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自动控制原理2016课件(八章全)
第一章 课程的一般概念10 00 10111-1 自动控制的任务和课程体系 1-２自动控制的基本方式1-３对控制系统的性能要求返回主目录4121-1 自动控制的任务和课程体系10 00 1011? 任务：通常，在自动控制技术中，把工作的机 器设备称为被控对象，把表征这些机器设备工 作状态的物理参量称为被控量，而对这些物理 参量的要求值称为给定值或期望值（或参考输 入）。则控制的任务可概括为：使被控对象的 被控量等于给定值。返回子目录412课程体系10 00 1011? 课程的性质和特点 自动控制是一门技术学科，从方法 论的角度来研究系统的建立、分析与设 计。《自动控制原理》是本学科的技术 基础课。412本课程与其它课程的关系：10 00 1011? 基础课程 《电路理论》、《复变函数》、 《模拟电 路》、《电机与拖动》、《大学物理》、《高 等代数》等。 ? 相关课程 《信号与系统》《数字信号处理》《传感器原 理》等。 ? 后续课程 《现代控制理论》、《线性系统》 、《计算机 控制技术》 、《智能控制技术概论》、《人工 智能》、《人工神经网络》等。412下面通过具体例子来说明自动控制和自动控制系统 的概念控制器 气动阀门 流入 Q1 浮子 水箱 H 流出 Q2水位自动控制系统?控制任务：维持水箱内水位恒定；控制器?控制装置：气动阀门 流入 Q1 浮子 水箱气动阀门、控制器；?受控对象： 水箱、供水系统； ?被控量： 水箱内水位的高度；H 流出 Q2水位自动控制系统?给定值： 控制器刻度盘指针标定 的预定水位高度； ?测量装置：气动阀门 流入 Q1控制器浮子 水箱 H 流出 Q2浮子；?比较装置： 控制器刻度盘； ?干扰： 水的流出量和流入量的 变化都将破坏水位保持 恒定；水位自动控制系统由此可见： 自动控制即没有人直接参与的控制，其基本任务是： 在无人直接参与的情况下，只利用控制装置操纵被控 对象，使被控制量等于给定值。 自动控制系统：指能够完成自动控制任务的设备，一 般由控制装置和被控对象组成。是为实现某一控制目 标所需要的所有物理部件的有机组合体。如：智能小 车。1-２自动控制的基本方式10 00 1011测量给定值H干扰比较实测值执行测量自动控制方框图被控对象返回子目录41被控量 H2'在上图中，除被控对象外的其余部分统称为控制装置，它必须 具备以下三种职能部件。?测量元件：用以测量被控量或干扰量。 ?比较元件：将被控量与给定值进行比较。 ?执行元件：根据比较后的偏差，产生执行作用，去操 纵被控对象 参与控制的信号来自三条通道，即给定值、干扰量、被控量。下面根据不同的信号源来分析自动控制的几种基本控制方式? 开环控制 C 按给定值操纵的开环控制 C 按干扰补偿的开环控制 ? 按偏差调节的闭环控制 ? 复合控制一、按给定值操纵的开环控制?开环控制――系统的输出端与输入端之间不存在反馈 回路，输出量对系统的控制作用没有影响。干扰 给定值计算执行受控对象被控量按给定值操纵的开环控制系统原理方框图炉温控制系统给定炉温T0实际炉温T定时开关电阻丝炉子炉温控制系统原理方框图按给定值操纵的开环控制特点：控制装置只按给定值来控制受控对象优点：控制系统结构简单，相对来说成本低。缺点：对可能出现的被控量偏离给定值的偏差没有 任何修正能力，抗干扰能力差，控制精度不高。二、按干扰补偿的开环控制? 定义：利用干扰信号产生控制作用，以及时 补偿干扰对被控量的直接影响。测量计算 执行干扰受控对象被控量特点：只能对可测干扰进行补偿，对不可测干扰以及受控对 象、各功能部件内部参数变化对被控量的影响，系统自身无 法控制。适用于：存在强干扰且变化比较剧烈的场合。水位高度控制系统原理图水位高度控制系统原理方框图三、按偏差调节的闭环控制? 特点：通过计算被控量和给定值的差值来控制被控对象。 优点：可以自动调节由于干扰和内部参数的变化 而引起的变动。 干扰?给定值计算比较 －E执行被控对象被控量测量按偏差调节的系统原理方框图如上图所示，反馈回来的信号与给定值 相减，即根据偏差进行控制，称为负反 馈，反之称为正反馈。这种控制方式控制精度较高，因为无论是干扰的作用， 还是系统结构参数的变化，只要被控量偏离给定值， 系统就会自行纠偏。但是闭环控制系统的参数如果匹 配得不好，会造成被控量的较大摆动，甚至系统无法 正常工作。飞机自动驾驶系统原理图控制任务：系统在任何扰动作用下，保持飞机俯仰角不变。被控对象：飞机。被控量： 飞机的俯仰角 ? 。俯仰角控制系统原理方框图四、复合控制复合控制就是开环控制和闭环控制相结合的一种控制。实质 上，它是在闭环控制回路的基础上，附加了一个输入信号或 扰动作用的顺馈通路，来提高系统的控制精度。 补偿装置R 控制装置被控对象C―a.按输入作用补偿补偿装置R 控制装置n C被控对象―b.按扰动作用补偿1-３对控制系统的性能要求10 00 1011? 定义：通常将系统受到给定值或干扰信号作用后， 控制被控量变化的全过程称为系统的动态过程。工程上常从稳、快、准三个方面来评价控制系统。? 稳： 指动态过程的平稳性。? 快： 指动态过程的快速性。 ? 准： 指动态过程的最终精度。返回子目录412?稳：指动态过程的平稳性控制系统动态过程曲线如上图所示，系统在外力作用下，输出逐渐与期望值一致，则 系统是稳定的，如曲线①所示；反之，输出如曲线②所示，则 系统是不稳定的。?快：指动态过程的快速性快速性即动态过程进行的时间的长短。过程时间越短，说明系 统快速性越好，反之说明系统响应迟钝，如曲线①所示。 稳和快反映了系统动态过程性能的好坏。既快又稳，表明系统 的动态精度高。准： 指系统在动态过程结束后，其被控量（或反馈量） 与给定值的偏差，这一偏差称为稳态误差，是衡量稳 态精度的指标，反映了系统后期稳态的性能。以上分析的稳、快、准三方面的性能指标往往由于 被控对象的具体情况不同，各系统要求也有所侧重， 而且同一个系统的稳、快、准的要求是相互制约的。第二章 自动控制系统的数学模型基本内容 2-1 控制系统微分方程的建立2-2 非线性微分方程的线性化 2-3 传递函数 (transfer function) 2-4 动态结构图2-5 系统的脉冲响应函数 2-6 典型反馈系统传递函数返回主目录曲靖师范学院基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2. 熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。曲靖师范学院返回子目录6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。曲靖师范学院??分析和设计任何一个控制系统，首要任务是 建立系统的数学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量 以及内部各变量之间关系的数学表达式。 ? 建立数学模型的方法分为解析法和实验法曲靖师范学院?解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。?实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。曲靖师范学院总结： 解析方法适用于简单、典型、常 见的系统，而实验方法适用于复杂、非常 见的系统。实际上常常是把这两种方法结 合起来建立数学模型更为有效。曲靖师范学院2-1控制系统微分方程的建立?基本步骤： ? 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 ? 建立输入、输出量的动态联系 ? 消去中间变量 ? 标准化微分方程曲靖师范学院返回子目录列写微分方程的一般方法?例1. 列写如图所示RC网络的微分方程。RuriCuc曲靖师范学院解：由基尔霍夫定律得:1 ur ? R ? i ? C ? idtuc ?1 C? idt(2 ? 1)式中 : i 为流 经 电阻 R 和 电容 C 的 电流 , 消 去中 间变 量i,可得:duc RC ? uc ? u r dtduc T ? uc ? u r dt曲靖师范学院(2 ? 2)令 RC ? T（时间常数），则微分方程为：(2 ? 3)? 例2. 设有一弹簧?质 量? 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将 产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。F(t)Mk y(t)f解：分析质量块m受力，有 外力F, 弹簧恢复力 Ky（t） 阻尼力 fdy(t ) / dt 惯性力 md 2 y / dt 2 由于m受力平衡，所以F(t)Mk y(t)?F ? 0if式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性 力。 曲靖师范学院 将各力代入上等式，则得d y (t ) dy (t ) m ?f ? Ky (t ) ? F (t ) 2 dt dt式中：y――m的位移（m）； f――阻尼系数（N? s/m); K ――弹簧刚度（N/m)。将式(2-4)的微分方程标准化2(2 ? 4)m d y (t ) f dy (t ) 1 ? ? y(t ) ? F (t ) 2 K dt K dt K曲靖师范学院2令 T?m / K ，2? T ? f / K 即? ? f / 2 mK， 则式k ? 1/ K(2 ? 4) 可写成 (2 ? 5)2 d y (t ) dy(t ) 2 T ? 2? T ? y (t ) ? kF (t ) 2 dt dtT称为时间常数， ? 为阻尼比。显然，上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶 线性定常微分方程。曲靖师范学院2－2 非线性微分方程的线性化?在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程 度的非线性，如下图所示。曲靖师范学院返回子目录于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对 其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性 化处理确有必要。对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区 或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影 响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。曲靖师范学院在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y 只在A附近变化，则可对A处的输出―输入关系 函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当? x 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程 （非线性），即小偏差线性化。曲靖师范学院df |x0 ? x ? k ? x，简记为 y=kx。 可得 ? y ? dx 若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则 在平衡点处可展成（忽略高次项）?f ?f z? |( x0 , y0 ) x ? |( x0 , y0 ) y ?xv ?y经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于 线性系统，可采用叠加原理来分析系统。曲靖师范学院?叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或 叫齐次性）。例： 设线性微分方程式为d 2c(t ) dc(t ) ? ? c(t ) ? r (t ) dt dt若 r (t ) ? r1 (t ) 时，方程有解 c1 (t ) ，而 r (t ) ? r2 (t )时， c 方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显 2 (t ) r2 (t ) r (t ) ?＋ r1 (t ) 时，必存在解 然有，当 为 c(t ) ? c1 (t ) ? c2 (t ) ，即为可叠加性。曲靖师范学院若 r (t ) ? ar 为实数，则方程解 1 (t ) 时，a 为 c(t ) ? ac1 (t )，这就是齐次性。上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响 应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增 强若干倍，这就是叠加原理。曲靖师范学院2－3 传递函数 (transfer function)?传递函数的概念与定义线性定常系统在输入、输出初始条件均 为零的条件下，输出的拉氏变换与输入 的拉氏变换之比，称为该系统的传递函 数。曲靖师范学院返回子目录这里，“初始条件为零”有两方面含义：?一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入 ? 0 量及其各阶导数，在t= 时的值为零。 ?二指输入信号作用于系统之前系统是静止的， 即t=0? 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。曲靖师范学院一、传递函数的概念与定义Ur(s)G(s)Uc(s)U c( s ) G( s )? U r( s )曲靖师范学院二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出； ? 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关； ? 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵，见《现代控制 理论》）? ?传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分n 子，分母的阶次是：? m。曲靖师范学院? 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之 对应。这将在第四章根轨迹中详述。 ?传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数， G(s) ? C(s) ／R(s) 因为R(s) ? 1 ，所以， 当 r (t ) ? ? (t ) 时，c(t ) ? L?1 ?C(s)? ? L?1 ?G(s)R(s)? ? L?1 ?G(s)??传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只 是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现 实意义，而且容易实现。曲靖师范学院三、传递函数举例说明?例1. 如图所示的RLC无源 网络，图中电感为L （亨利），电阻为R （欧姆），电容为C （法），试求输入电 压ui(t)与输出电压 uo(t)之间的传递函数。LR iuiCuc曲靖师范学院解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络 作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感 组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对 其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求 的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为 R、 1MCs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。U i (s) ? ? ? Ls ? R ? 1/ ? sC ? ? ? I (s) Uo (s) ? ?1/ sC ? I (s)则传递函数为U o ( s) 1/ sC 1 ? ? U i ( s) Ls ? R ? 1/ sC LCs 2 ? RCs ? 1曲靖师范学院四、典型环节?一个传递函数可以分解为若干个基本因 子的乘积，每个基本因子就称为典型环 节。常见的几种形式有：①比例环节，传递函数为：G( s ) ? K曲靖师范学院②积分环节，传递函数为 ③微分环节，传递函数为1 G (s) ? sG( s) ? s④惯性环节，传递函数为⑤一阶微分环节，传递函数为1 G ( s) ? Ts ? 1G( s ) ? ? s ? 1式中：?，T为时间常数。曲靖师范学院⑥二阶振荡环节，传递函数为式中：T为时间常数， ? 为阻尼系数。 ⑦二阶微分环节，传递函数为2 21 G( s) ? 2 2 T s ? 2? Ts ? 1式中： 为时间常数， ? 为阻尼系数 此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间 为 ，该环节的传递函数为：?G(s) ? ? s ? 2?? s ? 1?G( s) ? e?? s曲靖师范学院2－ 4?动态结构图动态结构图是一种数学模型，采用 它将更便于求传递函数，同时能形 象直观地表明输入信号在系统或元 件中的传递过程。曲靖师范学院返回子目录一、动态结构图的概念?系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态 结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、 综合点和引出点。1.信号线表示信号输入、输出的通道。箭头代 表信号传递的方向。曲靖师范学院2. 传递方框G(s) 方框的两侧为输入信号线和输出信号线， 方框内写入该输入、输出之间的传递函数 G(s)。曲靖师范学院3.综合点＋省略时也表示＋?综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符 号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线 的箭头附近标以负号。曲靖师范学院4. 引出点U (s)U (s)表示同一信号传输到几个地方。曲靖师范学院二、动态结构图的基本连接形式1.X(s)串联连接Y(s)G1(s)G2(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输 出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称 为串联连接。曲靖师范学院2.X(s)并联连接G1(s) G2(s)－ ＋ Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并 以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形 式的连接称为并联连接。曲靖师范学院3. 反馈连接R(s) －G(s) H(s)C(s)一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输 入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。曲靖师范学院三、系统动态结构图的构成?构成原则：按照动态结构图的基本连接形式，构 成系统的各个环节，连接成系统的动 态结构图。曲靖师范学院举例说明系统动态结构图的构成?以机电随动系统为例，如下图所示曲靖师范学院?方程组如下：? e ( s) ? ? r ( s) ? ? c ( s)U s (s) ? Ks?e (s) Ua (s) ? KaU s (s)U a (s) ? Ra I a (s) ? La sI a (s) ? Eb (s)M m (s) ? Cm I a (s)Eb (s) ? Kb s?m (s)Js2? m (s) ? M m ? fs?m (s)1 ? c (s) ? ? m (s) i曲靖师范学院? r ( s)? e ( s)? e ( s) ? ? r ( s) ? ? c ( s)U s (s) ? Ks?e (s) Ua (s) ? KaU s (s)U a ( s) ? Ra I a ( s) ? La sI a (s) ? Eb ( s)? r ( s)? e ( s)Eb (s) ? Kb s?m (s)Js2? m (s) ? M m ? fs?m (s)1 ? c (s) ? ? m (s) iM m (s) ? Cm I a (s) ? c ( s)? c ( s)曲靖师范学院? e ( s) ? ? r ( s) ? ? c ( s)U s (s) ? Ks?e (s) Ua (s) ? KaU s (s)U a ( s) ? Ra I a ( s) ? La sI a (s) ? Eb ( s)? r ( s)M m (s) ? Cm I a (s)? eE ( s )(s) ? K U s ( s) s? (s)bKsbmJs2? m (s) ? M m ? fs?m (s)1 ? c (s) ? ? m (s) i? e ( s)? c ( s)KsUs (s)曲靖师范学院? e ( s) ? ? r ( s) ? ? c ( s)U s (s) ? Ks?e (s) Ua (s) ? KaU s (s)U a ( s) ? Ra I a ( s) ? La sI a (s) ? Eb ( s)? r ( s)M m (s) ? Cm I a (s)Eb (s) ? Kb s?m (s)Js2? m (s) ? M m ? fs?m (s)1 ? c (s) ? ? m (s) iU a ( s)? e ( s)? c ( s)KsUs (s)KaU s ( s)曲靖师范学院KaU a ( s)系统各元部件的动态结构图(4)? e ( s) ? ? r ( s) ? ? c ( s)U s (s) ? Ks?e (s)Ua (s) ? KaU s (s)U a ( s) ? Ra I a ( s) ? La sI a ( s) ? Eb ( s)? r ( s)M m (s) ? Cm I a (s)Eb (s) ? Kb s?m (s)Js2? m (s) ? M m ? fs?m (s)1 ? c (s) ? ? m (s) iU a ( s)? e ( s)? c ( s)KsUs (s)Ka1 La s ? RaI a ( s)Eb (s)曲靖师范学院系统各元部件的动态结构图(5)m ? e ( s) ? ? r ( s) ? ? ( s ) C cI a ( s)M (s)mM m (s) ? Cm I a (s)U s (s) ? Ks?e (s)Ua (s) ? KaU s (s)U a ( s) ? Ra I a ( s) ? La sI a ( s) ? Eb ( s)? r ( s)Eb (s) ? Kb s?m (s)Js2? m (s) ? M m ? fs?m (s)1 ? c (s) ? ? m (s) i1 La s ? Ra? e ( s)? c ( s)KsUs (s)KaU a ( s)I a ( s)CmMm(s)Eb (s)曲靖师范学院系统各元部件的动态结构图(6)? e ( s) ? ? r ( s) ? ? c ( s)U s (s) ? Ks?e (s)Ua (s) ? KaU s (s)Mm ( s)1 1 2 ? ?f Js) ? fL s s (Js sM m (s) ? Cm I a (s)Eb (s) ? Kb s?m (s)?m ( s )U a ( s) ? Ra I aJs2? m (s) ? M m ? fs?m (s)1 ? c (s) ? ? m (s) iasI a ( s)? Eb ( s)? r ( s)? e ( s)? c ( s)KsUs (s)KaU a ( s)1 La s ? RaI a ( s)CmM m (s)?m (s) 1 Js2 ? f sEb (s)曲靖师范学院系统各元部件的动态结构图(7)? e ( s) ? ? r ( s) ? ? c ( s)bs) ? (s) Eb ( s ) m( U s (s)? ? K s e K sM m (s) ? Cm I a (s)Eb (s) ? Kb s?m (s)Js2? m (s) ? M m ? fs?m (s)1 ? c (s) ? ? m (s) iU a (s) ? KaU s (s)U a ( s) ? Ra I a ( s) ? La sI a ( s) ? Eb ( s)? r ( s)? e ( s)? c ( s)KsUs (s)KaU a ( s)1 La s ? RaI a ( s)CmM m (s)?m (s) 1 Js2 ? f sEb (s)Kb s曲靖师范学院系统各元部件的动态结构图 (8)? e ( s) ? ? r ( s) ? ? c ( s)U s (s) ? Ks?e (s)U a (s) ? KaU s (s)U a ( s) ? Ra I a ( s) ? La sI a ( s)M m (s) ? Cm I a (s)Eb (s) ? Kb s?m (s)Js2? m (s) ? M m ? fs?m (s)1 ? c (s) ? ? m (s) i? m ( s)i ? E1 b ( s)Ks? c ( s)Ka? r ( s)? e ( s)? c ( s)Us (s)U a ( s)1 La s ? RaI a ( s)CmM m (s)? c ( s) ?m (s) 1 1i Js2 ? f sEb (s)Kb s曲靖师范学院四结构图的等效变换?思路：在保证总体动态关系不变的条件下，设法将 原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为 输入量对输出量的一个方框。曲靖师范学院1.?串联结构的等效变换（１）串联结构图G1(s)U(s)R(s)G2(s)C(s)曲靖师范学院1.?串联结构的等效变换（２）等效变换证明推导R(s)G1(s)U(s)G2(s)C(s)C( (s s) ) ? G2 ( s)U ( s) U ( s) ? G1 ( s) R曲靖师范学院1.?串联结构的等效变换（３）等效变换证明推导 G1(s)U(s)R(s)G2(s)C(s)C ( s ) ? G1 ( s )G2 ( s ) R( s ) C ( s) ? G1 ( s )G2 ( s ) R( s )曲靖师范学院1.?串联结构的等效变换（４）两个串联的方框可以 合并为一个方框，合 并后方框的传递函数 等于两个方框传递函 数的乘积。串联结构的等效变换图U(s) C(s)R(s)G1(s)G2(s)R(s)G1(s) ? G2(s)曲靖师范学院C(s)2. 并联结构的等效变换?并联结构图 G1(s)C1(s)? ?R(s)C(s)G2(s)C2(s)曲靖师范学院等效变换证明推导(1)C1 ( s) ? G1 ( s) R( s)G1(s) R(s) G2(s) C1(s) ? ? C2(s) C(s)C2 ( s) ? G2 ( s) R( s)曲靖师范学院2. 并联结构的等效变换?等 效 变 换 证 明 推 导R(s )G1(s) G2(s)C1(s)??C(s )C2(s)C ( s ) ? [G1 ( s ) ? G2 ( s )]R( s ) C ( s) ? G1 ( s ) ? G2 ( s ) R( s ) 曲靖师范学院并联结构的等效变换图R(s)G1(s) G2(s)C1(s) ? C(s)? C2(s)两个并联的方框可 以合并为一个方框， 合并后方框的传递 函数等于两个方框 传递函数的代数和。R(s)C(s)G1(s) ? G2(s)曲靖师范学院3.?反馈结构的等效变换E(s) C(s)反馈结构图 R(s)B(s) ?G(s) H(s)C(s) = ?曲靖师范学院3.?反馈结构的等效变换等效变换证明推导C ( s) ? G( s) E ( s)E(s)R(s)B(s) ?G(s) H(s)C(s)B( s ) ? C ( s ) H ( s ) E ( s ) ? R( s ) ? B( s ) 消去中间变量 E ( s ), B( s )得 G( s) C ( s) ? R( s ) 1 ? G( s) H ( s)曲靖师范学院3.?反馈结构的等效变换反馈结构的等效变换图E(s)B(s)R(s) ?G(s) H(s) R(s)C(s)C(s) G( s ) 1 ? H ( s )G( s )曲靖师范学院4.?综合点的移动（后移）C(s)综合点后移 G(s)R(s)Q(s)?R(s)G(s) ?曲靖师范学院C(s)？Q(s)综合点后移证明推导（移动前）R(s) ? Q(s)G(s)C(s)C ( s) ? [ R( s) ? Q( s)]G( s)曲靖师范学院综合点后移证明推导（移动后）R(s)G(s)?C(s)？Q(s)C ( s) ? R( s) G( s) ? Q( s) ? ?曲靖师范学院综合点后移证明推导（移动前后）R(s) Q(s) ?G(s)C(s)R(s)C(s)G(s)?？移动后Q(s)C ( s) ? R( s) G( s) ? Q( s) ? ?C ( s) ? R( s) G( s) ? Q( s) G( s)曲靖师范学院移动前综合点后移证明推导（移动后）R(s)G(s)?C(s) Q(s)？C ( s) ? R( s)G( s) ? Q( s) ? ? ? R( s)G( s) ? Q( s)G( s)曲靖师范学院? ? G ( s)综合点后移等效关系图R(s) Q(s)?G(s)C(s)R(s)G(s)C(s) ? Q(s)G(s)曲靖师范学院综合点前移R(s)G(s)Q(s)C(s ) ?R(s)?G(s)C(s)曲靖师范学院？Q(s)综合点前移证明推导（移动前）R(s)G(s)Q(s)C(s)?C ( s) ? R( s) G( s) ? Q( s)曲靖师范学院综合点前移证明推导（移动后）R(s) C(s)G(s)?？Q(s)C( s) ? R( s) G( s) ? Q( s) G( s) ? ?曲靖师范学院综合点前移证明推导（移动前后）R(s)G(s)C(s)Q(s) ?R(s)?G(s) ？Q(s)C(s)移动后C ( s) ? R( s) G( s) ? Q( s) ? ?C ( s) ? R( s) G( s) ? Q( s)曲靖师范学院移动前4.?综合点的移动（前移）C(s)综合点前移证明推导（移动后）R(s)?G(s)？Q(s)C( s) ? R( s)G( s) ? Q( s) G( s) ? ? ? R( s)G( s) ? Q( s)曲靖师范学院1 ? ? G( s )4.?综合点的移动（前移）综合点前移等效关系图G(s)C(s)R(s)Q(s) ? R(s) ?曲靖师范学院G(s) Q(s)C(s)1/G(s)综合点之间的移动X(s)R(s)X(s)?Y(s)C(s)?R(s)? ?Y(s) C(s)曲靖师范学院4.综合点之间的移动?结论：X(s) X(s) C(s) Y(s) R(s)R(s)??? ?Y(s) C(s)结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。曲靖师范学院5. 引出点的移动?引出点后移G(s)C(s) R(s) R(s) C(s)R(s)G(s)？R(s)问题： 要保持原来的信号传递关系不变， ？等于什么。曲靖师范学院引出点后移等效变换图R(s)G(s)C(s)R(s)R(s)C(s)G(s)1/G(s)曲靖师范学院R(s)引出点前移R(s)G(s)C(s) R(s) C(s)G(s)？C(s)C(s)问题： 要保持原来的信号传递关系不变， ？等于什么。曲靖师范学院引出点前移等效变换图R(s) G(s) C(s)C(s)R(s)C(s)G(s)C(s)G(s)曲靖师范学院引出点之间的移动B R(s) AB AR(s)曲靖师范学院引出点之间的移动B R(s) A B AR(s)相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。曲靖师范学院五 举例说明（例1）?例1：利用结构图变换法，求位置随动系 统的传递函数Qc(s)/Qr(s) 。ML?r-KsKa -1 RaCm Kbs1 Js 2 ? fs1 i?c曲靖师范学院例题分析?由动态结构图可以看出该系统有两个输入?r，ML （干扰）。 我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入关 系，因此，在求?c对?r的关系时，根据线性叠加原 理，可取力矩 ML＝0，即认为ML不存在。要点：结构变换的规律是：由内向外逐步进行。曲靖师范学院例题化简步骤（1)?合并串联环节：Cm Ra ( Js 2 ? fs )?r-Ka K s-1 i?cKbs曲靖师范学院?r-Ka K s-Cm Ra ( Js 2 ? fs )1 i?cKbs例题化简步骤（2)?内反馈环节等效变换：?r-Ka K s iCm s( JsRa ? fRa ? K bC m )?c曲靖师范学院?r-Ka K s iCm s( JsRa ? fRa ? K bC m )?c例题化简步骤（3)?合并串联环节：Cm K a K s s[ Js Ra ? f Ra ? K bC m ] i?r－?c曲靖师范学院?r－Cm K a K s s[ Js Ra ? f Ra ? K bC m ] i?c例题化简步骤（4)?反馈环节等效变换：?rK s K a C m Ra i Cm K b K s K aC m 2 Js ? ( f ? )s ? Ra Ra i曲靖师范学院?c例题化简步骤（5)?求传递函数Qc(s)/Qr(s) ：? c ( s) K s K a C m Ra i ? ( s) ? ? Cm K b K s K aC m ? r ( s) 2 Js ? ( f ? )s ?Ra Ra i曲靖师范学院五?举例说明（例2）例2：系统动态结构图如下图所示，试求 系统传递函数C(s)/R(s)。H 2 ( s)R( s )－－G1 ( s )G2 ( s )－G3 ( s ) H 3 ( s)G4 ( s )C ( s)H1 ( s)曲靖师范学院例2 （例题分析）?本题特点：具有引出点、综合交叉点 的多回路结构。曲靖师范学院例2 （解题思路）?解题思路：消除交叉连接，由内向外 逐步化简。曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤1）?将综合点2后移，然后与综合点3交换。H 2 ( s)R( s )1－3G1 ( s )－ 2G2 ( s )－G3 ( s )AG4 ( s )BCC ( s)H 3 ( s)H1 ( s)曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤2）R(s)13-?G3 ( s ) G4 ( s )C(s)H 3 ( s)G1 ( s )-G2 ( s )2H1 ( s)曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤3）G2 ( s ) H 2 ( s )-R(s)13G1 ( s )-G2 ( s )2G3 ( s )H 3 ( s) H1 ( s)G4 ( s )C(s)曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤4）?内反馈环节等效变换G2 ( s ) H 2 ( s )-1 R(s) -3G1 ( s )G2 ( s )2G3 ( s )G4 ( s )C(s)H3 (s)H1 ( s)曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤5）?内反馈环节等效变换结果R(s)13G1 (s)-G2 ( s )-G3 ( s ) 1 ? G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )H 3 ( s)G4 (s)C(s)H1 ( s)曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤6）?串联环节等效变换3R(s)1G1 ( s )-G2 ( s )-G3 ( s ) 1 ? G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )H 3 ( s)G4 ( s )C(s)H1 ( s)曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤7）?串联环节等效变换结果3R(s)1G1 ( s )G2 ( s )-G3 ( s )G4 ( s ) 1 ? G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )H 3 ( s)C(s)H1 ( s)曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤8）?内反馈环节等效变换R(s)13G1 ( s )G2 ( s )-G3 ( s )G4 ( s ) 1 ? G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )H 3 ( s)C(s)H1 ( s)曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤9）?内反馈环节等效变换结果C(s) G3 ( s )G4 ( s ) 1 ? G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s ) ? G3 ( s )G4 ( s ) H 3 ( s )H1 ( s)R(s) 1-G1 ( s )G2 ( s )曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤10）?反馈环节等效变换C(s) G3 ( s )G4 ( s ) 1 ? G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s ) ? G3 ( s )G4 ( s ) H 3 ( s )H1 ( s)R(s)1G1 ( s )G2 ( s )-曲靖师范学院例2 （解题方法一之步骤11）?等效变换化简结果C(s)R(s)G3G4G3G4 1 ? G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s ) ? G3G4 H 3 ? G1G2G3G4 H 1曲靖师范学院例2 （解题方法二）?将综合点③前移，然后与综合点②交换。H 2 ( s)R( s )1－3G1 ( s )－ 2G2 ( s )－G3 ( s )AG4 ( s )BCC ( s)H 3 ( s) H1 ( s)曲靖师范学院例2 （解题方法三）?引出点A后移H 2 ( s)－ 3R( s )1G1 ( s )－ 2G2 ( s )－G3 ( s )AG4 ( s )BCC ( s)H 3 ( s)H1 ( s)曲靖师范学院例2 （解题方法四）?引出点B前移H 2 ( s)3R( s )1－G1 ( s )－ 2G2 ( s )－BCG3 ( s )AG4 ( s )C ( s)H 3 ( s)H1 ( s)曲靖师范学院结构图化简步骤小结?确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简， 求得各自的传递函数。 若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交?叉消除，化为无交叉的多回路结构。?对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一 个等效的方框，即得到所求的传递函数。曲靖师范学院结构图化简注意事项：?有效输入信号所对应的综合点尽量不要 移动； 尽量避免综合点和引出点之间的移动。?曲靖师范学院五、用梅森（S.J.Mason） 公式求传递函数?梅森公式的一般式为：nG( s) ??P ?K ?1 KK?曲靖师范学院梅森公式参数解释：G( s) : 待求的总传递函数；?称为特征式， 且? ? 1 ? ? Li ? ? Li L j ? ? Li L j Lk ? ? Pk : 从输入端到输出端第 k条前向通路的总传递函 数；?k : 在?中，将与第k条前向通路相接触的回 路所在项除去后所余下的部分， 称余子式；递函数”之和 ； ? L : 所有各回路的“回路传i?LLii jj: 两两互不接触的回路， 其“回路传递函数”乘 积之和；k?LL L: 所有三个互不接触的回 路，其“回路传递函数 ”乘积之和；n : 前向通道数； 曲靖师范学院注意事项：?“回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。曲靖师范学院举例说明（梅森公式）?例1：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)H4R(s) G1--G2 H2G3-G4 H3G5G6C(s)H1曲靖师范学院求解步骤之一（例1）?找出前向通路数nH4-R(s) G1-G2 H2G3-G4 H3G5G6C(s)H1曲靖师范学院求解步骤之一（例1）H4 R(s)-G1-G2 H2G3-G4 H3G5G6C(s)H1?前向通路数：n＝1曲靖师范学院P1 ? G1G2G3G4G5G6求解步骤之二（例1）?确定系统中的反馈回路数H4-R(s) G1-G2 H2G3-G4 H3G5G6C(s)H1曲靖师范学院1.寻找反馈回路之一H4 R(s)-G1-G2 H2G3-G4 H3G5G6C(s)H1 反馈回路1： L1 = －G1G2G3G4G5G6H11曲靖师范学院1.寻找反馈回路之二反馈回路2： L 2 = - G 2G 3 H 2 R(s)-H4-G1-G2 H2G32-G4 H3G5G6C(s)1H1曲靖师范学院1.寻找反馈回路之三反馈回路3： L 3 = - G 4 G 5H 3 G4 H3 G53 1H4 R(s)-G1-G2 H2-G32-G6C(s)H1曲靖师范学院1.寻找反馈回路 之四反馈回路4： L 4 = - G 3 G 4H 4 H4 R(s)-G1-G2 H2-4-G32G4 H3G53G6C(s)1H1曲靖师范学院利用梅森公式求传递函数(1)1.求?? ? 1 ? ? Li ? ? Li Lj ? ? Li Lj Lk ? ?4?Li ?14i ?1i? L1 ? L2 ? L3 ? L4? L2 L3 ? ( ?G2G3 H 2 )( ?G4G5 H 3 ) ? G2G3G4G5 H2 H3k曲靖师范学院? ?G1G2G3G4G5G6 H1 ? G2G3 H2 ? G4G5 H3 ? G3G4 H4i j?LLi j? L L L 不存在利用梅森公式求传递函数(1)? ? 1 ? ? Li ? ? Li Lj ? ? Li Lj Lk ? ?i ?1 4? 1 ? G1G2G3G4G5G6 H 1 ? G2G3 H 2 ? G4G5 H 3 ? G3G4 H 4 ? G2G3G4G5 H 2 H 3曲靖师范学院利用梅森公式求传递函数(2)2. 求 Pk , ?k?1 ? ?P1 ? G1G2G3G4G5G6曲靖师范学院求余子式?1H4 R(s)-G1-4-G2 H2G32G4 H3G53G6C(s)1H1将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特 征式 ?的求法，计算 ?1曲靖师范学院求余式?1H4 R(s)-G1-4-G2 H2G32G4 H3G53G6C(s)1H1将第一条前向通道从图上除掉后的图H4 R(s)-G1-4-G2 H2G32G4 H3G53G6C(s)1H1图中不再有回路，故?1=1曲靖师范学院3. 求总传递函数CC R ? P1?1利用梅森公式求传递函数 (3)R?G1G2G3G4G5G6 ? 1 ? G1G2G3G4G5G6 H 1 ? G2G3 H 2 ? G4G5 H 3 ? G3G4 H 4 ? G2G3G4G5 H 2 H 3曲靖师范学院例2：用梅森公式求传递函数?试求如图所示的系统的传递函数。G4RG1G2G3 H2CH1曲靖师范学院求解步骤之一：确定反馈回路G4 R G1 G2 G3 H2 CH1L1 ? ?G1G2G3曲靖师范学院求解步骤之一：确定反馈回路G4 R G1 G2 G3 H2 CH1L2 ? ?G1G2 H1曲靖师范学院求解步骤之一：确定反馈回路G4 R G1 G2 G3 H2 CH1L3 ? ?G2G3 H2曲靖师范学院求解步骤之一：确定反馈回路G4 R G1 G2 G3 H2 CH1L4 ? ?G1G4曲靖师范学院求解步骤之一：确定反馈回路G4 R G1 G2 G3 H2 CH1L5 ? ?G4 H2曲靖师范学院求解步骤之二：确定前向通路G4 R G1 G2 G3 H2 CH1P1 ? G1G2G3曲靖师范学院?1 ? 1求解步骤之二：确定前向通路G4 R G1 G2 G3 H2 CH1P2 ? G1G4?2 ? 1曲靖师范学院前向通路数： n?2求解步骤之三：求总传递函数G1G2G3 ? G1G4 ? R 1 ? G1G2G3 ? G1G2 H 1 ? G2G3 H 2 ? G1G4 ? G4 H 2C曲靖师范学院例3：对例2做简单的修改G4 R G1 G2 G3 H2 CH1曲靖师范学院①求反馈回路1G4 R G1 G2 G3 H2 CH1L1 ? ?G1G2G3曲靖师范学院②求反馈回路2G4 R G1 G2 G3 H2 CH1L2 ? ?G1G2 H1曲靖师范学院③求反馈回路3G4 R G1 G2 G3 H2 CH1L3 ? ?G2G3 H2曲靖师范学院④求反馈回路4G4 R G1 G2 G3 H2 CH1L4 ? ?G4曲靖师范学院2.R①两两互不相关的回路1G4 G1 G2 G3 H2 CH1L2 L4 ? (?G4 )(?G1G2 H1 )曲靖师范学院②两两互不相关的回路2G4 R G1 G2 G3 H2 CH1L3 L4 ? (?G4 )(?G2G3 H2 )曲靖师范学院３. ①求前向通路1G4 R G1 G2 G3 H2 CH1P1 ? G1G2G3?1 ? 1曲靖师范学院3. ②求前向通路2G4 R G1 G2 G3 H2 CH1P2 ? G4 ?2 ? 1? G G H ? G G H1 2 1232前向通路数： n?2曲靖师范学院4.求系统总传递函数L1 ? ?G1G2G3 L2 ? ?G1G2 H1 L3 ? ?G2G3 H2 L4 ? ?G4 L2 L4 ? (?G4 )(?G1G2 H1 )L3 L4 ? (?G4 )(?G2G3 H2 ) P1 ? G1G2G3 ?1 ? 1P2 ? G4C?2 ? 1? G1G2 H1 ? G G H2 32P1?1 ? P2 ?2 ? R 1 ? L1 ? L2 ? L3 ? L4 ? L2 L4 ? L3 L4 曲靖师范学院2－5系统的脉冲响应函数概念和定义脉冲响应函数即脉冲过渡函数，就是系统对单位 脉冲函数 ? (t )输入的响应，用k(t)表示。 设系统传函为 ? ( s) ，而 L ?? (t )? ? 1, L ?k (t )? ? K (s) 所以有 ?(s) ? K (s) /1 ? K (s)k (t ) ? L?1 ? K (s)? ? L?1 ??(s)?由此可知系统（或元件）的传函的拉氏反变换 就等于它的脉冲响应。 曲靖师范学院返回子目录对于任意输入信号r(t)，系统输出为c(t)，则C ( s ) ? ?( s ) ? R ( s ) ? K ( s ) ? R ( s )用拉氏变换的卷积定理可得：c(t ) ? ? r (? )k (t ? ? )d?0t(2 ? 5 ? 1)由此可知，对于线性系统，只要知道它的脉冲过 渡函数k(t)，就可以计算出系统对任意输入信号 r(t)的时间响应过程c(t)。注：传递函数简称传函（下同）曲靖师范学院下面用线性系统的叠加原理说明式(2-5-1)的物理含义曲靖师范学院设任意输入信号r(t)，如上图所示，分成一系列宽度 为 ?t 的相邻矩形脉冲。则一矩形脉冲可表为r (n?t ) ? ?t ? ? (t ? n?t )(2 ? 5 ? 2)式中 ? (t ? n?t ) 是发生在 t ? n?t 时刻的理想脉冲。 (2 ? 5表示的矩形脉冲引起的系统输出 ? 2) 则式 为 r (n?t ) ? ?t ? k (t ? n?t，由物理系统的因果关 ) k (t ? n?t ) ? 。由叠 0 系，可知当 t ? n?时，有 t 加原理得：c(t ) ?n?t ? 0? r (n?t ) ? k (t ? n?t ) ? ?t曲靖师范学院t当 ?t ? 0 时，记 ?t ? d? , n?t ? ? ，上式可写为c(t ) ? ? r (? )k (t ? ? )d?0t当系统输入为单位阶跃信号时，则单位阶跃响 应记作h(t)，由(2-5-1)式得h(t ) ? ? 1(? )k (t ? ? )d? ? ? k (? )d?0 0 t t所以知道系统的脉冲响应，就可以惟一确定其单位 阶跃响应，反之亦然，即 dh(t ) k (t ) ? dt曲靖师范学院2－6 典型反馈系统传递函数N R B E G1(s) H(s) G2(s) C输 入： 控制输入 输 出：返回子目录干扰输入由控制作用产生的输出 由干扰作用产生的输出曲靖师范学院一、系统开环传递函数闭环系统的开环传递函数为： G( s) ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 不含极性它是当主反馈回路断开 时反馈信号B(s)与输入 信号之间的传递函数。R B E G1(s) H(s)曲靖师范学院N G2(s) C二、系统在r(t)作用下的闭环传递函数? 令n(t)＝0R B E G1(s) H(s) G2(s) C在r(t )作用下，系统的闭环传 递函数 ? ( s)为：C ( s) G1G2 ? ( s) ? ? R( s ) 1 ? G1G2 HG1G2 C ( s ) ? ? ( s ) R( s ) ? R( s ) 曲靖师范学院 1 ? G 1 G2 H注：该系统为负反馈系统，系统传 函中分母为1+开环传递函数，反 之，若主反馈为正反馈时，则系统 传函为1－开环传函曲靖师范学院三、系统在n(t)作用下的闭环传递函数? 令r(t)＝0N G2(s) G1(s) H(s) C干扰 n(t )作用下的系统闭环传递 函数为：C ( s) G2 ? n ( s) ? ? N ( s ) 1 ? G1G2 HG2 C ( s) ? ?n ( s) N ( s) ? N ( s) 1 ? G1G2 H 曲靖师范学院四、系统总输出线性系统满足叠加原理。 系统总输出的拉氏变换式为：C ( s) ? ?n ( s) N ( s) ? ? ( s) R( s)G1 ( s )G2 ( s ) R( s ) ? G2 ( s ) N ( s ) ? 1 ? G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )曲靖师范学院五、闭环系统的误差传递函数N R B E G1(s) H(s)? 按上图规定误差为：G2(s)Ce(t) = r(t) - b(t)E(s)=R(s)-B(s)曲靖师范学院1. r(t)作用下的系统误差传递函数 ?er (s)此时令n(t)=0，则结构图如下所示E ( s) 1 ?er ( s) ? ? R(s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H (s)曲靖师范学院2. n(t)作用下的系统误差传递函数?en (s)此时令r(t)=0，则结构图如下所示G2 ( s) H ( s) E ( s) ?en ( s) ? ?? N ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s)曲靖师范学院3. 系统总误差N R B E G1(s) H(s) G2(s) CE ( s) ? ? er ( s) R( s) ? ?en ( s) N ( s) ? ?G2 ( s) H (s) 1 R( s ) ? N (s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s)曲靖师范学院六、闭环系统的特征方程式? 无论是系统传递函数还是误差传递函数，它们都有一 个共同的特点，拥有相同的分母，这就是闭环系统的 本质特征，我们将闭环传递函数的分母多项式称为闭 环系统的特征方程式。 ? 它与输入无关，仅与系统本身的结构和参数有关。曲靖师范学院本章引入了传递函数这一基本概念，概念的引入 过程、所介绍的主要内容以及这些内容间的关系 可以用示意图表示如下：拉氏变换(零初条件) (零初条件) 自动控制系统 简化假定 抽象 系统象函数方程组 克莱姆法则物理模型系统系统原理方块图 物理、化学定律 考虑负载效应系统动态结构图( 信号流图)梅森公式 结构图等效变换法则部件微分方程组 线性化方法传递函数 系统增量动态方程组消元法系统输入输出动态关系式 拉氏变换 (零初条件 ) 曲靖师范学院C(s)传递函数概念与后几章的关系可用下图来表示。拉氏反变换传递函数单位脉冲响应函数s ? j?第三章 时域分析 第四章 根轨迹法 第五章 频率域分析曲靖师范学院第 3章时域分析法基本要求3－1 时域分析基础3－2 一、二阶系统分析与计算3－3 系统稳定性分析3－4 稳态误差分析计算返回主目录基本要求 1 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响 应的特点。熟练计算性能指标和结构参数， 特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动 态性能的计算方法。2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。3 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳 定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数 计算、分析。返回子目录4 正确理解稳态误差的概念，明确终值定理 的应用条件。 5 熟练掌握计算稳态误差的方法。6 掌握系统的型次和静态误差系数的概念。控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制 系统的基础，经典控制论中三种分析（时域， 根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法， 都是建立在这个基础上的。曲靖师范学院3－1 时域分析基础一、时域分析法的特点 它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系 统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线 来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这 些性能之间的关系。 这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统 时间响应的全部信息。返回子目录二、典型初始状态，典型外作用 1. 典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相 对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状 态。2. 典型外作用①单位阶跃函数1(t) f(t)其数学表达式为： ?1 t ?0 f ( t ) ? 1( t ) ? ? t &0 ?0 其拉氏变换为：? st ? ? L [ f ( t )] F ( s ) ? 1 e dt ? 0 ?0 1 st②单位斜坡函数 其数学表达式为： ?t f ( t ) ? t . 1( t ) ? ? ?0 其拉氏变换为：?f(t)t ?0 t &00? st1 L [ f ( t )] ? F ( s ) ? ? t e dt ? 2 s 0t③单位脉冲函数其数学表达式为： ?0 t?0 f (t ) ? ? (t ) ? ? t ?0 ??其拉氏变换为：L[ f ( t )] ? F ( s ) ? 1 定义： ? ? ( t )dt ? 1?? ??图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是 不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结 果。④正弦函数其数学表达式为： ?sin ωt t?0 f (t ) ? ? t&0 ? 0 其拉氏变换为：? st ? ? L[ f ( t )] F ( s ) ? sin ω t e dt ? 0 ?f(t)ω 2 2 ? ω s三、典型时间响应?初状态为零的系统，在典型输入 作用下输出量的动态过程，称为 典型时间响应。1. 单位阶跃响应 定义：系统在单位阶跃输入[r(t)=1(t)]作用下的响应， 常用h(t)表示。 若系统的闭环传函为? ( s ) ， 则h(t)的拉氏变换为1 H ( s) ? ?( s) ? R( s) ? ?( s) ? s(3 ? 1 ? 1)故h(t ) ? L ? H (s)??12. 单位斜坡响应 定义：系统在单位斜坡输入[r(t)=t?1(t)]作用下的响 应，常用ct (t )表示。 则有1 Ct ( s ) ? ? ( s ) ? R( s ) ? ? ( s ) ? 2 s(3 ? 1 ? 2)故ct (t ) ? L ?Ct (s)??13. 单位脉冲响应 定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=δ(t) 作用下的响应，常用k(t)表示。 则有K (s) ? ?(s) ? R( s) ? ?( s) ?1 ? ?(s)?1 ?1 k ( t ) ? L K ( s ) ? L 故 ? ? ??(s)?(3 ? 1 ? 3)注：关于正弦响应，将在第五章里讨论4.三种响应之间的关系 由式(3-1-3)可将式(3-1-1)和式(3-1-2)写为： 1 1 H ( s) ? ?( s) ? ? K ( s) ? s s1 1 1 Ct ( s ) ? ?( s) ? 2 ? K ( s) ? 2 ? H ( s) ? s s s相应的时域表达式为h(t ) ? ? k (? )d?0tct (t ) ? ? h(? )d?0t四、阶跃响应的性能指标h(t )h( t p )1误差带t 0tpts1、峰值时间tp：指h(t)曲线中超过其稳态值 而达到第一个峰值所需的时间。 2、超调量?％：指h(t)中对稳态值的最大超 出量与稳态值之比。3、调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳态 值附近?5%h(?)或?2%h(?)误差带，而不再超 出的最小时间。4、稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之 差。注意事项：? %, t s 及ess 三项指标是针对阶跃响 应而言的，对于非阶跃输 入，则只有 稳态误差e ss , 而没有?％和t s。3－2 一、二阶系统分析与计算一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应?定义： 由一阶微分方程描述的系统称为一阶 系统。返回子目录?一阶系统数学模型微分方程：dc(t ) T ? c( t ) ? r ( t ) dtR( s )动态结构图：1 TsC ( s)传递函数： C ( s )1 ? R( s ) Ts ? 1?一阶系统单位阶跃响应输入：r (t ) ? 1(t )1 R( s ) ? s输出：1 1 C ( s ) ? ? ( s ) ? R( s ) ? ? Ts ? 1 s? t TC (t ) ? 1 ? e单位阶跃响应曲线初始斜率： dh(t ) |t ?0 ? 1 dt T性能指标1. 平稳性??： 非周期、无振荡， ?? ＝0 2. 快速性ts：t ? 3T时，c(t ) ? 0.95 [对应5%误差带 ]t ? 4T时，c(t ) ? 0.98 [对应2%误差带 ]3.准确性 ess：ess ? 1 ? c(?) ? 0举例说明（一阶系统）?1.2.3.一阶系统如图所示， 试求： 当KH＝0.1时，求系 统单位阶跃响应的调 节时间ts，放大倍数 K，稳态误差ess； 如果要求ts＝0.1秒， 试问系统的反馈系数 KH应调整为何值？ 讨论KH的大小对系 统性能的影响及KH 与ess的关系。R( s ) B( s )E ( s ) 100 100 s sKH HC ( s)看懂例题3-1并回答上述各题二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应?定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。?二阶系统数学模型二阶系统的微分方程一般式为：d c(t ) dc(t ) 2 2 ? 2 ?? ? ? c ( t ) ? ? n n n r (t ) 2 dt dt2(?n ? 0)? ? 阻尼比?n ? 无阻尼振荡频率二阶系统的反馈结构图R( s )2 2 ? ?nn s ?2 2?? ??nn)) s( (s s?C ( s)二阶系统的传递函数开环传递函数：G( s) ??s( s ? 2??n )2 n闭环传递函数：? C ( s) ? 2 2 R(s) s ? 2??n s ? ?n2 n二阶系统的特征方程为解方程求得特征根： s1,2 ? ??? n ? ? n ? 2 ? 1s ? 2??n s ? ? ? 02 2 ns1,s2完全取决于 ? ，?n两个参数。当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：c(t ) ? A0 ? Ae ? A2e 1s1ts2t式中 A0 , A 1, A 2 为由r(t)和初始条件确定的待定的 系数。①特征根分析― 0 & ? & 1 （欠阻尼）s1,2 ? ???n s ? j?n 1 ? ??2此时s1,s2为 一对共轭复 根，且位于 复平面的左 半部。②特征根分析― ? ? 1（临界阻尼）s1,2 ? ???n ? ?n ? 2 ? 1 ? ??n?此时s1,s2为 一对相等的 负实根。s1=s2=-?n⑷特征根分析― ? ? 1（过阻尼）s1,2 ? ???n ? ?n ? 2 ? 1?此时s1,s2 为两个负 实根，且 位于复平 面的负实 轴上。⑤特征根分析― ? ? 0 （零阻尼）s1,2 ? ???n ? ?n ? 2 ? 1 ? ? j?n??此时s1,s2为 一对纯虚根， 位于虚轴上。 S1,2= ?j?n0 ⑥特征根分析― ?1 & ? &（负阻尼）s1,2 ? ???n ? j?n 1 ? ? 2?此时s1,s2为 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。⑦特征根分析― ? & ?1（负阻尼）s1,2 ? ???n ? ?n ? 2 ? 1?此时s1,s2为 两个正实根， 且位于复平 面的正实轴 上。?二阶系统单位阶跃响应1.过阻尼 (? ? 1) 二阶系统的单位阶跃响应? 1 1 1 C ( s) ? ? ? ? (s ? s1 )(s ? s2 ) s (T1s ? 1)(T2 s ? 1) s2 ns1 ? ???n ? ?n ? 2 ? 1 ? ?1/ T1s2 ? ???n ? ?n ? 2 ? 1 ? ?1/ T21 t T2取C(s)拉氏反变换得：1 h(t ) ? 1 ? e T2 / T1 ? 1?1 t T11 ? e T1 / T2 ? 1?, (t ? 0) (3 ?1 ? 4)过阻尼系统分析?? ??衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝 对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的 离虚轴近，衰减速度慢； 衰减项前的系数一个大，一个小； 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有 振荡和超调，但又不同于一阶系统； 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影 响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产 生的影响小，有时甚至可以忽略不计。过阻尼系统单位阶跃响应c(t)0t与一阶系统阶跃响应的比较c(t)1一阶系统响应二阶过阻尼系统0t二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析1.误差ess ? lim[r ( t ) ? c( t )] ? 0t ??2.响应没有振荡 ?％ ? 0对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 t s ， 它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快 速性的一个方面，但确定 t s 的表达式是很困难的， 一般根据（3－1－4）取相对量 ts / T1 及 T1 / T2 经计算 机计算后制成曲线或表格。2.欠阻尼 (0 & ? & 1) 二阶系统的单位阶跃响应2 ?n C ( s) ? 2 2 R(s) s ? 2??n s ? ?ns1,2 ? ???n ? j?n 1 ? ? 2? ?? ? j?d? ? ??n为根的实部的模值；? d ? ? n 1 ? ? 2 为阻尼振荡角频率二阶欠阻尼系统的输出? 1 c( s ) ? 2 ? 2 s ? 2??n s ? ?n s2 ns ? ??n ??n 1 ? ? ? 2 2 2 s ( s ? ??n ) ? ?d ( s ? ??n )2 ? ?d拉氏反变换得：c(t ) ? 1 ? ec(t ) ? 1 ????nt[cos ?d t ??1? ?2(sin ?d t )]1 1? ? 2e???nt sin(?d t ? arccos ? )二阶欠阻尼系统输出分析?二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态 分量和暂态分量组成。稳态分量值等于 1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为 ωd。下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。?n 对阶 下面根据上图来分析系统的结构参数 ? 、 跃响应的影响? 平稳性（?％）暂态分量的振幅为：A ? e ???nt 1? ? 2?振荡角频率为：? d ? ? n 1 ? ? 2? 越大，ω d越小，幅值也越小，响应的 结论： ? 振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小， ω d 越大，振荡越严重，平稳性越差。当 ? ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为 ?n 的 不衰减（等幅）振荡。阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示?d ? ?n 1 ? ?2?n 越大，振荡频率 ?d ? 在 ? 一定的情况下， 也越高，响应平稳性也越差。结论：对于二阶欠阻尼系统而言， ? 大，?n小，系统响应的平稳性好。? 快速性从图中看出，对于5％误 差带，当 ? ? 0.707时，调 节时间最短，即快速性最 好。同时，其超调量&5％， 平稳性也较好，故称? ? 0.707 为最佳阻尼比。总结： ?n 越大，调节时 ?n 间 t s 越短；当 ? 一定时， 越大，快速性越好。? 稳态精度h(t ) ? 1 ? 1 1? ?2e???ntsin(?d t ? arccos ? )从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应稳态误差为零。欠阻尼二阶系统 单位阶跃响应性能指标?1.上升时间 t s ：令 h(tr ) ? 1，则1?1 1? ?2e???nt sin(?d t ? arccos ? ) ? 1所以：? ? arccos ? tr ? ?d?2.峰值时间 t p：根据极值定理有：dc ( t ) ?0 dt t ? tpsin ?n 1 ? ? 2 t p??n1? ?2e???nt p?0该项不可能为零sin ?n 1 ? ? 2 t p ? 0?n 1 ? ? ? t p ? n?2(n ? 0， 1, 2?)取n=1得 :? ? tp ? ? ?d ?n 1 ? ? 2?3.超调量 ? %：将峰值时间 t p ? ? / ?d 代入下式h(t ) ? 1 ?得:1 1?? 2ee???nt sin(?d t ? arccos ? )h(t )max ? h(t p ) ? 1 ???? / 1?? 21?? 2sin(? ? arccos ? ) ? 1 ? e??? / 1?? 2??? / 1?? 2所以:?%?h(t p ) ? h(?) h(?)?100% ? e?100%?4.调节时间ts写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统 十，经常采用下列近似公式。 当阻尼比 ? & 0.8 时3.5 ts ? (取5％误差带） ??nts ? 4.5??n(取2％误差带）三、二阶系统举例2? 设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入 为单位阶跃时，试计算放大器增益KA＝200，1500， 13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间 tp，调节时间ts和超调量??，并分析比较之。R5K A s( s ? 34.5)C例题解析(1)? 输入：单位阶跃r (t ) ? 1 ? (t )1 R( s ) ? s?系统的闭环传递函数：5K A ? ( s) ? 2 s ? 34.5 s ? 5 K A例题解析(2) 当KA ＝200时1000 ?系统的闭环传递函数： ? ( s ) ? 2 s ? 34.5s ? 1000?与标准的二阶系统传递函数对照得：? n ? 1000 ? 31.6 rad ? s?134.5 ?? ? 0.545 2?n? ? 峰值时间：t p ? ? ? 0.12秒 2 ?d ?n 1 ? ?超调量：?％ ? e调节时间：ts ????1?? 2? 13%3.0??n? 0.17秒例题解析(3)当KA ＝1500时5 ? 1500 ?系统的闭环传递函数： ? ( s ) ? 2 s ? 34.5s ? 7500?与标准的二阶系统传递函数对照得：? n ? 7500 ? 86.6 rad ? s峰值时间：t p ??134.5 ?? ? 0.2 2?n? 0.037秒? ?n 1 ? ??2??84.85??1?? 2超调量：?％ ? e调节时间：ts ?? 52.7%3.0??n? 0.17秒例题解析(4)当KA ＝13.5时67.5 ?系统的闭环传递函数： ? ( s ) ? 2 s ? 34.5 s ? 67.5?与标准的二阶系统传递函数对照得：? n ? 67.5 ? 8.21 rad ? s?134.5 ?? ? 2.1 2?n峰值时间：t p ? ?超调量：?％ ? 0调节时间：ts ? 1无?n(6.45? ? 1.7) ? 1.44秒系统在单位阶跃作用下的响应曲线c(t)KA=1500 KA=200 1 KA=13.50t四 改善二阶系统响应的措施1.误差信号的比例－微分控制系统开环传函为：2 ? C ( s) n (1 ? Td s ) G( s) ? ? E (s) s(s ? 2??n ) 闭环传函为： 2 ?n (1 ? Td s) C ( s) ?( s ) ? ? 2 2 2 R(s) s ? (2??n ? Td?n ) s ? ?n等效阻尼比：1 ? d ? ? ? Td ? n 2可见，引入了比例－微分控制，使系统的等效阻尼 比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改 善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能， 因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能 在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。前面图的相应的等效结构由此知道：c(t ) ? c1 (t ) ? c2 (t )c1 (t ) 和 c2 (t ) 及 c (t ) 的大致形状如下一方面，增加Td 项，增大了等效阻尼比 ? d ，使c1 (t ) 曲线比较平稳。另一方面，它又使 c1 (t ) 加上了 它的微分信号 c2 (t ) ，加速了c(t)的响应速度，但同 时削弱了等效阻尼比 ? d 的平稳作用。总结：引入误差信号的比例－微分控制，能否真正 改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时 间常数 Td 。若 Td 大一些，使 c1 (t )具有过阻尼的 形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性 平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。2.输出量的速度反馈控制 将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输 入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为 速度反馈控制。如下图示。闭环传函为：C ( s) ?( s ) ? ? 2 2 2 R(s) s ? (2??n ? Kt?n ) s ? ?n等效阻尼比：2 ?n1 ? t ? ? ? K t? n 2等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改 善了系统的平稳性。3.比例－微分控制和速度反馈控制比较 ?从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简 单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。 ?从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。 ?从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相 同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是 其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包 围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。五 高阶系统的时域分析?定义：用高阶微分方程描述的系统称为 高阶系统。由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总 是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。 通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个 闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴 较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较 快，只起次要作用，可以忽略。这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、 二阶系统。这就是所谓的主导极点的概念，将在 第四章中详细介绍。 一、二阶系统的极点分布如下：3－3 系统稳定性分析本节主要内容：线性定常系统稳定的概念 ? 系统稳定的条件和稳定性的判定方法。?返回子目录一、系统稳定的概念??是指系统当扰动作用消失后，由初始偏 差状态恢复到原平衡状态的性能。 若系统能恢复平衡状态，就称该系统是 稳定的，若系统在扰动作用消失后不能 恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称 系统是不稳定的。二、稳定性的数学条件设系统的线形化增量方程为：d c( t ) d c( t ) dc ( t ) a0 ? a1 ? ? ? a n ?1 ? an c ( t ) n n ?1 dt dt dt m m ?1 d r (t ) d r (t ) dr ( t ) ? b0 ? b1 ? ? ? bm ?1 ? bm r ( t ) m m ?1 dt dt dtn n ?1对上式进行拉氏变换得：(a0 s ? a1 sn mn ?1? ? ? an?1 s ? an )C ( s ) ? ? ? bm ?1 s ? bm ) R( s ) ? M 0 ( s )? (b0 s ? b1 s或简写为：m ?1D(s)C(s) ? M (s) R(s) ? M 0 (s)其中：D(s)为系统闭环特征式，也称输出端 算子式；M(s)称为输入端算子式。R(s)为输 入，C(s)为输出，M0(s)为总的初始条件，与 系统的初始状态有关的多项式。则有：M ( s) M0 ( s) C ( s) ? R( s ) ? D( s ) D( s )假定： D ( s ) ? a0 ?( s ? si )其中si 互异。i ?1 n将C(s)等式右的两项分别展开成部分分式，可得l n Bj Ai 0 Ci C ( s) ? ? ?? ?? i ?1 s ? si j ?1 s ? srj i ?1 s ? si n再进行拉氏反变换，得c( t ) ? ? Ai e ?? B j esi t i ?1nlsrj tj ?1? ? Ci ei ?1nsi t该部分为稳态分量， 即微分方程的特解， 取决于输入作用。c( t ) ? ? Ai ei ?1nsi t?? B j ej ?1lsrj t? ? Ci ei ?1nsi t该为瞬态分量， 即微分方程的通解， 运动规律取决于 si ，由系统的结构参数确定。系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量 决定。此时，系统的输入为零。 故：稳定性定义可转化为：lim ? ( Ai 0 ? Ci )e ? 0si t t ?? i ?1n式中：Ai，Ci均为常值，因此，系统的稳定 性仅取决于特征根si的性质。特征根的性质对系统稳定性的影响?当si为实根时，即si＝?i，si t? i & 0时： lim( Ai ? Ci )e ? 0 t ??lim( Ai ? Ci )e ? Ai ? Ci ? i ? 0时： t ??si tlim( Ai ? Ci )e ? ? i ? 0时： t ??si t?c( t )?i ?0?i ?0Ai ? C i?i &00t特征根与系统稳定性的关系(2)?当si为共轭复根时，即si，i+1＝?i ± jωii i i ii i i? t j? t ? j? t ? lim e [( A ? C ) e ? ( A ? C ) e ] i i i ? 1 i ? 1 t ??(? ? j? ) t (? ? j? ) t lim [( A ? C ) e ? ( A ? C ) e ] i i i ? 1 i ? 1 t ??? lime A sin( ?i t ? ?i )t ??? it若? i & 0, 则 若? i ? 0, 则 若? i ? 0, 则lime A sin( ?i t ? ?i ) ? 0t ??? itlime A sin( ? i t ? ? i ) ? A sin( ?i t ? ?i )t ??? itlime? i t A sin( ?i t ? ?i ) ? ?t ??共轭复根情况下系统的稳定性结论：?系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的所有根都具有负实部， 或者说都位于S平面的虚轴之左。注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件：SE(S)在S平面的右半平面解析，就是上面稳定条 件的另一种表示，即特征方程的所有根Si位于S平 面的虚轴之左。三、稳定性判据?判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的 赫尔维茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全 部为正。赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为：D( s) ? a0 s n ? a1 s n?1 ? ?? an?1 s ? an ? 0（一般规定 a0 ? 0 ）各阶赫尔维茨行列式为：D0 ? a0a1D1 ? a1a5 a4 a3D2 ?a1 a0 Dn ? 0 0 ? 0a1 a0a3 a2 a1 a0 ? 0a3 a2a 5 ? ? a 2 n ?1 a4 ? ? a 2 n ? 2 a3 ? ? a2 n? 3 a2 ? ? a2 n?4 ? 0 ? ? ? ? ? ana3 a2 a1D3 ? a 0 0举例：系统的特征方程为：2s ? s ? 3s ? 5s ? 10 ? 04 3 2试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。解：D( s) ? 2s 4 ? s 3 ? 3s 2 ? 5s ? 10 ? 0第一步：由特征方程得到各项系数a0 ?２a1 ? １ a2 ? ３ a3 ?５D1 ? a1 ? 1a4 ? １０第二步：计算各阶赫尔维茨行列式D0 ? a0 ? 2D2 ?结论：a1 a0a3 a2?1 5 2 3? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? ?7 & 0系统不稳定。三、稳定性判据?判据之二：林纳德－奇帕特（LienardChipard)判据系统稳定的充分必要条件为： 必要条件１．系统特征方程的各项系数大于零，即ai ? 0(i ? 0, 1, 2, ?, n)２．奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即D奇 ? 0或D偶 ? 0举例：?单位负反馈系统的开环传递函数为：K G( s ) ? s(0.1s ? 1)(0.25s ? 1)试求开环增益Ｋ的稳定域。解： 第一步：求系统的闭环特征方程D( s ) ? s(0.1s ? 1)(0.25s ? 1) ? K ? 00.025s 3 ? 0.35s 2 ? s ? K ? 0第二步：列出特征方程的各项系数。a0 ? 0.025a1 ? 0.35a2 ? 1a3 ? K第三步：系统稳定的充分必要条件。(1) ai ? 0, 要求 K ? 0(2) D2 ? 0即： D2 ?a1 a0a3 a2?0.35K0.025 1? 0.35 ? 0.025 K ? 0解得：Ｋ＜１４ 开环增益Ｋ的稳定域为：0 & K & 14由此例可见，K越大，系统的稳定性越差。上述判 据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定 性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。三、稳定性判据?判据之三：劳斯(Routh)判据系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列 所有元素的计算值均大于零。若系统的特征方程为：a 0 s n ? a1 s n?1 ? ?? an?1 s ? an ? 0则劳思表中各项系数如下图：sn s n ?1sn? 2a0 a1a1a2 ? a0 a3 c13 ? a1a2 a3c23 ? a1a4 ? a0a5 a1a4 a5c33 ? a1a6 ? a0a7 a1a6 a7? ?sn? 3c13 a5 ? c33 a1 c13 a3 ? a1c23 c24 ? c14 ? c13 c13??? s2c1,n?1c1,n?c2,n?1?ss0c1,n?1 ? an关于劳斯判据的几点说明???如果第一列中出现一个小于零的值，系 统就不稳定； 如果第一列中有等于零的值，说明系统 处于临界稳定状态； 第一列中数据符号改变的次数等于系统 特征方程正实部根的数目，即系统中不 稳定根的个数。例1设系统特征方程如下： 4 3 2 s ? 2s ? 3s ? 4s ? 5 ? 0 试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确 定正实部根的数目。解：将特征方程系数列成劳斯表s 4 ? 2s 3 ? 3s 2 ? 4s ? 5 ? 0s41 2?1?635s s342 ? 5 ? 1? 0 ?5 20 0??2 2 ? 3 ? 1? 42 1 1? 4 ? 2 ? 5 s ? 10 ??s05结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。劳斯表判据的特殊情况在劳斯表的某一行中，第一列项为零。 ? 在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。 ? 在这两种情况下，都要进行一些数学 处理，原则是不影响劳斯判据的结果。?例2设系统的特征方程为：s ? 3s ? 4 ? 03试用劳斯判据确定正实部根的个数。解： 将特征方程系数列成劳斯表s ? 3s ? 4 ? 03s s s3 21 0 ?－3 41由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三 行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可 用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数， 这里取a=1。于是得到新的特征方程为：(s ? 3s ? 4)(s ? 1) ? s ? s ? 3s ? s ? 4 ? 03 4 3 2将特征方程系数列成劳斯表：s s s41 1 ?4 2 4?3 1 44s32s10结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。例3设系统的特征方程为：s ? s ? 2s ? 3s ? 7s ? 4s ? 4 ? 06 5 4 3 2试用劳思判据确定正实部根的个数。解： 将特征方程系数列成劳斯表s ? s ? 2s ? 3s ? 7s ? 4s ? 4 ? 06 5 4 3 2s6 s5 s4 s31 1 1 0-2 -3 -3 0-7 -4 -4 0-4劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小 相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的 系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系 数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。用 s 行的系数构造系列辅助方程4F(s)=s ? 3s ? 44 2求导得：dF ( s ) ? 4s3 ? 6s ? 0 ds用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按 正常规则计算下去，得到s ? s ? 2s ? 3s ? 7s ? 4s ? 4 ? 06 5 4 3 2s s s s61 1 1 0-2 -3 -3 0-7 -4 -4 0-4s s s61 1 1 4-2 -3 -3 -6 -4 0-7 -4 -4 0-45 4 35s43s 2 -1.5dF ( s ) ? 4s3 ? 6s ? 0 dss1 -16.7 s0-4表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所 以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方 程，可知产生全零行的根为 ?2 , ? j 。再可求 出特征方程的其它两个根为 (-1 ? j 3) / 2 。四.结构不稳定及改进措施?某些系统，仅仅靠调整参数仍无法稳定， 称结构不稳定系统。 如下图液位控制系统。该系统的闭环特征方程为：Tm s ? s ? K p Km K1K0 ? 03 2系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无 论怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。消除结构不稳定的措施有两种 ① 改变积分性质 ② 引入比例－微分控制，补上特征方程中 的缺项。1. 改变积分性质用反馈 K H 包围积分环节或者包围电动机的传 递函数，破坏其积分性质。X2 ?s? K0 ? X1 ? s ? s ? K0 K HX2 ?s? Km ? X1 ? s ? ?Tm s ? 1? s ? K m K H2.引入比例－微分控制在原系统的前向通路中引入比例－微分控制。H ?s? K ?? s ? 1? ? 2 H0 ? s ? s ?Tm s ? 1? ? K ?? s ? 1?其闭环特征方程为：Tm s ? s ? K?s ? K ? 03 2由稳定的充分必要条件：ai ? 0则Tm , K ,? 均大于零； D2 ? 0, D2 ? a1a2 ? a0 a3,故K? ? KTm ? 0 ? ? ? Tm引入比例－微分控制后，补上了特征方程中s的 一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件， 系统就可以稳定。3－4 稳态误差分析计算一.误差与稳态误差系统的误差e(t)常定义为：e(t)=期望值－实际值误差: (1) e(t)=r(t)-c(t) (2) e(t)=r(t)-b(t)返回子目录稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为稳态系统。当 时间t趋于无穷时，e(t)极限存在，则稳态误差为ess ? lim e?t ?t ??二.稳态误差的计算若e(t)的拉普拉斯变换为E(s) ，且lim e(t ), lim sE ( s )存在，则有t ?? s ?0ess ? lim e(t )＝lim sE ( s)t ?? s ?0注：在计算系统误差的终值(稳态误差)时，遇到的误差 的象函数 E ( s) 一般是s的有理分式函数，这时当且 仅当 sE ( s ) 的极点均在左半面，就可保证lim e(t ), lim sE ( s )t ?? s ?0存在，式ess ? lim e(t )＝lim sE ( s )t ?? s ?0就成立。 sE(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统 稳定的条件。对上述系统，若定义e(t)=r(t)-b(t),则E(s)=R(s)-B(s)B( s) ? ? BR ( s) R( s) ? ? BN ( s) N ( s) 其中? BR ( s)为B(s)对R(s)的闭环传函， ? BN ( s)为B( s)对干扰信号N ( s)的闭环传函。从而得E(s) ? R(s) ? ? BR (s) R(s) ? ? BN (s) N (s) ＝[1-? BR ( s)]R( s) ? ? BN ( s) N ( s)G1 (s)G2 (s) H (s) 1 1-? BR ( s) ? 1 ? ? ? ? ER ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s)称之为系统对输入信号的误差传递函数。G2 ( s) H ( s) ? BN ( s) ? ? ?? EN ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s)称 ? EN ( s) 为系统对干扰的误差传递函数。综合上述各式有：E(s) ? ?ER (s) R(s) ? ?EN (s) N (s)若具备应用终值定理条件，则 ess ? lim sE ( s) ? lim sER ( s) ? lim sEN ( s) ? essr ? essns ?0 s ?0 s ?0例：系统结构如下图。当输入信号r(t)=1(t),干扰 n(t)=1(t)时，求系统的总的稳态误差 ess解：① 判别稳定性。由于是一阶系统，所以只要参 数 K1 , K2 大于零，系统就稳定。 ② 求E(s)。E(s) ? ?ER (s) R(s) ? ?EN (s) N (s)根据结构图可以求出：1 s ? ER ( s) ? ? 1 ? G( s) s ? K1K 2? K2 ? EN ( s) ? ??CN ( s) ? s ? K1K 2依题意：R(s)=N(s)=1/s,则 ? K2 1 s 1 E ( s) ? ? ? ? s ? K1K2 s s ? K1K 2 s ③ 应用终值定理得稳态误差 ess? K2 1 s 1 1 ess ? lim sE (s) ? lim s[ ? ? ? ]?? s ?0 s ?0 s ? K1K 2 s s ? K1K 2 s K1三 输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系 ? 当系统只有输入r(t)作用时，系统的开环 传递函数为： B( s ) ? G( s) H ( s) E ( s)R B EG( s) H ( s)C将G(s)H(s)写成典型环节串联形式：2 2 K (?1s ? 1)?(? 2 s ? 2? '? 2 s ? 1) ? KN0 (s) G( s ) H ( s ) ? ? ? ? 2 2 s (T1s ? 1)?(T2 s ? 2? T2 s ? 1) ? s D0 (s)式中， K为开环增益； ?为积分环节的个数。s? D0 (s) 求得： E(s)=ER (s) ? ? ER (s)?R(s) ? ? R( s ) s D0 (s) ? KN0 (s)当sE(s)的极点全部在s平面的左半平面时，可用终值 定理求得： s? ?1D0 (s) ess ? lim sE (s) ? lim ? R( s ) s ?0 s ?0 s D ( s) ? KN ( s) 0 0上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系 统的开环增益K和积分环节的个数有关。1.阶跃信号作用下的稳态误差r (t ) ? r0 ? 1(t )r0 R( s ) ? ss? ?1D0 (s) r0 s? D0 (s) ? r0 ess ? lim ? ? ? lim ? s ?0 s D ( s) ? KN ( s) s s ?0 s D ( s ) ? KN ( s ) 0 0 0 0r0 当? ? 0时，e ss ? 1? K当? ? 1时，ess ? 0当? ? 2时，ess ? 0要消除阶跃信号作用下 的稳态误差，开环传递 函数中至少要有一个积 分环节。但是，积分环 节多会导致系统不稳定。2. 斜坡信号作用下的稳态误差r (t ) ? V0t ? 1(t )? ?1V0 R( s ) ? 2 s? ?1s D0 (s) V0 s D0 (s) ess ? lim ? ? 2 ? lim ? ?V0 s ?0 s D ( s) ? KN ( s) s s ?0 s D ( s) ? KN ( s) 0 0 0 0当? ? 0时，ess ? ?V0 当? ? 1时，e ss ? K要消除斜坡信号作用下 的稳态误差，开环传递 函数中至少要有两个积 分环节。当? ? 2时，ess ? 03.等加速信号作用下的稳态误差a0 t r (t ) ? ? 1( t ) 22a0 R( s ) ? 3 ss? ?1D0 (s) a0 s? ?2 D0 (s) ess ? lim ? ? 3 ? lim ? ? a0 s ?0 s D ( s) ? KN ( s) s s ?0 s D ( s) ? KN ( s) 0 0 0 0当? ? 0时，ess ? ? 当? ? 1时，ess ? ?a0 当? ? 2时，e ss ? K要消除等加速信号作用 下的稳态误差，开环传 递函数中至少要有三个 积分环节。但是，积分 环节多会导致系统不稳 定。由以上分析可见，要消除系统在幂函数输入信号作用 下的稳态误差，则要求增加积分环节的数目，要减小 系统的稳态误差，则要求提高开环增益。? 系统型别是针对系统的开环传递函数中 积分环节的个数而言的。?=０的系统称为０型系统； ?＝１的系统称为Ⅰ型系统； ?＝２的系统称为Ⅱ型系统；1 2 例：系统结构如下图：若输入信号为 r (t ) ? 1 ? t ? t 2试求系统的稳态误差。解：① 判别稳定性。系统的闭环特征方程为s2 (Tm s ?1) ? K1Km (? s ?1) ? 0 ? Tms3 ? s2 ? K1Km? s ? K1Km ? 0稳定条件：（1）Tm，K1，Km，? 均应大于零； （2） ? ? Tm② 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接 求 ess 从结构图看出，该系统为单位反馈且属Ⅱ型系统。因此当输入r(t)=1(t)时，ess1 ? 0； 当输入r (t ) ? t时，ess 2 ? 0； a0 1 2 1 当输入r(t)= t 时，ess 3 ? ? 2 K K1 K m 所以系统的稳态误差ess ? ess1 ? ess 2 ? ess 3 1 ? K1 K m注意事项????系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意 义； 以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态 误差，不适用于干扰作用下系统的稳态误差； 上述公式中Ｋ必须是系统的开环增益，也即开 环传递函数中，各典型环节的常数项均为１时 的系数。 以上规律是根据误差定义E(s)=R(s)-B(s)推得的。四 干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系用一待定的 G1 ( s) 来代替上图中的 K1 ，然后找出消除系 统在干扰n(t)作用下的误差时，G1 ( s) 需具备的条件。选择G1 (s)首先要保证sEN (s)的所有极点在s平面的左半平面。 这时essn ? K2 ? lim s[ N (s)],当n(t )为单位阶跃干扰时，有 s ?0 s ? G1 (s) K 2? K2 1 N(s)= , 则 essn ? lim[ ] s ? 0 s s ? G1 ( s) K 2设G1 ( s )具有以下形式 G1 ( s ) ? essn K1 (? 1s ? 1)? (? h s ? 1) ,则 ? s (T1s ? 1)? (Tk s ? 1)? K 2 ?s ? (T1s ? 1)? (Tk s ? 1) ?K2 ? lim[ ] ? lim ? ?1 s ?0 s ? G ( s ) K s ?0 s (T1s ? 1)? (Tk s ? 1) ? K1 (? 1s ? 1) ? (? h s ? 1) K 2 1 2要使ess ? 0, 则G1 (s)中至少要有一个积分环节，即? ? 1为保证系统稳定，取G1 ( s ) ? K1 (? s ? 1) ( K1 ? 0,? ? 0) s 在满足稳定性前提下，就可使系统在阶跃干扰作用下的稳态误差为零。以上分析表明，G1 ( s) 是误差信号到干扰作用 点之间的传递函数，系统在时间幂函数干扰 作用下的稳态误差 essn 与干扰作用点到误差信 号之间的积分环节数目和增益大小有关，而 与干扰作用点后面的积分环节数目和增益大 小无关。例：系统结构图如下，已知干扰n(t)=1(t),试求干扰 作用下的稳态误差 essn解：① 判断稳定性。系统开环传函为K1K 2 (T1s ? 1) G( s) ? 2 s T1 (T2 s ? 1)所以闭环特征方程为T2 s ? s ? K1K2 s ? K1K2 / T1 ? 03 2稳定条件： （） 1 T1 , T2 , K1 , K 2均应大于零。 （2） T1 ? T2② 求稳态误差 essn 从图中可以看出，误差信号到干扰作用点之前的传递函 数中含有一个积分环节，所以可得出 ，系统在阶跃干 扰作用下的稳态误差 essn为零。实际上 ?K2s ? EN ( s) ? 2 s (T2 s ? 1) ? ( K1 K 2 / T1 )(1 ? T1s) 在满足稳定性的条件下，因N(s)=1/s, 所以有essn ? lim s? EN ( s)N(s)=0s ?0本章知识点及联系一阶系统标准 式 二阶系统标准 式 公式、图 线 公式、图 线T?n , ?t p , ts , ?％闭环特征式劳斯判据、 赫尔维茨判据稳定性G ( s)H (s)? (s)等效单位负反馈系 统开环传递函数?,K判稳ess误差系数K p , Kv , K a误差的定义 终值定理?e ( s)E ( s)判稳第四章10 00 1011根轨迹法 142第 4章根轨迹法基本要求10 00 10114-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 广义根轨迹4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系4-5 系统阶跃响应的根轨迹返回主目录412基本要求10 00 10111.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极 点、偶极子等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟 练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和 开环增益。 3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解， 熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益 K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。返回子目录41210 00 10114.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系， 初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能 熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似 为一、二阶系统给出定量估算。 5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。41210 00 1011闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极 点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确 定出闭环极点位置是十分有意义的。根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系 统的分析与设计带来了极大的方便。4124－1 根轨迹与根轨迹方程10 00 1011一、根轨迹定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动的轨迹。 ?当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度 根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180? 根轨迹。返回子目录412例子10 00 1011? 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：K G ( s) ? s (0.5s ? 1)412?开环传递函数有两个极点 p1 ? 0, p2 ? ?2没有零点，开环增益为K。10 00 1011。闭环传递函数为C ( s) 2K ?( s ) ? ? 2 R( s ) s ? 2s ? 2 K?闭环特征方程为 D(s) ? s2? 2s ? 2K ? 0?闭环特征根为 s1? ?1? 1? 2K , s2 ? ?1? 1? 2K412从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化 而变化。例如，设10 00 1011K=0 K=0.5s1 ? 0, s2 ? ?2 s1 ? ?1, s2 ? ?1 s1 ? ?1 ? j , s2 ? ?1 ? jK=1K=2.5 K=+∞s1 ? ?1 ? 2 j , s2 ? ?1 ? 2 js1 ? ?1 ? j?, s2 ? ?1 ? j?41210 00 1011如果把不同K值 的闭环特征根布置在 s平面上，并连成线， 则可以画出如图所示 系统的根轨迹。412二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系10 00 1011? 如图所示系统闭环传递函数为G( s) ? ( s) ? 1 ? G( s) H ( s)4（4－4）1图4－3控制系统2? 将前向通道传递函数G（s）表示为：10 00 1011KG (? 1s ? 1)(? s ? 2? 1? 2 s ? 1)… G( s) ? ? s (T1s ? 1)(T s ? 2? 2T2 s ? 1)…2 2 2 2 2 2?K* G? (s ? z ) ? (s ? p )i ?1 i i ?1 q if（4－5）412* K G 为前向通道增益， KG 为前向通道根轨迹增益10 00 1011K ? KG* G?? …TT …2 1 2 2 1 2（4－6）H (s) ? K* H? (s ? z ? (s ? pj ?1 j ?1 hlj) )j式中 K* H为反馈通道的根轨迹增益。41（4－7）2* * G ( s ) H ( s ) ? K K G H q 10 00 1011 i ?1? (s ? z )? (s ? z )i ?1 i j ?1 l j i i ?1 jfl? (s ? p )? (s ? p )j? K*? (s ? z )? (s ? z ) ? (s ? p )? (s ? p )i ?1 i j ?1 j i ?1 q i j ?1 hfl4（4－8）12闭环传递函数10 00 1011? ( s) ? K* G? (s ? z ) ? (s ? pk )k ?1 k ?1 n kf ?h式中：zk , pk 分别为闭环零、极点。41（4－10）2比较式（4－8）和式（4－10）可得出以下结论10 00 1011①闭环系统根轨迹增益等于系统前向通 道的根轨迹增益； ②闭环系统零点由前向通道的零点和反 馈通道的极点组成； ③闭环系统的极点与开环系统的极点、 * 零点以及开环根轨迹增益 K 有关。根轨迹法的任务是在已知开环零、极点 分布的情况下，如何通过图解法求出闭 环极点。412三、根轨迹方程10 00 1011? 闭环特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11） 闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。? 根轨迹方程G(s)H(s)=-1 （4-12） 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开 环传递函数与闭环极点的关系。412设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定 10 00 1011 n≥m ，这时式（ 4－12 ）又可以写成：G (s) H ( s) ? K *? (s ? z ) ? (s ? p )i ?1 i i ?1 n im? ?1不难看出，式子为关于s的复数方程，因 此，可把它分解成模值方程和相角方程。4（4－13）12* 10 00 1011K模值 方程?| s ? zi ?1 imi| ?1（4－14）?| s ? pi ?1m i ?1 in|n相角 方程? ?(s ? z ) ? ? ?(s ? p ) ? (2k ? 1)?i ?1 ik ? 0, ?1, ?2,?（4－15）412注意10 00 1011? 模值方程不但与开环零、极点有关，还与开 环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、 极点有关。 ? 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要 条件。? 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模 值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点 的 K *值。412例4-110 00 1011已知系统的开环传递函数 G(s) H (s) ? 2K /(s ? 2)2试证明复平面上点 s1 ? ?2 ? j 4, s2 ? ?2 ? j 4 是该系统的闭环极点。证明： 该系统的开环极点p1 ? ?2, p2 ? ?2若系统闭环极点为 s1 , s2 它们应满足相角方程（4－15）41210 00 1011图4－4例4－1开环零、极点分布图412?以 s1为试验点，观察图4－4，可得10 00 1011??( s1 ? p1 ) ? ?( s1 ? p2 ) ? ?90? ? 90? ???2??2? ?? ? (2k ? 1)? (k ? ?1)以 s2为试验点，可得??( s1 ? p1 ) ? ?( s1 ? p2 ) ? 900 ? 900 ??2??2? ? ? (2k ? 1)?(k=0)4图4－412s1 , s2 都满足相角方程， 10 00 1011 所以， s1 , s2 点是闭环极点。可见，证毕412例4－2?已知系统开环传递函数 G(s) H (s) ? K /(s ? 1)4 10
? 00001 ? 0100 ? 变化时其根轨迹如图 当 4-5所示， 求根轨迹上点 s1 ? ?0.5 ? j 0.5 所对应的K值。解根据模值方程求解 K 值*模值方程K ?1 4 | ?0.5 ? j 0.5 ? 1|图4-5412?根据图4－5可得2 |? 0.5 ?j 0.50001 ? 1| ? 10 00 2所以1 K? 4图4-5412?上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平 面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点 10 00 1011 对应的 K * 值。?根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环 特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。4124－2 绘制根轨迹的基本法则10 00 1011一、根轨迹的分支数分支数＝开环极点数 ＝开环特征方程的阶数二、根轨迹对称于实轴闭环极点为 实数→在实轴上 复数→共轭→对称于实轴返回子目录412三、根轨迹的起点与终点10 00 1011起于开环极点，终于开环零点。由根轨迹方程有：m1 ?? * K ? ( s ? pi )i ?1 n i ?1? ( s ? zi )41210 00 1011起点K ? 0 → s ? pi ? 0 →*s ? pis ? zi终点K * ? ? → s ? zi ? 0 →若开环零点数m & 开环极点数n (有 n ? m个开环零点在无穷远处) 则有(n ? m )条根轨迹趋于无穷远点412四、实轴上的根轨迹10 00 1011实轴上根轨迹区段 的右侧，开环零、 极点数目之和应为 奇数。证明：设一系统开环零、 极点分布如图。412在实轴上任取一试验点 s1 代入相角方程则10 00 1011? ?(s ? z ) ?? ?(s ? p )i ?1 i i ?1 i34? ?( s ? z1 ) ? ?( s ? z2 ) ??( s ? p1 )? ? ? ? ? ? ? ? ? (2k ? 1)?所以相角方程成立，即 s1 是根轨迹上的点。412一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极 点，则有关系式 10 00 1011? ?(s ? z ) ? ? ?(s ? p ) ? (l ? h)?i ?1 i i ?1 ilh?如满足相角条件必有(l ? h)? ? (2k ? 1)?所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。4证毕12例4－310 00 1011?设一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求 K ? 0 ? ? 时的闭环根轨迹。?解：将开环传递函数写成零、极点形式2 K ( s ? 1) G( s) ? s( s ? 2)412按绘制根规迹法则逐步进行： 10 00 1011 ① 法则一，有两条根轨迹 ② 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点 0、－2，一条终于有限零点－1，另一条 趋于无穷远处。 ③ 法则四，在负实轴上，0到－1区间和－2 到负无穷区间是根轨迹。 最后绘制出根轨迹如图4－7所示。41210 00 1011例4－3根轨迹4图4－712法则五、根轨迹的渐近线10 00 1011? 渐近线与实轴正方向的夹角为：( 2k ? 1)? ?a ? n?m 渐近线与实轴相交点的坐标为：?a ?? p ? ?zi ?1 i j ?1nmjn?m412例4-410 00 1011已知系统的开环传递函数K * (s ? 1) G( s) H ( s) ? s(s ? 4)( s 2 ? 2s ? 2)试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。解：零点极点z ? ?1,n?4m ?1p1 ? 0, p2 ? ?4, p3 ? ?1 ? j1, p4 ? ?1 ? j1,412按照公式得10 00 1011(2k ? 1)? (2k ? 1)? (2k ? 1)? ?? ? ? n?m 4 ?1 3 ?? ? 600 (k ? 0)1?? ? 18002(k ? 1) (k ? 2)m?? ? 30030??? pi ? ? zii ?1 i ?1nn?m5 ?? 3412以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线10 00 1011K s( s ? p1 )*K s( s ? p1 )( s ? p2 )4*1210 00 1011K s(s ? p1 )(s ? p2 )(s ? p3 )*K* s 2 (s ? p1 )(s ? p2 )(s ? p3 )412对应的开环传递函数* K (a) 01
G( s) H ( s ) ? s( s ? p1 ) K* G( s) H ( s) ? (b) s( s ? p1 )(s ? p2 )(c)K G( s) H ( s) ? s(s ? p1 )(s ? p2 )(s ? p3 )K G( s ) H ( s ) ? 2 s (s ? p1 )(s ? p2 )(s ? p3 )**(d)412法则六、根轨迹的起始角和终止角10 00 1011根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水 平正方向的夹角。根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。41210 00 1011起始角与终止角计算公式? 起始角计算公式：? p ? (2k ? 1)? ? ? ?( pk ? z j ) ? ? ?( pk ? pi )kmnj ?1i ?1 i?k终止角计算公式：nk? z ? ( 2k ? 1)? ? ? ?( zk ? pi ) ? ? ?( zk ? z j )i ?1 j ?1 j?km412例4－510 00 1011?设系统开环传递函数*K ( s ? 2 ? j )(s ? 2 ? j ) G( s) H ( s) ? ( s ? 1 ? j 2)( s ? 1 ? j 2)试绘制系统概略根轨迹。?解将开环零、极点画在图4－12的根平面上，逐步画图：41210 00 1011K ( s ? 2 ? j )( s ? 2 ? j ) ( s ? 1 ? j 2)( s ? 1 ? j 2)*图4－12 例4－5根轨迹412① n=2，有两条根轨迹10 00 1011② 两条根轨迹分别起始于开环极点 (-1-j2), (-1+j2) ； 终于开环零点 (-2-j) ,(-2+j)③ 确定起始角,终止角。 如图4－13所示。412例4－5根轨迹的起始角和终止角10 00 1011图4－1341210 00 1011七、根轨迹的分离点坐标d? 定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。 ? 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间， 则此二极点之间至少存在一个分离点。 ? 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间， 则此二极点之间至少存在一个会合点。412分离点的坐标d可由下面方程求得10 00 10111 1 ?? ? i ?1 d ? pi j ?1 d ? z jn m式中： j 为各开环零点的数值， pi 为各开环极点的数值。z412例4－610 00 1011?已知系统的开环传递函数*K ( s ? 1) G(s) H (s) ? 2 s ? 3s ? 3.25试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。412解：根据系统开环传递函数求出开环极点10 00 1011p1 ? ?1.5 ? j1, p2 ? ?1.5 ? j1按步骤：①n=2,m=1,有两条根轨迹②两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环 零点和无穷远零点③实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点 之间，因此判断有分离点41210 00 1011④ 离开复平面极点的初始角为? p ? 180 ? ? z?11 p1?? p2 p1? 180 ? 116.57 ? 90 ? 206.57? ? ?? p ? ?206.572?4?12⑤渐近线10 00 1011?1.5 ? j1 ? 1.5 ? j1 ? 1 ?a ? ? ?2 2 ?1 (2k ? 1)? ?a ? ?? 2 ?11 1 1 ? ? d ? 1.5 ? j1 d ? 1.5 ? j1 d ? 1 d1 ? ?2.12, d2 ? 0.12（舍去）6、求分离点坐标d412此系统根轨迹如图4-15所示10 00 1011图4－15412八、分离角与会合角10 00 1011所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切 线与实轴正方向的夹角。分离角计算公式m n 1 ? d ? [(2k ? 1)? ? ? ?(d ? z j ) ? ? ?(d ? si )] l j ?1 i ? l ?1（4－45）41210 00 1011d ? 为分离点坐标； z j ? 为开环零点；si ? 为 当k ? kd时 ， 除 l个重 极点 外， 其 它n ? l个非 重根 。所谓会合角是指根轨迹进入重极点处 的切线与实轴正方向的夹角。412? 会合角计算公式10 00 1011n n 1 ?d ? [(2k ? 1)? ? ? ?(d ? pi ) ? ? ?(d ? si )] l i ?1 i ? l ?1d ? 为分离点坐标；pi ? 为原系统