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状态反馈静态态解耦
6.8状态反馈静态解耦 动态解耦严重依赖系统模型，工程上静态解耦已可以满足实际需要，且其 对模型误差和参数摄动的敏感性小得多。问题的提法： 设多输入多输出连续时间线性时不变系统 ? x ? Ax ? Bu ? G ( s ) ? C ( sI ? A) ?1 B y ? Cx 采用包含输入变换的状态反馈udim u ? dim y<
br />y?Lu?B? x?∫ AxC三点基本假设Ku ? ? K p?n x ? L p? p?det L ? 0? 设多输入多输出连续时间线性时不变受控系统 x ? Ax ? Bu y ? Cx dim u ? dim y所谓静态解耦，就是综合一个输入变换和状态反馈矩阵对L ? R p? p ,K ? R p?n ,det L ? 0使导出的包含输入变换状态反馈系统? x ? ? A ? BK ?x ? BL? y ? Cx?1 及其传递函数矩阵 G KL ?s ? ? C ?SI ? A ? BK ? BL满足：i）闭环控制系统渐近稳定， 即 Re ?i ? A ? BK ? ? 0i ? 1,2,?, pii）闭环传递函数矩阵当S=0时为非奇异对角常阵，即有? g11 ?0? ? Lim GKL ?S ? ? ? ? s ?0 ? ? ? ? ? g pp ? ? g ii ?0? ? 0 i ? 1,2,?, p静态解耦特点：1.（频率域特点）当S?0时，闭环传递函数矩阵为非对角矩阵； 2.（时间域特点）只适合于p维参考输入?各分量为阶跃信号情况，即? ?11(t ) ? v (t ) ? ? ? ? ? ? ? ? 21(t ) ? ? ?基于拉普拉斯反变换导出，有? ? ?1 ? ? 1? ? y (t ) ? L?1 ?GKL ( s ) ? ? ? ? ? ?s ? ?? 2 ? ? ? ? ? ?在系统为渐进稳定前提下，基此并利用拉普拉斯变换终值定理 ，可以得到静态解耦系统的稳态输出? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? lim y (t ) ? lim sGKL ( s) ? ? ? ? lim GKL ( s) ? ? ? t ?? s ?0 s s ?0 ?? p ? ?? p ? ? ? ? ???? g 11 (0) ? ?? ? ?? ? ?1 ? ? g 11 (0) ?1 ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? g pp (0)? ? ? p ? ? g pp (0) ? p ? ?? ? ? ?? 意味着，静态解耦系统相对于阶跃参考输入的输出响应， 稳态过程中可实现一个输出分量由且仅有同序号分量所 控制。解耦的实质是把一个p维输入p维输出的耦合系统，通过 引入适当的{L,K}，化为p个独立的单输入单输出系统
画出所综合的具有降维状态观测器的状态反馈控制系统(5 分) 三、 给定系统的描述为(20 分) a、 判断系统是否可以引入状态反馈和输入变换实现静态解耦( 5 分)301...仿真结果表明, 采用非线性状态反馈解耦 控制的交流调速系统具有良好的静态性能和动态性能. 关键词: MATLAB; 交流调速; 状态反馈; 仿真 Abstract Take advantage of ...5.线性系统的综合设计理论 ▲状态反馈和输出反馈的比较;极点配置问题的定义,▲...输入――输出静态、动态解耦的定义、条件和算法;?跟踪 控制;?线性二次型最优...用状态反馈实现输入输出的解耦控制,输 入输出的动态解耦和静态解耦问题,状态对外...如利用状 态空间方法对系统建模,进行系统可控性、可观性及稳定性研究;利用观测...西安建筑科技大学课程设计(论文)任务书专业班级: 学生姓名: 指导教师(签名): 一、课程设计(论文)题目 基于状态反馈的系统解耦设计 二、本次课程设计(论文)应达到...此次课程设计主要采 用串联解耦补偿来实现解耦所以一下主要介绍串联解耦及状态反馈实现动态解 耦。 2.2 串联解耦补偿串联解耦又称为对角矩阵解耦方法,是一种相对...(六)线性反馈系统的时间域综合:15 学时 综合问题的提法;状态反馈和输出反馈;状态反馈极点配置;输出反馈极点 配置;状态反馈镇定;状态反馈动态解耦;状态反馈静态解耦...要实现调速系统的高动态性能,必须根据异步电动机的动 态数学模型来控制磁通和...线性静态 状态反馈将异步电动机数学模型解耦成转速和磁通2个子系统, 解耦 后的...任务7-基于状态反馈的系统解耦设计_信息与通信_工程科技_专业资料。西安建筑科技...状态反馈静态态解耦 5页 免费
直流电机反馈试验系统的... 4页 免费
任务7...下面重点介绍状态反馈解耦和串联解耦及增益的介绍 2.2、利用状态反馈实现动态解耦问题描述: x ? AX ? BU ;Y=CX;其中,状态 X 的维数为 n,输入 u 的维 数...
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2011北京工业大学自动控制原理模拟试题，14年考研的同学们准备的怎么样，2011北京工业大学自动控制原理模拟试题。
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2011北京工业大学自动控制原理模拟试题
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稳定性与可控性的关系？
系统稳定的对象一定可控吗？
系统不稳定性的对象一定就不可控吗？ 如，化工过程过程的聚合反应过程，系统本身不稳定，当是可控的。
1768人参与
您的意思是开环不稳定，但可以通过某些方法达到闭环稳定？
必须的。好多系统都是不稳定，第一件是就是镇定它，然后再解决性能指标的问题。
那您的理解是什么，对于系统可控性和稳定性之间的关系。
北京学而思教育科技有限公司 地址：北京市海淀区北三环甲18号中鼎大厦A座1层102室 电话：010-第8章_状态空间分析方法 _北京航空航天大学：自动控制原理_pps_大学课件预览_高等教育资讯网
北京航空航天大学：自动控制原理：第8章_状态空间分析方法
分类： 格式： 日期：日
1第九章状态空间分析方法2第 9章 状态空间分析方法基本要求9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法返回主目录3引言,前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。经典控制理论(50年代前 )现代控制理论(50年代后 )研究对象 单输入单输出的线性定常系统 可以比较复杂数学模型 传递函数(输入、输出描述 ) 状态方程(可描述内部行为 )数学基础 运算微积、复变函数 线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多,经验起很大作用。主要在复数域进行。设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。4基本要求① 掌握由系统输入 ― 输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型 的方法。② 熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。③ 正确理解可逆线性变换,熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。④ 正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。返回子目录5⑤ 熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法,能将可控系统化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。⑥ 正确理解对偶原理,会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。⑦ 正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。⑧ 正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响,正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。6⑨ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统,可进行闭环极点配置和观测器极点配置。⑩ 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统 BIBO稳定的概念,熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。11 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法,能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。79-1 状态空间方法基础在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。返回子目录8状态,动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基本概念已知 时状态,时的输入，可确定时任一变量的运动状况。0t 0tt? 0tt?状态变量,确定动力学系统状态的最小一组变量 。 )(,),(1 txtx n?912nxtxtXtxt状态空间,由 张成的 n维向量空间。)(tX状态向量,如果完全描述一个给定系统的动态行为需要 n个状态变量，那么状态向量定义为 X(t)对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。10例 9-2设一 RLC网络如图所示。回路方程为( ) 1( ) ( ) ( )d i te t R i t L i t d td t C图 9-2 RLC网络112 ( ) ( )x t i t d t)()(1 titx?选择状态变量1 1 211Rx x x eL LC L则有21xx?1 1010RuL C L Lxx写成21)()( xCtcty10C x输出1211100RLLuLCxx写成)()(1 titx?21( ) ( )x t i t d tC若选另一组状态变量1 1 211 ()Rx x x e tL L L121 xcx则有13 uyayayay nnnnn 02211若给出 (t=0) 时的初值,,…,和时就可确定系统的行为 。? 0,?ttu)0(y )0(y? )0()1(?ny121,,, nn yxyxyx?单输入 -单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式1412231nnxxxxxx（ 9-17）0 1 1 2 1n n nx a x a x a x u15或写成x A x B x120 1 2 10 1 0 0 00 0 1 0 00,,0 0 0 10nnxxxa a a ax A B（ 9-19）16系统结构图如图所示图 9-317例 9-3222y y y u输入为 u,输出为 y 。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统18解：12222 1 22xxx x x u1122220 1 02xxu状态方程为写成取状态变量12,x y x y19输出 1210xyx图 9-4 例 9-3系统的结构图20多输入 -多输出系统图 9-6 多变量系统21ppnn ububxaxaxax ppnn ububxaxaxax ………pnpnnnnnnn ububxaxaxax 112211?nxxx,,,21为状态变量；puuu,,,21为输入量；qyyy,,,21为输出变量。22矩阵形式：x A x Β u1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n na a aa a aa a aA1 1 1 2 12 1 2 2 212ppn n n pb b bb b bb b bB式中23ppnn ududxcxcxcy ppnn ududxcxcxcy ………,pqpqnqnqqq ududxcxcxcy 112211输出变量方程241 1 1 2 12 1 2 2 212nnq q q nc c cc c cc c cC1 1 1 2 12 1 2 2 212ppq q q pd d dd d dd d dDy C x D u式中25图 9-7 系统结构图26三、线性定常系统状态方程的解式中 均为列向量。)2,1,0(ibix A x （ 9-28）齐次向量微分方程 kk tbtbtbbtx 2210)(（ 9-29）方程的解为1、齐次状态方程的解27)(2 10121 kkkk tbtbbAtkbtbb可得()tx?x A x代入方程将方程两边系数必相等,即1022 1 033 2 001122113 3 21kkb Abb Ab A bb Ab A bb A bk！280)0( bx?我们定义022 )121()( xtAktAAtItx kk！！（ 9-31） kKAt tAktAAtIe！！121 22（ 9-32）因此，齐次状态方程的解为将 t=0 代入（ 9-29）中得290)( xetxAt?（ 9-33）( ) ( )x t A x t? （ 9-34）)()( 0 sAxxssx（ 9-35）Ate为 n&#215; n矩阵，称矩阵指数。于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解3001)()( xAsIsx011 ])[()( xAsILtx])[( 11 AsILe At122 3 11( ) [ ] [ ]A t k kkksI A L e L I At A tkI A A As s s s！拉氏反变换后得到（ 9-37）（ 9-38）31最终得到与前一种解法所得结果一致。Atet At e x p式中( ) ( 0) ( ) ( 0)Atx t e x t x（ 9-41）32状态转移矩阵具有以下性质：I )0(,1)()(,2 1 tt)()()(,3 020112 tttttt)()]([,4 ktt k33图 9-8 状态转移特性性质 334例 9-511220100xxxx设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。35解：2211()2 ! !A t k kt e I A t A t A tk230 1 0 0,0 0 0 01 0 0 1()0 1 0 0 0 1nA A A Attt11221( ) (0 )01( ) (0 )tx t xx t x求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为36例 9-6x3210x?设系统状态方程为试求状态方程的解。37解：2s21s12s21s22s11s12s11s2)2s)(1s(s)2s)(1s(2)2s)(1s(1)2s)(1s(3ss213s)2s)(1s(1AsI)AsI(ad j)AsI(3s21s)AsI(1用拉氏变换求解。先求出矩阵指数38状态方程之解为t2tt2tt2tt2t11Ate2ee2e2eeee2])AsI[(Le)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)0(xe)t(x21t2tt2tt2tt2tAt将上式进行拉氏反变换39图 9-9 系统的瞬态解（ a）与相轨迹（ b）40改写为)()()( tButAxtx用 左乘等式两边Ate?2 非齐次状态方程的解非齐次方程)()()( tButAxtx （ 9-53）)()]([)]()([ tBuetxedtdtAxtxe AtAtAt（ 9-54）41 dBuextxetAAt )()0()(0 dBuexetxttAAt )()0()(0)(用 左乘上式两边Ate?（ 9-54）0( ) ( ) ( 0) ( ) ( )tx t t x t B u d则式（ 9-54）可以写成（ 9-55）积分上式得42讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法sBusAxxssx )()( 0sBuAsIxAsIsx 101 )()()()]()[()0(])[()( 1111 sBuAsILxAsILtx拉氏反变换得])[( 11 AsILe At由于ttA dBuesBuAsIL0)(11 )(])[(由卷积定理有43ttA dBuesBuAsIL0)(11 )(])[(tAAt dtBuexetx0)()0()(ttAAt dBuexetx0)( )()0()(因此由于最后得到44例 9-7uxx?103210求下述系统状态的时间响应控制量 u为单位阶跃函数。45解：112222()22 2 2t t t tt t t tt L sI Ae e e ee e e e)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3][1ssssssssssAsI由状态转移矩阵46tttttAeeeedtBue0225.05.0)(tttteeeexttx225.05.0)0()()(220,5 0,5()tttteextee若初始状态为零状态，则47)()()( sBUsAXssX)()()( sDUsCXsY四、传递函数矩阵BuAxx （ 9-58）系统状态方程DuCxy （ 9-59）输出方程拉氏变换为48解出定义传递函数矩阵为)()()( 1 sBUAsIsX)(])([)( 1 sUDBAsICsYAsIAsIa d jAsI )()( 1DBAsICsG 1)()( （ 9-63）49所以特征方程为AsIDAsIBAsIC adjDBAsIAsIadjCsG )()()(0|| AsI50例 9-8设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。1 1 12 2 211220 1 1 00 2 0 11001x x ux x uyxyx51解：0 1 1 0 1 0,,,00 2 0 1 0 1A B C D已知11111 ( 2 )()2 102s s s ssI Aoss故521( ) ( )111 0 1 0( 2)0 1 0 110211( 2)102G s C sI A Bs s sss s ss53例 9-90 1 0 00 0 1 06 11 6 1Ab设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。54解：3210| | d e t 0 1 6 1 1 6 06 1 1 6| | ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 0ss I A s s s sss I A s s s系统的特征方程为特征方程的根为 -1,-2和 -3。矩阵 A的特征值也为 -1,-2和 -3。两者是一样的。55五、动态方程的可逆线性变换DuCxyBuAxxuDxCyuBxAxxPx 1Pxx?其中 P 是 n&#215; n 矩阵1 P A PA 1 CPCB P B?56特征多项式AsIAsIPPAsIPPPAsIPPAsIPP A Ps P PP A PsIAsI1111111)(特征多项式没有改变。57DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPDPBPAPs P PCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()(])([)()()(传递函数阵传递函数阵没有改变58例 9-10对例 9-9之系统进行坐标变换，其变换关系为试求变换后系统的特征方程和特征值。1122331 1 11 2 31 4 9xxxxxx59解：根据题意求变换矩阵 1111 1 1 3 2,5 0,51 2 3,3 4 11 4 9 1 1,5 0,5PPx P A P x P bu代入601 3 2| | ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 6 1 1 6 0s I P A P s s s s s s特征方程为特征值为 -1,-2,-3，与例 9-9结果相同。可得619-2 线性系统的可控性和可观测性在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是否能控制状态的变化’’和“状态的变化能否由输出反映出来’’这样两个问题。返回子目录62一、准备知识设 A 是 n&#215; n 矩阵,x 是 n&#215; 1 向量,齐次方程组若 |A|=0,（ 9-70） 式存在非零解；若 |A|≠ 0,（ 9-70） 式只有零解 。Ax=0 （ 9-70）1、齐次方程组的非零解632,Cayley-Hamilton定理Cayley-Hamilton定理指出，矩阵 A满足自己的特征多项式。则 A满足11 1 0()nnnf I A a a a（ 9-71）0)( 0111 IaAaAaAAf nnn?（ 9-72）A的 特征多项式64应用 Cayley-Hamilton 定理)( 0111 IaAaAaA nnn10)(nkkkAt Ate?（ 9-78）1 2 0,,,nnA A A A I,Ate )(,nkA k?对于矩阵指数 可以用来表示。65例 9-11解,矩阵 A的特征多项式22| | ( 1 ) 2 1IA1201A100?A?要求计算矩阵 的66矩阵 A满足自己的特征多项式，有2324323243( 1 )nA A IA A A A IA A A A IA nA n I100 1 2 0 01 0 0 9 901A A I本题中 n=100，故有673 引理nbAbAAbbr a n k n ][ 12?的充分必要条件是,存在 使01?t101 ),0(ttATAt dtebbetW T（ 9-80）非奇异。这里 A,n&#215; n,b,n&#215; 1.68若对任意状态,存在一个有限时刻 和控制量,能在 时刻将状态 转移到 0，则称此系统的状态完全可控。)( 0tx 0tt f?)(tuft )( 0tx二、线性系统的可控性1 定义对于任意时刻 和,若存在控制向量,能将 的每个初始状态 转移到 时刻的另一任意状态,则称此系统的状态完全可控。)(tu0t ft0tt?ftt?)( 0tx ()fxt等价的定义69例如图 9-10二维系统状态转移过程如图所示系统可控。702 可控性判据其中 A (n&#215; n),b (n&#215; 1),c (1&#215; n),d (1&#215; 1)系统可控的 充分必要条件 是ducxybuAxx（ 9-84）（ 9-85） nbAAbbr a n k n 1（ 9-86）单变量线性定常系统71证明：将 u(t) 代入式 (9-54)，可得]xex)[t,0(Web)t(u 1At0f1tAT fT（ 9-87）若式 (9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在 t1&0，使得 (1-30)式定义的 W(0,t1)矩阵非奇异，取 t1为可控性定义中的 tf,且在 [0,tf ]上定义72由定义可知式 (9-86)成立时，系统可控。ffTfft01At0f1AT)t(A0Atf d]}xex)[t,0(Web{bexe)t(x11AtAt0At0At1Att0f1ATAAt0t0f1ATAAt0Atxxeexexedxe)t,0(Webbeedx)t,0(WebbeexeffffffTffTff73再证明若系统可控，则式 (9-86)成立根据凯莱 ― 哈密尔顿定理 d)(bue)0(xft0A（ 9-88）1n0mmmA A)(e （ 9-89）假定系统由任意初始状态被控制到零状态，即x(tf)=0 。根据 (9-54)式，则有74把 (9-89) 式代入 (9-88) 式，得记d)(u)(bA)0(xft0m1n0mm0( ) ( ) ( 0,1,2,,1 )ftmmu d u m nm1n0mm ubA)0(x这时0111( 0 ) nnuux b A b A bu（ 9-90）75由于 x(0)是任意的 n维向量,(9-90)式要有解，一定有 (9-86)式成立，即n)bAbAAbb(r a n k 1n2由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于 (9-84)式中的 A阵和 b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为 S，这样，可控的充要条件就写成,rankS=n 或detS≠0 。76图 9-11 不可控系统77例子系统可控uxx1100410201229414212102 bAAbbPc01d e tcP系统783 约当型方程的可控性判据约当块的一般形式为111111001由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。79可控的充分必要条件为① 同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。②每一约当块最后一行，所对应的 b中的元素不为零。这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。80例 9-12ubbbbx11x43212211系统状态方程为i21 b,,试确定系统可控时,应满足的条件。81解：0bb)( 4221如果用直接计算可控性矩阵的方法也可得到同样结果,因为 A阵有两个若当块，根据判据的 (1)应有,由判据的 (2),A的第二行所对应的 b中的元素 b2,b4均不为零，因此系统可控的充要条件为21824、可控标准形uxxn100010000010000101210（ 9-92）则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形式83(9-92)式的形式被称为单输入系统的可控标准形 。对于一般的单输入 n维动态方程(9-93)其中 A,b分别为 n&#215; n,n&#215; 1的矩阵。成立以下定理：若 n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。buAxx84下面给出变换矩阵 P的构成方法① 计算可控性矩阵 S；② 计算,并记 的最后一行为 h。③ 构造矩阵 P④ 令1S?21nhhAP hAhAPxx?1S?1 P A PA PBB? 1 CPCDD? 即可求出变换后的系统状态方程。85例 9-13设系统状态方程为试将系统状态方程化为可控标准形。u110x041020122x86解：先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。故系统可控。一定可将它化为可控标准形。0Sd e t941421210bAAbbS287此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是 A阵特征式的系数，但符号相反。则变换矩阵为112h112225012S 1102121012P324223112P 188可求出 12 1 1 2 2 1 2 1 03 2 2 0 2 0 1 2 14 2 3 1 4 0 2 0 10 1 00 0 12 5 4A PA P100110324223112Pbb895 系统按可控性进行分解系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，现在研究不可控的情况，这时应有 nnbAAbbr a n k 11n下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理90若单变量系统 (9-84,85)式的可控性矩阵满足 (9-103）式，则存在可逆线性变换矩阵 P，使得变换后的系统方程具有以下形式式中 是 n1维向量,是 n2维向量，并且1 2 1 114221122( 9 1 0 4 )0 0( 9 1 0 5 )A A x bxuAxxxy c c d ux 111n1111 nbAbAbr an k 1db)AsI(cdb)AsI(c 111n11 1（ 9-106）（ 9-107）1x 2x91(9-106)式表明下面的动态方程是可控的：（ 9-107)式表明的动态方程式 (9-108,109)和原来的 n维动态方程式 (9-84,85)具有相同的传递函数。或者说 传递函数中未能反映系统中不可控的部分。duxcyubxAx111111（ 9-108）（ 9-109）92证明： nnbAbAbAAbbr a n k 11nn1n 11 （ 9-110）考察 (9-103)式，并将它重新写出如下 11n nbAAbbr a n k 1进而可以证明1nn21 q,,q,q补充选取线性无关的向量11,,,,,,,211 nnn qqqbAAbb并使得向量组线性无关。93令]q,,q,q,bA,,Ab,b[P 11 nn211n1若将 (9-104,105)式所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能更直观地体现出来,(9-104，105)式的系统方块图如图 9-12所示。Pbb,P A PA 1即可证明 具有定理所要求的(9-104)的形式。94图 9-12 系统按可控性分解95从图 9-12中可见，控制输入不能直接改变 也不能通过影响 间接改变,故这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。1x 2x2x96例 9-14设有系统方程如下其传递函数为试进行可控性分解 。 x001yu010x110010011x?2)1s(1)s(g97解：210111210bAAbbS 2系统的可控性矩阵由于 S的第 3列是第 1列与第 2列的线性组合，系统不可控 。1 ( 0 0 1 ) Tq?选取98计算出10 1 01 1 00 1 1P b A b q?010cPc,001Pbb,100021010P A PA11构成1 1 01 0 01 0 1P99故有因而得10c01b21 10A 111 210 01r a nkbAbr a nk 111 )s(g)1s(1012s11s10b)AsI(c211111100三、线性系统的可观测性设 n维单变量线性定常系统的动态方程为cxy,buAxx (9-113,114)如果在有限时间间隔 [0,t1 ]内，根据输出值 y(t)和输入值 u(t)，能够唯一确定系统的初始状态 x(0)的每一个分量，则称此系统是 完全可观测 的，简称 可观 的。式中 A,b,c分别为 矩阵。1,可观测性的定义,1,1n n n n101若系统中至少有一个状态变量是不可观测 (不能被确定 )的，则称系统不可观。图 9-13 不可观测系统102分析 (9-117)式，当知道某一时刻的输出时，(9-117)式是 n个未知量 x(0)的 (一个 )方程，显然不能唯一确定初值，要解出 x(0),必须要利用一段时间上的输入和输出的值。将 (9-117)式左乘一个列向量，再从 0到 t1积分就可得到 n个未知数 x(0)的 n个方程。就可利用线性方程组存在唯一解的条件来研究。()0( ) ( ) (0 ) ( )tA t A tg t c x t c e x c e b u d(9-117)我们考虑没有外作用的系统，可求出1032 可观测性判据可观测的 充分必要条件 是ncAcAcr a n k1n(9-118)(9-118)式中的矩阵称为 可观性矩阵 。并记为 V。104式（ 9-118）又可以写成d e t 0V?n]c)A(c)A(cAc[r a n k T1nTT2TTTT取 x(0)= α,这一非零的初始状态引起的输出为 AtAt ce)0(xce)t(y （ 9-120）0dtceced e t)t,0(Vd e t Att0TtA11T根据准备知识中的引理，存在105将 代入上式，得显然 α 不可能由 y(t)=0来确定。即系统不可观测。1n0kkkAt A)t(e100 1 11( ) ( ) ( 0)( ) ( ) ( ) 0nkkknny t c t A xccAt t tcA1062 0 30 1 110x x uyx试判断系统的可观测性。设系统动态方程为例题 9-15107解：系统的可观性矩阵是奇异的，故系统不可观测。0201cAcV系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。108事实上111n1n111111nVPPcAcAc)P A P(cPP A PcPcPAcAccV1P?因为 是可逆阵，所以上式两端矩阵的秩相同。1093 对偶原理上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称系统 Ⅰ,Ⅱ 是互为 对偶 的系统。cxy,buAxxzbw,vczAz TTT系统 Ⅰ系统 Ⅱ110对偶原理系统 Ⅰ 的可控性 (可观性 )等价于系统 Ⅱ 的可观性(可控性 )。只要写出系统 Ⅰ 的可控性矩阵 (可观性矩阵 )和系统Ⅱ 的可观性矩阵 (可控性矩阵 )即可证明以上结论。利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。111应用：若式 (9― 113)和式 (9― 114)的动态方程中 A阵具有约当标准形，则系统可观测的 充分必要条件 为①同一特征值对应的约当块只有一块。②每一约当块的第 1列所对应的 c中的元素非零。上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可以由对偶系统的可控性判据得到。112例 9-16设动态方程为试确定系统可观测时应满足的条件。 ii c,?xccccyu2010x11x43212211113解：x2010yuccccx1010x43212211由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要条件为.0c,0c,3121这也就是原系统可观测的条件。构造原系统的对偶系统如下：1144 可观测标准形一个单输出系统如果其 A,c 阵有如下的标准形式，它一定是可观测的。（ 9-122） 式称为单输出系统的可观测标准形。01210 0 0 01 0 00 1 0 0 0 0 0 10 0 00 0 1nAc （ 9-122）115xcy,ubxAx通过对偶原理证明：给定系统方程如下cxy,buAxx)xMx(xMx 1 （ 9-123）若有等价变换将其化为可观测标准形式中 具有 (9-122)的形式。Ac和116构造原系统的对偶系统根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系统一定可控。zbw,uczAz TTTPzz? 化为下列的可控标准形，其变换矩阵为 P.zcw,ubzAz 11111111 PbcPcbPPAA TTT,，117因此有TT11TT1T1TT1cPbb)P(cAP)P(AcMcbMbAMMA11TPM? （ 9-134）比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。118例 9-17系统动态方程为将系统动态方程化为可观标准形，并求出变换矩阵。 x11y,u11x1111x119解：显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的 A,b阵，分别为11b,1111A根据 A,b阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出 P阵：120计算可控性矩阵 S0121AbbS5.05.0h5.05.0100121S 11015.05.0hAhP由 (9-128)式求出 P阵1120M,05.015.0015.05.0PM 1TT由 (1-60)式求出 M阵121式中1005.015.011cMc02111120bMb212005.015.011111120AMMA111225 系统按可观性进行分解系统可观测，则通过等价变换可以化为可观测标准形。现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。若 (9-113,114)的系统不可观测，且nncAcAcr an k21n123则存在可逆矩阵 P，将动态方程化为式中 是 n2维向量,是 n-n2维向量，并且1x 2xnnAcAccr a n k 21n111112（ 9-137）211212143121xx0cyubbxxAA0Axx（ 9-135）（ 9-136）124(9-135,136)的式子也可用图 9-14表示。这可以用前面证明可观标准形的方法论证。(9-137)式表明 n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可观的； 这部分状态变量是不可观的； (9-138)式表明传递函数未能反映系统的不可观部分。 2x11111 )()( 1 bAsIcbAsIc n系统按可观性分解的结果 (9-138)125图 9― 14 系统按可观测性分解由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。126四、可控性、可观测性与传递函数的关系)s(D)s(NAsIb)AsI(cad jb)AsI(c)s(g 1?（ 9-141）对应的传递函数为cxy,buAxx （ 9-140）考虑单变量系统，其动态方程为1,可控性、可观测性与零、极点对消问题127式中：AsI)s(Db)AsI(c a dj)s(NN(s)=0的根称为传递函数 g(s)的零点,D(s)=0的根称为传递函数 g(s)的极点。下面是本段的主要结果。定理 动态方程式 (9-140)可控、可观测的充分必要条件是 g(s) 无零、极点对消，即 D(s)和 N(s)无非常数的公因式 。128证明：首先用反证法证明条件的必要性，若有 s=s0既使N(s0)=0，又使 D(s0)=0，由 (9-141)式即得0b)AIs(c a d j,0AIs 00(9-143)利用恒等式IAsI b)AsI(ca d j)AsI()AsI)(AsI( 1I)s(D)AsI(adj)AsI(可得(9-144)129将 s= s0代入 (9-144)式，并利用 (9-143)式，可得)AIs(A a d j)AIs(adjs 000(9-145)将上式前乘 c、后乘 b后即有0)s(Nsb)AIs(c a d jsb)AIs(c A a d j 00000（ 9-146）将 (9-145)式前乘 cA、后乘 b后即有0b)AIs(cA a d jsb)AIs(a d jcA 0002（ 9-147）130依次类推可得0b)AIs(adjcA0b)AIs(adjcA0b)AIs(cA a d j0b)AIs(ca d j)s(N01n0200这组式子又可写成0b)AIs(adjcAcAc01n131出现矛盾，矛盾表明 N(s)和 D(s)无相同因子，即 g(s)不会 出现零、极点相消的现象。因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故有0b)AIs(a d j 00ss1b)AIs(a d j1n000又由于系统可控，不妨假定 A,b具有可控标准形 (9-92)的形式，直接计算可知（ 9-148）132例 9-18设系统动态方程为1010101 4 6 4 11 2 1 0x x uyx不难验证系统是可控、可观测的。133显然 N(s)和 D(s)无非常数的公因式，这时传递函数没有零、极点相消。事实上422342)1s()1s(1s4s6s4s1s2s)s(g1s4s6s4sAsI)s(D1s2sb)AsI(c a d j)s(N2342分别计算1342 传递函数的最小阶动态方程实现已知动态方程，可以用 (9-64)式计算出传递函数。如果给出传递函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题称为 传递函数的实现 问题。如果又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为 传递函数的最小实现 问题。135设给定有理函数011n1nn011n1n011n1nn011n1nn0asasasbsbsbdasasasdsdsdds)s(g(9-149)(9-149)式中的 d 就是下列动态方程中的直接传递部分ducxy,buAxx (9-150)所以只需讨论 (9-149)式中的严格真有理分式部分。136给定严格真有理函数011n1nn011n1nasasasbsbsb)s(g(9-151)要求寻找 A,b,c，使得)s(gb)AsI(c 1(9-152)并且在所有满足 (9-152)式的 A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的小。下面分两种情况讨论137① 可控标准形的最小阶实现式 (9-153)对 (9-151)式，可构造出如下的实现 (A,b,c)1n101n210bbbc1000b1000001000010A(9-153)（ 1） g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况1381000cbbbb10001001000A1n101n210(9-154)② 可观标准形的最小阶实现(9-153)式给出的 (A,b,c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是 (9-151)的传递函数。由于 g(s)无零、极点对消，故可知 (9-153)式对应的动态方程也一定可观。同样可以说明 (9-154)式是 (9-151)的可观标准形的最小实现。139若 g(s)的分母已经分解成一次因式的乘积，通过部分分式分解，容易得到约当标准形的最小阶实现。现用例子说明,设 g(s)有以下的形式)s(c)s(c)s(c)s(c)s()s(bsbsbsb)s(g)s(u)s(y4413212311431012233(9-155)③ 约当标准形的最小阶实现因为 g(s)无零、极点对消，故可知上式中 c1c4均不为零。140令)s(us1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(us1)s(x44213113121213uxxxxxxxxuxx44421113212313分别对应于141而 xcxcxcxcy综合上面各式并令 x=[x1 x2 x3 x4]T可得xccccyu1100x001001x43214111由若当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是可控、可观测的，因而它是 g(s)一个最小阶实现。142若 g(s)的分母是 n阶多项式，但分子和分母有相消的公因式时,这时 n 阶的动态方程实现就不是最小阶实现，而是非最小实现,(或是不可控的，或是不可观的，或是既不可控也不可观的 )。 g(s)的最小实现的维数一定小于 n。（ 2） g(s)的分子和分母有相消因式的情况143例 9-19设 g(s)的分子 N(s)=s+1,而分母 D(s)=,分子与分母有公因子 (s+1) 。1s2s2s 23仿照 (9-153)式，可写出 g(s)的一个三维的可控标准形实现x011yu100x221100010x无须验证这个实现是可控的144x100yu011x210201100x因此这一实现是不可观的。同理，如果按 (9-154)式构造如下的可观测标准形的三维实现，它一定是不可控的。2r a n k V121110011V?计算可观测性矩阵145当然也可以构造出 g(s)的既不可控又不可观测的三维实现。现在将分子和分母中的公因式消去，可得1ss11s2s2s1s)s(g223如果用上式中最后的式子，仿照 (9-153)式或 (9-154)式，构造出二维的动态方程实现，它是 g(s)的最小实现。1469-3 状态反馈与状态观测器本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下cxy,buAxx (9-157)令 kxvu (9-158)一,状态反馈和极点配置问题式中的 v 是参考输入,k称为 状态反馈增益矩阵,这里它是 1&#215; n 的向量。返回子目录147图 9-15cxy,bvx)bkA(x (9-159)图 9-15所示的闭环系统的状态空间表达式为式中 A-bk为闭环系统的系统矩阵。将 (9-157)式和 (9-158)式用方框图表示，见图 9-15，它是一个闭环系统。148计算 (9-159)式闭环系统的可控性矩阵，因为)bA,,bA,Ab,b(bAb)bkA()bA,Ab,b(bA))Ab,b(bA)(bkA(b)bkA()Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(bdAbb k bAbb)bkA(2n21n1n232322的线性组合的线性组合的线性组合的线性组合1 状态反馈不影响可控性14910000101bAAbbb)bkA(b)bkA(b1n1n上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有bAAbbr a n k]b)bkA(b)bkA(b[r a n k 1n1n(9-160)因此有150式 (9-160)表明，若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，不论用什么 k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控。这一性质称为 状态反馈不改变系统的可控性。状态反馈可能改变系统的可观测性 。即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析。151例 9-20系统的动态方程如下 xccy,u10x1011x 21下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统可观测性的关系。152可观任意 可观01可观[1 1]11不可观[1 2] 可观11不可观[0 1]10可观[1 1] 不可观10闭环系统k 原系统c2c1可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、是否发生零极点对消来说明。1532 状态反馈对闭环特征值的影响闭环方程 (9-159)中的系统矩阵 A-bk的特征值，一般称为闭环的极点。闭环系统的品质主要由闭环的极点所决定，而稳定性则完全由闭环极点所决定。通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为 状态反馈进行极点配置问题 。154证明：定理：闭环方程 (9-159) 的系统矩阵 A-bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置，其充分必要条件是 (9-157)式的系统可控。先证充分性因为 (9-157)式的系统可控,则存在可逆矩阵 P，将(9-157)式的系统通过 的变换化为可控标准形。Pxx?1551n101n10cccc100baaa1010AxcyubxAx式中(9-161)现引入1n10 kkkk（ 9-162）156这时 (9-158)式的状态反馈式可写为：考虑矩阵xkvxkPvkxvu 1PkkkPk 1)ka()ka()ka(1110kbA1n1n1100157它的特征式为由于)]kbA(sId e t [)ka(s)ka(s)ka(s nn)]P b k PP A P(sId e t [)]kbA(sId e t [ 11)]bkA(sId e t [}P)]kbA(sI[Pd e t { 1故 的特征式即是 的特征式，所以 和有相同的特征值。bkA? kbA?bkA?kbA?158设任意给定的闭环极点为,且n21,,,011n1nnn21 sss)s()s)(s((9-166)式中 完全由 所决定。比较 (9-165a)式和 (9-166)式可知，若要 (9-166)的根为,需有)1n,,2,1i(i i?i?iiiiiiak)1n,,1,0i(ka(9-167)这说明任意给定闭环 n个极点，均可通过 (9-167),(9-163)式确定，使 A-bk具有给定的 n个特征值，充分性证毕。159必要性若系统 (9-157)可任意配置闭环特征值，要证明系统(9-157)可控。用反证法，若系统 (9-157)不可控，则存在一个可逆矩阵，通过等价变换后，可将 (9-157)式转换为(9-104,105)的可控分解形式。考虑矩阵4212111211421A0kbAkbAkk0bA0AAkbAkA4的特征值不受 的影响，即 A-bk中的一部分特征值不受 k的影响，这与可任意配置 A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系统 (9-157)可控。160以上定理的充分性证明中，已给出通过可控标准形来选择 k阵，使闭环具有任意要求的特征值的计算步骤，现归纳如下① 计算 A的特征式011n1nn asasas)AsId et (② 由所给的 n 个期望特征值,计算期望的多项式n21,,,011n1nnn21 sss)s()s)(s(161④ 根据 (9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵 PPkk?⑤ 求出反馈增益阵上述步骤中有化可控标准形这一步。如果不经过这步，也可直接求 k。)aaa(k 1n1n1100③ 求 k162u1010x01100100001000010x系统状态方程为若加状态反馈使闭环特征值分布为{-1,-2,-1+j,-1-j}，试求状态反馈增益阵 k。例 9-21163方法一、通过化可控标准形求解()d e t ( ssssAsI① 计算 A的特征式② 由所给的 4 个期望特征值，计算期望的多项式4s10s10s5s)2s2s)(2s)(1s( 2342解：164⑤ 求出反馈增益阵100001001.01.0001.001.0PPkk? =[-0.4 -1 -21.4 -6 ]④ 根据 (9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵 P③ 求[k165方法二：令,计算 A-bk的特征式4321 kkkkk?4 3 22 4 1 3 2 1( ) ( 1 1 ) 1 0 1 0s I A b ks k k s k k s k s k比较两个特征式的系数可得4k10,10k10,1011kk,5kk 123142所以可得 k=[-0.4 -1 -21.4 -6 ]166最后强调：在极点配置定理中,,任意配置,是和系统可控等价的。若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值时，才是可配置的。167例 9-22设系统状态方程为这一系统是不可控的。uxx11101000010000200012若指定闭环特征值 {-2,-2,-1,-1},{-2,-2,-2,-1}1681100010000100001P11000100001000011P10000100002000121PAP0110Pb0210 kkkk?令169有100001020012210210kkkkkkkbA20112 )2(42)4( skksks441k442 01 kk所以0 Pkk02?k令170对 {-2,-2,-2,-1}100001020012210210kkkkkkkbA)( kbAsI)1](442)4()3([
skkkskkkskks)1()2( 3 ss84421246321021021kkkkkkkk171所以有但若指定闭环特征值为 {-2,-2,-2,-2},就找不出 k来达到这一配置要求。 091980364k 091980364Pkk172例 9-23)2s)(1s(s10)s(u)s(y有一系统的传递函数为要求用状态反馈的方法，使得闭环系统的特征值为 -2,-1+j,-1-j。173解：首先要将系统用状态方程写出，即构造出传递函数的实现，为了计算方便，取可控标准形实现 x0010yu100x3201010x?反馈增益向量 k可写成210 kkkk?闭环系统的特征方程为0ks)k2(s)k3(s 01223174状态反馈系统的方框图如图 9-16所示。按给定极点，期望多项式为4s6s4s)j1s)(j1s)(2s( 23比较上两特征多项式，令 s同次的系数相等，可得1k4k4k 210或 k=[4 4 1 ]175图 9-16 例 9-23在引入状态反馈后的结构图176二、状态观测器为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。因此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型来对状态变量进行估计。状态观测器又称状态渐近估计器。177图 9-17状态的开环估计一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，见图。178由于图 9-17中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以用图 9-17得到的估计值是一个开环估值。一般系统的输入量 u和输出量 y均为已知，因此希望利用 y=cx与的偏差信号来修正 的值，这样就形成了图 9-18的闭环估计方案。x?cyx?179图 9-18 状态的闭环估计方案180根据图 9-18所表示的关系可写出观测器部分的状态方程Hybux?)HcA()x?cy(Hbux?Ax (9-169)由 (9-169)式和系统方程式可求出观测误差应满足的方程式x?xx~x~)HcA()x?x)(HcA()xx?(Hc)x?x(A]Hc xbux?)HcA[(buAxx?xx~(9-170)181(9-170) 式表明，只要 A-Hc的特征值均在复平面的左半部,随着 t 的增长而趋向于零，而且趋于零的速度由 A-Hc 的特征值所决定。于是有下面 极点可任意设置的状态观测器定理x~定理,若系统 (A b c)可观测,则 (9-169)式给出了系统的一个 n 维状态观测器，并且观测器的极点可以任意配置。182例 9-24系统的动态方程为试设计一个状态观测器，观测器的特征值要求设置在 {-10,-10} 。 x02yu10x3210x183解：将观测器增益矩阵 H 写成0h20h202hhHc,hhH212121观测器的特征方程为0)2h2h6(s)3h2(s3sh221h2s)HcA(sI211221184根据给定的特征值，可求出期望的多项式为1 0 0s20s)10s( 22比较上述两多项式中 s的同次项系数得5.23h,5.8h 21因此观测器的方程为y5.235.8u10x?349117x185三、由被控对象、观测器和状态反馈构成的闭环系统若原系统 (对象 )方程为cxy,buAxx (9-171)现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统的状态变量 x 形成状态反馈，即x?x?kvu (9-172)而观测器的方程为Hybux?)HcA(x (9-173)186由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方框图如图 9-19所示。图 9-19 带观测器的状态反馈系统187将 (9-172)式代入 (9-171)式和 (9-173)式，可分别得到buH c xx?)bkHcA(x?cxy,bvx?bkAxx(9-174)(9-175)TTT ]x?x[取状态变量为x?x0cyvbbx?xbkHcAHcbkAx?x(9-176)(9-177)188将 (9-176),(9-177)式的动态方程进行如下的坐标变换x?xII0Ix~x (9-178)II0IPII0IP 1所得到的动态方程为：x~x0cyv0bx~xHcA0bkbkAx~x(9-179)(9-180)189b)]bkA(sI[c)s(g 1f闭环系统的传递函数可以通过 (9-179)式、(9-180)式来计算。从 (9-179)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下)]HcA(sId et [)]bkA(sId et [HcA0bkbkAsId etnnn2(9-181)190上式表明,图 9-19所示闭环系统的特征式等于矩阵A-bk 与矩阵 A-Hc 的特征式的乘积，而 A-bk 是状态反馈系统的系统矩阵,A-Hc是观测器的系统矩阵,(9-181)式表明状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的。这个特点表明：若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵 k，然后按观测器的动态要求选择 H,H的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，这个原理通常称为 分离定理 。191通常把反馈增益阵和观测器一起称为 控制器图 9-20 控制器192例 9-25设系统传递函数为希望用状态反馈使闭环的极点为 -4&#177; 6j，并求实现这个反馈的状态观测器，观测器的极点设置在 -10,-10。)6s(s1)s(G193解：由系统的传递函数可知,其二阶动态方程实现是可控且可观的。为了设计观测器方便，现取可观标准形实现，即 x10yu01x61 00x根据题意要求闭环特征方程为052s8s 2194122 hs)h6(s)HcA(sI令两个特征式对应的系数相等，可解出 k1=2,k2=40。再求观测器，根据极点的要求，期望多项式为令,使T21 hhH?求状态反馈 k，令 k=[k1 k2 ] 。求出状态反馈后闭环系统的特征多项式1212 k6ks)k6(s)bkA(sI195与期望多项式相比,得到 h1=100,h2=14。由式可计算出观测器方程为y1410 0u01x20110 00x由对象、状态反馈和观测器构成的整个闭环系统的方框图如图 9-21所示。196图 9-21 例 9-25的反馈控制系统197 dBuetxttA )()(0)( （ 9-183）它在零初始条件的输出&#167; 9-4有界输入、有界输出稳定性设系统的动态方程为CxyBuAxx （ 9-182） bcetg At?令 dutgtxt)()(0 （ 9-184）则有式中 g(t)为脉冲响应函数。返回子目录198传递函数与脉冲响应函数的关系为 bAsIcsG 1 bAsIcbceL At 1定义 Kth,0t若对于成立,称 h(t)有界 。199系统 BIBO稳定的 充分必要条件 为K是一个实的正数。0Kdttg（ 9-187）若所有的有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称系统为 有界输入有界输出稳定,即BIBO稳定 。200证明：充分性1)( ktu? tt dutgdutgty00)()()()()( tt dttgkdutg 0 1110 )()()(Kk 1?设201必要性反证法若有 存在，使得1t10 )(t MdttgM &0)]([)( 1 tgs i g nu ],0[ 1t取有界输入 1 10 0 111 )()()()( t t dtgdutgty这时202令 1t 101 )()( t Mdgty当系统用传递函数描述时，系统 BIBO稳定的充分必要条件 为 g（ s）的极点具有负实部。若式（ 9-182）中的 A阵，其特征值均在复平面的左半部，称动态方程是 渐近稳定 的。203例 9-26分析下列系统的输入、输出稳定性和渐近稳定性。xyuxx10121160204解：系统的特征方程为d e t ( ) ( 1 ) 6 ( 3 ) ( 2 ) 0s I A s s s s系统传递函数31)()( 1sbAsIcsG传递函数极点位于 S左半平面，故系统是输入、输出稳定的。A阵的特征值为 +2,-3。故系统 不是渐近稳定的 。205结论：若系统（ A,b,c）是渐近稳定的，则也是输入、输出稳定的；若系统（ A,b,c）是输入、输出稳定的，且又是可控和可观的，则系统是渐近稳定的。渐近稳定 BIBO稳定2069-5 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法 是通过构造李雅普诺夫函数 (V函数 )来直接判断运动稳定性的一种定性的方法,由于这种方法没有求出微分方程的解，而直接研究方程解的稳定性，因此又称为直接法,目前它仍然是研究系统 (包括时变、非线性 )稳定性的有力工具。这里只针对时不变线性系统渐近稳定的情况介绍二次型形式的 V函数。返回子目录207定理：时不变动态方程 的零解是渐近稳定的 充分必要条件 是对给定的任一个正定对称阵 N，都存在唯一的正定对称阵 M，使得Axx(9-188) 式的矩阵方程称为李雅普诺夫方程。NMAMA T（ 9-188）208例 9-27考虑二维系统试确定平衡状态 x=0是否渐近稳定。2121xx1110xx209解：令 N=1,M由（ 9-188）式来确定。设代入（ 9-188）式，可以得到4221mmmmM10011110mmmmmmmm1110422142211mmmmM2121234221显然 M是正定矩阵。所以系统的平衡状态x=0渐近稳定。210例 9-28考虑二维系统试确定平衡状态 x=0渐近稳定时待定参数 a应满足的条件。a≠02121xx1a10xx211解：令 N=1,M由（ 9-188）式来确定。设4221mmmmM10011a10mmmmmmmm11a042214221代入（ 9-188）式，可以得到212解出2122411221122aamm aaMmm aaa由于二次三项式 大于零,故由 得a＞ 0，这时 也大于零,即 M阵正定的条件为 a＞ 0，这也就得到了系统渐近稳定时,A中的待定参数 a应满足的条件,a＞ 0。2 1aa 1 0m?21 4 2m m m?定理并不意味着,A渐近稳定,M正定，由（ 9― 188）式所得的 N一定正定。,注意213例 9-29设5221M,3111A显然 A的特征值均有负实部,M正定，但按式（ 9― 188）计算出的却不是正定的26222N214由上述定理可知若 渐近稳定,一定存在正定二次型作为它的李雅普诺夫函数，并且是 负定二次型,这一事实的几何意义可说明如下。() TV x x M x?AxxTx N x可认为通过 V函数给状态空间的点赋予了一个正数，于是可把 V函数看作状态空间到原点距离的一种度量。取一正的数列,且 。考察曲面),2,1k(CMxx:S kTknC,CCC k210Clim kk215的非零解 x(t)在状态空间中表示一条曲线，称为 轨线 。 V(x)沿这些曲线的导数另外从几何上看AxxAxx)x(vxxxx)x(vx)x(vx)x(vxx)x(vdt)x(dvTn21n21n1i i0NxxM A xxMxAxxMxMxx TTTTTT216上式中的,即 表示那些椭球面的外法向，而 Ax表示了轨线的方向，表明椭球面的外法向和轨线方向的夹角为钝角，即轨线应由外向里穿过层层的椭球面，最终趋向于原点 。xv)x(gr a dv0Ax)xv( T217本章主要知识点及线索不可观可观不可 控可 控状态空间模型( A,b,c,d )状态方程的解可控标准形对偶原理可观标准形状态反馈 可 任意配置极点分离定理可控性判据可控性分解可观性判据可观 子系统可控标准形实现可观性分解可观标准形实现n 维状态观测器 可任意配置观测器极点传递函数teA可 控子系统对象、观测器、状态反馈组成闭合系统
课件名称：课件分类：电气与自动化课件类型：教学课件文件大小：9MB下载次数：31评论次数：21用户评分：7.4
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