证明群同构的同构像是群

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-01-06 09:53 标签： 证明群同构

扩展为：任意两个无限接循环群總是同构的

  1.  设G关于二元运算“?”构成一个无限接循环群记其单位元为e；
  2. 有循环群的定义，记G得生成元为a,则G=<a>;----即表示G中任何一个元素都可以表示为an;
  3. 由于任何一个无=无限阶循环群都与整数加群同构-----故问题等价于任何一个无限阶循环群都有整数加群同构；
  4. 证明两个群是同构的等价於构造一个同构映射
  5. φ（n）=an 是整数加群到G的映射；
  6. 证明：φ是映射，任何相等相等的原像其像是相等的

反证法：假设其kerφ中还包含有另外一个整数，记作n满足φ（n）=an=e;

则任何一个元素am与都与有限个元素相等，故G不可能是无限阶群矛盾。

所以问题归结为找到一个集合$|\Sigma|=5$,我們只需找到$G$的一个$12$阶子群$H$,这时只需取$\Sigma$为$H$在$G$中的左陪集的全体即可.因此最终问题归结为证明群同构$G$必有$12$阶子群！

3).若$N(4)=15$,我们断言必然存在两个$4$阶孓群$P_1,P_2$之交除了单位元$1$外含有其他元素,否则这$15$个$4$阶子群共含有$3\times15+1=46$个元素,而根据Sylow定理:$G$的$5$阶子群个数只能为$1,6$,由单性排除$1$,所以$G$共有$6$个$5$阶子群,显然她们嘟是循环群且两两之间除了单位元外不会有其他公共元素,此时这$6$个群除了单位元外一共有$4\times6=24$个元素.$46+24$已经超过群$G$的阶,矛盾!

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