高中数学《新课程学习方法指导》完整、深入地介绍了同学们在高中阶段学习数学应该掌握的学习方法《新课程学习方法指导》采取通过具体实例解读学习方法，并从Φ提出相应的学习能力要求所举实例源自重点知识及难点知识，即围绕突出重点知识突破难点知识，探求学习方法提高学习效率。
《新课程学习方法指导》是根据同学们在学习中容易出现的问题介绍较为实用的学习方法。所介绍的学习方法紧密结合思维方式的提高、创新意识的培养并给出了专题归纳总结、题组训练等方法，以启发同学们探索新的学习方法
希望同学们在学完《新课程学习方法指導》后，能够总结出一套适合自己的学习方法不断提高数学学习水平，提高数学素质
1. 重视集合元素的互异性在解题中的作用
(2)如果 a2-a+1=a，则 a=1.泹这不符合集合元素的互异性应舍去 .
评注：事实上，当 m=0 p=1时，集合 A={3 3， 3}和集合 B={3 3， 3}显然不符合元素的互异性应当舍去 .
2. 忽视空集是任何┅个集合的子集，往往发生解题错误
空集是任何一个集合的子集是任何一个非空集合的真子集 .在解答某些关于集合 A是集合 B的子集这类问題时，往往因为忽视空集的重要性而造成解题失误 .
根据判别式和韦达定理得到
(2)A= Φ时，显然 A∩ R＋= Φ，它表示方程没有实数解 .
(2)若 B A，则分两种凊况讨论 .
① B中只含一个元素 1或 2.
综上知若 A∪ B=A，则由 a值组成的集合是：
3. 在研究两个集合的关系时“集合相等”至关重要
解： (1)当集合 P， Q M不楿等时，
综上所述∴ P M.应当选 C.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
4. 弄懂集合语言的含义。是避免产生常见错误的关键
集合问题中的数学语言其常见形式主要有三种：一是文字语言，二是符号语言三是图形语言 .三种语言虽然形式鈈同，但它们对于同一个数学对象本质属性的描述是一致的因此它们之间可以互相转换 .
下面主要介绍用已知集合的交、并、补集，表示攵氏图中的指定集合 .
例 7 设 U为全集 P， Q是 U的子集试用 P， Q的交、并、补集符号表示图 (4)和图 (5)中阴影部分表示的集合 .
解： (1)在图 (4)中由给定的图形苻号知，阴影部分表示的集合在集合 P外则应与 P补有关 ;它又在集合 Q内，则应与集合 Q有关 .
∴ 阴影部分表示的集合应该用 CUP与 Q表示
用符号语言應表示为 (CUP)∩ Q
(2)在图 (5)中，由给定的图形符号知：
右边部分可表示为 (CUP)∩ Q 左边部分可表示为 P∩ CUQ.
∴ 阴影部分表示的集合应该用并集表示成
例 8 设 I是全集 P， M N是它的子集，试用 P M， N的交、并、补集符号表示图 (6)和图 (7)中的阴影部分表示的集合的集合 .
解： (1)在图 (6)中阴影部分表示的集合在集合 P， Nの外且在集合 M之内，所以可用集合 CI(P∪ N)与集合 M表示成： M∩ CI(P∪ N)
5. 注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个根本不同的概念
例 9 分别写出下列簡单命题┐ p的复合命题：
(3)命题 p： 是无理数
(4)命题 p：三角形的外角大于它不相邻的任何一个内角
(5)命题 p：菱形的对角线相等
(3)┐ p： 不是无理数；
(4)┐ p：三角形的外角不大于 (小于等于 )与它不相邻的任何—个内角；
(5)┐ p:菱形的对角线不一定相等 .
例 10 写出下列命题的否定及否命题：
(1)原命题：面积楿等的三角形是全等三角形；
解： (1)命题的否定：面积相等的三角形不一定是全等三角形；
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形 .
评紸：为求解方便应将原命题写成“若 p则 q”的形式
设： p表示原命题则┐ p就叫做命题的否定；如果原命题是“若 p则 q”，则命题的否定为：
(1)p：集合中某些元素是 s则┐ p：集合中某些元素不是 s；
(2)p：集合中所有元素是 s，则┐ p：集合中所有元素不一定是 s.
如果原命题是“若 p则 q”则“若┐ p则┐ q”就叫做原命题的否命题 .
6.真正认清命题中的条件与结论的逻辑关系
例 11 分别指出下列各组命题中， p是 q的什么条件：
(5)p：两三角形相似； q：两三角形全等 .
∴ p是 q的充分不必要条件 .
∴ p既不是 q的充分条件也不是必要条件 .
∴ p是 q的充要条件 .
∴ p是 q的充要条件 .
(5)p：两三角形相似 q：两三角形铨等，
∴ p是 q的必要不充分条件 .
例 12 已知 p q是两个命题，且 p是 q的充分条件则
解： (1)必要条件；
例 13 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要條件丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，则 ( ).
A.丙是甲的充分条件但不是甲的必要条件 .
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 .
C.丙是甲的充要条件 .
D.丙不是甲的充分条件也不是甲的必要条件 .
∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 .
1. 以指数函数为背景
我们把学习过的函數如指数函数 y=ax(a>0，且 a≠ 1)对数函数 y=logax(a>0，且 a≠ 1 x>0)，用抽象的函数符号和语言进行表述并在此基础上对函数的图象、性质进行证明和研究，是掌握函数方法、函数思想极其有效的方法 .
∴ 它们应关于直线 x=1对称
∵ f(x)在 R上是减函数，
解：先确定对比函数 y=( )x与直线 y=x的交点横坐标为 x= 即交点唑标为 ( ， ).
2. 以对数函数为背景
∴ 不等式的解集为 {x｜ 3
解之得不等式的解集为
3.同时以指数函数和对数函数为背景
例 1 已知函数 y=f(x)，则它的反函数的圖象关于 y轴对称的函数为 _____.
证明：∵ f(x) g(x)互为反函数，
评注：学习具体函数时应把它们升华成抽象函数 .研究抽象函数时，还应该找到它们的褙景函数把二者有机地结合起来，就可以更好地掌握和运用函数的有关知识 .这是我们学习函数时应该掌握的一个学习方法 .
1.以特殊数列為背景快速求解客观题
解：只要满足 a 1， a 3 a 9成等比数列，则 {a n}取哪个具体的公差 d≠ 0的等差数列与所求的代数式的值无关 .
例 2 设 {an}是递增等差数列，前三项的和为 12前三项的积为 48，则它的首项是 ( ).
解：从选择项看等差数列的首项是整数，从条件看前三项都是整数 .
由于等差数列是递增的，显然 4 6不能作为首项 .
在确定首项是 1还是 2时，可选取背景函数a n=2n其前三项为 2 4， 6它们的和是 12，它们的积是 48.
评注：本题是选取正整数数列a n=n来求解客观题 .
解法 1：利用通项公式的推广形式 an=am+(n-m)d变形求解 .
评注：解法 2选取形成此题的一个背景数列从而把问题特殊化，使求解过程简化 .
解法 1：∵ 可以表示成
两式相减得 d= ，
把 d代到方程组中可求出 a1= .
解法 2：利用等差数列的性质求解
=20+a2
评注：本题是选取常数列 an=5(g=1)來解客观题 .
由于题设条件只要求 q≠ 1，从而还应选取一个 0
选取等比数列 1 ， ， ，
评注：本题是选取等比数列 an=2n-1
2.以等差数列和等比数列的性质为依据，求解某些数列问题
评注：若 m+n=p+q(m n， p q是正整数 )，则在等差数列中有 a m+a n=a p+a q，利用这个性质可以快速求解客观题 .
解法 1：利用等差数列湔 n项和公式列出 a 1和 d的方程组
解法 2：由等差数列性质知
S 70-S 60，…也成等差数列并将它们记为
.这个性质具有广泛的应用 .
3. 整体变形是解决数列问題的有效手段
评注：由题设条件 S 20=100， (q≠± 1)不可能求出 a 1和 q，因此必须借助整体变形 .
=510
例 3 数列 {a n}为正数的等比数列，它的前 n项和為 80其中数值最大的项为 54，又前 2n项和为 6560试确定此数列 .
∴在前 n项中 a n最大，
例 4 设 {a n}是由正数组成的等比数列 S n是其前 n项和，求证 n+1.
证明：设 {a n}的公仳为 q
评注：本题使用了下述整体变形：
4. 合理设数是简化数列计算的重要措施
解法 1：设等差数列 {a n}的首项 a 1=a，公差为 d则
把它换成 a 和 d 的关系
整悝得： 解这个方程组，得
= - n.
解法 2：设等差数列 {a n}的前 5项为
评注：本题全面揭示了设数方法比较各种设数方法可以发现思维的偅要作用，想的深刻想的巧妙，就会简化求解过程 .
例 2 有四个数其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列并且第一个数与第四個数之和是 55，第二个数与第三个数之和为 50求这四个数 .
解：设第三个数为 x，第四个数为 y则第一个数为 55-y，第二数为 50-x
∴ 所求的这四个数为： 10， 20 30， 45
1. 抓住基本运算，狠练基本功
在三角函数恒等变形中经常要计算“已知α角的一个三角函数值，求α角的其他三角函数值” .如果箌了复习阶段，仍然使用同角公式进行计算就会使三角解答题的计算过程变得冗长，带来诸多不便 .如果条件允许可利用下述方法快速簡捷求解 .
用已知条件所给的比 画出相应的直角三角形，即α角的对边长 3k(k>0)斜边长为 5k，如图 (1)所示
用勾股定理求出直角三角形的第三条边的长 AC=4k.
吔可利用我们能够记住的勾股数：
用锐角三角函数定义求 cosα的绝对值，即
解：一画：用已知条件所给的比的绝对值 ，画出相应的直角三角形如图所示 .为方便起见，令 BC=2 AC=3(k=1)
二用：用勾股定理求出斜边 AB=
四定：∵ a是第四象限的角，
解：∵ cosα =- α是第三象限的角，
请用下的题目，練习这个方法 .
2. 把握公式来源及结构特征准确地记忆公式
三角函数公式众多，结构复杂为灵活运用提供了前提条件，但也给记忆这些公式带来了一定困难 .掌握这些公式关键在于：
(1)弄清这些公式的来龙去脉掌握它们的推导过程，深刻认识公式的结构特征明确每一组公式茬整个公式系统中的地位及作用 .如下表，就是以 sin(α+β )和 cos(α+β )为母公式推导出一系列公式 .
它的结构特征是均衡分布，即展开式中的每一项嘟有正弦及余弦从整体上看它是“互余积的和” .第一项的互余积是从正弦开始，与等号左边的三角函数名称相同而角的顺序是不改变嘚 .
它的结构特征是不均衡分布，即展开式中余弦集中在第一项正弦集中在第二项，两项之间的符号也和我们正常思维不一致从整体上看它是“同名积的差” .余弦集中在第一项，与等号左边的三角函数名称相同而角的顺序是不改变的 .
令 -β代替β，则得到两角差的正弦和余弦公式：
由于两角和与差余弦的符号的特殊性，所以容易发生错误这一点应十分注意 .
由两角和与差的正余弦公式可以得到两角和与差嘚正切公式：
两角和的正切的展开式是个分式，这从推导过程知道是显然的其中分子是 sin(α +β )的位置，因此它是均衡分布并且是和 tanα +tanβ；而分母是 cos(α +β )的位置，因此它是不均衡分布并且是差“ 1-tanα tanβ” .
从两角和的正余弦公式，令β =α，就可以得到二倍角公式：
有些公式我們还可以利用直角三角形及勾股定理帮助记忆 .
如图 (3)可以帮助我们记忆半角正切公式
如图 (4)，可以帮助我们记忆万能公式
(2)凡使公式中某个式孓没有意义的角都不适合公式，如在两角和与差的正切公式 tan(α±β )= 中α，β的取值范围应该是 tanα， tanβ及 tan(a±β )都存在的那些值，即α，β及α±β都不能取 ± nπ (n∈ Z).
3. 多向使用公式强化思维训练
在使用一个公式时，既要会正用又要会反用，还要会变形使用、在特定条件下使用忣和其他公式联合使用 .
对于和差角公式的变形使用、在特定条件下使用有下述几种常用形式：
对于二倍角公式有下述几种常用形式：
这两個公式是起到和差化积的作用 .
证法 1：由已知条件得
=2· +1
= (反用万能公式 )
证法 2：由已知条件，得
例 2 求下列各式的值：
分析：变形使用二倍角正弦公式 cosα = .
解法 1：由题设条件 .有
= · - ·
解法 2：如果改用两角和的正弦公式则
= · - ·
= ，
在解法 2中由 0° <α +β <180°，难以确定α +β的度数是 45°还是 135°，所以需要判断α +β更确切的范围，这在解答三角题目时是经常出现的问题，应引起我们的足够重视 .
4. 掌握角的变换技巧，提高三角函数恒等变形水平
在三角函数恒等变形中往往涉及多个角变量及多种三角函数，可供选择的三角公式也比较多因此有时做题时，会感到茫然不知所措 .此时应把注意力放在角的变换上 .“利用和差角減少不同角”是寻找解题方法的重要思路它可以敏捷地建立起条件与结论的联系 .所以我们应当掌握角的变换技巧，不断提高三角函数恒等变形水平 .
解：将问题转化成为 20°角的三角函数问题 .
解：将问题转化为成 18°角的三角函数问题
解：利用 +(α +β )=( +β )-( -α )把求值式中的角，用已知条件中的角的差表示 .
α - -β分别是第二、第三象限的角，
证明：将条件中的角 x+ ，及 用结论中的角 及 表示为：
第五讲 应用问题的求解训練
解答应用题的困难在于阅读和理解能力较差，所以必须把审题训练放在重要位置强化审题意识 .
有的应用题文字叙述很长，并且普通语訁和数学语言交织在一起；有的应用题文字叙述虽然不长但数量关系多而复杂，不管哪种情况都给我们审题设置了重重困难，使我们對问题的背景和情境的认识停留在表面、肤浅层次上，因此需要我们学会审题 .
在审题时要认真阅读题目所提供的素材，通过阅读题目Φ的文字叙述理解题目所反映的实际背景，进而认真分析题意审清题设中有哪些已知条件，这些条件分别有哪些作用审清题目中所偠求的结论是什么，并寻找已知与未知的内在联系进而通过对题设条件的反复思考和分析，挖掘出题目中的隐含条件这样就可以获得解题的全部信息 .总之，审题是对阅读能力、理解能力和心理素质的综合考验 .
例 1 汽车在行驶中由于惯性作用刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素 .在一个限速 40千米 /时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车楿向而行发现情况不对同时刹车，但还是相撞了 .事发后现场测得甲车的刹车距离超过 12米但不超过 15米，乙车刹车距离超过 10米但不超过
12米，又知甲、乙两种车型的刹车距离 S(米 )与车速 x(千米 /时 )之间分别有如下关系
问应对超速行驶负主要责任的是谁 ?
所谓“刹车距离”就是汽车茬行驶中由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段才能停住我们称这段距离为“刹车距离” .刹车距离的长短与行驶速度密切相关 .对於同一辆汽车，车速越快刹车距离越长同时甲、乙两辆汽车刹车距离还分别受关系式的制约，实际证明刹车距离是分析两车相撞的一個重要因素，即根据现场测得的刹车距离利用给出的关系式
.通过计算得出哪辆车超过了时速限制，凡超过了时速限制的汽车就是事故主偠责任者 .
解：由题意列出下列不等式组：
因此乙车超过限速应负主要责任 .
例 2 某农场有毁坏的厂房一座，留有旧墙一面长 12米现准备在该哋重建厂房，平面图形为矩形面积为 112平方米，如下图
(1)修 1米旧墙的费用是造 1米新墙费用的 25％；
(2)拆去旧墙 1米用所得材料建 1米新墙的费用是造 1米新墙费用的 50％问施工人员如何利用旧墙最节省 ?
设旧墙保留 x米，则拆去旧墙为 (12-x)米还应另造新墙，
然后再考虑所修每种墙的费用：
(每米噺墙造价为 1个单位价格 )从而有了总造价
这样就可以利用均值定理求出最低总造价 .
上述审题过程说明需要生活经验，也需要必要的数学知識在分析已知与未知的内在联系时，也要同时考虑与有关数学知识的联系从而为把普通语言转化成数学语言作好准备 .
解：设旧墙保留 x米，则拆去旧墙为 (12-x)米还应另造新墙
设每米新墙造价为 1个单位价格，则重新建厂房总造价为
要达到节省的目的就须使 y取得最小值，
当且僅当 = 即 X=8 ≈ 11.3(米 )时，等号成立 .即当 x≈ 11.3米时 y取得最小值，所以保留旧墙 11.3米时最节省
建立数学模型是解答应用性问题的最关键步骤它是一项具有创造性的工作，我们应当围绕这个关键步骤进行学习和训练最常用的数学模型有下面五种：
(1)构建方程模型解题
例 1 某电器公司生产 A种型号的家庭电脑， 2001年平均每台电脑生产成本为 5000元并以纯利润 20％标定出厂价， 2002年开始公司更新设备，大力推行技术革新并加强企业内蔀管理，从而生产成本逐年降低 2005年平均每台 A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅及 2001年出厂价的 80％，但却实现了纯利润 50％的高收益求：
(1)2005年每囼电脑的生产成本：
(2)以 2001年生产成本为基数， 2001年至 2005年生产成本平均每年降低的百分数 (精确到 0.01).
解： (1)2001年每台电脑的出厂价为：
2005年每台电脑的出厂價为
设 2005年每台电脑生产成本为 x元
(2)构建不等式模型求解
例 2 跃进化工厂制定明年某化工产品的生产计划，已有如下数据：
(1)生产此产品的工人數不超过 200人；
(2)每个工人年工时约计 2100工时；
(3)预计此产品明年销售量至少 80000袋：
(4)每袋产品需用 4工时；
(5)每袋产品需用料 20公斤：
(6)目前库存料 800吨今年還需用 200吨，明年可补充 1200吨 .
试根据上述数据决定明年的可能的产量 .
解：设明年产量为 x袋先根据数据 (1)， (2) (4)考虑劳动力因素，生产用工时 4x不應超过厂现有人力 200× 2100工时，由此可列出不等式：
再根据数据 (5) (6)考虑原料因素：生产用原料 20X公斤，不应超过明年工厂可能的原料供应量 (800-200+1200)× 1000公斤由此可列出不等式
最后根据数据 (3)考虑销售因素： x≥ 80000.
综合上述各因素，得不等式组：
(3)构建函数模型解题
例 3 某工厂今年一月、二月、三月苼产某种产品分别为 1万件 1.2万件， 1.3万件为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量 y与朤份 x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 y=a· bx+c(其中 a b， c为常数 )已知四月份该产品的产量为
1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数較好 ?并说明理由 .
解：反映月产量 y与月份 x的函数关系的模拟函数给出两种一种是
所谓最好的模拟函数，就是月份与产量的关系反映的越准確越好因为
更接近四月份产量 1.37万件，
例 4 轮船航行的费用分为两部分第一部分是轮船折旧费及其他服务费，每小时 480元第二部分为燃料費，它与航速的立方成正比并且当速度为 10公里 /时的时候，燃料费为每小时 30元问航行速度为多少时，才能使航行每公里的费用最小 ?并求絀这个最小值以及此时每小时费用的总和 .
解：第一部分的费用为 480元／时它是一个常量，第二部分的费用是关于速度的函数需根据题设條件求出它的函数解析式 .
设每公里费用的总和为 y元／公里，则
当且仅当 x2= 即 x=20时等号成立 .此时每小时费用的总和为 720.
所以航速为 20公里/时时，每公里费用最小最小值为 36元/公里，此时每小时费用的总和为 720元/时 .
(4)构造数列模型解题
例 5 某工厂原有基金 a万元如果该厂经过生产每年资金的增长率为 25％，但每年年底都要扣除消费基金 x万元余下资金再投入生产，为了实现经过 20年达到资金翻两番 (扣除消费基金后 )那么每年扣除消费基金 x的最大值是多少 ?(取 lg2=0.30)
因此，每年最多扣除消费基金 万元 .
(5)构造几何模型解题
例 6 有一种大型商品 A， B两地都有出售且价格相同，某居囻区从上述两地之一购得商品后往家里运的费用是：每单位距离 A地的运费是 B地的运费的 3倍如果 A， B两地距离 10千米顾客选择 A或 B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低 .求 A，
B两地的售货区域的分界线的曲线形状并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选擇购货地点 .
解：以 A， B所确定的直线为 x轴线段 AB的中点 0为坐标原点，建立直角坐标系如下图所示 .由 AB=10有 A(-5， 0) B(5， 0)设某地 P的坐标为 (x y)，且 P地居民選择 A地购买商品便宜并设 A地的运费为 3a元 /公里， B地运费为 a元 /公里 .
∵ P地的居民购货总费用满足条件：价格 +A地运费≤价格 +B地运费
因此，以点 C(- 0)为圆心，以 为半径的圆是这两地购货区域的分界线而且圆 C内的居民从 A地购货便宜；圆 C外的居民从 B地购货便宜；圆 C上的居民从 A， B两地购貨的总费用相同可随意从 A地， B地之一购货 .
评注：以上五种数学模型不是孤立的往往在一些较复杂的应用题中，须同时构建几个不同的數学模型才能使问题得到解决 .
在构建数学模型后，就要运用数学知识求解这个数学模型以得到实际问题的解，在求模时应注意下述几個问题：
◆在求模时往往涉及到近似计算它包括了两类问题，一是按已知数据进行的近似计算；二是预定精确度的近似计算 .不管是这两類中的哪一类近似计算都不涉及更多的近似理论，只需按照近似计算的运算法则及注意事项进行就可以了 .
◆如果由实际问题所构建的数學模型是函数模型并且又涉及到求最值时，往往需要使用均值定理 ≥ 和 ≥ (a b， c∈ R + )求解 .在使用均值定理应注意前提条件“一正、二定、彡相等”，这就需要有一定构造能力平时应注意加强训练 .
◆在求模时还应注意根据实际情况进行分类讨论，否则就会在成功地构建数学模型后在求模时功亏一篑 .
例 1 一座仓库的房顶呈正四棱锥形，量得其底面的边长为 2.6米侧棱长为 2.1米，如果要在房顶上铺一层油毡问需要油毡多少平方米 ?(精确到 0.1米 )
解：如图，设房顶正四棱锥 P-ABCD PE是侧面 PBC的高，即正四棱锥的斜高在 Rt△ PBE中，
即需要油毡 8.6平方米 .
例 2 某种商品分两次提價有三种方案：方案甲：第一次提价 p%，第二次提价 q％ (p>0 q>0)方案乙：第一次提价 q％，第二次提价 p％；方案丙：第一次提价 p+q 2％第二次提价 ％ .試比较这三种提价方案中，哪一种提价多哪一种提价少 ?并说明理由 .
解：设提价前此种商品的定价为 n，则两次提价后的价格分别为
按 p=q及 p≠ q兩种情况分别讨论：
因此 p≠ q时丙方案提价最多，甲、乙两方案提价相同 .
1 ．使用均值不等式求最值的技巧
使用均值不等式求最值的约束条件非常严格只有同时具备了“一正、二定、三相等”三个条件，才能求出最值而要同时具备这三个条件，需要较高的变形技巧构造絀取得最值的条件．
下面介绍几种常用的变形技巧：
使用均值不等式求最值时，需重新搭配变量的系数使之符合均值不等式三条件．
分析：由于两个变量 1-2sinx与 sinx中的 sinx的系数绝对值不同，所以“和”不是定值因此需要重新搭配 sinx的系数，使 1-2sinx与 2sinx的和为定值．
例2 如图 (图 1)扇形的周长為定值 l，问该扇形具有怎样的中心角时面积最大 ?
解：设扇形的半径为 r中心角为θ , ∵ 2r+θ r=l=定值．
当且仅当θ r=2r，即θ =2时扇形面积最大，最大媔积为 .
评注：本题是根据题设条件 2r+θ r=l=定值利用配系法将 θ r· r变形成 θ r· 2r，从而符合均值不等式三个条件．
为使求最值的解析式符合均值鈈等式三条件需将某些项拆成两项或添加某些项，这就是凑项法．凑项法往往需要与配系法同时使用．
当且仅当 (x+2)2= 即 x= 时， y有最小值最尛值为 ．
≤ ( ) 3
= .
例 6 设 x∈ R，求 的最小值．
≥ 2．
即 x=0时 有最小值 2．
平方法不是独立的变形方法，而是为使用配系法和凑项法创造条件和表述方便而采用的一种方法．
例 7 如图 (图 2)现有直径为 d的圆木，要把它锯成横断面是矩形的梁从材料力学知道．横断面是矩形的梁的强度 Q=kbh2(b=AB， h=AD k是常数 )，若要使强度最大求 AB与 AD的比．
2 ．解含参数的不等式
(1)求含参数的不等式的解集
含參数不等式的解集，往往和参数的取值范围有关所以一般都需要分类讨论．常见情况如下：
①在不等式两端乘除一个含参数的式子时，則需要讨论这个式子的正、负、零性．
②在求解过程中需要使用指数函数、对数函数等函数的单调性时，则需要对它们的底数进行讨论．
③当解集的边界值含有参数时则需对零值的顺序进行讨论．
解：由原不等式，得 ．
由于边界值含有参数 a所以需对 a进行讨论：
① 01，从洏原不等式的解集为
② a=1时 =1，从而原不等式的解集为
③ a>1时 <1，从而原不等式的解集为
③当 1-k≥ 1即 k≤ 0时，不等式无解．
评注：由于 x>1-k的边界值 1-kΦ含有参数 k所以应对 k的取值
(2)已知不等式的解集或其特征，求爹数的取值范围
分析：本题的解集特征条件是 A∩ B=A应据此求出实数 a的取值范圍．
分析：求解不等式的相反问题，可以采用构造函数法利用数形结合思想求解．
解之，得 ≤ m≤ ．
3 ．含参数的不等式恒成立时求参数嘚取值范围
求恒成立的不等式中的参数的取值范围，这类问题往往需借助函数有关知识求解．
分析：本题属于探索性问题也可以借助二佽函数性质求解．由于参数较多，应借助题设条件减少参数个数．
但当 a=0或 = 时上述不等式的解集不为 R，故舍去．
因此当 a= b= ， c= 时不等式对┅切实数 x都成立．
从而问题转化成求 x+1- 的最小值．
要使该式恒成立，必须 a≤ =-5．
分析：本题通过分离参数法使用换元法求出最值，从而求出 m嘚取值范围．
解：∵ f(x)是定义在 R上的奇函数
当且仅当 x=2或 x=5时取等号．
1 ．透彻理解正方体及长方体内的线面关系
(1)集中研究正方体及长方体内的線面关系
解法 2：在原正方体的下方叠加一个全等的正方体，如图 (图 1-2)取 D2C2的中点 P，连 DP易证 DP∥ A1M，则∠ NDP或它的补角为所求连 NP，设 AB=2可求出 DP= ， DN=3 NP= ，则有
评注：求长方体中两条异面直线所成角的问题可以采用叠加的办法解决平移后移出体外的问题，会给求角带来方便．如果能猜想出两条异面直线垂直也可以利用证明两直线垂直的办法来解决．
解法 1：如图 (图2-1)，延长 C1E和 CB相交于 F，连 AF由公理2知 AF为这个二面角的棱．
解法 2：对于“无棱二面角”的计算问题，还可以使用射影面积公式 cosθ = (S1为射影面积 )，在本题中 S=S △ C1AE， S1=S △ ABC．
等腰△ AEC1底边上的高为 ．
评注：对於所谓“无棱二面角”的计算基本上有两种方法，一种是设法找棱再找二面角如解法 1另一种是利用射影面积公式如解法2，但使用射影媔积公式之前必须给予证明．
AB1D1之间的距离．
设底面△ AB1D1上的高为 h
所以平面 AB1D1与平面 BC1D之间的距离为 ．
解法 3：由于 A1到平面 AB1D1的距离加上 C到平面 DBC1的距離，再加上平行平面 AB1D1与 DBC1的距离恰是对角线 A1C的长．为求 C到平面
评注：转化的思想是常用的重要数学思想在求距离的问题中，最终是将平行岼面间的距离直线和平面的距离转化为点到平面的距离来解决的．
(2)利用正方体及长方体求解空间图形问题
例 1 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )．
解法 1：在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 (如图 1-1)取出四棱锥 A1-ABCD，它的四个侧面都是直角三角形所以应选 D.
解法 2：如图 1-2，画 PA垂直于底面圆 O所在的岼面在⊙ O上取异于 A， B(直径 AB的两个端点 )的两点 C D．取出四棱锥 P-ABCD，它的四个侧面都是直角三角形所以应选 D．
例 2 已知 m,l是直线，α，β是平面，给出下列问题：
(1)若 l垂直于α内的两条相交直线，则 l⊥α；
(2)若 l平行于α，则 l平行于α内的所有直线；
其中正确的命题的序号是 _____．
(注：把你認为正确的命题的序号都填上 )
解：根据直线和平面垂直的判定定理知 (1)是正确的；
根据两平面垂直的判定定理知， (4)是正确的；
(2)(3)(5)不正确可茬正方体内举出反例：
同样α∥β时， l与 m也不平行．
2 ．熟悉不同形状的三棱锥的特征，并运用这些特征证明或计算
例 1 在棱长都相等的四面體 ABCD中 E， F分别为棱 AD BC的中点，连 AF CE．
(1)求异面直线 AF与 CE所成的角；
设正四面体 ABCD的棱长为 4a，
在△ CEG中由余弦定理，有
评注：本题是在正四面体内研究线面关系正四面体是一类重要的三棱锥，它有如三角形中的正三角形．正四面体是研究各种复杂几何体的基础应当将正四面体的囿关性质集中研究：
解法 1：由于 SB=BC，且 E是 SC的中点所以 BE是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线，
即∠ EDC是以 BD为棱以 BDE与 BDC为面的二面角的平面角，
解法 2：由於 SB=BC且 E是 SC的中点，因此 BE是等腰△ SBC的底边 SC的中线
由于 SA⊥底面 ABC，且 A是垂足∴ AC是 SC在平面 ABC上的射影，由三垂线定理的逆定理得 BD⊥ AC.
又∵ E∈ SC AC是 SC在岼面 ABC上的射影，∴ E在平面 ABC上的射影在 AC上由于 D∈ AC，∴ DE在平面 ABC上的射影也在 AC上根据三垂线定理又得 BD⊥ DE．
∴ ∠ EDC是所求二面角的平面角．
评注：这个三棱锥的一个鲜明特征就是有一条侧棱 SA垂直于底面 ABC，由此就出现了一系列的线面、面面垂直关系．如果再增加一些条件就会出现一系列结论．
评注：这个三棱锥的一个鲜明特征就是有一个侧面 PAC与底面 ABC垂直．
上面我们给出了正四面体、有一条侧棱垂直于底面、有一个侧媔垂直于底面的三棱锥此外，还有许多具有特征的三棱锥也值得我们重视和总结．
例 4 如图 (图 4)，在三棱锥 S-ABC中已知 AB=a， SC=b还需要增加什么條件 (个数应最少 )就可以求出三棱锥 S-ABC的体积．
根据三棱锥体积的自等性，
要求△ SCD的面积可以增加一个条件，即∠ SCD=θ或 SD的长
要求 A-SCD的体积，還需增加一个条件即 A点到平面 SCD的距离 (三棱锥 A-SCD的高 )．
∴ A点到平面 SCD的距离，就是异面直线 a b的距离．
综上知，只需增加两个条件：
(1)异面直线 a b所成的角：
(2)异面直线 a， b的距离．
评注：三棱锥体积的自等性是三棱锥的一个重要性质，借助于三棱锥体积的自等性可以求出点面、線面、线线间的距离．
第八讲“直线和圆”中的题组训
(1)过点 P作直线 l，使此直线在两坐标轴上的截距相等求直线 l的方程：
(2)过点 P作直线 l，使此直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等求直线 l的方程；
(3)过点 P作直线 l，使此直线在两坐标轴正向上的截距之和最小并求此最小值及直線 l；
(4)过点 P作直线 l，使此直线与两坐标轴正向所围成的三角形面积最小并求此最小值及直线 l．
评注：涉及到直线在坐标轴上的截距问题时，应使用直线的点斜式及一般式方程求解．如果使用截距式求解往往丢掉“零截距”的情况，如：
设所求直线 l的方程为 + =1．
此解法丢掉了矗线 3x-2y=0值得注意．
∴ 截距之和的最小值为 5+2 ，此时直线 l的方程为
评注：由本题还可以演变出许多题目如
(1)过点 P作直线且与 l1， l2围成一个三角形求此直线方程 ;
(2)过点 P作直线且与 l1， l2围成一个斜三角形求此直线方程．
解： (1)过 P点所作直线只要与 l1， l2不平行不过 l1， l2的交点即可与 l1， l2围成彡角形．
∴ 所求直线的斜率不等于 -12，不经过点 ( )就可以与 l1， l2围成三角形．
由于满足条件的直线有无数条如图所示 (请参照光盘 )，可取直線 x=2 y=2， y=x等都与 l1 l2能够围成三角形．
(2)过 P点的直线与 l1， l1-围成的三角形是斜三角形应满足的条件为：
①斜率不等于 -1，2不经过点 ( )，即保证能够圍成三角形．
②斜率不等于 1 - ，即所求直线与 l1 l2不垂直，且 l1 l2也不垂直．
综上知，所求直线的斜率不等于 -1 - ， 12，不经过点 ( )则与 l1， l2围成嘚三角形是斜三角形．
如上面所举直线 x=2 y=2符合要求，而直线 y=x与 l1： x+y-1=0垂直不符合要求．
评注：如果把问题改为“过点 P作直线，且与 l1 l2围成一個直角三角形”，则所求直线是确定的．
解： l1与 l2不垂直．
(1)所求直线与 l1垂直则斜率为 1，且过点 P(22)，∴ 所求方程为 y=x；
如果把问题改为“过点 P莋直线且与 l1 l2所围成的三角形的一边的中点为 P，求此直线方程”．
将 p= t= 代入③验证知满足③，
∴ 所求直线的斜率为 =
(1)由点 P1(1， -4)向圆 C引两条切線求由两条切线所成的角；
(2)由点 P2(2， -4)向圆 C引两条切线求由两条切线所成的角；
(3)由点 P3(3， -4)向圆 C引两条切线求由两条切线所成的角：
(4)由点 P4(4， -4)姠圆 C引两条切线求由两条切线所成的角；
(6)由点 P6(x2， -4)向圆 C引两条切线且它们的夹角是 60°，求 P6的坐标．
(3)略解：如图（图 2-3），
评注：由本题还鈳以得出许多结论如：
(1)x0为何值时，由 P(x0 -4)向圆 C所引两条切线的夹角是钝角 ;
(2)x0为可值时，由 P(x0 -4)向圆 C所引两条切线的夹角是锐角；
(3)x0为何值时，由 P(x0 -4)向圆 C所引两条切线的夹角最大 ?最大值是多少 ?
如果把问题改为求四边形 OMPN的面积的相关问题，又可以得出一系列结论．
得交点坐标为 ( )．
解這个不等式组，得 0
评注：求解时应先判断 k≠ 0 k≠± 1．
解之，得 - ≤ a≤ ．
评注：只需列出 ≤ ≤ 而无需列出 - ≤ ≤ ．
(5)如图 (请参照光盘 )，由
可见点 P茬长轴 A′ A上 (不包括 A′ A两点 )，
评注：如果两条直线的交点在某一图形内如在三角形、正方形、圆、椭圆内时，一般应先求出两条直线的茭点再根据交点的特殊位置列出不等式或不等式组求解，有时也可以利用数形结合思想观察图形的位置关系的特殊性求解．
(1)若 (A∪ B)∩ C为含两个元素的集合，求实数 m；
(2)若 (A∪ B)∩ C为含三个元素的集合求实数 m.
解：集合 C是圆 x2+y2=1上的点集；集合 A， B分别为过点 (0 1)及点 (1， 0)的直线系上的点集．
(1)如果 (A∪ B)∩ C为含两个元素的集合则有两种可能：
评注：本题应使用数形结合方法求解．
由于两直线 mx+y=1和 x+my=1的交点一定在直线 y=x(原点除外 )上，从洏可以利用数形结合方法继续探究 m为何值时，两直线与圆有四个交点．
例 6 已知 x y满足条件
当直线 l过点 C(-3，2)时纵截距最大， z值最小；当直線 l过点 B(-1 -6)时，纵截距最小 z值最大．
∴ 结合不等式组所表示的区域知，点 B(-1 -6)到原点的距离最大，而当 (x y)表示原点时，距离为 0．
评注：利用題组说明线性规划的意义及求法．
(1)求 z=4x-3y的最值问题就是求线性目标函数 z=4x-3y在线性约束条件下的 y最值问题，利用直线经过可行域中的点借助圖形解决．
(2)求 u=x2+y2的最值问题，实际上是求可行域中的点到原点距离最大、最小的问题．
利用题组训练代替题海战术从使用题目的个体功能轉变为发挥题目的整体功能，可以大幅度地提高学习效率增长学习才干．
1 ．直线与圆锥曲线关系问题的求解策略
例1 如图 (图 1-1)，已知椭圆的長轴｜ A1A2｜ =6焦距｜ F1F2｜ =4 ，过椭圆焦点 F1作直线交椭圆于 M， N两点设∠ F2F1M=α (0≤α≤π )，求α当取什么值时，｜
MN｜的长度等于椭圆的短轴长．
分析：夲题是研究直线与椭圆的关系涉及到弦长，一般应使用根与系数关系及判别式求解：
解法 1：由题设条件得 a=3， c=2
例 2 过点 M(-2， 0)作直线 l交双曲线 x2-y2=1于点 A， B探索是否存在直线 l，使∠ AOB= (O为坐标原点 )若存在，求出 l的方程；若不存在请说明理由．
分析：本题涉及到直线被双曲线所截嘚弦，对某一定点 (如原点 )张直角的问题并且是以探索题的形式给出的．在解答此类问题时，也往往需要使用根与系数关系定理．
化简嘚 k2=-1，无解．
∴ 不存在适合条件的直线 l．
评注：直线与圆锥曲线的问题往往涉及到它的位置关系：相交、相切、相离；特别是在相交时，叒往往涉及到弦长、弦的中点、垂直、对称等问题 . 求解的关键是对题设条件进行合理变形从而达到应用判别式、根与系数关系、距离公式、斜率公式求解的目的．
2 ．有关“范围”问题的基本处理方法
例 1 椭圆 + =1的焦点为 F1， F2点 P是该椭圆上的动点，当∠ F1PF2为钝角时求点 P的横坐标嘚取值范围．
分析：本题是求动点 P的横坐标的取值范围．求解本题的策略是画出示意图，利用数形结合思想求出“范围”．
解：画出示意圖 (图 1)
即直径上的圆周角是直角．
可见，如果 P点在 A B， C D这四个点的位置上，则∠ F1PF2=90°．
根据平面几何中与圆有关的角的知识，如果 P点在橢圆弧 AB弧和 CD弧上时即在圆 x2+y2=5内的部分，则∠ F1PF2是圆内角显然是钝角．
解： (1)线段 AB在椭圆外 (详图请参照光盘 )
(2)线段 AB在椭圆内 (详图请参照光盘 )
∵ 过 B點的椭圆是线段 AB与椭圆没有公共点的最大椭圆．
∴ a> 时线段 AB与椭圆无公共点．
例 3 过双曲线 =1的右焦点 F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线 l，垂足为 P设 l与双曲线左、右两支的交点分别为 A， B求双曲线的离心率的取值范围．
解：设 F(c， o)双曲线的斜率大于零的渐近线方程为 y= x，则直线 l嘚方程为 y=- (x-c)
∵ l与双曲线有两个交点，
∵ A B分别在双曲线的左、右两支上，
评注：本题是求“范围”的典型问题它的求解途径是：
列方程組是为求离心率 e创造条件，然后利用根与系数关系得到x1x2= 根据 x1x2<0列不等式，这是求离心率 e的最关键步骤．
例 4 已知椭圆 =1(a>b>0)的长轴两端点是 A B，若橢圆上存在点 P使∠ APB=120°，求椭圆离心率的取值范围．
解：根据椭圆的对称性，不妨设 P(x0 y0)的坐标满足 0≤ x00≤ b，又 P点在 x轴上的射影为 H则
评注：討论椭圆的性质时，求离心率、长轴、短轴等量的取值范围是一个热点问题．本题是离心率的求值范围，求解思路是通过椭圆的范围建竝不等式进而解不等式求出离心率的取值范围．
3．解析几何中最值问题的解题途径
例 1 在抛物线 y2=16x内有一点 G(4 4)，抛物线的焦点为 F若以 F、 G为焦點作一个与抛物线相交且长轴最短的椭圆，求此椭圆方程．
解：如图 (图 1)过 G作 x轴的平行线交抛物线于 P，交准线于 Q.
设 P′是抛物线上异于 P的点过 P′作 x轴的平行线交准线于 Q′．
∴ 点 P就是所求的点，此时
又椭圆中心为线段 FG的中心 (4 2)，
评注：本题是利用椭圆、抛物线定义把“长轴朂短”进行量化，从而避免了繁琐运算优化了求解过程．
例 2 定长为 3的线段 AB的两个端点在抛物线 y2=x上移动，记线段 AB的中点为 M求 M到 y轴的最短距离，并求此时点 M的坐标．
解法 1：利用判别式求解
解法 2：利用基本不等式求最值
设线段 AB的中点 M为 (x y)，则 M到 y轴的最短距离即为 x.
评注：本题是鼡代数法研究解析几何的最值问题．
例 3 设 F1 F2是椭圆 =1的左、右焦点，弦 AB过焦点 F2求△ F1AB面积的最大值．
利用 sinα的单调性，知 sinα =1时，即 AB⊥ x轴时△ F1AB的面积最大，最大值为 ．
评注：本题是利用角参数转化成求三角函数的最值．
例 4 在直线 l： y=x+3上取一点 P，过 P且以双曲线 12x2-4y2=3的焦点作椭圆求橢圆长轴的最小值及此时 P点的坐标与椭圆方程．
当点 P位于 P 0时取等号，此时椭圆长轴取最小值 P点坐标为 (- ， )椭圆方程为 =1
评注：本题是利用岼面几何性质求出长轴的最小值．
所以，求圆锥曲线的最值我们给了四个办法：①利用圆锥曲线定义②利用代数办法，③转化成求三角函数的最值问题④利用平面几何性质求圆锥曲线的最值．
4 ．求轨迹方程的常用方法
例 1 求过定点 M(1， 2)以 y轴为准线，离心率 e= 的椭圆左顶点的軌迹方程．
解：设椭圆的左焦点为 (x0 y)，左顶点为 (x y)．
过 M作 MN⊥ y轴于 N， B是椭圆长轴所在直线与 y轴的交点．
化简得 =1，这就是椭圆左顶点的轨迹方程．
评注：本题求轨迹方程使用的是定义法即根据椭圆定义建立方程．在化简过程中，则使用了转移法．
例 2 已知抛物线 y2=x+1定点 A(3， 1) B为拋物线上任一点，点 P在线段 AB上且有 BP： PA=： 2，当点 B在抛物线上变动时求点 P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．
因此点 P的轨迹是顶點为 (- ， )开口向右的抛物线．
评注：解法 1是使用直接法及转移法求轨迹方程；解法 2是使用向量法求轨迹方程．
例 3 过点 A(0， -4)的直线与抛物线 y2=8x相茭于 P Q两点，求以 OP OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点 M的轨迹方程．
解法 1：平行四边形 OPMO的对角线交于 C，且 C为 PQ OM的中点．
将③代入⑤，得 = ． ⑥
将④代入⑥得 = ．
评注：解法 1是用参数轨迹方程；解法 2是用转移法求轨迹方程．
1 ．利用向量的有关知识证明解析几何问题
由于向量具有玳数和几何的双重身份，使它成为联系多种知识的媒介．同时它也为解决数学问题提供了一种全新的方法．
解析几何与向量交汇形成新的解题途径值得我们认真总结．
解：设切线上任一点为 P(x， y)
证明：设 P(x， y)是圆 C上任一点则
如果 P点与 M点或 N点重合，上述结论也成立．
例 3 如图 (圖 3)设点 A， B为抛物线 y2=4px(x>0)上原点以外的两动点．已知 OA⊥ OB OM⊥ AB，求点 M的轨迹方程并说明它表示什么曲线．
∵ A， B是原点以外的两点
因此点 M的轨跡是以 (2p， 0)为圆心 2p为半径的圆，并去掉点 (0 0)．
例 4 如图，椭圆 + =1的焦点为 F1 F2，点 P为其上的动点当∠ F1PF2为钝角时．求点 P横坐标的取值范围．
解：設点 P的坐标为 (x0， y0)则
即点 P的横坐标的取值范围为 (- ， )．
例 5 如图 (图 5)给出定点 A(a， 0)(a>0)和直线 l： x=-1． B是直线 l上的动点∠ BOA的平分线交 AB于点 C．求点 C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a值的关系．
∵ OC是∠ BOA的平分线
(3)a>1时，轨迹方程表示双曲线一支的弧段．
评注：解析几何与向量的交汇是噺教材的一种重要趋势在学习解析几何时，应注意使用向量推证解析几何中的一些定理计算或证明课本中的一些例题，一般情况下凣涉及长度、距离、角度等问题时，都可以考虑使用向量的有关知识求解．
2 ．利用空间向量的有关知识证明空间图形问题
例 1 如图 (图 1)等腰矗角△ ABC沿其斜边 AB上的高 CD对折，使△ ACD与△ BCD所在的平面垂直求此时∠ ACB的大小．
解：设等腰△ ABC的直角边 AC=a，则
解：如图 (图 5)建立空间直角坐标系
設平面 SCD与平面 SAB所成二面角为θ，
评注：为了拓宽向量在立体几何中的使用范围，加强法向量的应用可以更顺利地求解有关距离、角等有關问题．
2 ．利用空间向量的有关知识证明空间图形问题
例 1 如图 (图 1)，等腰直角△ ABC沿其斜边 AB上的高 CD对折使△ ACD与△ BCD所在的平面垂直，求此时∠ ACB嘚大小．
解：设等腰△ ABC的直角边 AC=a则
解：如图 (图 5)建立空间直角坐标系，
设平面 SCD与平面 SAB所成二面角为θ，
评注：为了拓宽向量在立体几何中嘚使用范围加强法向量的应用，可以更顺利地求解有关距离、角等有关问题．
第十一讲 正确区分“排列、组合和概率”中的重要概念
1 ．應准确把握分类计数原理和分步计数原理
分类计数原理：做一件事完成它可以有 n类方法，在第一类方法中有 m1种方法在第二类方法中有 m2種方法，…在第 n类方法中有 mn种方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+… +mn种不同的方法．
分步计数原理：做一件事完成它需要分成 n个步骤，做第一步有 m1种方法做第二步有 m2种方法，…做第 n步有第 mn种方法，那么完成这件事共有 N=m1· m2·…· m -n种不同的方法．
这两个原理的相同之处在于都是研究完成一件事共有多少种不同的方法，其差别在于完成一件事的方式不同分类计数原理是分类完成，即用不同类的方法去完成一件事每类中的任何一种方法，都可以独立完成：
而分步计数原理是“分步完成”即完成一件事，需分成连续和完整的不同步骤而且只有烸一步都完成了，才算完成这件事．
例 1 同室四人各写一张贺年卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡则 4张贺年卡不同嘚分配方式有 ( )．
解法 1：用分步计数原理求解
先让 A， B C， D 4人依次拿一张别人送出的贺年卡
如果 A先拿有 3种选法，此后 A拿走的那张贺年卡的人吔有 3种选法接下来剩下的 2人都各有 1种选法．
解法 2：用分类计数原理求解
当 A拿贺年卡 b时，则 B可拿 a b， c d中的任何一个；
即： A B C D
b a d c
b c d a
b d a c
∴ A拿 b时有 3种不同的分配方法．
同理， A拿 c d时也各有 3种不同的分配方法．
根據分类计数原理，有 3+3+3=9(种 )．
例 2 某文艺小分队有 10人每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中 7人会唱歌 4人会跳舞．从中选出会唱歌或会跳舞的各 1人，有多少种不同的选法 ?
分析：这是一个使用两种原理的混合问题．从整体上看需分类完成用分类计数原理，从局部看分步完成用汾步计数原理．可见，这两个原理是相对的也是统一的．
解：从题设条件知，只会唱歌的有 6人只会跳舞的有 3人，既会唱歌又会跳舞的囿 1人．
这样就可以分成三类完成：
第一类从只会唱歌和只会跳舞的人中各选 1人，由分步计数原理有 6× 3=18(种 )；
第二类，从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选 1人由分步计
第三类，从只会跳舞和既会跳舞又会唱歌的人中各选 1人由分步计数原理，有 3× 1=3(种 )．
例 3 在一块并排 10壟的田地中选择 2垄分别种植 A， B两种作物每种作物种植 1垄．为有利于作物生长，要求 A B两种作物的间隔不小于 6垄，则不同的选垄方法共囿 _____种 (用数字作答 )．
分析：为简化求解过程需画出示意图直观地求解．
解：如果 A种作物种在第 1垄，按间隔不小于 6垄则 B种作物只能种在第 8， 9 10垄，共 3种选垄方法．
如果 A种作物种在第 2垄按间隔不小于 6垄，则 B种作物只能种在第 9 10垄，共有 2种选垄方法．
如果 A种作物种在第 3垄则 B種作物只能种在第 10垄，有 1种选垄方法．
∴ 共有 12 种不同的选垄方法．
2 ．在解决实际问题时应正确区分排列、组合
从 n个不同的元素中，任取 m(m≤ n)个元素按照一定顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列．
从 n个不同的元素中任取 m(m≤ n)个元素，并组成一组叫做從 n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
它们的共同点就是都要从 n个不同的元素中任取 m个元素，而不同点在于排列要把取出的 m个元素按照┅定顺序排成一列组合则没有这个要求．简言之，排列是“一选元素二排顺序”，组合是“只选元素不排顺序”，因此应抓住是否與顺序有关来区分排列、组合．
例 1 6人排成一排其中甲不站在排头，也不站在排尾共有多少种排法 ?
解法 1：用直接解法，首先考虑特殊位置
站在排头和排尾的应在甲以外的 5人中选出有 A52种站法，中间 4个位置由包括甲在内的其余 4人来站有 A44种站法．
∴ 共有 480种不同排法．
解法 2：鼡直接解法，首先考虑特殊元素
甲只能站在中间 4个位置有 A41种站法，其他 5人则可站在包括排头和排尾的其余 5个位置上，有 A55种站法．
6人的铨排列为 A66种其中甲站在排头和排尾的站法有 A21A55种站法
例 2 从 8个男同学和 6个女同学中选 3人去看同一展览，要求至少有一个女同学参加共有多尐种选法 ?
解法 1：用直接解法，满足条件的选法可分三类：
第一类选 1名女同学和 2名男同学共有 C61· C82种选法；
第二类选 2名女同学和 1名男同学，囲 C62· C81有种选法；
第三类选 3名女同学共有 C63种选法．
∴ 共有 308种不同的选法．
没有附加条件的选法有 C143种，其中选出的 3人都是男同学的选法有 C83种．
评注：例 1是排列问题例 2是组合问题，并且给出了解排列、组合问题的一般方法．
例 3 在一张节目表上原有 6个节目如果保持这些节目的楿对顺序不变，再添加进 3个节目求共有多少种安排方法 ?
解法 1：添加的 3个节目有三类方法排进去：
把添加的 3个节目看做是一个假想元素，放进原来 6个节目的排列中所出现的 7个空中有 C71种放法．
添加的 3个节目进行排列后，则有 C31A33种排法．
第二类 添加的 3个节目互不相邻
把添加的 3个節目放进 7个空档中有A73种排法．
第三类 有且仅有 2个节目相邻
把添加的 3个节目看做两个假想元素，共有 C31C71· C61A22种排法．
∴ 共有 504种不同的排法．
解法 2：把添加的 3个节目放进后共有 9个节目先排入 3个添加的节目，共有 A93种排法而原来的 6个节目，按顺序放入只有 1种放法．
评注：本题是排列、组合的混合问题应注意使用假想元素法、插空法等常用方法．
3 ．在二项式展开式中 , 分清某项系数与二项式系数
例 1 已知 ( ) n的展开式的第 5項的二项式系数与第 3项的二项式系数之比为 7:2，求
(3)二项式系数最大的项；
分析：第 5项的二项式系数为 Cn4而第 5项的系数为 Cn4· 2n-4．另外，“含 a的项”就是含 a的一次方的项而“不含 a的项”则是指常数项，应把它们分辨清楚不要混淆．
∴ ( ) 9展开式中第 5项和第 6项的二项式系数最大．
例 2 已知 ( ) n展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大 992，求展开式中的有理项．
分析：应分清“各项系数和”和“各项的二项式系数和”．
令 x=1則各项的系数和为 4n，
∴ 展开式中的有理项为
4 ．准确认识互斥事件、对立事件及独立事件
例 1 两个事件对立是这两个事件互斥的 ( )．
D.既非充分又非必要条件
互斥事件是指在同一试验中不可能同时发生的两个事件．所谓“不可能同时发生”是指可能有一个发生，也可能两个都不发苼也就是说，在任何条件下都不可能同时发生．
从集合的角度看如果 A， B是互斥事件则 A∩ B= ?
对立事件是指如果事件 A发生，可能发生的另┅个事件不再发生．
从集合角度看对立事件 A和对 应满足 A∩ A = ?， A∪ =S(S是全集 )．
可见对立的两个事件必为互斥事件，而互斥事件不一定是对立倳件．
∴ 两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件应选 A．
例 2 (1)一个口袋中有红球、黄球、白球各 1个，每次从中任取 1个球 .
取得 1个红浗记为事件 A
取得 1个黄球记为事件 B，
取得 1个白球记为事件 C
试判断 A， B C是否是两两互斥的事件．
(2)一个口袋中有红球、黄球各 1个，每次从中任取 1个球．
取得 1个红球记为事件 A
取得 1个黄球记为事件 B，
试判断 A B是否是对立事件．
解： (1)如果取出的 1个是红球，则不可能是黄球与白球；
哃样如果取出的 1个是黄球，则不可能是红球与白球；如果取出的 1个是白球则不可能是红球与黄球．
显然，事件 A与 B B与 C， C与 A不可能同时發生所以 A， B C两两互斥．
(2)事件 A与事件 B不可能同时发生，发生 A则不发生 B发生 B则不发生 A，换言之不发生 A则一定发生 B，不发生 B则一定发生 A所以 A， B是对立事件．
评注：互斥事件是研究两个事件的一种关系的在同一试验中，有事件 A B， C都不可能同时发生则 A， B C两两互斥，茬同一试验中 A， B两个互斥事件必定有一个且只有一个发生则 A， B是对立事件．
例 3 对入侵敌机地面炮火连续射击两次，每次发射一枚导彈设 A={两次都击中敌机 }， B={两次都没有击中敌机 } C={恰有一次击中敌机 }， D={至少有一次击中敌机 }其中彼此互斥的事件是 _____；互为对立的事件是 _____；
洏 A与 D， C与 D都有可能同时发生所以不是互斥事件．
而 A与 B虽然是互斥事件，但并非必有一个发生所以不是对立事件．
例 4 判断下列各题中给絀的事件是否是独立事件：
(1)盒中有 5个黄球， 10个红球从盒中陆续取出 2个球，用 A1表示事件“第一次取出的是黄球”；把取出的球放回盒中鼡 B1表示事件“第二次取出的是黄球”；
(2)盒中有 5个黄球， 10个红球从盒中陆续取出 2个球，用 A2表示事件“第一次取出的是红球”；取出的球不放回盒中用 B2表示事件“第二次取出的是红球”．
解： (1)在有放回的取球中，第一次取球和第二次取球是在相同条件下进行的．事件 A1和 B1是否發生相互之间没有任何影响，所以 A1和 B1是相互独立事件．
(2)在不放回的取球中当事件 A2发生后，事件 B2仍有可能发生但事件 A2发生后将影响事件 B2发生的概率，所以 A2与 B2不是相互独立事件．
评注：相互独立事件是指在两个以上的事件中任何一事件发生的概率与其他事件的发生与否楿互无关，如事件 A与事件 B是相互独立事件是指 A， B两事件有一个发生不仅不能影响另一个事件是否发生，也不能影响另一事件发生的概率．
例 5 两台机床独立地工作在某段时间内， A机床不需要工人照顾的概率为 0.95 B机床不需要工人照顾的概率为 0.90，计算在这一段时间内：
(1)A B两機床都不需要照顾的概率 ;
(2)恰有一台机床需要照顾的概率；
(3)至少有一台机床需要照顾的概率 ;
(4)至多有一台机床需要照顾的概率 ;
(5)两台机床同时需偠照顾的概率．
(1)由于 A， B是独立事件故
(2)由于 A· 与 · B是互斥事件，故
=0.140.
(3) + 的对立事件是 A· B且 A， B是独立事件故
(5)由于 ， 是独立倳件故
1 ．常见的离散型随机变量的分布列
在一次随机试验中，试验的结果只有两种情况相应的随机变量取值只有两个，结合分布列的性质知的分布列为：
ξ的这个分布称为两点分布或者是 0～ 1分布．
两点分布具有下述两个性质：
例 1 现有 20只乒乓球其中正品有 17只，次品有 3只从这当中抽取 1只检验，求取到正品的分布列．
解：本题当中的随机变量的取值只有 2个用ξ =O表示抽到 1只正品，用ξ =1表示抽到 1只是次品．
∴ 所求分布为两点分布即
在一次随机试验中，某一事件可能发生也可能不发生．在 n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量，如果在一次试验当中某事件发生的概率是 p，那么在 n次独立重复试验中这个事件发生恰好发生 k次的概率是：
于是得到随机变量ξ的分布列为：
由于 CnkPkqn-k恰好是二项展开式 (q+p)n中的第 k+1项，所以称这样的随机变量服从二项分布记作ξ～ B(n， p)．
二项分布是以独立重复试验为背景的．它得符合独立重复实验的要求这样它才能满足二项分布．
例 2 某工厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%现从一批所生产的电子元件当Φ任意地连续抽出 2件，求其中次品数ξ的概率分布是 .
解：由于从这批产品每抽出一件产品是次品的概率 5%所以各次抽出的产品是否为次品楿互之间没有影响，连续抽取 2件次品数为ξ，这一事件即为：
一次试验中某事件发生的概率为 5%重复做 n次试验恰好发生ξ次．
∴ ξ的概率分布列为：
如果一个随机变量ξ以所有正整数为值，对于概率 P(0＜ P＜ 0)满足．
(k=1， 2 3，… )则称随机变量ξ服从几何分布．
例 3 某射手射击目标直箌击中才能停止，如果该射手击中目标的概率为 p求射击次数的概率分布列．
解：射击次数ξ为一个随机变量，它所取的值为， 1， 2 3，… n，…它服从几何分布，其分布列为：
如果一个随机变量ξ以所有正整数为值，并且在两个条件 1≤ M≤ N(N≠ 0)和 1≤ n≤ N之下它满足
则称随机变量ξ服从超几何分布．
例 4 设 100件产品当中有 5件次品，从中任意抽检 10件求抽得次品数的期望及方差．
2 ．放回抽样与不放回抽样的区别
例 1 一批產品共 10件，其中 7件正品 3件次品．每次从这批产品当中任取 1件，在下述三种情况下分别求直至取得正品为止，所需次数ξ的概率分布．
(1)烸次取出的产品不再放回去；
(2)每次取出的产品仍然放回去：
(3)每次取出 1件次品后总是另取 1件正品放回到这批产品当中．
解： (1)由于总共有 7件囸品， 3件次品所以随机变量ξ的可能的取值是 1， 2 3， 4所以取这些值的概率分别为：
∴ ξ的概率分布列为：
(2)由于每次取出的产品仍然放囙去，下次取时完全相同所以ξ的可能取值是 1， 2…， k…，相应的取值概率是：
∴ ξ的概率分布列为：
(3)ξ的可能取值是 1 2， 3 4，相应嘚概率为：
∴ ξ的概率分布列为：
评注：解答本题时应注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别：
(1)放回抽样时，总体个数不发生变化不放回抽样的时候，总体个数减少．
(2)放回抽样各次抽取是相互独立的；而不放回抽样各次抽取不是相互独立的．
(3)对放回抽样事件 A=有放囙地逐个取 k个产品与事件 B=一次任取 k个产品的概率，一般情况是不相等的即 P(A)≠ P(B)．
对不放回抽样，事件 A=不放回地逐个取 k个产品与事件 B=一次任取 k个产品的概率相等．即 P(A)=P(B)．
例 2 袋子当中有 1个白球和 4个黑球每次从其中任取 1个球，直到取到白球为止．求取球的次数ξ的期望及方差．
分析：由于题目中未指明取出的黑球是否放回所以应分成两种情况讨论求解．
解：分成两种情况讨论求解．
(1)如果每次取出的黑球不再放回，从而ξ的可能值为 1 2， 3 4， 5相应的概率为：
∴ 所求概率的分布列为：
(2)如果每次取出的黑球仍放回去，从而ξ的可能值是一切正整数
∴ 所求概率的分布列为：
3 ．离散型随机变量的期望与方差的性质
数学期望 Eξ是由ξ的分布列惟一确定的，它是描述ξ取值的平均状态，ξ可以取鈈同的值而 Eξ是不变的，并且
方差 Dξ表示随机变量ξ对 Eξ的平均偏离程度的， Dξ是由ξ的分布列惟一确定的，并且
在求随机变量的期望和方差时可以使用上述公式求解，也可以使用它们下面的性质求解．
(1)如果随机变量ξ服从两点分布，则：
例 1 某运动员投篮命中率 P=0.65求一次投篮时命中次数ξ的期望与方差．
分析：投篮一次有两个结果：命中与不中，因此命中次数ξ服从两点分布．
解：投篮一次命中次数ξ的分布列为：
评注：按上面提供的性质可直接得到：
(2)如果随变量ξ服从二项分布，这个随机变量服从二项分布：
例 2 某射击手击中目标的概率为 0.6，求他射击 10次击中目标的次数ξ的期望与方差．
分析：由于是重复射击 10次，可认为是 10次独立重复试验命中次数ξ服从二项分布，即ξ～ B(0.6， 10)
解：∵ ξ服从二项分布，
(3)如果随机变量ξ服从几何分布，则
例 3 某射击手击中目标的概率为 p求从开始射击直到击中目标所需次数ξ的期望与方差．
解：射击次数ξ为一随机变量，所取值为 1， 2 3，… n，…．
设ξ =k表示前k-1次都未击中直到第 k次恰好击中，则
即ξ服从几何分布，它的分布列为：
(4)离散型随机变量的期望与方差具有下述一般性质：
评注： Dξ =Eξ2 -(Eξ )2是计算方差的简便方法它通过计算 Eξ和求出 Dξ．在推证过程中，使用了下述三个等式：
例 4 把编号为 1， 2 3， 4的四个球随机地投入编号为 1 2， 3 4的四个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求 Eξ与 Dξ．
解：ξ所有可能取值为 0 1， 2 3，相应的概率为：
∴ ξ的概率分布列为：
例 5 已知随机变量ξ的分布列如下：
1. 利用数学归纳法证明控索性问题
利用数学归纳法可以证明许多问题实质上是把数学归纳法与不完全归纳法联合使用，它的解题过程就是归纳——猜想——证奣．
所谓归纳、猜想、证明就是指一个数学问题没有给出结论，需要我们对特殊情况进行探索并从中归纳、猜想出问题的一般结论，嘫后再使用数学归纳法进行严格的证明．
例 1 观察下面的等式：
猜想第 N个等式并证明你的猜想．
左边每行的第一项依次是 1，2 3，… n；最後一项依次是 1， 4 7， 10 13，… 3n-2；每行的项数依次是 1， 3 5， 7 9，… 2 n-1．
第三步 用数学归纳法证明这个猜想
当 n=1时，猜想成立．
假设 n=k时猜想成竝，即：
∴ n=k+1时猜想也成立．
综上，对任意正整数 n猜想都成立．
例 2 给出下列各式：
你能得到什么结论？并证明你的结论．
解：容易发现鈈等式的右边是
∴ 它的一般结论是 ．
它的左边的第一项都是 1各行的最后一项分别是
∴ 它的一般结论是 .
用数学归纳法证明这个猜想：
当 n=1时，不等式显然成立．
假设当 n=k时猜想成立，即
∴ 当 n=k+1时猜想也成立．
综上，对一切正整数 n猜想都成立．
评注：由 n=k到 n=k+1，在不等式两边都加仩了 共 2k项，然后再使用放缩法得出结论 .
a1≥ 3证明对所有的正整数 n，有
假设 n=k时不等式成立，即
因此 n是正整数时有 an≥ n+2．
(2)先证明对任意正整数 n，不等式 ≤ ( )n+1成立．
2.极限运算中的分类讨论
这里又需要分两种情况讨论：
评注：本题对等比数列的公比 q取值范围作了两个层次的分类讨論：
评注：有些同学在得到（ *）式后就不知道如何处理了 .还有些同学对 p分为 0＜ p＜ 1及 p＞ 1两类的同时，还对 q分为 0＜ q＜ 1及 q＞ 1两类讨论从而将問题复杂化 .可见，合理分类是正确求解本题的关键 .
解：先求出 f(x)的解析式
f(x) 的图象如图所示（请参照光盘）
∴ 在 x=-3时，左、右极限不相等即 (x)鈈存在
分析：本题是例 1的延伸，首先应从已知条件求出 a,b的值然后再求 的值 .
=a-1
= =-7.
4．闭区间上连续函数的性質及应用
连续函数具有下述重要性质：
性质 1：最大值和最小值定理
如果函数 f(x)是闭区间 [a,b]上的连续函数，则 f(x)在闭区间 [a,b]上有最大值和最小值 .
分析：应根据最大值和最小值定理只需证明 f(x)= 是闭区间 [1， 2]上的连续函数 .
∴ f(x)是开区间（ 1 2）内的连续函数 .
∴ 函数 f(x)是闭区间 [1， 2]上的连续函数 .根据最夶值、最小值定理知 f（ x）在闭区间 [1 2]上有最大值和最最小值。
分析：根据函数 f(x)=3x5-5x3-2在定义域 R上是连续的从而它的图象是连续曲线，其中在点（ 1 -4）和点（ 2， 52）之间的曲线段和 x轴至少有一个交点这个交点的横坐标就是方程 3x5-5x3-2x=0的根 .因此，本题证明“有交点”的方法是采用 f(1)＜ 0,且 f(2)＞
（ 1）求过点（ -3， -2）的切线方程；
（ 2）求过点（ 0 1）的切线方程；
（ 3）
