我作为一名雕塑师，对三维几何学有着必然的兴趣。出于爱好，我也对四维几何和相关的数学应用有浓厚的兴趣。我们知道，由一个四维物体，可以计算出其在三维空间的“投影”。这个投影往往是个繁复而美丽的三维物体。快速成型机对比传统工艺，有制作复杂模型的巨大优势，可以很容易的制作出这些似乎只存于思想实验中的结构。哪怕不懂这些美丽物体背后的数学意义，参观者也往往会对这些模型本身感到目瞪口呆。以下是我制作的一些模型，其中两个是和四维几何学有关的。我希望将来能做出一些关于代数曲面或者其他有趣的数学形式的模型。这篇论文

对此设想做了一些相关描述。

● 图中是一个120胞体（120 - cells），是由120个正十二面体组成的四维结构“投影”而成的。该四维结构原本由一个大正十二面体被119个小正十二面体填充组成。但是投影到三维空间时，除了最外层和最内层的两个十二面体还是正十二面体，别的十二面体的角度都产生了必要的扭曲。

● 这个模型的直径约3英寸，在DTM 2500Plus快速成型机上采用激光烧结技术制造。非常适合拿在手上慢慢旋转着欣赏。

● 如果有条件，你可以下载我的STL文件，自己在快速成型机上制作一个一样的模型。

● 这是另一个用Extrude Hone公司的快速成型机，采用ProMetal流程制作的4英寸直径120胞体模型。

● 这个模型用铜粉和不锈钢粉末直接烧结而成，坚固耐用，经得起千年岁月。幻想2000年以后有人和我以同样的姿势拿着这个模型慢慢旋转着欣赏的情景，我就感到心神不宁了。（oh~geek！）

● 对于接触不到快速成型机的朋友们这应该算个好消息吧，该模型在Bathsheba Grossman有售！

● 这是一个广为流传的分形，是由二维的Sierpinski三角形泛化成的三维物体，通常被叫做Sierpinski 四面体。

● 图中展示的是该分形的五级版本，意思就是这个分形有五种尺寸的八面体孔洞。

● 模型的边长是8.5英寸，在前面我与它的合影中你会对它的尺寸有个直观的印象。

● 写一个程序让计算机画出这个图形来很容易，但是要制作出模型的话就要考虑到这些四面体之间几乎没有接触点。因为快速成型机做出的模型同样也需要支撑结构，所以有时是不能完全按数学模型制作出实体模型的。在为数学模型编写STL文件时往往就要考虑这些因素，要实际制造出这些模型往往需要用一些复杂的小技巧。

● 比前文提到的120胞体更美的是截角120胞体（truncated 120-cell），由120个截角12面体和600个四面体组成。图中是截角120胞体的正交投影模型，用光固化成型技术制造，直径约6英寸。

● 从各个方向观察洞穿模型的孔道，这种视觉震撼恐怕只有拿在细细把玩才能体会了。

● 还有2003年春天曾经在纽约州立大学石溪分校以这些四维模型上过的

（原文地址如此，现已失效）。

● 这是一种在1937年被数学家Michael Goldberg首次描述的多面体，被命名为Goldberg多面体。图中的多面体直径约8.3英寸，组成它的972个面中，有12个五边形和960个六边形。这是1000个面以下的这类多面体中面最多的一个。据我所知，无论是Michael | ● Goldberg还是别的学者，目前都还没有提出如何计算这类多面体的角度和边长构成才能使它的表面更圆润，我准备写篇论文把这个问题好好论述一下。

● 上图中是7个可以自由旋转相互不联接的球体。这个模型是在用现代制造技术，向制作同心象牙球的传统艺术致敬。根据这个页面this page的介绍，这项传统艺术始于17世纪的纽伦堡，现在在亚洲的某些国家（比如我国）还在被传承着。

● 这个模型的每个球体都是以不同的Goldberg多面体上的某边缘为基准制作的，这些多面体如下：

● 在制作的过程中，有12个五边形在所有球体中排列成一线，你可以看到一个由五边形组成的通道洞穿模型。当制作完成、球体旋转、顺序被打乱后，要把模型恢复成制作时的排列，可不是一般的困难，简直可以作为一个考验体力的谜题了。

● 图中是一个由十个等边三角形纠结出的有趣形状，是由Alan Holden首先描述的许多多边形缠结中的一个。

● 这些缠结多边形的历史和更多的例子可以看这篇

。文章的最后还有一个java软件的链接可以自动生成制作更多这类模型STL文件。

● 这是两个正二十面体对称的均匀复合多面体（uniform polyhedral compounds）。这些结构在1976年由John skilling首先做出数学描述，我在1999年做出了这两个实体模型，不知有没有人比我先做出来。

● 上面的模型是五个同心截角四面体复合而成，下面的是由六个五棱柱复合而成。要看明白这些模型，你需要把模型想象成许多互相贯通穿插的多面体。

● 在由截角四面体复合而成的例子（上半图）中，你可以看到有朝向你的等边三角形（这个三角形的边长基本等于整个复合体的半径）同样你还能找到边长与其相等的一些六边形。四个三角形和四个六边形构成一个截角四面体。五个截角四面体互相部分重叠着连接在一起，就构成了整个模型。

● 类似的，由五棱柱组成的例子中，你也能看到有着相同边长的正方形和五边形。五个正方形和两个五边形构成一个五棱柱。六个五棱柱连接就成了模型中的样子。

● 或者把下面给出的STL文件用三维读图软件打开并旋转观察，你马上就能理解我在说什么了。

● 这些模型是用石膏在Zcorp快速成型机上制作的。这个机器的工艺有点点类似于喷墨打印机：有选择的把水喷在石膏要硬化的地方，再把没有润湿的石膏粉吸走，如此一层层的反复。

● 这是另一个著名的分形：孟结海绵（Menger sponge）。(确实颇有几分神似海绵宝宝)…图中用熔融层积法（FDM）制作的模型是一个三级分形，也就是说这个分形中有三种不同大小的孔,

● 该分型的有趣之处是：它的表面积会随着它级数的增长以指数方式增长（同样增大的还有STL文件大小）。如果需要我Email给你四级分形的孟结海绵STL文件（26M），请联系我，虽然可能在在你的电脑上直接生成会更容易一些。

● 把一个立方体分割为3乘3一共9个体素，如果某个体素的X、Y、Z坐标（三进制）中有两个或以上的值为1，这个体素就是空的。明白了以上这句话的意思，再加以推演，可以得到一个孟结海绵的简单算法。

● 下面的这幅图展示了被一个六边形截成两半的孟结海绵。这里是制造半个孟结海绵的stl文件，这个用激光烧结技术制作的模型边长是5.5厘米。

● 你应该知道用一个面把正方体切成两半时，使截面为正六边形,该怎么切：让四条长对角线的垂直平分线都在该截面上就行了。（不明白的人，作者让你切豆腐去……）你也可以轻松想象出正六边形的截面是什么样子。但是要试图想象同样切法的孟结海绵截面是什么图案，绝对是对形象思维能力的大挑战。

● 我就经常用这个模型作为谜题，让猜谜者在不分开两半孟结海绵时猜测着画出截面的样子，然后打开两半看看他们画的和真正的截面有什么不同。结果通常都让猜谜者大吃一惊。

● 图中是用Voroni 单元（Voroni cells） 拼成的四面体和八面体。多面体里的Voroni单元围绕着面心立方晶格点紧密排列。

● 这是一个两层测地球的4英寸模型。它的外层有260个三角形，内层有12个五边形和120个六边形。据我所知，这是世界上唯一的手性双层测地球（说人话就是：这个测地球不对称。）

● 如果你爱音乐又爱几何学，这个模型说起来一定相当酷。这是由Clifton Callender、 Ian Quinn和 Dmitri Tymoczko描述的一个代表三和弦的轨形（orbifold）。当然，它抽象掉了所有具体的同和弦换位。

● 模型中的一条条支柱连接着的和弦之间，都有某一个音符的相对变化为半音。在锥顶上的是增三和弦，与它连接的是大三和弦和小三和弦。在底部最右边的是“同度和弦”，就是三个音符都一样的和弦。 坑爹呢？这不就是一个音么？！

● 大部分和弦有6个邻居，因为这些三和弦中的三个不同音符都可以增高或者是降低半音。在轨形底部边界的一圈是只有两个不同音符的和弦，这些和弦除了“同度和弦”以外都有4个邻居。“同度和弦”因为只有一个音符，就只有或高或低两个邻居。大三和弦和小三和弦有5个邻居，但是连接彼此的有两条通路，所以仍有6个连接。

● 这个用激光烧结制作的尼龙模型长5.5英寸，这是它的STL文件。还有一张高解析度照片，仔细看的话能看到纤维层与层之间的小台阶。

● 通过把图中这样形状相同的小多面体放在其他该多面体的顶点上，就可以获得分形多面体集群了。

● 具体做法是先把这些小多面体拼成这种多面体形状的大多面体单元，然后做出足够多的大单元，再拼成更大的单元。继续做下去就可以得到任何级别的版本。

● 例如下图就是一个星形十二面体拼成的二十面体拼成的二十面体。

我设想，未来的小型博物馆、学校和有兴趣的人们都可以下载并用快速成型的方法，制作出能再现大型博物馆里重要展品的“复制展品”。比如教进化论的老师就可以下载并且复制出从古猿到现代人一系列头骨模型，用来讲解颅骨的演变。这些模型在教学过程中可以被同学们手传手自由的仔细观察，也可以放肆的在上面直接用标记笔涂画重要的地方。

为了预演这种未来的图景，我制做了一系列当年达芬奇（Leonardo da Vinci）为卢卡.帕乔利（Luca Pacioli）讲解数学时制做的多面体模型。

● 首先是由120个等边三角形组成的“elevated icosidodecahedron ” 特意为了这个词语咨询了一下无所不知的matix67同学，得到官方解释如下：Dodecahedron是正十二面体，Icosahedron是正二十面体,Icosidodecahedron是他俩的结合体。就是在这个多面体的每个面上架起相应的三角形、五边形骨架。

● 图中我手上展示的模型是用熔融层积法制作的，我过去还制作过木质的达芬奇的这些模型。

● 第二个是由72个面（24个三角形、48个四边形）构成的球体结构。

● 这个结构来源于文艺复兴时期制造的，用来讲解《欧几里德原理》（Book12,proposition7）的辅助教具。图中的模型是用Zcorp快速成型机制作的，直径为3英寸。

● 这是一个用小单元组装的挠环面模型，原型是在德国某博物馆展出的十六世纪木质工艺品。

● 该模型由一个环形链条和67个相同小单元组装而成。没有人清楚这个东西具体有什么功能还是想表达什么，也许只是艺术品或是好奇心的产物，总之这个结构看上去很有意思我就把他造出来了。

● 用快速成型机复制这类历史物品可以帮助人们更好的了解、研究它们的功能或制作方法……厄…我能管这叫“脊椎形”么。

● 作为雕塑师，我会用到许多种原材料以及雕塑方法，其中也包括快速成型法。这里Here展示了一些我的作品。虽然通常为了控制这些雕塑作品的可复制性，我不会放出它们的STL文件供下载，但是以下模型十分有趣，有趣到我想你分享复制出它们的快乐。

● 比如这个，这是一个开放式结构的6层截角三十二面体。

● 其中希望你注意到的亮点，是它连接层与层之间的螺旋锥形 ，嗯，是一个非常复杂的结构对吧。

● 这个模型是用光敏树脂采用激光光固化工艺制作的,直径三英寸。

● 这是一个用激光快速烧结成型法制作的，直径三英寸的球体。该球体由许多个近似菱形组成。鉴于这个球体具有与二十面体相同的旋转对称，但是却没有镜像平面，我觉得它是一个学习空间对称性的好例子。同时它也具有向杰出的数学家、天文学家、器械制造专家：Abraham Sharp致敬的意义。

● 这是我的一个作品，我把它叫做《纠缠的驯鹿》（私下里我认为，这位大师的所有作品可以被统称为：《纠缠的XX》）。这是一个用激光烧结法制作的直径3英寸模型。灵感来源于我的想象：一群驯鹿如果都头朝外团成一个团子会是什么样子的。

● 图中是一个由火蜥蜴形状编织的模型，直径2.5英寸，在Objet 333快速成型机上制作。这是我在MIT做驻场艺术家时，为一个群雕项目制作巨型雕塑（a large sculpture）时创作的原型。

● 这是一个纠结在一起的激光烧结模型，是一件雕塑作品同时也算是一个有解谜概念的模型。2英寸直径的大小实在有些无法展示设计细节，所以如果想动动手的话，可以按照这里this short paper给出的模板制作一个纸模，再用胶带粘起来……

● 这个则让人联想到某种螺旋环面生物。这两个都是我在做一个叫做“棘皮动物”的项目时制作的雕塑。

● 这个雕塑形式来源于A.F.Well在1956年于《立体有机化学》（《The Third Dimension in Chemistry》）一书中对“（10,3）-a”网格的描述。最近该晶体结构由Toshikazu Sunada普及传播，被称做K4晶体。这个结构在各个方向上的投影有着巨大的不同，所以看一定要看多组照片才能看清它复杂的构造。

● 最后的这件雕塑艺术品与上述作品有着本质区别。这是个看起来像有机体的结构是由一个用来制作生长图形（比如基于细胞结构的生长图形）的算法制作的。

● 这个雕塑其实只是整个像3D电影般生长过程中的一帧。这个算法每次循环都会在上一次计算出的构造上多添加一个细胞。

● 该模型用ABS塑料由熔融喷丝法制作。因为模型本身的大小和颜色问题，可能从照片上看不清它的细胞结构。这里有我

，你应该能清楚看见细胞结构啦。