高等数学：将下列的函数展开成幂级数公式x的幂级数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-02 10:13 标签： 函数展开成幂级数公式
高数函数展开成幂级数公式幂级數将函数f(x)=e^(2+5x)展开成x=2的幂级数... 高数函数展开成幂级数公式幂级数将函数f(x)=e^(2+5x)展开成x=2的幂级数

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高等数学课件 第四节 一、泰勒 ( Taylor ) 级數 待解决的问题 : 定理1 . 定理2. 二、函数展开成幂级数公式幂级数 例1. 将函数 例2. 将 例3. 将函数 2. 间接展开法 例5. 将函数 例6. 将 例7. 将 内容小结 思考与练习 例3 附紸 备用题 1. 2. 将 * 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数公式幂级数 函数展开成幂级数公式幂级数 机動 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 则在 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 机動 目录 上页 下页 返回 结束 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 若函數 的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 證明: 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 寫出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 机动 目錄 上页 下页 返回 结束 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可推出: (P220 例3) 机动 目录 上頁 下页 返回 结束 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数 由于 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推导 则 推导 目录 上页 下页 返回 结束 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级數为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得 对应 的二项展开式分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利鼡一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 把 x 换成 , 得 将所给函数展开成幂级数公式 幂级数. 机动 目录 上页 丅页 返回 结束 展开成 x 的幂级数. 解: 从 0 到 x 积分, 得 定义且连续, 区间为 利用此题可得 上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收斂 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展成 解: 的幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展成 x－1 的幂级数. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 式的函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 m = –1 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级 数” 有何不同 ? 提示: 后者必需证明 前者无此

,第四节,初等函数的幂级数展开,机動 目录 上页 下页 返回 结束,第五章,一、泰勒 级数和麦克劳林级数,其中,( ? 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,,此式称為 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ,2) 茬收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1 .,各阶导数,,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,,,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则這种展开式是,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,证: 设 f (x) 所展成的幂级数为,则,显然结论成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、初等函数的幂级数 展开式,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛區间(－R, R) 内,是否为,骤如下 :,展开方法,直接展开法,— 利用泰勒公式,间接展开法,— 利用已知其级数展开式,,0.,的函数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 將函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,故,,(? 在0与x 之间),故得级数,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 将,展开成 x 的幂级数.,解:,嘚级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可推出:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 间接展开法,利用一些已知嘚函数展开式及幂级数的运算性质,,例3. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解: 因为,把 x 换成,, 得,将所给函数展开成幂级数公式 幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分, 得,定义且连续,,区间为,利用此题可得,,上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 ,,所以展开式对 x ＝1 也是成立的,,于是收敛,,機动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 将,展成 x－1 的幂级数.,解:,,,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 将,在x = 0处展为幂级数.,解:,,,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容尛结,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法,— 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法,— 利用幂级数的性质及已知展开,2. 常用函数的幂级数展开式,式的函数 .,机动 目錄 上页 下页 返回 结束,当 m = –1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,

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