问题,并用实例进行了说明。关键词:二重积分;极坐标;交换次序中图分类号:O172G42文献标识码:A
文章编号:11)04-0016-02关于二重积分在直角坐标系下交换次序的研究已经很多了,但现使用的同济大学编的高等数学教材(第六版)中,二重积分在极坐标系下的计算只给出了一种次序,即先对r后对H。由此学生容易产生疑惑:二重积分在极坐标系下是否只有一种次序?如果还存在先对H后对r的积分,这两种次序如何相互交换?其实先对H后对r的积分也是存在的,因为定限和计算上都比较复杂,实际应用较少,甚至教课书中没有提到。本文希望在这个方面起一个抛砖引玉的作用。先回顾一下二重积分在极坐标系下先对r后对H,是如何确定积分次序的。交点多于2个,则将区域D分割),然后观察r的变1(H2(H化,即可确定为r的上下限:U)[r[U)由此可得:kf(rcosDH,rsinH)rdrdH==1>QQdHA21Bf(rcosH,rsinH)rdr.同理,如果化为先对H后对r的积分,则先确定r的变化范围,即看区域D被哪两个圆心在极点的同心圆夹住,这两个同心圆的半径即r的上下限a[r[b。PrI[a,b],将r固定,即从极点o引同心圆穿过区域D,只允许该圆最多与D有两个交点(若交点多于2个,则将区域D分割),然后观察H的变化,这时的上下限即为H的上下限:r1(H)[H[r2(H)kDf(rcosH,rsinH)rdrdH=QQdHa21br(H)r(H)f(rcosH,rsinH)rdH.下面举例说明:图1例 将二重积分I=先确定H的变化范围,即看区域D被哪两条从极点o发出的射线夹住,图1中区域D被射线H=A,H=B夹住,故A[H[B。PHI[A,B],将H固定,即从极点o引射线穿过区域D,只允许该射线最多与D有两个交点(若QdxQf(x,y)dyaa(a>0)化为极坐标系下的二次积分(两种次序都要写)。解 此二重积分的积分区域D0[x[a0[y[a为:收稿日期:基金项目:科技部重大教研项目子课题:/科学思维、科学方法在高等数学课程中的应用与实践0,项目编号:-1-25.本人简介:肖俊(1973-)男,湖北省武汉市人,硕士,讲师,研究方向:高等数学教育与系统科学研究.16第24卷第4期2011年8月高等函授学报(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)
Vol.24No.4 20111转化为先对r后对H积分=a]H=arcsin。r图2.1图2.2(1)先确定H的上下限,从图1可看出积分区域D被x轴,y轴夹住,故0[H[2(2)从极点O引射线穿过区域D,观察此时r的变化。射线与区域D的第一个交点为极点O,第二个交点先在直线x=a上(如图211),后变化到直线y=a如图212),H=是分界点,将区域D4分成两部分。当HI[0,]时,x=a]rcosH=4a]r=即0[r[;当HI[,]时,cosHcosH42y=a]rsinH=a]r=故I=图3.1图3.2I=arcsinrQdrf(rcosaH,rsinH)rdr+即0[r[;sinHsinHdH0f(rcosH,rsinH)rdr+0P4acosHQadrarccosf(rcosH,rsinH)rdr.dHf(rcosH,rsinH)rdr故H从arccos变化到arcsinrr回顾我们两种定限过程,可看出后积分的总是先定次序=2>,比如:先对r后对H的先定H的上下限,而先对H后对r的则先确定r的变化范围;定完后积分变量的上下限后,将其固定,即让其取常量,观察这时另一个变量的上下限。通过这样的讲解,同学们能更好地理解极坐标系下的定限问题。参考文献[1]同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M].北京:高等教育出版社,2007.[2]陈文灯.1998研究生入学考试数学复习指南(理工类)[M].北京:世界图书出版公司,1998.2转化为先对H后对r积分(1)先确定r的变化范围,从图2中可看出区域D被圆心在极点,2a的圆覆盖,即0[r[2a;(2)PrI[a,b],将r固定,即从极点o引同心圆穿过区域D,然后观察H的变化;当rI[0,a]时(如图311),圆与D交于x轴和y轴,H从0变化到,当rI[a,2a]时,H从x=a变化到y=a,2x=a]rcosH=a]H=y=a]rsinHr
范文七：§9.3 二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件： 1、所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即:当闭区域D分成许多小闭区域d?时, 所求量U相应地分成许多部分量?U,且U???U)。 2、在D内任取一个直径充分小的小闭区域d?时, 相应的部分量?U可近似地表示为 f(x,y)d?, 其中(x,y)?d?, 称f(x,y)d?为所求量?U的元素, 并记作dU。?U?f(x,y)d?是d?直径趋于零时较(注: f(x,y)d?的选择标准为:d?更高阶的无穷小量)3、所求量U可表示成积分形式U???f(x,y)d?D一、曲面的面积设曲面S由方程z域,函数面的面积?f(x,y)给出,Dxy为曲面S在xoy面上的投影区f(x,y)在Dxy上具有连续偏导数fx(x,y)和fy(x,y),现计算曲A。在闭区域Dxy上任取一直径很小的闭区域d?(它的面积也记作d?),在d?内取一点P(x,y),对应着曲面S上一点M(x,y,f(x,y)),曲面S在点M处的切平面设为T。 以小区域d?的边界为准线作母线平行于z轴的柱面,该柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面,由于d?的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。曲面S在点M处的法线向量( 指向朝上的那个 )为?n?{?fx(x,y),?fy(x,y),1}它与z轴正向所成夹角?cos??的方向余弦为12?fx2(x,y)?fy(x,y)d?dA?cos?而所以2dA??fx2(x,y)?fy(x,y)?d?这就是曲面S的面积元素, 故A????fx2(x,y)?fy2(x,y)d?DxyA???故Dxy??z???z???????dxdy??x???y?22222222x?y?z?ax?y?ax(a?0) 内部的【例1】求球面含在柱面面积。 解:所求曲面在xoy面的投影区域Dxy?{(x,y)|x2?y2?ax}222z?a?x?y曲面方程应取为 , 则zx??xa?x?y2zx222zy?,?ya2?x2?y2??z2y?aa2?x2?y2曲面在xoy面上的投影区域Dxy为据曲面的对称性,有A?2??Dxyaa?x?yacos?222dxdy??2?d??2??aa?r22?rdr2?2?2a??a2?r2????acos?0d?2??2a?(a?asin?)d??2?2??4a?(a?asin?)d?2?2a2(??2)若曲面的方程为x?g(y,z)或y?h(z,x),可分别将曲面投影到yoz2DyzDzxzox面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有A???或Dyz??x?1?????y???x????dydz??z?22A???Dzx??y??????z?2??y????dzdx??x?二、平面薄片的重心1、平面上的质点系的重心其质点系的重心坐标为n?Mym?n?mixii?1?mi,M??nm?miyii?1n?mi2、平面薄片的重心设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为?(x,y),假定?(x,y)在D上连续,如何确定该薄片的重心坐标(,)。这就是力矩元素,于是Mx???y?(x,y)d?,DMy???x?(x,y)d?Dm????(x,y)d?又平面薄片的总质量 从而,薄片的重心坐标为D?Mym??x?(x,y)d?????(x,y)d?D,M??m???(x,y)d?D??y?(x,y)d?特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则?11xd?,?????yd?ADAD(A???d?D为闭区域D的面积)十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。 【例2】设薄片所占的闭区域(0?aD为介于两个圆r?acos?,r?bcos??b)之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。解: 由D的对称性可知: ?0?2bcos?A???d???d??rdr?D??4(b2?a2)??acos?22bcos?My???xd???d?而D??acos?2r?cos?dr2?22?13??13????rcos??d????(b?a3)cos4??d???3??3?acos????22bcos???)!!?3?(b?a)?cos4?d??(b3?a3)?334!!2 0?My?8(b3?a3)b2?ba?a2x??A2(b?a) 故三、平面薄片的转动惯量1、平面质点系对坐标轴的转动惯量设平面上有n个质点, 它们分别位于点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)1,m2,?,mn。 处, 质量分别为m设质点系对于x轴以及对于y轴的转动惯量依次为,Iy??x2miii?1nIx??yimii?1n22、平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有一薄片,占有假定xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为?(x,y),?(x,y)在D上连续。 现要求该薄片对于x轴、y轴的转动惯量Ix,Iy。与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为【例3】求由抛物线对于直线y??1的转动惯量。y?x2及直线y?1所围成的均匀薄片(面密度为常数?)解: 转动惯量元素为dI?(y?1)2?d?I???(y?1)2?d?D11???dx?(y?1)2dy?1x21??1?????(y?1)3?dx??8?(x2?1)3dx3?1?x2?1?311??1664368??????335105四、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点 (x,y)处的面密度为?(x,y),假定?(x,y)在D上连续,现计算该薄片对位于z轴上点M0(0,0,1)处的单位质量质点的引力。?F,Fy,Fz于是,薄片对质点的引力F在三个坐标轴上的分力x的力元素为dFx?dFy?k?(x,y)xd?r3 k?(x,y)yd?r3k?(x,y)(0?1)d?dFz?r3故Fx?k???D?(x,y)xd?r3?(x,y)yd?Fy?k???r3D?(x,y)d?Fz??k???r3D
范文八：重
习一、单项选择题 :1.0?x?10?y?1??xydxdy?(
D. 2. 242.设D???x,y?x?0,y?0,x?y?1?,记I1????x?y?D2dxdy,I2????x?y?D3d?.则(
[B] A.I1?I2;
D.以上都可能3.设D???x,y?x?0,y?0,x?y?1?,则(
[B] A.???x?y?dxdy?D2???xD?y?d?;
B.???x?y?dxdy?D3232???xDD?y?d?33C.???x?y?dxdy?D2???xD?y?d?;
D.???x?y?dxdy与???x?y?d?大小不能比.D4.x?y2与x?2围成的面积用二重积分转换为两次积分表示为(
B.11?x0?0f2dx?x,y?C.?2y
D.2?2y2f?x,y?dx5.交换积分次序:?dx??x,y?dy?(
[B]11?y(A)?1?x01dy?f011?x,y?
(B)?0dy?010ff?x,y?dx ?x,y?dx.(C)?dy?f?x,y?
(D)?dy?1?x0226.设D域是2?x?y?6,x?0,则??dxdy?(
D.6?. 7.交换二次积分次序,?dx?011?x01f?x,y?dy?(
[A]1?x0A.?dy?11?y0f?x,y? B.?dy?0f?x,y? C.?1?x0dy?f?x,y? D.?dy?f?x,y?dx.1118.设D由x?0,x?1,y?0,y?1围成.则??dxdy?(
D.9.设D:y?x,y?x?2,y?0,y?2围成,12.??d?D?(
D. 4.10.设D由y?x2,y?1,x?0围成.则??f?x,y?d??(
[C]dA.?01dy?22yf?x,y?
B.?dx?2f?x,y?
C.?dx?2x21x2f?x,y? D.?dy?12x0f?x,y?dx.二、填空题:1.设D:y?x2,y?1围成.则2.设D:y2?x,x?1围成.则11?x0lnx0??x?xD2?y?dxdy?_____________.
[0] ?x?dxdy?_____________.
[0]11?y0??y?xD23.交换积分次序:?dx?0ef?x,y?dy?_________________________
[?dy?f?x,y?dx]4.交换积分次序:?dx?1f?x,y?dy?____________________________.
[?dy?1eeyf?x,y?dx.]5.交换积分次序:?dy?22yy22f?x,y?dx=__________________.
[f?x,y?dy?________________.
[?04dxdyx22?x,y?dy]6.交换积分次序:?dx?2x0?0104?x,y?dx]27.交换积分次序:?dy010?x,y?dx=_______________________.
[?dx?11?x0eeyf?x,y?dy] f?x,y?dx]8.交换积分次序:?1edx?lnx0f?x,y?dy?_______________________.
[?dy?229.若??dxdy??a,其中D:x?y?2,则a?___________.
[2]D.三、计算题:
(每小题7分，共35分)1.计算?y??xedxdy,D:y?x,x?0,y?1所围.
[1?D5.] 2e2.计算??yd?, D:y?4?x2,y?4?2x所围.
[D2144594]3.求??xdxdy,其中D由y?x?1,y?x?1围成.
[D]4..计算:???2x?y?d?.其中D是由y?1,2x?y?3?0,x?y?3?0所围.
[?3]D5.计算:??xyd?.其中D是由x?1,y?x,y?2所围的区域.
[D98]6.求??xdxdy,其中D:y?x,y?D围成.
[115]7.求??ysinxydxdy,其中DD由y?0,y?1,x?0,x??围成.
[1]8.求??sinxD2d?,D:y?x,y?0,x?
[1]2.] 59.求??D,其中D由y?0,y?1,x?0,x?1围成.
[10.求??ydxdy,其中D2D由y?x,y?2x?3围成.
[544.] 151811.设f?x,y??xy?2??f?x,y?dxdy,其中D由y?0,y?x,x?1围成.求f?x,y?.
[xy?]D12设f?x,y??2xy?2x??f?x,y?dxdy,,其中D由x?0,y?x,y?1围成.求f?x,y?.D[2xy?13.f?x,y??4xe?1y3x.] 4??f?Dx,y?dxd,yD:y?0,y?x2,x?1.求f?x,y?.
[4xey?3?e?2?]e?121.] 214.计算二次积分?dy?ey1x2
[]15.计算二次积分16计算二次积分1y
[2?01dy?sinx2dx.
[y121?cos1.] 217.计算二次积分?dy?
[y1sin123]18.计算二次积分?dx?121x?;[1]19.计算二次积分?dy?121y?2x?11;
[220.计算二次积分?dx?131?cos42]21.计算??xyd?D,D:x?1,x?3,y?2,y?5围成.
[42]22.计算??xd?,D:x?2,y?x,xy?1围成
[D4.] 323.计算??eDx?yd?,D:x?0,y?x,y?1围成;
[1.] e24.计算D?,D:x?2,y?x,xy?1围成[215?12]?25.计算???x?yD?,D:x?1,x?4,y?1,y?3围成.[35?8]?26.计算??xsinyd?,D:y?x,y?2?x,y?0围成.
[2?1?sin1?]D27.求28.求??sinxD2d?,D:y?x,y?0,x?
[1] ,D:y?x,x?0,y?
[1]??sinyD2d?29.??x?D10y,D:y?x,y?2x,x?2,x?4.
[9]31.先交换?dy?xe1xydx的积分次序,再求值.
[e?2]1?1?sin1?] 232.先交换?dy?xsin?xy?dx的积分次序,再求值.
[y11233. 求D.D:x?0,x?1,y?0,y?1围成.
[1.]334.计算??Dy?x?1dxdy，其中D是由x??1,x?1,y?0,y?1所围成的区域.
[21115].35.计算??Dy?xdxdy,其中D是由x?0,x?1,y?0,y?1所围成的区域.
[2113023]37.求由三个坐标平面与x?y?1,z?1?x2?y2围成的型体的体积.
[]38.求由z?x2?y2,x?0,y?0,z?0,x?3,y?1围成的型体的体积.
范文九：二重积分自测题
（一）选择题1．设D是由直线x?0，y?0，x?y?3，x?y?5所围成的闭区域， 记：I1???ln(x?y)d?，ID2???ln2(x?y)d?，则（
）DA．I1?I2
D．无法比较
2．设D是由x轴和y?sinx(x?[0，?])所围成，则积分
A．??yd??（
643223．设积分区域D由y?x和y?x?2围成，则??f(x,y)d??（
C．?2?1dx?2f(x,y)dy
B．?dx?f(x,y)dyx?1x?222?1?2dx?2f(x,y)dy
D．?dx?2f(x,y)dyxxx?21x?24．设f(x,y)是连续函数，则累次积分
A．?404dx?2xxf(x,y)dy?（
）f(x,y)dx?dy04y12y4f(x,y)dx
B．?dy?12y4?yC．?4dy1f(x,y)dx
D．?dy14y4yy2f(x,y)dx25．累次积分
A．?2dx?e?ydy?（
）x221111(1?e?2)
B．(1?e?4)
C．(1?e?4)
D．(1?e?2) 23231122226．设D由?x?y?1确定，若I1???2，d?I?(x?y)d?， 22??4Dx?yDI3???ln(x2?y2)d?，则I1，I2，I3之间的大小顺序为（
）DA．I1?I2?I3
B．I1?I3?I2
C．I2?I3?I1
D．I3?I2?I17．设D由|x|?1，|y|?1确定，则cosxyxesinxydxdy?（
） ??DA．0
D．e?28．若积分区域D由x?y?1，x?0，y?0确定，且则?1f(x)dx??xf(x)dx，x1??f(x)dxdy?（
9．若1D．1 21x2(y)x1(y)??1dx?1?xf(x,y)dy??dx?11?xf(x,y)dy??dy?f(x,y)dx，则（
）A．x1(y)?y?1，x2(y)?0
B．x1(y)?y?1，x2(y)?1?y
C．x1(y)?1?y，x2(y)?y?1
D．x1(y)?0，x2(y)?y?1（二）填空题1．设D是由直线y?x,y?1x,y?2所围成的区域，则??dxdy? 2D2．已知D是由a?x?b，0?y?1所围成的区域，且??yf(x)dxdy?1，则D1?baf(x)dx?3．若D是由x?y?1和两坐标轴围成的区域，且??Df(x)dxdy???(x)dx，那么?(x)?4．交换积分次序：?2?1dy?2f(x,y)dx?．yy?2x2?y2?1确定，则??dxdy?．
5．设D由4D6．交换积分次序：
7．交换积分次序：
交换积分次序?2?dx?sinxf(x,y)dy?．?dx?y21xx2f(x,y)dy?dy?2yf(x,y)dx（三）计算题1．选择适当的坐标系和积分次序求下列二重积分
（1）（2）（3）（4）32??xcosydxdy，
其中D由1?x?2，0?y?D22D，
其中由x?y?2x确定， (x?y)dxdy???确定， 2D??Dx2?y2dxdy，其中D是圆环形闭区域：1?x2?y2?4 xydxdy，其中D是由抛物线y?x及y=x所围成的闭区域.2??D2．计算下列积分
（1）??60dy?dy??6ycosxdx， x（2）?331y1dx， ylnx4
范文十：题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择
(16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分
（A）??xydxdy (其中D：0≤y≤x,0≤x≤1)的值为2D1111
（D） 612242xy??dxdy?= D答 (
) (3分)[3]若区域D为0≤y≤x2,|x|≤2,则（A）0；
（B）3264（C）
（D）256 33答 (
)(3分)[4]设D1是由ox轴，oy轴及直线x+y=1所圈成的有界闭域，f是区域D：|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分??Df(x2,y2)dxdy?__________??f(x2,y2)dxdyD1（A）2
（D）1 2答 (
) (3分)[5]设f(x,y)是连续函数，则二次积分??1dx10x?1f(x,y)dyf(x,y)dx??dy12?1(A)(B)(C)(D)?dy??dy?0101y?1?1y?1f(x,y)dx?1y?1f(x,y)dxf(x,y)dx??1?dy??20?1?1f(x,y)dxdy??1f(x,y)dx答 (
) 则二重积分(3分)[6] 设函数f(x,y)在区域D：y2≤－x
,y≥x2上连续，化累次积分为(A)(C)??f(x,y)dxdy可D??1dxx2f(x,y)dy(B)?dx??1x2f(x,y)dy?dy?1?y2f(x,y)dx(D)?dy01y2f(x,y)dx答 (
)(3分)[7]设f(x,y)为连续函数，则二次积分1?dy0112y2f(x,y)dx可交换积分次序为(A)(B)?dx00f(x,y)dy?101f(x,y)dy?120dx0f(x,y)dy?1?f(x,y)dy?2f(x,y)dy(C)(D)?dx01f(x,y)dy??20d?2cos?f(rcos?,rsin?)rdrsin?答 (
) (3分)[8]设f(x,y)为连续函数，则积分?1dx?x2f(x,y)dy??dx?122?y22?xf(x,y)dy可交换积分次序为 (A)(B)(C)(D)?101dy?f(x,y)dx??dy?1y02?xf(x,y)dx??01dy?dyx2f(x,y)dx??dy?12f(x,y)dx2?y2?x01f(x,y)dx?dy?2f(x,y)dxx答 (
) (4分)[9]若区域D为(x－1)2+y2≤1,则二重积分(A)??f(x,y)dxdy化成累次积分为D??d??2cos?02cos?F(r,?)dr
(B)?d?????2cos?F(r,?)dr(C)??2??2d??F(r,?)dr
(D)2?d???202cos?F(r,?)dr其中F(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)r.答 (
) (3分)[10]若区域D为x2+y2≤2x，则二重积分?2??2?2cos?(x?y化成累次积分为??D(A)??d??(cos??sin?2cos?(B)(cos??sin?)d??r3dr(C)2??20(cos??sin?)d??2cos?r3dr r3dr(D)2??2??2(cos??sin?)d??2cos?答 (
) (4分)[11]设I1?777[ln(x?y)]dxdy,I?(x?y)dxdy,I?sin23??????(x?y)dxdy其中D是DDD由x=0,y=0,x?y?1,x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是 2(A)I1＜I2＜I3;
(B)I3＜I2＜I1;
(C)I1＜I3＜I2;
(D)I3＜I1＜I2.答 (
) (5分)[12]设I?dxdy，则I满足 22??1cosxsinyx?y?12?I?2
(B)2?I?3 31(C)D?I?
(D)?1?I?02(A)答 (
) (4分)[13]设x?y?1其中D是由直线x=0,y=0,2及x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序为(A)I3＜I2＜I1;
(B)I1＜I2＜I3;
(C)I1＜I3＜I2;
(D)I3＜I1＜I2.答 (
) (3分)[14]设有界闭域D1与D2关于oy轴对称，且D1∩D2=?,f(x,y)是定义在D1∪D2上的连续函数，则二重积分??f(x,y)dxdy?D2(A)2??D1D1f(x2,y)dxdy
(B)4??f(x2,y)dxdyD2(C)4??f(x2,y)dxdy
(D)1f(x2,y)dxdy ??2D2答 (
)(3分)[15]若区域D为|x|≤1,|y|≤1,则??xeD－cos(xy)sin(xy)dxdy?(A)
(B) e1;(C) 0;
(D)π.答 (
) (4分)[16]设D：x2+y2≤a2(a＞0),当a=___________时，??D??.(A)1答 (
) 二、填空
(6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域Δσi(i=1,2,…,n),在每一个小区域Δσi任意选取一点(ξi,ηi),如果极限
lim??0?f(?,?)??iii?1ni(其中入是Δσi(i=1,2,…,n)的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。(4分)[2]若D是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知??(1?x?y)=___________.D(3分)[3]设D:0?y??x?0，由二重积分的几何意义知D?___________.(3分)[4]设D：x2+y2≤4,y≥0,则二重积分??sin(xyD32)d??__________。(4分)[5]设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分，试写出??f(x,y)dxdy在极坐标系D下先对r积分的累次积分_________________.(3分)[6]设D：0≤x≤1,0≤y≤2(1－x),由二重积分的几何意义知y??1?x???dxdy=_______________. ??2?D?三、计算
(78小题,共331.0分)(3分)[1]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分?2dy1f(x,y)dx2yy的积分次序。(3分)[2]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分?2dx?2xxf(x,y)dy的积分次序。(3分)[3]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分??1?2dy?f(x,y)dx??dy??100f(x,y)dx的积分次序。(3分)[4]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分?dx?111?x2f(x,y)dx??dx?1e1lnxf(x,y)dy的积分次序。(4分)[5]计算二重积分2(x?y)dxdy ??D其中D：0≤y≤sinx,0≤x≤π. (3分)[6]计算二重积分??xydxdyD其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。 (3分)[7]计算二重积分??D其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。 (3分)[8]计算二重积分??xydxdyD其中D：x≤y≤x,1≤x≤2.(3分)[9]计算二重积分??cos(x?y)dxdyD其中D是由直线x=0,y=π和y=x围成的区域。 (4分)[10]计算二重积分22(x?y?y)dxdy ??D其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。 (3分)[11]计算二重积分??xcos(2xy)dxdyD其中D:0?x??4,?1?y?1(3分)[12]计算二重积分??(x?y)dxdyD其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。 (3分)[13]计算二重积分??(x?6y)dxdyD其中D是由直线y=x,y=5x及x=1所围成的区域。 (3分)[14]计算二重积分??xydxdyD其中D是由双曲线y?1，直线y=x及x=2所围成的区域。 x(3分)[15]计算二重积分??Dyx其中D是由直线y=2x,y=x,x=2及x=4所围成的区域。 (3分)[16]计算二重积分??ydxdyD其中D：|x|+|y|≤1.(3分)[17]计算二重积分??xyd?D其中D：|x|+|y|≤1.(4分)[18]计算二重积分??xydxdy其中D:21?y?x,1?x?2 x(4分)[19]计算二重积分??(xD32?y2)dxdy其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a及y=3a(a>0)所围成的区域。 (4分)[20]计算二次积分?dx?3?x(2x?y)dy(4分)[21]计算二重积分??xydxdyD其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。 (4分)[22]计算二重积分22(x?y?x)dxdy
??D其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。 (4分)[23]计算二重积分??(x?1)ydxdyD其中D是由曲线x?1(4分)[24]计算二重积分y=1－x及y=1所围成的区域。14??1?xD其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。(4分)[25]计算二重积分2xy??dxdyD其中D为与x=0所围成的区域。(4分)[26]计算二重积分??xdxdyD其中D是由抛物线y?12x及直线y=x+4所围成的区域。 2(4分)[27]计算二重积分x?ye??dxdy D其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。 (4分)[28]计算二重积分??Dx2y2其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成的区域。 (5分)[29]计算二重积分??4yD2sin(xy)dxdy其中D是由x=0, y?(4分)[30]计算二重积分,y=x所围成的区域。??(x?yD2)dxdy.其中D：0≤y≤sinx, (5分)[31]计算二重积分22xycos(xy)dxdy ??D其中D：, 0≤y≤2.(4分)[32]计算二重积分??D其中D是由抛物线y?(4分)[33]计算二重积分及y=x2所围成的区域。??ydxdyDx2y2其中D:2?2?1ab(4分)[34]计算二重积分??xdxdyD其中D:2?x?y?1??x?1 (5分)[35]计算二重积分2r??drd?D其中D:acos??r?a,0????2(a?0)(4分)[36]利用极坐标计算二次积分?2?2dx(5分)[37]利用极坐标计算二重积分yarctg ??D其中D：1≤x2+y2≤4,y≥0,y≤x. (4分)[38]利用极坐标计算二重积分yarctg ??xD其中D：a2≤x2+y2≤1,x≥0,y≥0,a＞0,x=0处广义。(5分)[39]试求函数f(x,y)=2x+y在由坐标轴与直线x+y=3所围成三角形内的平均值。 (6分)[40]试求函数f(x,y)=x+6y在由直线y=x,y=5x和x=1所围成三角形内的平均值。 (4分)[41]由二重积分的几何意义，求x2?y2?1???1)dxdy(4分)[42]计算二重积分??xdxdyD其中D：x2+y2≤2及x≥y2. 原式=?1?1dy10y2xdx??(2?y2?y4)dy ?2215(3分)[43]计算二重积分xe??dxdy D2其中D是第一象限中由y=x和y=x3所围成的区域。??edx?3dyx1x2x??(xex?x3ex)dx1221?e?12(4分)[44]计算二重积分??xdxdyD其中D：x2+(y－1)2≥1,x2+(y－2)2≤4,y≤2,x≥0.??dy02xdx??ydy2?2(5分)[45]计算二重积分??xydxdyD2其中D：x+y2≤5,
x－1≥y2. (5分)[46]计算二重积分2??xydxdyD其中D是由(x－2)2+y2=1的上半圆和x轴所围成的区域。??xdx13ydy13??x(4x?x2?3)dx 214?3(4分)[47]计算二重积分??D其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。 (3分)[48]计算二重积分32x??ydxdy D其中D：x2+y2≤R2. (5分)[49]计算二重积分x22??x?yD??x2其中区域D??1?x?2,?y?x?2??(4分)[50]计算二重积分??Dx22y其中D是由直线x=2,y=x和双曲线xy=1所围成的区域。 (4分)[51]计算二重积分??xdxdyD其中D：x2+y2≤a2,y≥0. (5分)[52]计算二重积分??xdxdyDx2y2其中D：2?2?1ab(5分)[53]计算二重积分D其中D为由y=0,x=1,y=2x围成的区域。 (5分)[54]计算二重积分xyye??dxdy D其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。 (5分)[55]计算二重积分??xydxdyD2其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p(p>0)所围成的区域。 (6分)[56]计算二重积分??(xD2?y)dxdyD是由抛物线y=x2和y2=x所围成的区域。(6分)[57]计算二重积分??eDxydxdy(x≥1)和直线y=x,y=2所围成的区域。 其中D是由抛物线y=(5分)[58]计算二重积分??D其中D是以O(0，0)，A(10，1)和B(1，1)为顶点的三角形区域。 (5分)[59]计算二重积分233(12x?16xy)dxdy ??D其中D是由x=1,y=x3,y=(8分)[60]计算二重积分所围成的区域。 ??D其中D是以O(0，0)，A(1，－1)和B(1,1)为顶点的三角形区域。 (3分)[61]计算二重积分sinx ??xD其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。(4分)[62]计算二重积分sinxdxdy ??xD其中D是由y=x2,y=0,x=1所围成的区域。(5分)[63]计算二重积分2??ln(1?xD22?y2)dxdy 其中D：x+y≤4,x≥0,y≥0.(5分)[64]计算二重积分??D其中D：x2+y2≥2x,x2+y2≤4x.(5分)[65]计算二重积分2?? 其中D：x+y≤2x.(4分)[66]利用极坐标计算二重积分22sin(x?y)dxdy ??D2D2其中D：π≤x2+y2≤4π2(4分)[67]计算二重积分D其中D：x2+y2≤1,x≥0,y≥0.(7分)[68]设区域D：x2+y2≤a2
(a>0),计算二重积分??f(x,y)dxdyD??ex其中f(x,y)????02?y2当x?0,y?0其它点 (4分)[69]利用极坐标计算二重积分 ??ydxdyD2其中D：x2+y≤a2,x≥0,y≥0.
(a>0)(3分)[70]利用极坐标计算二重积分221()dxdy x?y??3D其中D：1≤x2+y2≤8.(3分)[71]计算二重积分22(4?x?y)dxdy ??D其中D：x2+y2≤4.(5分)[72]计算二重积分D22??xydxdy?xxye??D2其中D：x+y≥1,x2+y2≤2x,y≥0. (5分)[73]计算二重积分(5分)[74]将二重积分≤,0≤y≤1. ?y2d?，其中区域D为x2+y2≤1在第一象限部分。 ??f(x,y)d?化为在极坐标系中先对r积分的累次积分，其中D：0≤xD(6分)[75]利用极坐标计算二重积分??xdxdyD其中D：x2+y2≤2x,x2+y2≥x.(5分)[76]计算二重积分其中D：y≤x,0≤y≤,y≥0.(6分)[77]计算二重积分22ln(1?x?y)dxdy ??其中D：x2+y≤R2 (R＞0),x≥0,y≥0.(5分)[78]利用极坐标计算二重积分2sin ??D2其中D：1≤x+y≤4,x≥0,y≥0.====================答案====================答案部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分)一、选择
(16小题,共53.0分)(2分)[1][答案]B.
(3分)[2][答案]B.
(3分)[3][答案]A.
(3分)[4][答案](B).(3分)[5][答案](C).
(3分)[6][答案]C.
(3分)[7][答案]B.
(3分)[8][答案]C
(4分)[9][答案]C.
(3分)[10][答案]D.
(4分)[11][答案]C.
(5分)[12][答案]A.
(4分)[13][答案]B.
(3分)[14][答案](A).
(3分)[15][答案]C.
(4分)[16][答案]B.二、填空
(6小题,共21.0分) D2(4分)[1][答案]函数f(x,y)在D上
(4分)[2][答案]1
6(3分)[3][答案]1πa36(3分)[4][答案]0.
(4分)[5][答案]记F(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)r,?????32d??2cos?0F(r,?)dr????3??3d??F(r,?)dr??2d??031?2cos??F(r,?)dr(3分)[6][答案]1
(78小题,共331.0分)(3分)[1][答案]原式=?dx?012xxf(x,y)dy??dx?f(x,y)dy
122x(3分)[2][答案]原式=??20dy1f(x,y)dx??dy1f(x,y)dx
2y42y22y(3分)[3][答案] 原式=0?1dx?2ey?x2x?2f(x,y)dy
(3分)[4][答案]原式=?dy01f(x,y)dx(4分)[5][答案]原式??dx?0?sinx0(x?y2)dydx ???1(xsinx?sin3x)3???49(3分)[6][答案]原式??xdx?ydy002x2125??xdx2016?3(3分)[7][答案]原式??dx?042x 302384?7??4(3分)[8][答案]原式??xdx12xydy??x3dx12?334(3分)[9][答案]原式??dx?cos(x?y)dy0x????(sin(x??)?sin2x)dx 0???2(4分)[10][答案]原式??dy?(x2?y2?y)dx1y?13?1?????y3?(y?1)3??y2?y?dy13??3?1????2y2?2y??dy13???103y(3分)[11][答案]原式??40dx?xcos2xydy?11???4sin2xdx0?12(3分)[12][答案]原式=?dy??(x?y)dx001x1(x?y)20211?y31?022??1y0dy??(2y2?0112y)dy 2或解原式=?dx?(x?y)dy0x113??(?x?x2)dx 0221?211(3分)[13][答案]原式?10dx?(x?6y)dyx105x??76x2dx?2513(3分)[14][答案]原式??xdx1ydy1x2x121??x(x2?2dx 21x151??ln282(3分)[15][答案]原式2x1???ydy2xx43 ??22?94(3分)[16][答案]原式?4?dx?01011?x0ydy?2?(1?x2)dx?23(3分)[17][答案]原式?4?xdx?01011?x0ydy?2?x(1?x)2dx?16(4分)[18][答案]原式?21xdx1y2dyxx1241??(x?2dx x319?110(4分)[19][答案]原式?3aady?3ayy?a(x2?y2)dx1??(2ay2?a2y?a3)dy a3?14a4(4分)[20][答案]原式393??(?3x?x2)dx022 27?2(4分)[21][答案]原式??xdx1ydy1x3x1331(x?dx ?12x1?10?ln32?(4分)[22][答案]原式??dyy(x2?y2?x)dx022?193?y3?y2?dy???08??2413?62y(4分)[23][答案]原式??ydy?0111x?1)dx112y(y?y)dy?021?24?(4分)[24][答案]原式x1?01?x4?0dy1x??01?x411d(x2)??201?x41??8(4分)[25][答案]原式?2?2ydy2020??y2(4?y2)dy?6415(4分)[26][答案]原式??xdx12dy?24x?4x21??(x2?4x?x3)dx ?22?184(4分)[27][答案]原式??edx?eydy001xx??ex(ex?1)dx 011e2??e?22(4分)[28][答案] 交点为(1,1)?2,原式21??=?x2?x?2?dx1x?? 3?24??1??(2,4) 2?(5分)[29][答案]原式?4?40ydy?ysin(xy)dx0y0y(1?cosy2)dy???2(4分)[30][答案]原式???dx?20sinx0(x?y2)dy1??2(xsinx?sin3x)dx 037?9(5分)[31][答案]原式?0???2dx?x2ycos(xy2)dy02x??2sin4xdx02??? ?16(4分)[32][答案]交点为(0，0)，(1，1)原式???02xdxy11(ydy ?026?55(4分)[33][答案]由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上积分的4倍，在第一象限|y|=y. 原式?4?ax0a0ydy?2??a0b222a?x)dx 2a42ab3(4分)[34][答案]原式??xdx?010112?x??x(x?dx?16(5分)[35][答案]原式???2d??0aacos?r2dr13??a?2(1?cos3?)d? 30a3?2?(?323(4分)[36][答案]原式??d??r2dr00?2?r3??????3?08??32(5分)[37][答案]原式????rdrd?D?40???d??rd12?(4?1)3223??264?(4分)[38][答案]原式 ?21????rdrd?D?20???d??rdra1???21?a28?2 ?216(1?a2)(5分)[39][答案]??f(x,y)d????(2x?y)dxdy???DD03?1????2x(3?x)?(3?x)2?dx02??27?233?x0(2x?y)dy而D的面积?=9 2∴所求平均值=3.
(6分)[40][答案] ??f(x,y)dxdy??dx?D015xx(x?by)dy∵??10(4x2?72x2)dx?76315x而D的面积 ?=?dx?dy0x??4xdx01 ?2∴所求平均值=12(4分)[41][答案]原式=2 3x2?y2?1??x2?y2?1??dxdy2????3 2?1?3(4分)[42][答案](3分)[43][答案](4分)[44][答案](5分)[45][答案]交点为(2，1)与(2，－1)??ydy?110121?y2xdx??y2(4?3y2?y4)dy?62105(5分)[46][答案](4分)[47][答案]??dy?001y113ydy?031?12?(3分)[48][答案]原式=
?R?Rydy2x3dx对于3dx被积函数x3为奇函数
∴积分为零。故原式=0.
(5分)[49][答案]x221?xy22?x??(?arctan)dx 2原式=1418??arctan?ln?254??dx?x22x(4分)[50][答案]121xy21??x2(x?dx 1x9?4??x2dx12x(4分)[51][答案]?2?xdx0a0 ?2?0a?23a3(5分)[52][答案]由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上的积分的4倍，在第一象限|x|=x. ?4?dy0b0xdx?2??b0a222(b?y)dy 2b42ab322(5分)[53][答案] ??dx?0200 ???x2dx8??3(5分)[54][答案]??ln3ln2ln3dy?yexydx24??(e4y?e2y)dy ln2?1334(5分)[55][答案] ???ydy22?py22pxdx12y4y(p?2)dy 28p5p21121(6分)[56][答案] ??xdx2??xdy20x0y??(x?x4)dx??(?y3)dy 0011?33140(6分)[57][答案]??dy?edx1y2y2xy??(yey?ye)dy 123?e2?e2(5分)[58][答案]??dy?010110y??x?y)010yydy ??18y2dy?6(5分)[59][答案]1x3??dx?01x2?16x3y3)dy233122???12(?4(?)?xxxxx?dx0???(12x01?8x?4x)dx515?5184x(8分)[60][答案] ?dx?011?x?xx2y???arcsin02x???1dx) ?20dx2?6xsinxdx?dy00x11(3分)[61][答案] ????sinxdx0?1?cos(4分)[62][答案]x2sinxdx?dy??00x1??xsinxdx01?sin1?cos1(5分)[63][答案]?0??2d??ln(1?r2)rdr02???4?4?51lnudu ?(5ln5?4)(5分)[64][答案]??2?d???24cos?2cos?r3dr??2?260cos4?d? 0?45?2(5分)[65][答案]???r?rdrd?D????d??22cos??20r2dr8???2?cos3?d?3?216???2cos3?d?3016232???339(4分)[66][答案]原式= ?2?0d??sinr2?rdr
?2?=π(cosπ2－cos4π2).(4分)[67][答案]??D?0??2d?? ??6(7分)[68][答案]?x2?y2?ax?0,y?0??exa2?y2dxdy?20??d??erdr0r2?1?r?a??e22??0?a2 ?4(e?1)2(4分)[69][答案]???rsin??rdrd?D?20??sin?d???r2dr0aa3?1?3a3?3(3分)[70][答案]53 ??d??02?1dr38?2??(r3)845??4(3分)[71][答案]?4x2?y2?42???dxdy?2x2?y2?4??(x2?y2)dxdy?16???d??r3dr00?16??2???8?164(5分)[72][答案]???3d??02cos?1r3cos?sin?dr1??3(4cos5?sin??cos?sin?)d? 0419?6(5分)[73][答案] ????r2e?rsin?cos??rdrd?D2?20??sin?cos?d??r3e?rdr0121112?r2???red(r2)220111?(???1)4ee12?(1?)4e(5分)[74][答案]?原式=?60d???0f(rcos?,rsin?)rdr??d??26ces?0f(rcos?,rsin?)rdr(6分)[75][答案]???rcos??rdrd?D????cos?d??2?22cos?cos?r2dr1???2?cos?(8cos3??cos3?)d? 3?214???2cos4?d?307??8(5分)[76][答案]原式?1r2sin?cos?rdrd? ??8D41?4??sin?cos?d??r3dr0801?sin2???4?1?????r4?8?2??0?4?01144??0844(6分)[77][答案] 4原式???ln(1?r2)rdrd?D?0??2d??ln(1?r2)rdr0R??R?1??1?r2?ln?1?r2??r2? 22?4??0???1?R2?ln?1?R2??R2??(5分)[78][答案]原式???sinr?rdrd?D???d??202rsinrdr2121
??2?[?rcosr]??cosrdr?1 ??2(cos1?2cos2?sin2?sin1)ij,y? (i,j=0,1,2,…,n－1,n)把矩形D：0≤x≤1,0≤y≤1分割成一系列小正方nn形，则二重积分??xydxdy 用直线x?Dii1(A)lim?2n??i?1nnn(C)lim?n??i?1nn(B)lim?n??j?1nnij1??2?i?1nnnni?1i1;nnn2ii11(C)lim?n()n??nnnni?1答 (