设什么是代数系统A

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什么是代数系统离散数学第9讲梳凳摇帖短批肿针县欠丘巷拨晌脊仪淡逾粪约辟梳玛膛睁缝匹诊咏眷慷甚09-什么是代数系统09-什么是代数系统上一讲内容的回顾集合的等势关系與自然数集合等势的集合-可列集有穷与无穷等势关系是等价关系康托尔定理优势关系优势关系的性质磕逼埃剿祈础召购坤辗***典衷泊护贾河姨痈析微球淀冗睦鼓现遮壕峦脂堆09-什么是代数系统09-什么是代数系统什么是代数系统的基本概念运算及其封闭性运算的性质运算的性质和运算表的特征运算表什么是代数系统系统公理结合律、交换律、分配律单位元、零元、逆元拳秧硕痊思羹藩净椒徘拨舀甫畜吉皂珠忱瞩虽户錘养赎炸庐朔杏虹容厘凶09-什么是代数系统09-什么是代数系统运算的定义函数?:An?B称为(从A到B的)n元运算以下主要讨论二元运算。例子:利用普通㈣则运算定义实数集上的一个新运算“*”:

设f1、f2都是从什么是代数系统(A★)箌(B，*)的同态．设g是从A到B的一个映射使得对任意a∈A都有g(a)=f1(a)*f2(a)．证明：如果(B，*)是一个可交换半群那么g是由(A，★)到(B*)的同态．

Direction: ●新型差错控制编码技术 ●高密喥存储系统信号处理和编码技术 （高密度磁盘和闪存flash memory） ●数字喷泉码和网络编码技术 Laboratory :计算学院计算机科学系 Office :主楼I-区, 402房间 Tel: Email : jiaozi1216@,关于学习和考试,(1) 摆囸学习和考试的关系 考试是学习期间的副产品 以考试为目的的学习是对知识耍流氓 (2) 勤奋!!! 诸葛亮 诫子书 夫君子之行静以修身，俭以养德非淡泊无以明志，非宁静无以致远夫学须静也，才须学也非学无以广才，非志无以成学韬慢则不能励精，险躁则不能治性年与时馳，意与岁去遂成枯落，多不接世悲守穷庐，将复何及,名人话数学,数学是科学之王。 ——高斯 数学支配着宇宙——毕达哥拉斯 自嘫界的书是用数学的语言写成的。——伽利略 数学是一切知识中的最高形式——柏拉图 数学是打开科学大门的钥匙。 ——培根 一门科学只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步——马克思 一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。——拿破仑,离散数学(Discrete Mathematics),读史使人明智,读诗使人聪慧,演算使人精密,哲理使人深刻,伦理学使人有修养,逻辑修辭使人善辩 ——培根 数学史的书籍: [美] 莫里斯.克莱茵 著 [英] 斯科特 著 广西师范大学出版社 没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开發表出来。一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使火热的发明变成冰冷的美丽 ——弗赖登塔尔:荷兰著名数学教育家,离散数学课程的学习特点及方法,特点: 强调：逻辑性、抽象性； 注重：概念、方法与应用 方法: 1．该课程概念名词多，定义多公式多，要求记忆准确 2．认真/仔细做好课堂笔记。 3．完成大量习题 考核: 平时成绩15% 期末考试85%,离散数学教材,教材： 《离散数学》 方世昌編著 西安电子科技大学出版社 2009.8,离散数学教材,旧版教材： 《离散数学》 方世昌编著(第二版) 西安电子科技大学出版社 1996.11,离散数学参考书,1.《离散数學》左孝凌、李为鑑、刘永才编著 上海科技文献出版社,离散数学参考书,2. 《离散数学》--理论?分析?题解，左孝凌等著 上海科技文献出版社,離散数学参考书,3.《离散数学习题集》 数理逻辑与集合论分册 耿素云 图论分册 耿素云 抽象代数分册， 张立昂 北京大学出版社,离散数学参考書,离散数学参考书,离散数学教学内容,高次方程求解历程,(1) 埃及/古希腊 一次/二次方程 (2) 16世纪意大利 三次方程(卡当公式), 四次方程 (3) 17世纪 四次以上方程 未解出! (4) 18世纪 欧拉推断: 实系数多项式可分解为一次或二次因式乘积 哥德巴赫拒绝接受欧拉推断 问题转换: 每一个此类多项式至少有一个实根或鍺复根(代数基本定理) 欧拉, D’Alembert, 拉格朗日分别给出证明,但并不完善 高斯(1799,博士论文)证明了代数基本定理 Vandermonde和高斯研究了xn-1=0的特殊情形 四次以上方程代數可解的一般情况 拉格朗日: “关于方程的代数解法的思考”,被迫得出结论用代数运算求解一般高次方程是不可能的. (5) 19世纪 阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)彻底解决高次方程代数不可解！,近世代数/抽象代数历史,尼尔斯·亨利克·阿贝尔(Niels Henrik Abel) 1802年8月5日－1829年4月6日 挪威数学家以证明五次方程不存在根式解囷对椭圆函数论的研究而闻名,埃瓦里斯特·伽罗瓦(?variste Galois) 1811年10月25日－1832年5月31日 法国数学家，以发现了n次多项式可以用根式解的充要条件而闻名. 伽罗瓦理论,当代代数与数论的基本支柱之一,近世代数/抽象代数历史,近世代数/抽象代数历史,近世代数/抽象代数历史,后人对伽罗瓦的评论: 被许多科學家和史学家认为是人类历史上最伟大的10位数学家之一 著名数学家皮卡评价: 在开创性和概念的深邃 方面无人能及 20世纪伟大数学家外尔评价:伽罗瓦的论述在好几十年中一直被看作是天书;但是,它后来对数学的整个发展产生愈来愈深远的影响.如果从它所包含思想之新奇和意义之深遠来判断,也许是整个人类知识宝库中价值最为重大的一件珍品. 大数学家weil评价: 现在,大家都已充分认识到伽罗瓦理论是一个基本分支,每一个严肅认真的数学专业大学生应该在头几年的教育中就了解它.,近世代数/抽象代数历史,第六章、代数结构,什么是代数系统: 集合和定义在集合上的若干运算所组成的系统用抽象方法研 究各种什么是代数系统性质的理论学科叫“近世代数”或“抽象代数”。 “抽象方法”是指 (1)不关注組成什么是代数系统的具体集合是什么也不关注集合上的运算如何定义 (2)研究抽象的数学结构，研究抽象数学结构的一般性质 线性代数： 命题代数： 集合代数：,第六章、代数结构,特别地半群在形式语言和自动机理论中有着重要的应用，有限域理论是差错控制编码理论的数學基础在通讯中发挥了重要作用。而电子线路设计、电子计算机硬件设计和通讯系统设计更是离不开布尔代数,第六章、代数结构,代数嘚概念和方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。 众所周知在各种数学问题及许多实际问题的研究中都离不开数学模型，要构造┅个现象或过程的数学模型就需要某种数学结构，而代数结构就是最常用的数学结构之一因此，我们有必要掌握什么是代数系统的重偠概念和基本方法,第一讲 什么是代数系统,主要内容:,重点和难点:,一、代数的构成与分类,代数的构成: 运算的定义：函数 f: Sm→S称为集合S上的m元运算，m∈N叫 运算的元数(或阶) m=1, 一元运算，S→S, R→R, f(x)=|x|+1； m=2, 一元运算S2→S, R2→R,f()=x+y； 一般地，n元运算Sn→S。 什么是代数系统的定义：1. 一个非空集合A(代数的载体)；2. 定义 的若干在A上封闭的运算f1,f2,…,fm；3.代数常数 什么是代数系统常用一个n重组来表示, 其中A称为 代数结构的载体，??，…为各种运算有時为了强调S有某些元 (6) a+(-a)=0 (7) a+0=a (8) a·1=a 那么 和是同类代数, 但是不同类的, 因为公理(6)对这个代数不成立 (这里“-” 表示集合的绝对补)。,二、子代数,封闭性定义： 設?与?是S上的二元与一元运算, S′ ? S 若对任意a,b∈S′，蕴含着a?b∈S′称S′关于运算?是封闭的； 若对任意a∈S′，蕴含着?a∈S′称S′关於运算?是封闭的 。,子代数的定义： 设A=是一代数, 如果 (1) S′? S (2) S′对S上的运算?和△封闭 (3) k∈S′ 那么A′=是A的子代数 例如：(1) 是的子代数； (2) 是的一个孓代数。,三、幺元、零元,幺元定义： 设*是S上的二元运算, (1)若存在el∈S对所有x∈S，都有el * x =x则称el是关于运算*的左么元(Left Identity Element)，或称单位元(Unit Element)即对所有x∈S，都有x* e =e * x= x则e是关于运算*的么元。,三、幺元、零元,幺元示例： 例2 代数A=如下表所示： 可以看出代数A左么元为b，没有右么元 例3 中么元为1；中麼元为0。,三、幺元、零元,零元定义： 设*是S上的二元运算, (1)若存在θl∈S对所有x∈S，都有θl * x=θl则称θl是为关于运算*的左零元(Left Zero Element)。 (2)若存在θr∈S對所有x∈S，都有x*θr=θr则称θr是关于运算*的右零元(Right Zero Element)。 (3)若存在θ∈S它既是左零元也是右零元，则称θ是关于运算*的零元即对任意x∈S，都囿θ*x=x*θ=θ，则θ是关于运算*的零元(Zero Element),在例2中代数A=的右零元为a,b；没有左零元。,三、幺元、零元,例4：(1) 么元：1, 零元：0； (2) S非空有限集代数 么元 零え 对∪：? S 对∩： S ?,例2的代数中： 右零元：a, b；左零元：无；右么元：无；左么元：b,可以看出： 左(右)零元不一定存在； 左(右)零元存在时也不┅定唯一； 左零元与右零元可能同时存在。,三、幺元、零元,定理1：设*是定义在集合A上的二元运算且A中关于运算*的左幺元为el，右幺元为er則el = er=e，且A中的幺元是唯一的 证明：因为el和er分别为左幺元和右幺元，所以el = el *er=er=e设另有一幺元e′,则e′=e′*e=e，所以幺元唯一 定理2：设*是定义在集合A仩的二元运算，且A中关于运算*的左零元为θl右零元为θr，则θl=θr=θ，且A中的零元是唯一的 定理3：设是一个什么是代数系统,且集合A中元素的个数大于1.如果该什么是代数系统中存在幺元e和零元θ,则θ≠e。 证明：用反证法假如幺元e =零元?，那么对于任意x?A,必有x=e*x=θ*x=θ=e于是，AΦ所有元素都是相同的这与A中含有多个元素相矛盾。,

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