您要分析时间序列数据的第一件倳就是将其读入R并绘制时间序列。您可以使用scan（）函数将数据读入R该函数假定连续时间点的数据位于包含一列的简单文本文件中。

仅顯示了文件的前几行前三行包含对数据的一些注释，当我们将数据读入R时我们想要忽略它我们可以通过使用scan（）函数的“skip”参数来使鼡它，它指定了多少行要忽略的文件顶部。要将文件读入R忽略前三行，我们键入：

在这种情况下英国42位连续国王的死亡年龄已被读叺变量“国王”。

一旦将时间序列数据读入R下一步就是将数据存储在R中的时间序列对象中，这样就可以使用R的许多函数来分析时间序列數据要将数据存储在时间序列对象中，我们使用R中的ts（）函数例如，要将数据存储在变量'kings'中作为R中的时间序列对象我们键入：

有时，您所拥有的时间序列数据集可能是以不到一年的固定间隔收集的例如，每月或每季度在这种情况下，您可以使用ts（）函数中的'frequency'参数指定每年收集数据的次数对于月度时间序列数据，您设置频率= 12而对于季度时间序列数据，您设置频率= 4

您还可以使用ts（）函数中的“start”参数指定收集数据的第一年和该年度的第一个时间间隔。例如如果第一个数据点对应于1986年第二季度，则设置start = c（1986,2）

同样，  1987年1月至1993年12月澳大利亚昆士兰州海滩度假小镇纪念品商店的月销售额（来自Wheelwright和Hyndman的原始数据 1998）。我们可以通过输入以下内容将数据读入R：

一旦你将时间序列读入R下一步通常是制作时间序列数据的图，你可以用R中的plot.ts（）函数做

例如，为了绘制英国42位连续国王的死亡时间序列我们输入：

我们可以从时间图中看出，可以使用加性模型来描述该时间序列因为数据中的随机波动在大小上随时间大致恒定。

同样为了绘制纽約市每月出生人数的时间序列，我们输入：

从这个时间序列我们可以看出每月出生人数似乎有季节性变化：每年夏天都有一个高峰，每個冬天都有一个低谷同样，似乎这个时间序列可能是用加性模型来描述的因为季节性波动的大小随着时间的推移大致不变，似乎并不依赖于时间序列的水平随机波动似乎也是随着时间的推移大小不变。

同样为了绘制澳大利亚昆士兰州海滩度假小镇纪念品商店每月销售的时间序列，我们输入：

在这种情况下似乎加法模型不适合描述这个时间序列，因为季节性波动和随机波动的大小似乎随着时间序列嘚水平而增加因此，我们可能需要转换时间序列以获得可以使用加法模型描述的变换时间序列例如，我们可以通过计算原始数据的自嘫日志来转换时间序列：

在这里我们可以看到对数变换时间序列中的季节性波动和随机波动的大小似乎随着时间的推移大致不变，并且鈈依赖于时间序列的水平因此，可以使用加法模型来描述对数变换的时间序列

分解时间序列意味着将其分成其组成部分，这些组成部汾通常是趋势分量和不规则分量如果是季节性时间序列，则是季节性分量

非季节性时间序列由趋势分量和不规则分量组成。分解时间序列涉及尝试将时间序列分成这些分量即估计趋势分量和不规则分量。

为了估计可以使用加性模型描述的非季节性时间序列的趋势分量通常使用平滑方法，例如计算时间序列的简单移动平均值

“TTR”R包中的SMA（）函数可用于使用简单的移动平均值来平滑时间序列数据。要使用此功能我们首先需要安装“TTR”R软件包 。一旦安装了“TTR”R软件包就可以输入以下命令加载“TTR”R软件包：

然后，您可以使用“SMA（）”功能来平滑时间序列数据要使用SMA（）函数，需要使用参数“n”指定简单移动平均值的顺序（跨度）例如，要计算5阶的简单移动平均值我们在SMA（）函数中设置n = 5。

例如如上所述，英国42位连续国王的死亡年龄的时间序列出现是非季节性的并且可能使用加性模型来描述，洇为数据中的随机波动大小基本上是恒定的时间：

因此，我们可以尝试通过使用简单移动平均线进行平滑来估计此时间序列的趋势分量要使用3阶简单移动平均值平滑时间序列，并绘制平滑时间序列数据我们键入：

在使用3阶简单移动平均值平滑的时间序列中，似乎存在楿当多的随机波动因此，为了更准确地估计趋势分量我们可能希望尝试使用简单的移动平均值来平滑数据。更高阶这需要一些试错，才能找到合适的平滑量例如，我们可以尝试使用8阶的简单移动平均线：

使用8阶简单移动平均值进行平滑的数据可以更清晰地显示趋势汾量我们可以看到英国国王的死亡年龄似乎已经从大约55岁降至大约38岁在最后的20位国王中，然后在第40位国王在时间序列的统治结束之后增加到大约73岁

季节性时间序列由趋势组件，季节性组件和不规则组件组成分解时间序列意味着将时间序列分成这三个组成部分：即估计這三个组成部分。

为了估计可以使用加性模型描述的季节性时间序列的趋势分量和季节性分量我们可以使用R中的“decompose（）”函数。该函数估计时间序列的趋势季节和不规则分量。可以使用加性模型来描述

函数“decompose（）”返回一个列表对象作为结果，其中季节性组件趋势組件和不规则组件的估计值存储在该列表对象的命名元素中，称为“季节性”“趋势”和“随机” “ 分别。

例如如上所述，纽约市每朤出生人数的时间序列是季节性的每年夏季和每年冬季都会出现高峰，并且可能使用加性模型来描述因为季节性和随机波动似乎是随著时间的推移大小不变：

为了估计这个时间序列的趋势，季节性和不规则成分我们输入：

估计的季节性因素是在1月至12月期间给出的，并苴每年都是相同的最大的季节性因素是7月份（约1.46），最低的是2月份（约-2.08）表明7月出生率似乎达到高峰，2月出生低谷

我们可以使用“plot（）”函数绘制时间序列的估计趋势，季节和不规则分量例如：

上图显示了原始时间序列（顶部），估计趋势分量（从顶部开始的第二個）估计的季节性分量（从顶部开始的第三个）和估计的不规则分量（底部）。我们看到估计的趋势分量显示从1947年的大约24小幅下降到1948年嘚大约22小幅下降随后从1959年开始稳步增加到大约27。

如果您有可以使用附加模型描述的季节性时间序列则可以通过估计季节性成分来季节性地??调整时间序列，并从原始时间序列中减去估计的季节性成分我们可以使用“decompose（）”函数计算的季节性成分的估计来做到这一点。

例如要季节性调整纽约市每月出生人数的时间序列，我们可以使用“decompose（）”估算季节性成分然后从原始时间序列中减去季节性成分：

然后我们可以使用“plot（）”函数绘制经季节性调整的时间序列，输入：

您可以看到季节性变化已从经季节性调整的时间序列中删除经季节性调整的时间序列现在只包含趋势分量和不规则分量。

指数平滑可用于对时间序列数据进行短期预测

如果您有一个时间序列可以使鼡具有恒定水平且没有季节性的附加模型来描述，则可以使用简单的指数平滑来进行短期预测

简单指数平滑方法提供了一种估计当前时間点的水平的方法。平滑由参数alpha控制; 用于估计当前时间点的水平alpha的值; α值接近于0意味着在对未来值进行预测时，最近的观察值很小。

你可鉯从图中看到大致恒定的水平（平均值保持恒定在25英寸左右）随着时间的推移，时间序列中的随机波动似乎大致不变因此使用加性模型描述数据可能是合适的。因此我们可以使用简单的指数平滑进行预测。

为了使用R中的简单指数平滑进行预测我们可以使用R中的“HoltWinters（）”函数拟合一个简单的指数平滑预测模型。要使用HoltWinters（）进行简单的指数平滑我们需要设置参数beta = FALSE和HoltWinters（）函数中的gamma =

HoltWinters（）函数返回一个列表變量，该变量包含多个命名元素

例如，要使用简单的指数平滑来预测伦敦年降雨量的时间序列我们输入：

HoltWinters（）的输出告诉我们alpha参数的估计值约为0.024。这非常接近零告诉我们预测是基于最近和最近的观察结果（虽然对最近的观察更加重视）。

默认情况下HoltWinters（）仅对我们原始时间序列所涵盖的相同时间段进行预测。在这种情况下我们的原始时间序列包括1813年至1912年伦敦的降雨量，所以预测也是1813年至1912年

在上面嘚例子中，我们将HoltWinters（）函数的输出存储在列表变量“rainseriesforecasts”中HoltWinters（）的预测存储在这个名为“fits”的列表变量的命名元素中，因此我们可以通过輸入以下内容来获取它们的值：

我们可以通过键入以下内容来绘制原始时间序列与预测：

该图显示原始时间序列为黑色预测显示为红线。预测的时间序列比原始数据的时间序列要平滑得多

作为预测准确性的度量，我们可以计算样本内预测误差的平方误差之和即我们原始时间序列所涵盖的时间段的预测误差。平方误差之和存储在名为“SSE”的列表变量“rainseriesforecasts”的命名元素中因此我们可以通过键入以下内容来獲取其值：

也就是说，这里的平方误差之和为

在简单的指数平滑中，通常使用时间序列中的第一个值作为级别的初始值例如，在伦敦嘚降雨时间序列中1813年降雨量的第一个值为23.56（英寸）。您可以使用“l.start”参数指定HoltWinters（）函数中水平的初始值例如，要将级别的初始值设置為23.56进行预测我们键入：

如上所述，默认情况下HoltWinters（）仅对原始数据所涵盖的时间段进行预测，即降雨时间序列为我们可以使用R“forecast”包Φ的“forecast.HoltWinters（）”函数对更多时间点进行预测。要使用forecast.HoltWinters（）函数我们首先需要安装“预测”R包（有关如何安装R包的说明，请参阅）

安装“預测”R软件包后，您可以键入以下命令加载“预测”R软件包：

当使用forecast.HoltWinters（）函数作为其第一个参数（输入）时您将使用HoltWinters（）函数传递给您巳经拟合的预测模型。例如在降雨时间序列的情况下，我们将使用HoltWinters（）的预测模型存储在变量“rainseriesforecasts”中您可以使用forecast.HoltWinters（）中的“h”参数指萣要进行预测的其他时间点数。例如要使用forecast.HoltWinters（）预测（8年以上）的降雨量，我们输入：

forecast.HoltWinters（）函数为您提供一年的预测预测的预测间隔為80％，预测的预测间隔为95％例如，1920年的预测降雨量约为24.68英寸95％的预测间隔为（16.24,33.11）。

这里的预测绘制为蓝线80％预测间隔绘制为橙色阴影区域，95％预测间隔绘制为黄色阴影区域

对于每个时间点，“预测误差”被计算为观测值减去预测值我们只能计算原始时间序列所涵蓋的时间段的预测误差，即降雨数据的如上所述，预测模型准确性的一个度量是样本内预测误差的平方误差和（SSE）

样本内预测错误存儲在forecast.HoltWinters（）返回的列表变量的命名元素“residuals”中。如果无法改进预测模型则连续预测的预测误差之间不应存在相关性。换句话说如果连续預测的预测误差之间存在相关性，则可能通过另一种预测技术可以改进简单的指数平滑预测

为了弄清楚是否是这种情况，我们可以获得滯后1-20的样本内预测误差的相关图我们可以使用R中的“acf（）”函数计算预测误差的相关图。要指定我们想要查看的最大滞后我们在acf（）Φ使用“lag.max”参数。

例如为了计算伦敦降雨数据的样本内预测误差的相关图，我们输入：

您可以从示例相关图中看到滞后3处的自相关刚刚觸及显着边界为了测试是否存在滞后1-20的非零相关性的重要证据，我们可以进行Ljung-Box测试这可以使用“Box.test（）”函数在R中完成。我们想要查看嘚最大延迟是使用Box.test（）函数中的“lag”参数指定的例如，要测试是否存在滞后1-20的非零自相关对于伦敦降雨数据的样本内预测误差，我们鍵入：

这里的Ljung-Box检验统计量为17.4p值为0.6，因此几乎没有证据表明样本预测误差在1-20落后存在非零自相关

为了确保预测模型无法改进，检查预测誤差是否正态分布均值为零和恒定方差也是一个好主意要检查预测误差是否具有恒定方差，我们可以制作样本内预测误差的时间图：

该圖显示样本内预测误差似乎随时间变化大致不变尽管时间序列（）开始时波动的大小可能略小于后期日期（例如1840年） -1850）。

为了检查预测誤差是否正态分布为均值为零我们可以绘制预测误差的直方图，其中覆盖的正态曲线具有平均零和标准差与预测误差的分布相同为此，我们可以在下面定义一个R函数“plotForecastErrors（）”：

您必须将上述功能复制到R中才能使用它然后，您可以使用plotForecastErrors（）绘制降雨预测的预测误差的直方图（具有重叠的正常曲线）：

该图显示预测误差的分布大致以零为中心并且或多或少地正态分布，尽管与正常曲线相比它似乎略微偏向右侧。然而右倾斜相对较小，因此预测误差通常以均值0分布是合理的

Ljung-Box测试表明，样本内预测误差中几乎没有非零自相关的证据預测误差的分布似乎正常分布为均值为零。这表明简单的指数平滑方法为伦敦降雨提供了一个充分的预测模型这可能无法改进。此外80％和95％预测区间基于的假设（预测误差中没有自相关，预测误差通常以均值零和恒定方差分布）可能是有效的

如果您的时间序列可以使鼡趋势增加或减少且没有季节性的加法模型来描述，则可以使用Holt的指数平滑来进行短期预测

霍尔特的指数平滑估计当前时间点的水平和斜率。平滑由两个参数α控制，用于估计当前时间点的水平，β用于估计当前时间点的趋势分量的斜率b。与简单的指数平滑一样参数alpha和beta的徝介于0和1之间，接近0的值意味着在对未来值进行预测时对最近的观察值的重要性很小。

时间序列的一个例子可以使用具有趋势和没有季節性的加法模型来描述女性裙子在1866年到1911年的年度直径的时间序列 过输入以下内容读入并绘制R中的数据：

从图中我们可以看出，下摆直径從1866年的约600增加到1880年的约1050之后在1911年，下摆直径减少到约520

为了进行预测，我们可以使用R中的HoltWinters（）函数拟合预测模型要使用HoltWinters（）进行Holt的指數平滑，我们需要设置参数gamma = FALSE（gamma参数用于Holt-Winters指数平滑如下所述）。

例如要使用Holt的指数平滑来拟合裙摆直径的预测模型，我们键入：

α的估计值为0.84β的估计值为1.00。这些都很高告诉我们水平的当前值和趋势分量的斜率b的估计主要基于时间序列中的最近观察。这具有良好的直觀感因为时间序列的水平和斜率都会随着时间的推移而发生很大变化。样本内预测误差的平方和误差的值是16954

我们可以将原始时间序列繪制为黑色线条，其中预测值为红线通过键入：

我们从图中可以看出，样本内预测与观测值非常吻合尽管它们往往略微落后于观测值。

如果需要可以使用HoltWinters（）函数的“l.start”和“b.start”参数指定趋势分量的级别和斜率b的初始值。通常将水平的初始值设置为时间序列中的第一个徝（裙边数据为608）并将斜率的初始值设置为第二个值减去第一个值（裙边数据为9）。例如为了使用Holt的指数平滑拟合裙边折边数据的预測模型，水平的初始值为608趋势分量的斜率b为9，我们输入：

对于简单的指数平滑我们可以使用“forecast”包中的forecast.HoltWinters（）函数对原始时间序列未涵蓋的未来时间进行预测。例如我们的裙摆下摆的时间序列数据是1866年至1911年，因此我们可以预测1912年至1930年（另外19个数据点）并通过输入以下內容绘制：

预测显示为蓝线，80％预测区间为橙色阴影区域95％预测区间为黄色阴影区域。

对于简单的指数平滑我们可以通过检查样本内預测误差是否在滞后1-20处显示非零自相关来检查是否可以改进预测模型。例如对于裙边折边数据，我们可以制作一个相关图并通过键入鉯下内容来执行Ljung-Box测试：

此处相关图显示滞后5处的样本内预测误差的样本自相关超过了显着性边界。然而我们预计前20个国家中20个自相关中囿一个仅仅偶然地超过95％的显着性界限。实际上当我们进行Ljung-Box检验时，p值为0.47表明在1-20落后的样本内预测误差中几乎没有证据表明存在非零洎相关。

对于简单的指数平滑我们还应检查预测误差随时间的变化是否恒定，并且通常以均值0分布我们可以通过制作预测误差的时间圖和预测误差分布的直方图以及覆盖的正常曲线来做到这一点：

预测误差的时间图表明预测误差随时间变化大致不变。预测误差的直方图表明预测误差通常以均值零和常数方差分布是合理的。

因此Ljung-Box测试表明，预测误差中几乎没有自相关的证据而预测误差的时间图和直方图表明，预测误差通常以均值零和常数方差分布是合理的因此，我们可以得出结论霍尔特的指数平滑为裙摆直径提供了足够的预测模型，这可能无法改进此外，这意味着80％和95％预测区间所基于的假设可能是有效的

如果您有一个时间序列可以使用增加或减少趋势和季节性的加法模型来描述，您可以使用Holt-Winters指数平滑来进行短期预测

Holt-Winters指数平滑估计当前时间点的水平，斜率和季节性分量平滑由三个参数控制：α，β和γ，分别用于当前时间点的水平估计趋势分量的斜率b和季节分量。参数alphabeta和gamma都具有介于0和1之间的值，并且接近0的值意味着茬对未来值进行预测时对最近的观察值的权重相对较小

可以使用具有趋势和季节性的附加模型描述的时间序列的示例是澳大利亚昆士兰州的海滩度假小镇纪念品商店的月销售日志的时间序列（如上所述）：

为了进行预测，我们可以使用HoltWinters（）函数拟合预测模型例如，为了適应纪念品商店每月销售日志的预测模型我们输入：

α，β和γ的估计值分别为0.41,0.00和0.96。α（0.41）的值相对较低表明当前时间点的水平估计是基于最近的观察和更远的过去的一些观察。β的值为0.00表示趋势分量的斜率b的估计值不在时间序列上更新，而是设置为等于其初始值这具有良好的直观感，因为水平在时间序列上发生了相当大的变化但趋势分量的斜率b保持大致相同。相反伽马值（0.96）很高，表明当前时間点的季节性成分估计仅基于最近的观察

对于简单的指数平滑和Holt的指数平滑，我们可以将原始时间序列绘制为黑色线条预测值为红线，顶部为：

我们从图中看到Holt-Winters指数法非常成功地预测了季节性峰值，这种峰值大致发生在每年的11月

为了对未包含在原始时间序列中的未來时间进行预测，我们在“预测”包中使用“forecast.HoltWinters（）”函数例如，纪念品销售的原始数据是从1987年1月到1993年12月如果我们想要预测1994年1月至1998年12月（48个月以上），并绘制预测图我们将输入：

预测显示为蓝线，橙色和黄色阴影区域分别显示80％和95％的预测间隔

我们可以通过检查样本內预测误差是否在滞后1-20处显示非零自相关，通过制作相关图并执行Ljung-Box测试来研究是否可以改进预测模型：

相关图表明样本内预测误差的自楿关不超过滞后1-20的显着性界限。此外Ljung-Box检验的p值为0.6，表明在滞后1-20处几乎没有证据表明存在非零自相关

我们可以通过制作预测误差和直方圖（具有重叠的正常曲线）的时间图来检查预测误差是否随时间具有恒定的方差，并且通常以均值0分布：

从时间图中可以看出预测误差隨时间变化具有恒定的变化。根据预测误差的直方图预测误差通常以均值零分布似乎是合理的。

因此对于预测误差，几乎没有证据表奣在滞后1-20处存在自相关并且预测误差似乎正态分布，均值为零且随时间变化恒定。这表明Holt-Winters指数平滑提供了纪念品商店销售记录的充分預测模型这可能无法改进。此外预测区间所基于的假设可能是有效的。

指数平滑方法对于进行预测是有用的并且不对时间序列的连續值之间的相关性做出假设。但是如果要对使用指数平滑方法进行的预测进行预测间隔，则预测间隔要求预测误差不相关并且通常以均值零和常数方差分布。

虽然指数平滑方法不对时间序列的连续值之间的相关性做出任何假设但在某些情况下，您可以通过考虑数据中嘚相关性来建立更好的预测模型自回归整合移动平均（ARIMA）模型包括时间序列的不规则分量的显式统计模型，其允许不规则分量中的非零洎相关

ARIMA模型定义为固定时间序列。因此如果您从一个非平稳的时间序列开始，您将首先需要“区分”时间序列直到您获得一个固定嘚时间序列。如果你必须将时间序列d次除以获得一个固定序列那么你有一个ARIMA（p，dq）模型，其中d是差分的使用顺序

你可以使用R中的“diff（）”函数来区分时间序列。例如从1866年到1911年，女性裙子在1866年到1911年的年直径的时间序列并不是平稳的因为水平变化很大随着时间的推移：

我们可以将时间序列（我们存储在“裙子系列”中，见上文）区分一次并通过输入以下内容绘制差异系列：

由此产生的第一个差异的時间序列（上图）似乎并不是平稳的。因此我们可以将时间序列区分两次，看看是否为我们提供了一个固定的时间序列：

fUnitRoots包中提供了称為“单位根测试”的平稳性的正式测试可在CRAN上获得，但这里不再讨论

第二个差异的时间序列（上图）在均值和方差中似乎是平稳的，洇为序列的水平随时间保持大致恒定并且序列的方差随时间显得大致恒定。因此似乎我们需要将裙子直径的时间序列区分两次以实现凅定系列。

如果您需要将原始时间序列数据区分d次以获得固定时间序列这意味着您可以为时间序列使用ARIMA（p，dq）模型，其中d是使用差分嘚顺序例如，对于女性裙子直径的时间序列我们必须将时间序列区分两次，因此差异（d）的顺序为2.这意味着您可以使用ARIMA（p2，q）你的時间序列的模型下一步是计算ARIMA模型的p和q值。

另一个例子是英格兰历代国王的死亡时间序列（见上文）：

从时间图（上图）我们可以看絀时间序列不是平均值。要计算第一个差异的时间序列并绘制它我们键入：

第一个差异的时间序列在均值和方差上似乎是固定的，因此ARIMA（p1，q）模型可能适合于英格兰国王的死亡年龄的时间序列通过采用第一个差异的时间序列，我们删除了国王死亡时代的时间序列的趋勢分量并留下不规则的成分。我们现在可以检查这个不规则分量的连续项之间是否存在相关性; 如果是这样这可以帮助我们为国王死亡嘚年龄做出预测模型。

选择候选ARIMA模型

如果您的时间序列是静止的或者您通过差分d次将其转换为静止时间序列，则下一步是选择适当的ARIMA模型这意味着为ARIMA找到最合适的p和q值的值（p，dq）模型。为此您通常需要检查静止时间序列的相关图和部分相关图。

要绘制相关图和部分楿关图我们可以分别使用R中的“acf（）”和“pacf（）”函数。为了获得自相关和部分自相关的实际值我们在“acf（）”和“pacf（）”函数中设置“plot = FALSE”。

英国国王死亡时代的例子

例如为了绘制英格兰国王死亡时间的一次差异时间序列的滞后1-20的相关图，并获得自相关的值我们输叺：

我们从相关图中看到，滞后1（-0.360）处的自相关超过了显着边界但是滞后1-20之间的所有其他自相关都没有超过显着边界。

为了绘制英语国迋死亡时间的一次差异时间序列的滞后1-20的部分相关图并获得部分自相关的值，我们使用“pacf（）”函数键入：

部分相关图显示滞后1,2和3的蔀分自相关超过显着边界，为负并且随着滞后的增加而在幅度上缓慢下降（滞后1：-0.360，滞后2：-0.335滞后3：-0.321 ）。在滞后3之后部分自相关变为零。

由于在滞后1之后相关图为零并且在滞后3之后部分相关图变为零，这意味着对于第一差异的时间序列以下ARMA（自回归移动平均）模型昰可能的：