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重新安装浏览器，或使用别的浏览器九（2）二重积分的计算：极坐标-原创视频-搜狐视频
九（2）二重积分的计算：极坐标
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计算二重积分的几种方法
数学专业毕业论文论文,几种,数学,计算方法
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计算二重积分的几种方法
数学专业毕业论文
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3秒自动关闭窗口这两个积分用的是同一个方法吧？为什么第一个积分结果算的不对？难道是我计算错了_百度知道
这两个积分用的是同一个方法吧？为什么第一个积分结果算的不对？难道是我计算错了
我有更好的答案
第一个，x→0-时，反常积分发散，这两个都是反常积分，计算的时候要注意
汗，没看到你的换元，换元要换限，也存在问题
第一个是换元，第二个是分部积分法，
我知道，你第一个没有换上下限
好，那第二个为什么可以这样写
分部积分不需要换限啊
分部积分不是换元是吧，谢谢
采纳率：96%
来自团队：
第一个的上下限错了。从换元可以看出，你是把x换元成θ/x那么当x=+∞的时候，θ/x=0当x=0的时候，θ/x=+∞（如果θ＞0的话）所以对应新的定积分的上限应该是从x=+∞转换来的θ/x=0对应的下限是x=0转换过来的θ/x=+∞你刚好颠倒了。第二个，你的新的定积分的上下限也颠倒了，也存在这个问题。
第二个答案是这样写的，这是分部积分法
突然觉得是不是分部积分和换元不一样
换元和分部积分法是不同的，换元的话，更换了定积分的被积函数自变量，所以上下限也必须按照新的自变量来变化。而分部积分法，不改变被积函数的自变量，所以无需改变上下限。
终于明白为什么这种题总是错了，非常感谢
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二重积分的几种计算方法
二重积分的几种计算方法二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函 数在一个平面的一个区域的积分。 计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二 次积分（即累次积分）加以计算。求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数 的复杂性，二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不 同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求 出。计算二重积分的一般步骤如下： 1) 画出积分区域 D 的草图； 2) 求交点； 3) 选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算； 4) 选择积分次序； 5) 化二重积分为二次积分； 6) 计算。 一．二重积分的直接计算方法 所谓连续函数 f ( x, y ) 展步在有限封闭可求积二位域 ? 内的二重积分乃是指数∫∫ f ( x , y ) dxdy =?max ? x → 0 i max ? y → 0lim∑∑jf ( xi , y j ) ? xi ? y j其中 ?xi = xi ?1 ? xi , ?y j = y j ?1 ? y j ， 而其和为对所有 i, j ， ( xi , y j ) ∈ ? 的那些值来求的。 使 若域 ? 有下面的不等式所给出a ≤ x ≤ b,y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x)其中 y1 ( x ) 和 y2 ( x ) 为闭区间 [a, b ] 上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的公式计算∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫? aby2 ( x )y1 ( x )f ( xi , y j )dy例 1. 计算 ∫∫ Dxydxdy，其中区域 D 是由直线 y = x 与抛物线 y = x 2 所围成的区域。解: 积分区域 D 如图 1 所示，有定义 D 是简单区域，边界 y = x 与 y = x 2 得交 点为 (0,0) 和 (1,1) 。 若选择先对 y 积分，则过 x 轴上 (0,1) 内的任一点 p 作 y 轴的平行线，该线的 与 D 下边界交点在 y = x 2 上，与 D 上边界交点在 y = x 上，所求积分为1 x 1? y? ∫∫ xydxdy = ∫0 dx ∫x2 xydy = ∫0 ? x ? 2 ? x2 dx ? ? D x1 1 3 1 5 ∫0 ( x ? x )dx = 24 2 若选择先对 x 积分，同理可得 =∫∫ xydxdy = ∫ dy ∫0 D1yy?1 ? xydx = ∫ ? x 2 y ? 0 2 ? ?y1y=1 1 3 1 5 ∫0 ( y ? y )dx = 24 2图1若求二重积分时，遇到复杂区域，应将复杂区域化成若干个简单区域， 然后根据 ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x, y) + ∫∫ f ( x, y), (D = D1 + D2 ) ，来计算。D D1 D2例2. 计算 ∫∫ xydxdy ，其中 D 是由 xy = a 2 ， xy = 2a 2 ， x = y 及 y = 2 x 所围成D( x & 0, y & 0, a & 0) 。解: 积分区域如图2所示，有定义可知 D 为复杂区域， D 边界线的交点分别 为 A(a,2a ), B (a , a ), C (a, a ), D ( 2a, 2a ) 。 a若先对 x 积分则连接 BD ， BD 将 D 分成两个简单区域 D1 ， BD 的方程为 。y = 2a ，所求积分为∫∫ xydxdy = ∫∫ xydxdy + ∫∫ xydxdyD D1 2a D2 2a 2a=∫ady ∫a 2 xydx + ∫y2ady ∫2a2 y y 2xydy=∫2aa(4 2 a 2a y3 a4 y3 ? )dy + ∫ ( ? )dy 2a 2 2y y 8? y4 a4 ? ? y4 ? Iny ? + ? 2a 4 Iny ? ? =? ? 32 ? ? 8 2y ?a ?= 3 4 a In 2 42a2a2a图2图3若先对 y 积分，则连接 AC , AC 把区域 D 分成两个简单区域 D1 ， D 2 。 AC 的方 程为 x = a ，如图 3 所示，所求积分应为∫∫ xydxdy = ∫∫ xydxdy + ∫∫ xydxdyD D1 D2= ∫ a dx ∫a xydy + ∫2a2a x2a2aa4 1 3 (2 ? x )dx x 22a?1 ? a4 = ? x 4 ? Inx ? 2 ?2 ? =aa 2? x4 ? + ?2a 4 Inx ? ? 8 ?a ?3 4 a In 2 4 在化二重积分为累次积分时还应注意：若先对 x 积分，则第一次积分是 x 是积分变量，积分上下限应含有 y 的表达式或常数；若先对 y 积分，则第一次积分 时 y 时积分变量，积分上下限应该含有 x 的表达式或常数。 二．二重积分中的变量代换 若可微分的连续函数x = x(u , v), y = y (u , v)把平面 Oxy 上的有限域 ? 单值惟一地映射为平面 Ouv 上的域 ?1 雅哥比式I=D ( x, y ) ≠0 D (u , v)则下之公式正确：∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [x(u, v), y(u, v)] I dudv? ?1特别是，根据公式 x = r cos ? , y = r sin ? ，变换为极坐标 r 和 ? 得情形有∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cos ? , r sin ? )rdrd?? ?1例2∫∫D1?x2 y2 x2 y2 ? 2 dxdy ，其积分区域 D 是由椭圆 2 + 2 = 1 所围的区域。 a b a2 b解： 作变化 x = ar cos ? , y = br sin ? ， 则域 D 变为域 D1 = {0 ≤ r ≤ 1,0 ≤ ? ≤ 2π } ， 且 I = abr 。于是，∫∫D2π x2 y2 1 ? 2 ? 2 dxdy = ∫ d?ab 1 ? r 2 rdr 0 a b= 2πab ∫ 1 ? r 2 rdr01=2πab 32例 3 设 a & 0 是常数，计算积分a + r co sθ , 2 y = r s in θ ,∫∫ xy dxdy 。x 2 + y 2 ≤ ax解： 设 {x=则 x 2 + y 2 ≤ ax ，变成 0 ≤ r ≤a ,0 ≤ θ ≤ 2π 2∫∫ xy dxdy = ∫∫2 x 2 + y 2 ≤ ax a 2 0 ≤θ ≤ 2π 0≤ r ≤a ( + r cos θ )r 2 sin 2 θ ? rdrdθ 2=∫∫a 2 0 ≤θ ≤ 2π 0≤ r ≤a 3 2 a5 4 2 ( r sin θ + r cos θ sin θ )drdθ = π 2 128三．小结 计算二重积分必须注意：能否快算，用何坐标，是否分区域，如何定限。计 算二重积分的主要方法有： 几何意义化简， 利用直角坐标或极坐标化为二次积分， 利用分域法，交换积分次序等。 参考文献： [1] 吉米多维奇.数学分析习题集精选精解 [M]山东：山东科技出版社，2007[2] 钱吉林.数学分析题解精粹 [3] 同济大学应用数学系.微积分（下册）[M]湖北：湖北长江出版集团 2009 [M]北京：高等教育出版社 2003
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