毕竟打副本的时候傻逼太多 - 歌单 - 网易云音乐
毕竟打副本的时候傻逼太多
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找寻隐藏在唯美声线下的那抹倔强
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举报邮箱：&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f24c59ac27e3cd08ac6fc80e7d3a7336_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f24c59ac27e3cd08ac6fc80e7d3a7336_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-8b5c8acfbaec_b.png& data-rawwidth=&1250& data-rawheight=&507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1250& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-8b5c8acfbaec_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&（这是Sheldon的第47篇漫画，所有图片大约1.7MB。）&/p&&p&&br&&/p&&p&日，何庆林、王康隆和张首晟等几位物理学家在《科学》杂志撰文指出，他们在量子反常霍尔绝缘-超导结构中发现了&b&一维手征马约拉纳费米子模&/b&的存在。他们还给这个发现起了一个神神道道的名字：“天使粒子”。&/p&&p&&br&&/p&&p&上面那句话里的每个字我都认识，连起来到底是什么意思呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&其实，他们发现的并不是一种真实存在的粒子，而是通过&b&布置各种外部条件，让电子按照某一种特殊的方式运动&/b&，让它看起来有点儿像一种新的粒子。说白了就是让狗熊承认自己是兔兔。&/p&&p&&br&&/p&&p&下面，我们来用13幅图逐一解释这个新闻的意思。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f24c59ac27e3cd08ac6fc80e7d3a7336_b.png& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f24c59ac27e3cd08ac6fc80e7d3a7336_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-606e756cca395b50c0dcb_b.png& data-rawwidth=&1250& data-rawheight=&326& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1250& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-606e756cca395b50c0dcb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&自然界的物质都是由基本粒子组成的。但是基本粒子太多了，物理学家数的眼睛都花了。&/p&&p&&br&&/p&&p&为了分清楚谁是谁，物理学家根据粒子的性格不同，将它们分成两大类。&/p&&p&&br&&/p&&p&有的粒子可以相互挤在一起也不抱怨，叫做玻色子。比如，光子就是一种玻色子。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2bcce279cedba56aaf3df39_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&369& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2bcce279cedba56aaf3df39_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&有的粒子不喜欢扎堆，喜欢各走各的路，叫做费米子。比如，电子就是一种费米子。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-02a47e4d88cf_b.png& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-02a47e4d88cf_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&每一种费米子都有它的反粒子&/b&，比如电子的反粒子就是正电子。&/p&&p&&br&&/p&&p&反粒子除了质量之外，许多性质都跟它原来的粒子完全相反。比如，电子带负电，正电子就带正电。&/p&&p&&br&&/p&&p&反粒子不是拍脑袋想出来的，而是真实存在的东西。医院里检测癌细胞用的PET-CT的原理，就是探测癌细胞吸收的药物所发出的正电子。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-dff99f080ddb4fb4bc65f0_b.png& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&456& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-dff99f080ddb4fb4bc65f0_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&1937年，一位年轻的物理学家马约拉纳提出，从数学上看，&b&有一种费米子，可以和它的反粒子完全等价。&/b&它就是它自己的反粒子。&/p&&p&&br&&/p&&p&于是，这样的费米子就叫做&b&马约拉纳费米子&/b&。这次实验中发现的新粒子就跟它有关。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ed32b3738eeff7effb48d308788afc42_b.png& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&592& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ed32b3738eeff7effb48d308788afc42_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&在提出马约拉纳费米子后不久，马约拉纳本人就在一艘船上神秘的失踪了。在之后的几十年里，粒子物理学家也始终没有发现这种粒子。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a4d7c5f5b3e6dea8ac0e8f1d5cc65b01_b.png& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&407& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a4d7c5f5b3e6dea8ac0e8f1d5cc65b01_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&有个笑话说，一群怪警察去森林里抓兔子，最后有一只奄奄一息的熊跟着他们走出来，边哭边说：“不要再打了，我就是兔子。”&/p&&p&&br&&/p&&p&由于粒子物理学家一直找不到马约拉纳费米子，凝聚态物理学家变自告奋勇地扮演起怪警察的角色，而被他们折磨的奄奄一息的熊，就是各种固体物质中的电子。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5e7d24da938a88f2c727d330d82b479d_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&355& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-5e7d24da938a88f2c727d330d82b479d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&在粒子物理学家眼中，电子就是电子，只会按照一种确定的方程运动，没有什么花头可以玩。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-dbb4a64d918c9f083af2c7_b.png& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&528& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-dbb4a64d918c9f083af2c7_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&但凝聚态物理学家城会玩！他们把温度降低到绝对零度附近，加上了电场、磁场，又改变固体的形状，再向固体掺入杂质，还把几种固体捏在一起。总之，就是使尽各种手段折磨电子。&/p&&p&&br&&/p&&p&由于&b&电子&/b&受到各式各样的外力作用，再也不能自由自在地瞎胡跑了，只好根据周围的环境，&b&按照另一种完全不同的方式运动。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-6aded5dfa8f74d9afb8e096ed8684541_b.png& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&552& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-6aded5dfa8f74d9afb8e096ed8684541_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&比如，在BCS超导理论中，当温度低到绝对零度附近时，两个同性的电子突然抽风了。&/p&&p&&br&&/p&&p&它们“同性相吸”，配成了一对，变成了一种“准粒子”，运动起来就突然没有电阻了。你说奇怪不奇怪？ &/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-dc184a1c349ea1e38081ed_b.png& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&447& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-dc184a1c349ea1e38081ed_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&在何庆林、王康隆和张首晟等几位物理学家的实验中，他们把一种由&b&金&/b&和&b&铌&/b&组成的奇怪固体拍成薄片状，夹在另一种由&b&碲锑铋铬&/b&组成的奇怪固体薄片中间（即&b&量子反常霍尔绝缘体&/b&。当它与前面的薄片结合后，在一定条件下可变成&b&拓扑超导体&/b&），降温到绝对零度附近，再加上电场和磁场。&/p&&p&&br&&/p&&p&结果发现，在这两个二维固体的&b&一维边界上&/b&，电子突然开始按照一种特殊的方式转圈了。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e3f5b343dca919f3cee38fe9_b.png& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&527& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e3f5b343dca919f3cee38fe9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&这种特殊转圈方式背后的数学，和马约拉纳费米子的数学存在相似之处。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-341ac1ad2a66f3e29bf81_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&368& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-341ac1ad2a66f3e29bf81_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&由于电子只能在这个边界上沿着一个方向转圈，而不是同时沿着两个方向转圈，这在物理学中叫做&b&手征性&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&又因为发现的这个粒子并不是真实存在的粒子，而是电子的一种&b&特殊运动模式&/b&，所以，这个发现才叫作“&b&在量子反常霍尔绝缘-超导结构中发现了一维手征马约拉纳费米子模&/b&的存在。”&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bcde023c8d223ff5e01028a_b.png& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&513& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bcde023c8d223ff5e01028a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&物理学家为什么闲的没事要折磨电子呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&因为你现在用手机、电脑做运算，本质上都是在操纵电子。&/p&&p&&br&&/p&&p&物理学家研究这种新型的操纵电子的方式，有助于将来发明一种比普通量子计算机抗干扰能力更强的&b&拓扑量子计算机&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-62d9b4bee9e705b03f5558266cecf44d_b.png& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&423& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-62d9b4bee9e705b03f5558266cecf44d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7d77de82a5b3d4e321c7_b.png& data-rawwidth=&1250& data-rawheight=&287& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1250& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7d77de82a5b3d4e321c7_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&美指：牛猫 | 绘制：赏鉴 | 排版：胡豆 | 鸣谢：吴飙，程蒙，文小刚&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&本页刊发内容未经书面许可禁止转载及使用，&/b&&/p&&p&&b&自媒体、报刊等转载请联系本账号授权！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&还有更多有趣的文章，确定不看一下吗？&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&漫画 | 穿越为什么必然失败？中学生都懂这个道理！&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&漫画 | 5分钟看懂量子卫星的最新成果：千公里级的量子纠缠分发&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&注：在本文绘制的同时，程蒙和文小刚两位物理学家对这个发现的可能应用提出了更详细的评论。&/p&&p&&br&&/p&&p&程蒙：这个发现中的一维手征马约拉纳费米子模并不能直接用于拓扑量子计算，但它意味着这个系统当中有些别的玩意可以用来做量子计算。当然还需要进一步的实验来验证是否真的可行。&/p&&p&&br&&/p&&p&文小刚：的确手征马拉约纳费米子和量子计算没有直接的关系。我在90年代的工作证明了边界上存在手征马拉约纳费米子，意味着体内存在非阿贝尔粒子。非阿贝尔粒子和量子计算有直接关系。&/p&&p&&br&&/p&&p&参考文献：&/p&&p&1.&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//arxiv.org/abs/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[] Majorana modes in solid state systems and its dynamics&/a&&/p&&p&2.&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//arxiv.org/abs/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[] Introduction to topological superconductivity and Majorana fermions&/a&&/p&&p&3.&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//arxiv.org/abs/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[] Chiral Majorana edge state in a quantum anomalous Hall insulator-superconductor structure&/a&&/p&&p&4.祁晓亮等，《量子粒子大观：狄拉克、外尔和马约拉纳 | 众妙之门》&/p&&p&5.婉珺，《“马约拉纳费米子”被发现？论文作者和凝聚态物理学家没这么说》&/p&&p&&/p&
（这是Sheldon的第47篇漫画，所有图片大约1.7MB。） 日，何庆林、王康隆和张首晟等几位物理学家在《科学》杂志撰文指出，他们在量子反常霍尔绝缘-超导结构中发现了一维手征马约拉纳费米子模的存在。他们还给这个发现起了一个神神道道的名字：“…
&p&小生早上看到一篇公众号文章，写的是关于出国留学都需要从国内带走哪些必需品，文章推荐了锅碗瓢盆、床上用品、急救药箱、各类文具，等等等等等等（小生并不是结巴，只是表达一个夸张的so on/so forth），其中竟然还需要带个插线板，看到这些，小生都为留学党捏把汗，这哪是出国读书，这是逃荒啊。&/p&&p&虽然带上了这些“家当”，出国是能省下一笔开销，但是要是完全靠自己，没有家人或者朋友的帮助下，把这些东西扛到住的地方就是一个很大的难题。所以，小生不给大家推荐生活必需品，而是搜罗整理了一些不常见但好用的网站和工具，方便你们学习时查找资料，空闲时充实自己。&/p&&p&&br&&/p&&p&首先是一些学习帮手类网站：&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&ESSAY写作必备——&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//Bestessaytips.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Bestessaytips.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&一看这个网址就知道它是干什么的了，不知道怎么构思ESSAY的时候，可以到这个网站上找点专业建议和灵感。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&还是跟论文有关的网站——&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//Turnitin.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Turnitin.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&出国留学的各位，论文是最后的大山，只有翻越这座大山，才能顺利地到达彼岸，获得你想要的勇士证书——学位证。Turnitin是专门用于检测论文剽窃的学术工具，它的作用之大相信童鞋都心知肚明了吧。只要将自己的论文上传，便可用于检测相似度，并且没有正确引用的部分还会被标出并附上文章的正确来源呢。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&致力于普及全世界最好的教育——Coursera&/b&&/p&&p&Coursera是免费大型公开在线课程项目，由美国斯坦福大学两名计算机科学教授创办。旨在同世界顶尖大学合作，在线提供免费的网络公开课程。Coursera 的首批合作院校包括斯坦福大学、密歇根大学、普林斯顿大学、宾夕法尼亚大学等美国名校。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&知乎的鼻祖——Quora&/b&&/p&&p&其实就是美国版知乎，你可以在上面提问或者回答问题；使用这个 App 的好处是可以在「Sessions」活动中对某个名人进行提问，Quora 会把他们请过来回答问题。这些人可能是在国内有所耳闻外国人，比如Facebook的COO，桑德伯格。我们在国内媒体上只能看到Ta们的只言片语，而去 Quora 上能看到他们对某个问题的完整表述。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&阅读作业神器——&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//Sparknotes.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Sparknotes.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&阅读作业太多看不完？Sparknotes被称为当下最受学生欢迎的学习指南，它网罗了美国许多院校规定要阅读的书籍的诠释资料，如果你对于所读的书或文章有任何不明白的地方，可以让它来帮你解答。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&货比三家再买书——&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//Bigwords.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Bigwords.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&留学党应该有深刻体会，在国外买书那真是贵，但是又不得不买。在这个&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//Bigwords.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Bigwords.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&网站里，当你把想买的书全称输进去，它会告诉你如何买到最便宜的书，这样就可以少花冤枉钱，省下一些零碎买肉吃~&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&电子书聚合地——&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//Gutenberg.org& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Gutenberg.org&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&如果你并非纸质版书籍不读（小生还是喜欢纸质书的质感~），那么这个网站就非常极其特别的适合你~上面有46000多本电子书，小伙伴可以免费下载，不管是跟课程相关的书，还是单纯的课外书，你都可以搜索下载。大家再也不用省下买肉的钱去买书了~&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&美国版「简书」—— Medium&/b&&/p&&p&很多作者在上面分享自己制作的文字内容，包括科技，创业，艺术，政治等等。字体、排版精心设计，读起来很舒服。语言亲民，没有新闻报道那么官方，很容易理解；而且更新速度快，观点多样，能刺激读者产生更多想法。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&最牛的IT技术问答网站——Stackoverflow&/b&&/p&&p&是全球IT界最受欢迎的技术问答网站，用户可以在网站免费提交问题，浏览问题，索引相关内容，特别适合对IT感兴趣的同学~&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&看好老师再选课——&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//ratemyprofessors.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&ratemyprofessors.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&这是一个匿名评价老师的网站，在这个网站上你可以查到学生对教授的评价，虽然这些评价多少带有个人偏见，你无需全部相信，但是总会得到一些意见用来帮助你选择哪个教授的什么课程。&/p&&p&&br&&/p&&p&好啦，关于学习类的网站就先推荐这些，小生觉得已经很够用了，以后要是还找到什么好用的网站工具，小生会再更新到公众号上~&/p&&p&&br&&/p&&p&接下来，小生给大家推荐一些娱乐休闲类的网站，出国留学，除了好好学习，还要好好生活嘛~&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&世界上最大的视频网站——Youtube&/b&&/p&&p&小生知道这个网站不符合“不常见”这个要求，但是小生对这个网站的爱是正如郭富城的那首歌“对你爱爱爱不完”（此处自行想象该有的舞蹈动作），所以哪怕已经有很多人在推荐,我还是要多嘴提一句~在这个网站上，有很多有趣的博主和视频资源，大家可以自行去搜索哈(在国外都不用翻墙看,羡慕~)&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&吃喝玩乐全都有——&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//Yelp.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Yelp.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&中国版的大众点评。出国在外，最怕的是宅在家里顿顿方便面啊，大家要积极地去发现周边的好吃的，好玩的，好么？这个网站不仅能搜索客人们饭店餐馆的评价，购物、医疗、休闲、娱乐、租车等也一应俱全。虽然和大众点评一样，有些评论不那么真实。Anyway，人家还是你生活的必备小工具嘛。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&世界最大的BT种子服务器——海盗湾&/b&&/p&&p&海盗湾(The Pirate Bay，缩写:TPB)是一个专门储存、分类及搜寻BT种子的网站，提供的BT种子除了有自由版权的收集外，也有不少被著作人声称拥有版权的音频、视频、电脑应用软件与电子游戏，为网络分享与下载的重镇之一。（嘘，一般人我不告诉他~）&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&正版影视作品和电视节目视频网站——Hulu&/b&&/p&&p&该网站由美国国家广播环球公司(NBC Universal)和福克斯在2007年3月共同注册成立，拥有超过90家内容提供方，包括FOX、NBC环球集团、米高梅公司、Sony Pictures Television、华纳兄弟影业。其节目都是免费且正版的~&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&社交新闻站点，站在互联网热点前沿——Reddit&/b&&/p&&p&是美国最大的网上社区，它的每个帖子前面都有向上和向下的箭头，分别表示&赞成&和&反对&。用户点击进行投票，Reddit根据投票结果，计算出最新的&热点文章排行榜”，大家可以在这里了解到每天都在发生什么，不至于两眼一抹黑呀~&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&一个很有趣的网站——The Scale of the Universe 2&/b&&/p&&p&是一个科普小品，随着点击图中的物品，会出现相关的介绍，都是一些冷门小知识，而且，看过的小图片都会缩小消失，更多的图片会从四周进入下图的区域中哟，你试试就知道啦~~&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&脑洞大开——what if&/b&&/p&&p&「what if」是美国“国宝级”科普漫画家兰道尔·门罗开设的科学问答专栏，现在也出版了纸质版的书籍。这个网站每周用数学、科学和漫画形式来回答数百万粉丝向他提出的各种古怪又让人忧心的问题。比如：牛排从多高的地方掉下来正好能烤熟？哭多了会脱水吗？全人类搬离地球需要几步？还有些更加让人汗颜和忧心的问题，连作者都不忍回答。所以又是一个涨知识的网站呀~&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&互联网电影资料库——IMDB&/b&&/p&&p&是一个关于电影、电视节目和视频游戏等相关信息的在线数据库。该资料库包括了演员、摄制组人员、视觉娱乐媒体虚构的人物等信息资料。它是最流行的在线娱乐网站。&/p&&p&&b&机票类&/b&&/p&&p&最后，鉴于要出国留学的你们是肯定是要坐飞机的嘛（嗯，是废话），小生再给大家推荐几个订机票很划算的网站~&/p&&p&&br&&/p&&p&1. &b&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.cheapoair.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&cheapoair.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&&b&强烈推荐&/b&，无论是订机票，还是hotel，car，都很方便，而且经常有低价机票，折扣很诱人！很多朋友旅游订票也是在cheapoair上！&/p&&p&&br&&/p&&p&2. &b&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.zuji.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&zuji.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&online travel agency,可以很方便的查看各个航班，预订机票旅馆，行李托运等等，zuji有各个国家的分站，你可以在网站底部选择进入不同的国家，非常方便！如果你是出门旅游，zuji也很好！&/p&&p&&br&&/p&&p&3. &b&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.flightnetwork.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&flightnetwork.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&&b&特价机票，价格实惠，信誉也很好&/b&，flightnetwork承诺： If the price of your flight drops after you buy, we'll credit you the difference that you can apply to your next booking with us. And it's FREE.&/p&&p&&br&&/p&&p&4. &b&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//Travelzoo.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Travelzoo.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&这个网站的Top20 Deals 每周可以刷一刷，有惊喜哟~&/p&&p&&br&&/p&&p&5. &b&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//Priceline.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Priceline.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&一般往20-30%砍价吧。&/p&&p&&br&&/p&&p&6. &b&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//Skyauction.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Skyauction.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&能拍到这些特价的机会很小，但是通常折扣也是&b&最低&/b&的。&/p&&p&&br&&/p&&p&7. &b&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//airtranu.com/airtran_u.aspx& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&airtranu.com/airtran_u.&/span&&span class=&invisible&&aspx&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& /&/b&&/p&&p&99刀单程飞美国城市，&b&18-22岁&/b&青年专用。&/p&&p&&br&&/p&&p&8. &b&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//us.lastminute.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&us.lastminute.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&这个网站是那些&b&不到起飞前不买机票&/b&的人的救命稻草。&/p&&p&&br&&/p&&p&9. &b&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//iFlychina.net& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&iFlychina.net&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&或者&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//travelsuperlink.com& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&travelsuperlink.com&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&/b&&/p&&p&可以Email查询，省的自己找旅行社的电话。&/p&&p&注意啦~在这些网站订票的时候，别忘了用上你信用卡的Cashback（1-3月的5%机票返现+5%的在线购物返现哟~）&/p&&p&以上是小生“呕心沥血”收集整理的好东西呀，希望能够帮到独自出国求学的你们~&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&周末愉快！比心~&/b&&/p&&p&&b&学托福 关注：“托福百晓生” 公众号 获取更多托福考试预测及回忆信息&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&aHR0cDovL3dlaXhpbi5xcS5jb20vci9ZMFNEbTZyRW52ZmhyZTc0OXhGeA== (二维码自动识别)&/p&&p&&/p&
小生早上看到一篇公众号文章，写的是关于出国留学都需要从国内带走哪些必需品，文章推荐了锅碗瓢盆、床上用品、急救药箱、各类文具，等等等等等等（小生并不是结巴，只是表达一个夸张的so on/so forth），其中竟然还需要带个插线板，看到这些，小生都为留学…
回答较长，没有耐心看的童鞋可以直接看黑体字。&br&文章是转载的，出处在末尾。&br&&br&【一】&br&学术牛人1：&b&用自己的话概括和梳理文献 及时回顾&br&&/b&&br&心得和经验：&b&我现在每天还保持读至少2-3篇的文献的习惯。&/b&读文献有不同的读法，但&b&最重要的自己总结概括这篇文献到底说了什么&/b&，否则就是白读，读的时候好像什么都明白，一合上就什么都不知道，这是读文献的大忌，既浪费时间，最重要的是，没有养成良好的习惯，导致以后不愿意读文献。&br&&br&&b&一、回顾重要内容&/b&&br&&br&每次读完文献（不管是细读还是粗读），合上文献后，想想看，&b&文章最重要的take home message是什么&/b&，如果不知道，就从abstract, conclusion里找，并且从discuss里最好确认一下。这样一来，一篇文章就过关了。take home message其实都不会很多，基本上是一些concepts，如果你发现你需要记得很多，那往往是没有读到重点。&br&&br&&b&二、扩充知识面的读法&/b&&br&&br&重点读introduction，看人家提出的问题，以及目前的进展。类似的文章，每天读一两篇，一个月内就基本上对这个领域的某个方向有个大概的了解。读好的review也行，但这样人容易懒惰。&br&&br&&b&三、为了写文章的读法&/b&&br&&br&读文章的时候，尤其是看discussion的时候，&b&看到好的英文句型，最好有意识的记一下&/b&，看一下作者是谁，哪篇文章，哪个期刊，这样以后照猫画虎写的时候，效率高些。比自己在那里半天琢磨出一个句子强的多。当然，读的多，写的多，你需要记的句型就越少。其实很简单，有意识的去总结和记亿，就不容易忘记。&br&&br&&br&【二】&br&&b&学术牛人2：根据文献重要程度编号 精读综述和摘要&/b&&br&&br&&b&一、先看综述&/b&&br&&br&先读综述，可以更好地认识课题，知道已经做出什么，自己要做什么，还有什么问题没有解决。对于国内文献一般批评的声音很多。但它是你迅速了解你的研究领域的入口，在此之后，你再看外文文献会比一开始直接看外文文献理解的快得多。而国外的综述多为本学科的资深人士撰写，涉及范围广，可以让人事半功倍。&br&&br&&b&二、有针对地选择文献&/b&&br&&br&针对你自己的方向，找相近的论文来读，从中理解文章中回答什么问题，通过哪些技术手段来证明，有哪些结论？从这些文章中，了解研究思路，逻辑推论，学习技术方法。&br&&br&&b&1、关键词、主题词检索：&/b&关键词、主题词一定要选好，这样，才能保证你所要的内容的全面。因为，换个主题词，可以有新的内容出现。&br&&br&&b&2、检索某个学者：&/b&查SCI，知道了某个在这个领域有建树的学者，找他近期发表的文章。&br&&br&&b&3、参考综述检索&/b&：如果有与自己课题相关或有切入点的综述，可以根据相应的参考文献找到那些原始的研究论文。&br&&br&&b&4、注意文章的参考价值&/b&：刊物的影响因子、文章的被引次数能反映文章的参考价值。但要注意引用这篇文章的其它文章是如何评价这篇文章的。&br&&br&&b&三、如何阅读文献&/b&&br&&br&&b&1、注重摘要：摘要可以说是一个论文的窗口。&/b&多数文章看摘要，少数文章看全文。真正有用的全文并不多，过分追求全文是浪费，不可走极端。当然只看摘要也是不对的。多数文章题目、摘要简单浏览后，直接把几个Figure及Title与legend一看，一般能掌握大部分。&br&&br&&b&2、通读全文：&/b&读第一遍的时候一定要认真，争取明白每句的大意，能不查字典最好先不查字典。&b&因为读论文的目的并不是学英语，而是获取信息，查了字典以后思维会非常混乱，往往读完全文不知所谓&/b&。可以在读的过程中将生字标记，待通读全文后再查找其意思。&br&&br&&b&3、归纳总结：&/b&较长的文章，容易遗忘。好在虽然论文的句子都长，但每段的句数并不多，可以每一段用一个词组标一个标题。&br&&br&&b&4、确立句子的架构，抓住主题：&/b&读英文原版文献有窍门的。&b&我们每个单词都认识读完了却不知他在说什么，这是最大的问题。&/b&在阅读的时候一定要看到大量的关系连词，他们承上启下引领了全文。中国人喜欢罗列事实，给出一个观点然后就是大量的事实，这也是中文文献的特点，我们从小都在读这样的文章，很适应。&b&西方人的文献注重逻辑和推理，从头到尾是非常严格的，就像GRE里面的阅读是一样的，进行的是大量重复、新旧观点的支持和反驳，有严格的提纲，尤其是好的杂志体现得越突出。&/b&读每一段落都要找到他的主题，往往是很容易的，大量的无用信息可以一带而过，节约你大量的宝贵时间和精力。&br&&br&&b&5、增加阅读量：&/b&由于刚刚接触这一领域，对许多问题还没有什么概念，读起来十分吃力，许多内容也读不懂。后来随着阅读量的增加，最后可以融汇贯通。所以，对新手而言，应当重视阅读文献的数量，积累多了，自然就由量变发展为质变了。&br&&br&&b&四、提高阅读的效率&/b&&br&&br&&b&1、集中时间看文献：&/b&看文献的时间越分散，浪费时间越多。集中时间看更容易联系起来，形成整体印象。&br&&br&&b&2、做好记录和标记：&/b&复印或打印的文献，直接用笔标记或批注。pdf 或html格式的文献，可以用编辑器标亮或改变文字颜色。这是避免时间浪费的又一重要手段，否则等于没看。&br&&br&&b&3、阅读顺序&/b&：根据阅读目的选择合适的顺序。&b&一般先看abstract,introduction，然后看discussion，最后看result和method（结合图表）&/b&。&br&&br&&b&五、文献的整理&/b&&br&&br&1、下载电子版文献时（caj, pdf, html），把文章题目粘贴为文件名（文件名不能有特殊符号）&br&&br&2、不同主题存入不同文件夹。文件夹的题目要简短，如：PD, LTP, PKC, NO。&br&&br&3、看过的文献归入子文件夹，最起码要把有用的和没用的分开。&br&&br&&b&4、重要文献根据重要程度在文件名前加001，002，003编号&/b&，然后按名称排列图标，最重要的文献就排在最前了。而且重要文献要注意追踪。运气好，你可以得到更多的线索；运气不好，发现别人抢先了。据此修正你的实验。&br&&br&&b&六、英文文章写作（阅读文献的副产品）&/b&&br&&br&1、平时阅读文献，注意总结常用句型和常用短语（注意，文献作者必须是以英文为母语者，文献内容要与你的专业有关）。&br&&br&2、找3-5篇技术路线和统计方法与你的课题接近的文章，精读。&br&&br&&br&【三】&br&&br&&b&学术牛人3：如何提高英文的科研写作能力&/b&&br&&br&心得和经验：在国际学术期刊上发表科研论文，是科研工作者与同行交流、取得国际影响的必经之路。有些国内的科学家实验做得很漂亮，但常常苦恼于论文写作力不从心，成为国际交流的一大障碍。本文从笔者的亲身体验出发，给博士生、博士后以及年轻的PI（课题组长）提供一个借鉴。&br&&br&我大学时的同班同学都知道，那时我的英语不算好（英语四级考试仅为“良”），写作尤其糟糕。初到美国之时，对英文环境适应得很差，读一篇《生物化学杂志》（JBC）的文章要五六个小时，还常常不理解其中一些关键词句的意思，压力极大。很幸运，1991年4月我在约翰霍普金斯大学（JohnsHopkins University）攻读博士学位时遇到了学兄和启蒙老师John Desjarlais。听了我的苦恼后，John告诉我，&b&“每天花45分钟读《华盛顿邮报》，两年后你的写作能力会得心应手”。这条建议正合我意。&/b&&br&&br&我原本就对新闻感兴趣。于是，我每天上午安排完第一批实验后，都会在10点左右花一个小时阅读《华盛顿邮报》，主要看A版（新闻版）。刚开始，我一个小时只能读两三个短消息或一个长篇报道，中间还不得不经常查字典看生词。但不知不觉间，我的阅读能力明显提高。1992年老布什与克林顿竞选总统，我跟踪新闻，常常一个小时能读上几个版面的消息或四五个长篇报道，有时还把刚看到的新闻绘声绘色地讲给师兄师姐听。&br&&br&阅读直接提升了我的英文写作能力。看完一些新闻后，我常常产生动笔写自己感想的冲动。1992年巴塞罗那奥运会，中国游泳队取得了四金五银的好成绩，美国主要媒体纷纷指责这是中国运动员服用违禁药物，但没有任何检测的证据，完全凭美国运动员的感觉。此事让我很气愤，我生平第一次给《华盛顿邮报》和《巴尔的摩太阳报》（The Baltimore Sun）各写了一封信，评论报道的不公平。没想到两天后，《巴尔的摩太阳报》居然原封不动地把我的信刊登在《读者来信》栏目。&br&&br&同事祝贺，我也洋洋得意。受到此事鼓励，我在此后三年多的日子里常常动笔，有些文章发表在报刊上（大部分投稿石沉大海），也曾代表中国留学生写信向校方争取过中国学生的利益。有时还有意外的惊喜。1995年的一天，一位朋友打电话告诉我：今天出版的《巴尔的摩太阳报》上有我的评论文章。我急匆匆赶到街头买来5份报纸，果然，在A版的倒数第二页，以15厘米×15厘米的篇幅发表了我一个多星期前寄给报社、本以为不会发表的一篇文章。&br&&br&以上是我个人英文写作能力提升的一段过程。但是，科研论文不同于读者来信，有其专业特点甚至是固定格式。&br&&br&1994年，我第一次完整地写科研论文，感觉很差。好不容易写完的文章，连我自己都不愿意读第二遍，勉强修改之后交给了老板Jeremy Berg。他拖了3周没看我的文章，我实在忍不住了去催他。上午9点，Jeremy告诉我：今天看。11点，我去他办公室催，秘书拦住我，说Jeremy正在办理重要事务，两点前不得打扰。我心中惴惴，不知Jeremy在干什么。下午一点半，Jeremy急匆匆过来找我，拿了一叠纸，“这是初稿，你看看如何，我们可以试试《科学》”。我仔细一看，天啊！一共7页，4个多小时，Jeremy已经把文章的整体写完了，只是缺少方法（Method）和参考文献（references）。让我郁闷的是，他根本没有用我的初稿。&br&其实，写文章贵在一气呵成。我也沿袭了Jeremy的风格。2006年10月，在我们处于劣势的激烈竞争中，有两个课题面临被“scoop”（取消）的危险，我曾经两次一晚上赶出一篇文章。第一次是10月15日，傍晚8点左右开始写，通宵工作，第二天早晨10点完成一篇按照《细胞》杂志格式的论文，包括摘要（abstract），引言（introduction），结论（results），讨论（discussion），仔细阅读一遍后于下午4点半完成网上投稿。这篇文章最终发表在12月份《自然》子刊《结构与分子生物学》上（电子版于11月10日发表）。另一次是10月18日，傍晚6点开始写，通宵工作，第二天早晨8点完成，上午9点半完成投稿，最终发表在12月15日的《细胞》上。当然，能通宵完成一篇文章，还有一个重要前提，就是对研究领域非常熟悉，对文章整体的大概思路已经深思熟虑，所有的图表（Figures）都事先做好了。这些前期工作即使全身心投入也需要3～4天。&br&&br&从1994年自己写第一篇科研论文的艰难，到现在写起来得心应手、驾轻就熟，我总结出如下经验。&br&&br&&b&1、要写好科研论文，必须先养成阅读英文文章的习惯，争取每天30～60分钟。&/b&刚开始可以选择以读英文报纸、英文新闻为主，逐渐转为读专业杂志。我会在近期专门写一篇文章介绍一套行之有效的增强读专业杂志能力的办法。&br&&br&&b&2、写科研论文，最重要的是逻辑。&/b&逻辑的形成来自于对实验数据的总体分析。必须先讨论出一套清晰的思路，然后按照思路来做图表（Figures），最后才能执笔。&br&&br&&b&3、具体写作时，先按照思路（即Figures）写一个以subheading（小标题）为主的框架，然后开始具体写作。&/b&第一稿，切忌追求每一句话的完美，更不要追求词语的华丽，而主要留心逻辑（logic flow），注意前后句的逻辑关系、相邻两段的逻辑关系。写作时，全力以赴，尽可能不受外界事情干扰（关闭手机、座机），争取在最短时间内拿出第一稿。还要注意：一句话不可太长。&br&&br&&b&4、学会照葫芦画瓢。&/b&没有人天生会写优秀的科研论文，都是从别人那里学来的。学习别人的文章要注意专业领域的不同，有些领域（包括我所在的结构生物学）有它内在的写作规律。在向别人学习时，切忌抄袭。在美国一些机构，连续7个英文单词在一起和别人的完全一样，原则上就被认为抄袭（plagiarism）。&br&&br&&b&5、第一稿写完后，给自己不要超过一天的休息时间，开始修改第二稿。&/b&修改时，还是以逻辑为主，但对每一句话都要推敲一下，对abstract和正文中的关键语句要字斟句酌。科研文章里的一些话是定式，比如“Toinvestigate the mechanism of……，we performed……”（为了探索……的机制，我们做了……），“Theseresults support the former，but not the latter，hypothesis……”（这些结果支持了前面的观点，而不是后面的，假设……），“Despite recent progress，how……remains to beelucidated……”（尽管最近的进展，如何阐明……）等等。用两次以后，就逐渐学会灵活运用了。学会用“Thesaurus”（同义词替换）以避免过多重复。第二稿的修改极为关键，再往后就不会大改了。&br&&br&&b&6、第二稿以后的修改，主要注重具体的字句，不会改变整体逻辑了。&/b&投稿前，一定要整体读一遍，对个别词句略作改动。记住：学术期刊一般不会因为具体的语法错误而拒绝一篇文章，但一定会因为逻辑混乱而拒绝一篇文章。&br&&br&这套方法行之有效，我对所有的学生和博士后都会如此教导。&br&&br&我的第一个博士后是柴继杰，1999年加入我在普林斯顿大学的实验室。柴继杰当时的英文阅读和写作能力很差。我对他的第一个建议就是“每天花半小时读英文报纸”。难能可贵的是：他坚持下来了！经过几年的努力，2004年柴继杰已经能写出不错的项目经费申请书（grant proposal），2006年他的第一篇独立科研论文发表在《分子细胞》（Molecular Cell）上，随后相继在《自然》发表两篇论文，在其他一流学术期刊发表十多篇论文。他的写作能力开始成熟。&br&&br&发表论文是一件值得高兴的事情，但要明白：论文只是一个载体，是为了向同行们宣告你的科研发现，是科学领域交流的重要工具。所以，在科研论文写作时，一定要谨记于心的就是：用最简单的话表达最明白的意思，但一定要逻辑严谨！其实，中文和英文论文皆如此！&br&&br&&br&【四】&br&&br&&b&学术牛人4 ：外语基础薄弱如何读外国文献？&/b&&br&&br&心得和经验：本人英语基础不好，没过六级，所以在硕士的时候基本上看的外文文献很少，现在想想很后悔，2年的时间少学了很多东西。上了博士，自己给自己的定位也高一些了，开始打算硬着头皮咬着牙很不情愿的也要多看些外文文献，一开始看比较慢，有些很难理解，到现在大约仔细阅读了100篇外文文献，泛读了100篇外文文章，受益匪浅，现在基本不怎么看中文的了，现在自己写外文的也很顺手了。谈几点自己的体会，我是材料专业的。&br&&br&&b&1、先找5篇跟自己论文最相关的外文文章看。&/b&花一个月的时间认认真真的看，反复看，要求全部读懂，不懂的地方可以和同学和老师交流一下。一个月以后你已经上路了。&br&&br&&b&2、如何读标题：&/b&不要忽视一篇论文的标题，看完标题以后想想要是让你写你怎么用一句话来表达这个标题，根据标题推测一下作者论文可能是什么内容。有时候一句比较长的标题让你写，你可能还不会表达，下次你写的时候就可以借鉴了。&br&&br&&b&3、如何读摘要：&/b&快速浏览一遍，这里主要介绍这篇文章做了些什么。也许初看起来不好理解，看不懂，这时候不要气馁，不管它往下看，等你看完这篇文章的时候也许你都明白了。因为摘要写的很简洁，省略了很多前提和条件，在你第一眼看到摘要而不明白作者意图的时候看不懂是正常的。&br&&br&&b&4、如何读引言（前言）：&/b&当你了解了你的研究领域的一些情况，看引言应该是一件很容易的事情了，都是介绍性的东西，写的应该都差不多，所以看文献多了以后看这部分的内容就很快了，一扫而过，有些老外写得很经典得句子要记下了，下次你写就可以用了。&br&&br&&b&5、如何读材料及试验：&/b&当你文献看多了以后，这部分内容也很简单了，无非就是介绍试验方法，自己怎么做试验的，很快就能把它看完了吧。&br&&br&&b&6、如何看试验结果：&/b&看结果这部分一定要结合结果中的图和表看，这样看的快。主要看懂试验的结果，体会作者的表达方法（例如作者用不同的句子结构描述一些数字的