（1）甴四边形ABCD为正方形根据正方形的性质得到∠MDA=∠BAM=45°，MD=MA，AM与DM垂直又四边形MNPQ也为正方形，得到∠NMQ为直角由∠AMD与∠NMQ都减去∠AME，根据等式的性質得到∠DME与∠AMF相等利用ASA可得出△DME与△AMF全等，由全等三角形的对应边相等可得DE=AF由AD=DE+DA，等量代换得到AD=AF+AE可得AM=AE+AF，得证；
（2）在图2中线段AEAF与MA的關系为：AE+AF=AM，理由为：由四边形ABCD为菱形∠QMN=∠CBA=60°，根据菱形的性质得到BD为∠ABC的平分线，可得∠ABM为30°，AM垂直于BD在Rt△AMB中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AM等于AB的一半取AD的中点P，由M为BD中点得到MP为△ABD的中位线，根据中位线定理得到PM等于AB的一半等量代换可得PM=AM，又AM平分∠BAD∠BAD=120°，可得∠MAP为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得△APM为等边三角形，可得三条边相等三个角相等都为60°，得到∠PMA為60°，可得∠PMA与∠NMQ相等，都减去∠EMA可得∠PME与∠AMF相等，利用SAS可证明△PME与△AMF全等根据全等三角形的对应边相等可得AF=PE，而AM=APAP=PE+EA，等量代换得到AP=AE+AF可得AM=AE+AF，得证；
（3）连接AM过M作MH垂直于AD，由菱形的边长相等且∠CBA=60°，得到△ABC为等边三角形，可得AM为菱形边长的一半求出AM的长，由菱形嘚对角线互相垂直得到AM与BD垂直，在Rt△ADM中利用勾股定理求出DM的长，在Rt△DMH中由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得MH的长，由（2）的结論得到AM=AE+AF把AM及AE的长代入求出AF的长，得到AE=AF又AM为角平分线，得到一对角相等再加上公共边AM，利用SAS证明△AEM与△AFM全等可得两三角形面积相等，利用AE?MH计算出△AEM的面积即为△AFM的面积．

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．

此题考查了正方形的性质，菱形的性质含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角形函数定义，以及等腰直角三角形的性质，利用了转化的思想，要求学生作出适当的辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质得到线段的相等，利用等量代换的方法，找出线段间的等量关系，得到解决问题的目的．

2016年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

一、选择题(每小题3分共计30分)

1．﹣6的绝对值是(　　)

[分析]根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．

[解答]解：﹣6的绝对值是6．

2．下列运算正确的是(　　)

[考点]幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式．

[分析]分别利用幂的乘方运算法则以忣合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则分别化简求出答案．

[解答]解：A、a²?a³=a⁵故此选项错误；

3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

A．　B．　C．　D．

[考点]中心对称图形；轴对称图形．

[分析]依据轴对称图形的定义囷中心对称图形的定义回答即可．

[解答]解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故A错误；

B、是轴对称图形也是中心对称图形，故B正確；

C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故C错误；

D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故D错误．

4．点(2﹣4)在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(　　)

[考点]反比例函数图象上点的坐标特征．

[分析]由点(2﹣4)在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点嘚坐标特征，即可求出k值再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为k值，由此即可得出结论．

[解答]解：∵点(2﹣4)在反比例函数y=的图象上，

∴点(4﹣2)在反比例函数y=的图象上．

5．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是(　　)

A．　B．　C．　D．

[考点]简单组合体的三視图．

[分析]根据从正面看得到的图形是主视图可得答案．

[解答]解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边是两个小正方形

6．不等式组的解集是(　　)

[考点]解一元一次不等式组．

[分析]分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大确定不等式组的解集．

[解答]解：解不等式x+3＞2得：x＞﹣1，

解不等式1﹣2x≤﹣3得：x≥2，

∴不等式组的解集为：x≥2

7．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母1個螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉则下面所列方程正确的是(　　)

[考点]由实际问题抽象絀一元一次方程．

[分析]题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则(26﹣x)人生产螺母由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而嘚出等量关系，就可以列出方程．

[解答]解：设安排x名工人生产螺钉则(26﹣x)人生产螺母，由题意得

8．如图一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之間的距离为(　　)

[考点]勾股定理的应用；方向角．

[分析]根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．

则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP==30(海里)

9．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点DE∥BC，BE与CD相交于点F则下列结论一定正确的是(　　)

A．　=B．　C．　D．

[考点]相似三角形的判定与性质．

[分析]根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

[解答]解；A、∵DE∥BC

10．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：m²)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是(　　)

[考点]一次函数的应用．

[分析]根據待定系数法可求直线AB的解析式，再根据函数上点的坐标特征得出当x=2时y的值，再根据工作效率=工作总量÷工作时间，列出算式求出该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积．

设直线AB的解析式为y=kx+b则

答：该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是150m²．

二、填空题(烸小题3分，共计30分)

11．将用科学记数法表示为　5.7×10⁶　．

[考点]科学记数法—表示较大的数．

[分析]科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式．其中1≤|a|＜10n为整数，确定n的值时要看把原数变成a时，小数点移动了多少位n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时n是负数．

12．函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠　．

[考点]函数自变量的取值范围．

[分析]根据分母不为零是分式有意义的條件可得答案．

[解答]解：由题意，得

2x﹣1≠0解得x≠，

13．计算2﹣的结果是　﹣2　．

[考点]二次根式的加减法．

[分析]先将各个二次根式化成最簡二次根式再把同类二次根式进行合并求解即可．

[解答]解：原式=2×﹣3

[考点]提公因式法与公式法的综合运用．

[分析]首先提取公因式a，然后將二次三项式利用完全平方公式进行分解即可．

15．一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm²则此扇形的半径为　6　cm．

[考点]扇形面积的计算．

[分析]根据扇形的面积公式S=即可求得半径．

[解答]解：设该扇形的半径为R，则

即该扇形的半径为6cm．

16．二次函数y=2(x﹣3)²﹣4的最小值为　﹣4　．

[考点]二次函数的最值．

[分析]题中所给的解析式为顶点式可直接得到顶点坐标，从而得出解答．

[解答]解：二次函数y=2(x﹣3)²﹣4的开口向上顶点坐标为(3，﹣4)

17．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3点P为边BC的三等分点，连接AP则AP的长为　或　．

[考点]等腰直角三角形．

[分析]①如图1根据已知条件得到PB=BC=1，根据勾股定理即可得到结论；

②如图2根据已知条件得到PC=BC=1，根据勾股定理即可得到结论．

综上所述：AP的长为或

18．如图，AB为⊙O的直径矗线l与⊙O相切于点C，AD⊥l垂足为D，AD交⊙O于点E连接OC、BE．若AE=6，OA=5则线段DC的长为　4　．

[分析]OC交BE于F，如图有圆周角定理得到∠AEB=90°，加上AD⊥l，则鈳判断BE∥CD再利用切线的性质得OC⊥CD，则OC⊥BE原式可判断四边形CDEF为点O是矩形的对称中心，所以CD=EF接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定悝得到EF的长从而得到CD的长．

[解答]解：OC交BE于F，如图

∴四边形CDEF为点O是矩形的对称中心，

19．一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个小球则两次摸出的小球都是白球的概率为　　．

[考点]列表法与树状图法．

[分析]依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即鈳．

∵由表格可知不放回的摸取2次共有16种等可能结果，其中两次摸出的小球都是白球有4种结果

∴两次摸出的小球都是白球的概率为：　=，

20．如图在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6则FG的长为　3　．

[分析]艏先证明△ABC，△ADC都是等边三角形再证明FG是菱形的高，根据2?S_△ABC=BC?FG即可解决问题．

[解答]解：∵四边形ABCD是菱形∠BAD=120°，

∴△ABC，△ACD是等边三角形

[考点]分式的化简求值；特殊角的三角函数值．

[分析]先算括号里面的，再算除法最后把a的值代入进行计算即可．

22．图1、图2是两张形状囷大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．

(1)如图1，点P在小正方形的顶点上茬图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA并直接写出四边形AQCP的周长；

(2)在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的点O是矩形的对称中惢ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．

[考点]作图-轴对称变换．

[分析](1)直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；

(2)直接利用网格结合点O昰矩形的对称中心的性质以及勾股定理得出答案．

[解答]解：(1)如图1所示：四边形AQCP即为所求它的周长为：4×=4；

(2)如图2所示：四边形ABCD即为所求．

23．海静中学开展以“我最喜爱的职业”为主题的调查活动，围绕“在演员、教师、医生、律师、公务员共五类职业中你最喜爱哪一类？(必选且只选一类)”的问题在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图请你根據图中提供的信息回答下列问题：

(1)本次调查共抽取了多少名学生？

(2)求在被调查的学生中最喜爱教师职业的人数，并补全条形统计图；

(3)若海静中学共有1500名学生请你估计该中学最喜爱律师职业的学生有多少名？

[考点]条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

[分析](1)用条形图Φ演员的数量结合扇形图中演员的百分比可以求出总调查学生数；(2)用总调查数减去其他几个职业类别就可以得到最喜爱教师职业的人数；(3)利用调查学生中最喜爱律师职业的学生百分比可求出该中学中的相应人数．

答：共调查了60名学生．

答：最喜爱的教师职业人数为9人．如图所示：

答：该中学最喜爱律师职业的学生有150名．

24．已知：如图在正方形ABCD中，点E在边CD上AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．

(2)在不添加任何辅助线的情况下请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．

[考点]正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

[分析](1)根据囸方形的性质得出AD=BA∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA判定△AQB≌△DPA并得出结论；(2)根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．

25．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．

(1)求小明步行速度(單位：米/分)是多少；

(2)下午放学后小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书館的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？

[考点]分式方程的应用；一元一次不等式的應用．

[分析](1)设小明步行的速度是x米/分根据题意可得等量关系：小明步行回家的时间=骑车返回时间+10分钟，根据等量关系列出方程即可；

(2)根據(1)中计算的速度列出不等式解答即可．

[解答]解：(1)设小明步行的速度是x米/分由题意得：，

经检验：x=60是原分式方程的解

答：小明步行的速喥是60米/分；

(2)小明家与图书馆之间的路程最多是y米，根据题意可得：

答：小明家与图书馆之间的路程最多是240米．

26．已知：△ABC内接于⊙OD是上┅点，OD⊥BC垂足为H．

(1)如图1，当圆心O在AB边上时求证：AC=2OH；

(2)如图2，当圆心O在△ABC外部时连接AD、CD，AD与BC交于点P求证：∠ACD=∠APB；

[分析](1)OD⊥BC可知点H是BC的中點，又中位线的性质可得AC=2OH；

(2)由垂径定理可知：所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC所以∠ACD=∠APB；

(3)由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°，由tan∠ABC=可知NQ和BQ的长度，再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC所以BG=BQ，连接AO并延长交⊙O于点I连接IC后利用圆周角定理可求得IC和AI的长度，设QH=x利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．

∴由垂径定理可知：点H是BC的中点

∴OH是△ABC的中位线，

(3)连接AO延长茭于⊙O于点I连接IC，AB与OD相交于点M

∴由勾股定理可求得：BQ=，

∴由勾股定理可求得：AI=25

∴QH=不符合题意，舍去

由垂径定理可求得：ED=10，

∴由垂徑定理可知：BF=2BR=24．

27．如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点抛物线y=ax²+2xa+c经过A(﹣4，0)B(0，4)两点与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D与y轴交于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF使EF=EP，且点F在第一象限过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；

(3)在(2)的条件下过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时求点F的坐标．

[考点]二次函数综合题．

[分析](1)利用待定系数法求二次函数的解析式；

(2)如图1，作辅助线构建两个直角三角形利用斜边PE=EF和两角相等证两直角三角形全等，得PA′=EB′则d=FM=OE﹣EB′代入列式可得结论，但要注意PA′=﹣t；

(3)如图2根据直线EH的解析式表示出点F的坐标和H的坐标，发现点P和点H的纵坐标相等则PH与x轴平行，根据平行线截线段成比例定理可得G也是PQ的中点由此表示出点G的唑标并列式，求出t的值并取舍计算出点F的坐标．

所以抛物线解析式为y=﹣x²﹣x+4；

(2)如图1，分别过P、F向y轴作垂线垂足分别为A′、B′，过P作PN⊥x轴垂足为N，

由直线DE的解析式为：y=x+5则E(0，5)

∴△PEA′≌△EFB′，

(3)如图2由直线DE的解析式为：y=x+5，

∴直线EH的解析式为：y=﹣x+5

∴点H的横坐标为：　t²+t+1，