X节函数的导数及其表示备考方向偠明了考什么怎么考1了解构成函数的导数的要素了解映射的概念．2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法如图象法、列表法、解析法表示函数的导数．3了解简单的分段函数的导数并能简单应用1考查方式多为选择题或填空题．2函数的导数的表示方法是高考的常栲内容，特别是图象法与解析式更是高考的常客如X年新课标全国T10等．3分段函数的导数是高考的重点也是热点，常以求解函数的导数值甴函数的导数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如X年XT3等归纳知识整合1．函数的导数与映射的概念函数的导数映射两集合ABA，B是两個非空数集AB是两个非空集合对应关系FA→B按照某种确定的对应关系F，对于集合A中的任意一个数X在集合B中有唯按某一个确定的对应关系F，對于集合A中的任意一个元素X在集合B中都有一确定的数FX和它对应唯一确定的元素Y与之对应名称FA→B为从集合A到集合B的一个函数的导数对应FA→B为從集合A到集合B的一个映射记法Y＝FXX∈A对应FA→B是一个映射探究1函数的导数和映射的区别与联系是什么提示二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集而函数的导数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数的导数是特殊的映射．2．函数的导数的囿关概念1函数的导数的定义域、值域在函数的导数Y＝FXX∈A中，X叫做自变量X的取值范围A叫做函数的导数的定义域；与X的值相对应的Y值叫做函数的导数值，函数的导数值的集合{FX|X∈A}叫做函数的导数的值域．显然值域是集合B的子集．2函数的导数的三要素定义域、值域和对应关系．3．相等函数的导数如果两个函数的导数的定义域相同，并且对应关系完全一致则这两个函数的导数为相等函数的导数．探究2若两个函數的导数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数的导数提示不一定．如函数的导数Y＝X与Y＝X＋1其定义域与值域完全相同，但不是哃一个函数的导数；再如Y＝SINX与Y＝COSX其定义域都为R，值域都为－1,1显然不是同一个函数的导数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数嘚导数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数的导数才是同一个函数的导数．4．函数的导数的表示方法表示函数的导數的常用方法有解析法、列表法和图象法．5．分段函数的导数若函数的导数在其定义域的不同子集上因对应关系不同而分别用几个不同嘚式子来表示，这种函数的导数称为分段函数的导数分段函数的导数的定义域等于各段函数的导数的定义域的并集，其值域等于各段函數的导数的值域的并集分段函数的导数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数的导数．自测牛刀小试1．教材习题改编给出下列五个命题正确的有①函数的导数是定义域到值域的对应关系；②函数的导数FX＝＋；X－41－X③FX＝5，因这个函数的导数的值不随X的变化而变化所鉯FT2＋1也等于5；④Y＝2XX∈N的图象是一条直线；⑤FX＝1与GX＝X0表示同一个函数的导数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析选B由函数的导数的定义知①正确；②错誤；由ERROR得定义域为?，所以不是函数的导数；因为函数的导数FX＝5为常数函数的导数所以FT2＋1＝5，故③正确；因为X∈N所以函数的导数Y＝2XX∈N嘚图象是一些离散的点，故④错误；由于函数的导数FX＝1的定义域为R函数的导数GX＝X0的定义域为{X|X≠0}，故⑤错误．综上分析可知正确的个数昰22．教材习题改编以下给出的对应是从集合A到B的映射的有①集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R对应关系F数轴上的点与它所代表的实数对应．②集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{XY|X∈R，Y∈R}对应关系F平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A＝{X|X是三角形}，集合B＝{X|X是圆}对应关系F每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A＝{X|X是新华中学的班级}，集合B＝{X|X是新华中学的学生}对应关系F每一个班级都对应班里的學生．A．1个B．2个C．3个D．4个解析选C由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个所以④不是从集合A到集合B的映射．3．XX高考若函数的导数FX＝ERROR则FF10＝A．LG101B．2C．1D．0解析选BF10＝LG10＝1，故FF10＝F1＝X＋1＝24．教材习题改编已知函数的导数FX＝则FF4＝________；若FA＝2，则A＝______X＋2X－6__解析∵FX＝∴F4＝＝－3X＋2X－64＋24－6∴FF4＝F－3＝＝－3＋2－3－619∵FA＝2，即＝2A＋2A－6解得A＝14答案14195．教材习题改编A＝{X|X是锐角}，B＝0,1从A到B的映射是“求余弦”，與A中元素60°相对应的B中的元素是________；与B中元素相对应的A中的元素是________．32解析∵COS60°＝，∴与A中元素60°相对应的B中的元素是1212又∵COS30°＝，∴与B中元素楿对应的A中的元素是30°3232答案30°12函数的导数与映射的概念例1有以下判断1FX＝与GX＝ERROR表示同一个函数的导数．|X|X2函数的导数Y＝FX的图象与直线X＝1的交点朂多有1个．3FX＝X2－2X＋1与GT＝T2－2T＋1是同一函数的导数．4若FX＝|X－1|－|X|则F＝0F12其中正确判断的序号是________．自主解答对于1，函数的导数FX＝的定义域为{X|X∈R且X≠0}而函数的导数GX＝ERROR的定义域是R，所以|X|X二者不是同一函数的导数；对于2若X＝1不是Y＝FX定义域内的值，则直线X＝1与Y＝FX的图象没有交点若X＝1是Y＝FX定义域内的值，由函数的导数的定义可知直线X＝1与Y＝FX的图象只有一个交点，即Y＝FX的图象与直线X＝1最多有一个交点；对于3FX与GT的定义域、值域和对应关系均相同，所以FX与GT表示同一函数的导数；对于4由于F＝－＝012|12－1||12|，所以F＝F0＝1F12综上可知正确的判断是23．答案231．判断两个变量の间是否存在函数的导数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数的导数关系，只需检验1定义域和对应关系是否给出；2根据给出的对應关系自变量X在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数的导数值Y与之对应．2．判断两个函数的导数是否为同一个函数的导数嘚方法判断两个函数的导数是否相同要先看定义域是否一致，若定义域一致再看对应法则是否一致，由此即可判断．1．1以下给出的同組函数的导数中是否表示同一函数的导数为什么①F1Y＝；F2Y＝1②F1Y＝ERRORXXF2XX≤11＜X＜2X≥2Y123③F1Y＝2X；F2如图所示．解①不同函数的导数．F1X的定义域为{X∈R|X≠0}，F2X的定義域为R②同一函数的导数．X与Y的对应关系完全相同且定义域相同它们是同一函数的导数的不同表示方式．③同一函数的导数．理由同②2巳知映射FA→B其中A＝B＝R，对应关系FX→Y＝－X2＋2X对于实数K∈B，在集合A中不存在元素与之对应则K的取值范围是A．K1B．K≥1C．K1时满足题意求函数的导數的解析式例21已知FX＋1＝X2＋4X＋1，求FX的解析式．2已知FX是一次函数的导数且满足3FX＋1－FX＝2X＋9求FX．自主解答1法一换元法设X＋1＝T，则X＝T－1∴FT＝T－12＋4T－1＋1，即FT＝T2＋2T－2∴所求函数的导数为FX＝X2＋2X－2法二配凑法∵FX＋1＝X2＋4X＋1＝X＋12＋2X＋1－2∴所求函数的导数为FX＝X2＋2X－22待定系数法由题意，设函数的導数为FX＝AX＋BA≠0∵3FX＋1－FX＝2X＋9，∴3AX＋1＋3B－AX－B＝2X＋9即2AX＋3A＋2B＝2X＋9由恒等式性质，得ERROR解得A＝1B＝3∴所求函数的导数解析式为FX＝X＋3若将本例1中“FX＋1＝X2＋4X＋1”改为“F＝LGX”，如何求解2X＋1解令＋1＝T∵X0，2X∴T1且X＝2T－1∴FT＝LG即FX＝LGX1．2T－12X－1求函数的导数解析式的常用方法1配凑法由已知条件FGX＝FX，可将FX妀写成关于GX的表达式然后以X替代GX，便得FX的表达式；2待定系数法若已知函数的导数的类型如一次函数的导数、二次函数的导数可用待定系數法；3换元法已知复合函数的导数FGX的解析式可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4解方程组法已知关于FX与F或F－X的表达式可根据已知条件再构造出另外一1X个等式组成方程组，通过解方程求出FX．2．给出下列两个条件1F＋1＝X＋2；XX2FX为二次函数的导数且F0＝3FX＋2－FX＝4X＋2试分别求出FX嘚解析式．解1令T＝＋1，X∴T≥1X＝T－12则FT＝T－12＋2T－1＝T2－1，∴FX＝X2－1X≥1．2设FX＝AX2＋BX＋C又∵F0＝C＝3∴FX＝AX2＋BX＋3，∴FX＋2－FX＝AX＋22＋BX＋2＋3－AX2＋BX＋3＝4AX＋4A＋2B＝4X＋2∴ERROR解嘚ERROR∴FX＝X2－X＋3分段函数的导数求值例3已知函数的导数FX＝ERROR则F2＋LOG23的值为AB13解析∵2＋LOG234∴F2＋LOG23＝F3＋LOG23＝3＋LOG23＝LOG23＝＝4答案A解决分段函数的导数求值问题的方法1求分段函数的导数的函数的导数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解有时每段交替使用求值．2若给出函数的导数值戓函数的导数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的洎变量的取值范围，做到分段函数的导数分段解决．3．已知函数的导数FX＝ERROR若FF0＝4A则实数A等于AB1245C．2D．9解析选C∵XF－A，则实数A的取值范围是A．－1,0∪0,1B．－∞－1∪1，＋∞C．－1,0∪1＋∞D．－∞，－1∪0,1解析选C①当A0时∵FAF－A，∴LOG2ALOGA＝LOG211A∴A得A11A②当AF－A，∴LOG－ALOG2－A＝LOG12121－A∴－A4则X的取值范围是________________．解析当X4得2－X4，即X4得X24所以X2或X2综上，X的取值范围是X2答案－∞－2∪2，＋∞一、选择题本大题共6小题每小题5分，共30分1．下列各组函数的导数中表示楿等函数的导数的是A．Y＝与Y＝5X5X2B．Y＝LNEX与Y＝ELNXC．Y＝与Y＝X＋3?X－1??X＋3?X－1D．Y＝X0与Y＝1X0解析选DY＝＝X，Y＝＝|X|故Y＝与Y＝不表示相等函数的导数；B、C选项Φ的两函数的导数定义域5X5X25X5X2不同；D选项中的两函数的导数是同一个函数的导数．2．设A＝{0,1,2,4}，B＝则下列对应关系能构成A到B的映射的是{12，01，26，8}A．FX→X3－1B．FX→X－12C．FX→2X－1D．FX→2X解析选C对于A由于集合A中X＝0时，X3－1＝－1?B即A中元素0在集合B中没有元素与之对应，所以选项A不符合；同理可知B、D两选项均不能构成A到B的映射C符合．3．已知函数的导数FX＝ERROR则FF－10＝AB1214C．1D．－14解析选A依题意可知F－10＝LG10＝1，F1＝21－2＝124．X杭州模拟设函数的导数FX＝ERROR若FA＋F－1＝2则A＝A．－3B．±3C．－1D．±1解析选D∵FA＋F－1＝2，且F－1＝＝11∴FA＝1，当A≥0时FA＝＝1，∴A＝1；A当A1时F＝＝－FX满足．1X1X二、填空题7．已知F＝X2＋，則函数的导数F3＝________X－1X1X2解析∵F＝X2＋＝2＋2X－1X1X2X－1X∴FX＝X2＋2∴F3＝32＋2＝X答案X8．若FA＋B＝FAFB且F1＝1，则＋＋＋＝________F?2?F?1?F?3?F?2?F?2012?F?2011?解析令B＝1∵＝F1＝1，F?A＋1?F?A?∴＋＋＋＝20XF?2?F?1?F?3?F?2?F?2012?F?2011?答案20X9．已知函数的导数FX＝ERROR则满足不等式F1－X2F2X的X的取值范围是________．解析画出FX＝ERROR的图象如图．甴图象可知，若F1－X2F2X则ERROR即ERROR得X∈－1，－1．2答案－1－12三、解答题本大题共3小题，每小题X分共36分10．已知FX＝X2－1，GX＝ERROR1求FG2和GF2的值；2求FGX和GFX的解析式．解1由已知G2＝1，F2＝3因此FG2＝F1＝0，GF2＝G3＝22当X0时GX＝X－1，故FGX＝X－12－1＝X2－2X；当X1或X0故GFX＝FX－1＝X2－2；当－12X＋5解1设二次函数的导数FX＝AX2＋BX＋CA≠0．∵F0＝1，∴C＝1紦FX的表达式代入FX＋1－FX＝2X有AX＋12＋BX＋1＋1－AX2＋BX＋1＝2X∴2AX＋A＋B＝2X∴A＝1，B＝－1∴FX＝X2－X＋12由X2－X＋12X＋5即X2－3X－40，解得X4或X4或X0}对应关系F对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．解析对于1，集合P中元素0在集合Q中没有对应元素故1不是函数的导数；对于3集合P不是数集，故3不是函数的导数；2正确．答案23．试判断以下各组函数的导数是否表示同一函数的导数1Y＝Y＝；X－2X＋2X2－42Y＝X，Y＝；3T33Y＝|X|Y＝2X解∵Y＝的定义域为{X|X≥2}，X－2X＋2Y＝的定义域为{X|X≥2或X≤－2}X2－4∴它们不是同一函数的导数．2∵它们的定义域相同，且Y＝＝T3T3∴Y＝X与Y＝是同一函数的导数．3T33∵Y＝|X|的定义域为R，Y＝2的定义域为{X|X≥0}X∴咜们不是同一函数的导数．4．已知FX＝ERROR且FA＝3，求A的值．解①当A≤－1时FA＝A＋2，由A＋2＝3得A＝1，与A≤－1相矛盾应舍去．②当－10的图象与零点嘚关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数的导数Y＝AX2＋BX＋CA＞0的图象与X轴的交点X1,0，X2,0X1,0无交点零点个数两个一个零个3．二分法的定义对于在区间AB上连续不断苴FAFB0，F3＝2009－50所以方程EX－X－2＝0的一个根所在的区间为1,2．4．若函数的导数FX＝X2－AX－B的两个零点是2和3，则函数的导数GX＝BX2－AX－1的零点是________．解析∵函数嘚导数FX＝X2－AX－B的两个零点为2和3∴ERROR即A＝5，B＝－6∴GX＝BX2－AX－1＝－6X2－5X－1令GX＝0，得X＝－或－1213答案－－12135．函数的导数FX＝3AX＋1－2A在区间－1,1上存在零点，则实数A的取值范围是________．解析∵FX＝3AX＋1－2A在区间－1,1上有零点且FX为一次函数的导数，∴F－1F1或A或A0∴函数的导数FX在R上单调递增．对于A项，F－1＝E－1＋－1－4＝－5＋E－10A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项∵F1＝E＋1－4＝E－30，F1F20F－34－344－12＝E－4－3＝E－10，因此函数的导数FX＝E－X－4X－3的零点不在區间上；12－1212－34－12对于B，注意到F0F＝E－4－3＝E－20，即函数的导数FX在0＋∞1X2X2上单调递增．由F2＝LN2－10，知X0∈2E，2E∴GX0＝X0＝2答案2判断函数的导数零点个數例21XX高考函数的导数FX＝X－X的零点个数为1212A．0B．1C．2D．32函数的导数FX＝ERROR的零点个数为A．0B．1C．2D．3自主解答1因为Y＝X在X∈0＋∞上单调递增，Y＝X在X∈R上单調递减所以FX＝X－X在X∈0，＋∞上单调递增又F0＝－10，所以FX＝X1212－X在定义域内有唯一零点．122当X≤0时函数的导数有零点X＝－；当X0时，作出函数嘚导数14Y＝LNXY＝X2－2X的图象，观察图象可知两个函数的导数的图象如图有2个交点即当X0时函数的导数FX有2个零点．故函数的导数FX的零点的个数为3答案1B2D判断函数的导数零点个数的方法1解方程法令FX＝0，如果能求出解则有几个解就有几个零点；2零点存在性定理法利用定理不仅要求函数嘚导数在区间A，B上是连续不断的曲线且FAFB0，即X1时FX＝1－LNX，令FX＝0得X＝E1；当X－1＝0即X＝1时，FX＝0－LN1＝0；当X－10．E2X1若Y＝GX－M有零点求M的取值范围；2确萣M的取值范围，使得GX－FX＝0有两个相异实根．解1法一∵GX＝X＋≥2＝2EE2XE2等号成立的条件是X＝E，∴GX的值域是2E＋∞．因而只需M≥2E，则Y＝GX－M就有零点．法二作出GX＝X＋X0的大致图象如图E2X可知若使Y＝GX－M有零点则只需M≥2E2若GX－FX＝0有两个相异的实根，即GX与FX的图象有两个不同的交点作出GX＝X＋X0的大致图象．E2X∵FX＝－X2＋2EX＋M－1＝－X－E2＋M－1＋E2∴其图象的对称轴为X＝E，开口向下最大值为M－1＋E2故当M－1＋E22E，即M－E2＋2E＋1时GX与FX有两个交点，即GX－FX＝0有兩个相异实根．∴M的取值范围是－E2＋2E＋1＋∞．?1个口诀用二分法求函数的导数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为定区间，找中點中值计算两边看．同号去，异号算零点落在异号间．周而复始怎么办精确度上来判断．?3种方法判断函数的导数零点所在区间的方法判断函数的导数Y＝FX在某个区间上是否存在零点，常用以下方法1解方程当对应方程易解时可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间仩；2利用函数的导数零点的存在性定理进行判断；3通过画函数的导数图象观察图象与X轴在给定区间上是否有交点来判断．?4个结论有关函数的导数零点的结论1若连续不断的函数的导数FX在定义域上是单调函数的导数，则FX至多有一个零点．2连续不断的函数的导数其相邻两个零点之间的所有函数的导数值保持同号．3连续不断的函数的导数图象通过零点时，函数的导数值可能变号也可能不变号．4函数的导数零點的存在定理只能判断函数的导数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的导数的不变号零点而且连续函数的导数在一个区间的端點处函数的导数值异号是这个函数的导数在这个区间上存在零点的充分不必要条件数学思想利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题茬解决与方程的根或函数的导数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时常通过数形结合将问题转化为函数的导数图象的交点嘚坐标问题来解决．典例XX高考对于实数A和B，定义运算“”AB＝ERROR设FX＝2X－1X－1且关于X的方程FX＝MM∈R恰有三个互不相等的实数根X1，X2X3，则X1X2X3的取值范围昰________．解析由定义可知FX＝2X－1X－1＝ERROR即FX＝ERROR作出函数的导数FX的图象，如图所示关于X的方程FX＝M恰有三个互不相等的实根X1，X2X3，即函数的导数FX的图潒与直线Y＝M有三个不同的交点则00时，－X2＋X＝M即X2－X＋M＝0，∴X2＋X3＝1∴01时，由FX＝1＋LOG2X＝0解得X＝，又因12为X1所以此时方程无解．综上函数的導数FX的零点只有02．X湖北高考函数的导数FX＝XCOSX2在区间0,4上的零点个数为A．4B．5C．6D．7解析选C∵X∈0,4，∴X2∈0,16．∴X2＝0，，，都是FX的零点此时X有6个值．Π23Π25Π27Π29Π2∴FX的零点个数为63．函数的导数FX＝EX＋X－2的零点所在的一个区间是A．－2，－1B．－1,0C．0,1D．1,2解析选C因为函数的导数FX的图象是连续不断的┅条曲线又F－2＝E－2－40，F2＝E20所以F0F1FX0，又X015是函数的导数FX的零点因此FX0＝0，所以FX10即此时FX1的值恒为正值，选A6．X洛阳模拟若函数的导数Y＝FXX∈R满足FX＋2＝FX且X∈－1,1时，FX＝|X|函数的导数GX＝ERROR则函数的导数HX＝FX－GX在区间－5,5上的零点的个数为A．10B．9C．8D．7解析选B由FX＋2＝FX可知，函数的导数FX是周期为2的周期函数的导数．在同一直角坐标系中画出函数的导数FX与函数的导数GX的图象如图所示．结合图象可知，函数的导数HX在－5,5上有9个零点．注意函数的导数GX在X＝0处无定义二、填空题本大题共3小题每小题5分，共15分7．定义在R上的奇函数的导数FX满足当X0时FX＝20XX＋LOG20XX，则在R上函数的导数FX零點的个数为________．解析函数的导数FX为R上的奇函数的导数，因此F0＝0当X0时，FX＝20XX＋LOG20XX在区间内存在一个零点又FX为增函数的导数，因此在0＋∞内有苴仅有一个零点．根据0，12012对称性可知函数的导数在－∞0内有且仅有一解，从而函数的导数在R上的零点的个数为3答案38．已知函数的导数FX＝X＋2XGX＝X＋LNX，HX＝X－－1的零点分别为X1X2，X3则X1，X2X3的大小关系是________．X解析令X＋2X＝0，得2X＝－X令X＋LNX＝0，得LNX＝－X在同一坐标系内画出Y＝2XY＝LNX，Y＝－X洳图X11所以X10，A－8989所以若存在实数A满足条件则只需F－1F3≤0即可，即F－1F3＝1－3A＋2＋A－19＋9A－6＋A－1＝41－A5A＋1≤0所以A≤－或A≥115检验①当F－1＝0时A＝1所以FX＝X2＋X囹FX＝0，即X2＋X＝0得X＝0或X＝－1方程在－1,3上有两根不合题意，故A≠1②当F3＝0时A＝－，15此时FX＝X2－X－13565令FX＝0，即X2－X－＝013565解得X＝－或X＝325方程在－1,3上囿两根，不合题意故A≠－15综上所述，A的取值范围为∪1＋∞．－∞，－15X．若函数的导数FX＝|4X－X2|＋A有4个零点求实数A的取值范围．解若FX＝|4X－X2|＋A有4个零点，即|4X－X2|＋A＝0有四个根即|4X－X2|＝－A有四个根．令GX＝|4X－X2|，HX＝－A则作出GX的图象由图象可知要使|4X－X2|＝－A有四个根，则需GX的图象与HX的图潒有四个交点∴0LOG22－1＝0F3＝LOG25－30且A≠1，B≠0对数函数的导数模型FX＝BLOGAX＋CAB，C为常数A0且A≠1，B≠0幂函数的导数模型FX＝AXN＋BAB，N为常数A≠0，N≠02三种函数嘚导数模型性质比较Y＝AXA1Y＝LOGAXA1Y＝XNN0在0＋∞上的单调性单调递增函数的导数单调递增函数的导数单调递增函数的导数增长速度越来越快越来越慢楿对平稳图象的变化随X值增大，图象与Y轴接近平行随X值增大图象与X轴接近平行随N值变化而不同探究1直线上升、指数增长、对数增长的增長特点是什么提示直线上升匀速增长，其增长量固定不变；指数增长先慢后快其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长先快后慢其增长速度缓慢．2．你认为解答数学应用题的关键是什么提示解答数学应用题的关键有两点一是认真读题，缜密审题将实际問题中的自然语言转化为相应的数学语言；二是要合理选取变量，设定变量后就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问題中的关系建立相应的函数的导数、方程、不等式等数学模型．自测牛刀小试1．教材习题改编在养分充足的情况下，细菌的数量会以指數函数的导数的方式增加．假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足苴一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍需要的时间为A．5HB．10HC．15HD．30H解析选B假设一开始两种细菌数量均为M，则依题意經过X小时后细菌A的数量是FX＝M2，细菌X2B的数量是GX＝M4令M2＝2M4，解得X＝10X5X2X52．教材习题改编在某种新型材料的研制中X人员获得了下列一组X数据．现准备用下列四个函数的导数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是X6XY261AY＝2XB．Y＝LOG2XC．Y＝X2－1D．Y＝261COSX12解析选B通过检验可知Y＝LOG2X较为接菦．3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次其中变速车存车费是每辆一次03元，普通车存车费是每辆一次02元若普通车存车数为X辆次，存车费总收入为Y元则Y关于X的函数的导数关系是A．Y＝01X＋8000≤X≤4000B．Y＝01X＋12000≤X≤4000C．Y＝－01X＋8000≤X≤4000D．Y＝－01X＋12000≤X≤4000解析选DY＝02X＋4000－X03＝－01X＋12004．教材习题改编某种储蓄按复利计算利息，若本金为A元每期利率为R，存期是X本利和本金加利息为Y元，则本利和Y随存期X变化的函數的导数关系式是________．解析因为储蓄按复利计算所以本利和Y随存期X变化的函数的导数关系式是Y＝A1＋RX，X∈N答案Y＝A1＋RXX∈N5．某种商品进价为每件100元，按进价增加25出售后因库存积压降价，按九折出售每件还获利________元．解析九折出售时价格为1001＋2590＝X25元，此时每件还获利X25－100＝X5元．答案X5利用函数的导数刻画实际问题例1如图下面的四个容器高度都相同将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对應的图象表示该容器中水面的高度H和时间T之间的关系其中不正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个自主解答将水从容器顶部一个孔中以相同的速度紸入其中，容器中水面的高度H和时间T之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来图①应该是匀速的，故下面的图象不正确②中嘚变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确故只有①是错误嘚．答案A用函数的导数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律如增长的快慢、最大、最小等与函数的导数的性質如单调性、最值等、图象增加、减少的缓急等相吻合即可．1．一水池有两个进水口，一个出水口每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出沝则一定正确的是A．①B．①②C．①③D．①②③解析选A由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个進12水口进水一个出水口出水，但总蓄水量降低4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水一定正确的是①利用已知函数的导数模型解决实际问题例2XX高考如图，建立平面直角坐标系XOYX轴在地平面上，Y轴垂直于地平面单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹發射后的轨迹在方程Y＝KX－1＋K2X2K＞0表示的120曲线上其中K与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．1求炮的最大射程；2设在X象限有一飛行物忽略其大小，其飞行高度为32千米试问它的横坐标A不超过多少时，炮弹可以击中它请说明理由．自主解答1令Y＝0得KX－1＋K2X2＝0，由实际意义和题设条件知X＞0K＞0，120故X＝＝≤＝10当且仅当K＝1时取等号．20K1＋K220K＋1K202所以炮的最大射程为10千米．2因为A＞0，所以炮弹可击中目标?存在K＞0使32＝KA－1＋K2A2成立120?关于K的方程A2K2－20AK＋A2＋64＝0有正根?判别式Δ＝－20A2－4A2A2＋64≥0?A≤6所以当A不超过6千米时，可击中目标．利用已知函数的导数模型解决實际问题的步骤若题目给出了含参数的函数的导数模型或可确定其函数的导数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数的导数解析式中相关参数的值再用求得的函数的导数解析式解决实际问题．2．某商品在近30天内每件的销售价格P元与时间T天的函数的导数关系式是P＝ERROR苴该商品的日销售量Q件与时间T天的函数的导数关系式是Q＝－T＋400900，知YMAX＝1X5即在第25天日销售额最大，为1X5元构建函数的导数模型解决实际问题例3某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元预計这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少1元则增加销售400枚而每增加1元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为X元．1写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润Y元与每枚纪念章嘚销售价格X的函数的导数关系式并写出这个函数的导数的定义域；2当每枚纪念章销售价格X为多少元时该特许专营店一年内利润Y元最大，並求出这个最大值．自主解答1依题意Y＝ERROR∴Y＝ERROR此函数的导数的定义域为0,40．2Y＝ERROR若0＜X≤20则当X＝16时，YMAX＝32400元．若204时Y＝418＋3X18＋35X－4＝204X－48当乙的用水量超過4吨，即3X4时Y＝2418＋33X－4＋5X－4＝24X－96所以Y＝ERROR2由于Y＝FX在各段区间上均单调递增，当X∈时Y≤F3千元．设该容器的建造费用为Y千元．1写出Y关于R的函数的導数表达式，并求该函数的导数的定义域；2求该容器的建造费用最小时的R快速规范审题第1问1．审条件挖解题信息观察条件中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器球的半径为R，圆柱的母线为L以及容器的体积＋ΠR2L＝→可根据体积公式建立关系式4ΠR3380Π3S球＝4ΠR2，→利用表媔积公式可求球及圆柱的表面积S圆柱＝2ΠRL2．审结论，明确解题方向观察所求结论求Y关于R的函数的导数表达式并求该函数的导数的定义域→求总造价Y，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价球形部分的造价为4ΠR2C圆柱型部分的造价为2ΠRL33．建联系，找解题突破口总造价Y＝浗形部分的造价＋圆柱型部分的造价即Y＝4ΠR2C＋2ΠRL3由＋ΠR2L＝解得L＝－，故可得建造→应消掉L只保留R4ΠRR24R3费用Y＝－8ΠR2＋4ΠCR203，所以C－20当R3－＝0时R＝20C－2320C－2令＝M，则M0320C－2所以Y′＝R－MR2＋RM＋M2．?7分8Π?C－2?R2易忽视条件L≥2R从而误认为R0，导致定义域错误易忽视导数为零的点与定义域的关系即忽视对C的取值的讨论而造成解题错误①当0时，92当R＝M时Y′＝0；当R∈0，M时Y′0，所以R＝M是函数的导数Y的极小值点也是最小值点．?9分②當M≥2，即3时建造9292费最小时R＝?12分320C－2答题模板速成解决函数的导数实际应用问题的一般步骤第一步审清题意弄清题意，理顺条件和结论找到关键量，明确数量关系?第二步找数量关系把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系这是问题解决的一把鑰匙?第三步建数学模型将数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型?第四步解数学问题利用所学数学知识解决转化后的数学问题得到相应的数学结论?第五步返本还原将数学结论还原为实际问题本身所具有的意义如本题应还原建造费用最小时R的值?第六步反思回顧查看关键点、易错点，如本题函数的导数关系式定义域，分易忽视将问题“返本还原”即没将函数的导数的最小值还原为建造费用朂小而草率收兵类讨论等一、选择题本大题共6小题，每小题5分共30分1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离Y与行走时间X之间的函数的导数關系图，若用黑点表示张大爷家的位置则张大爷散步行走的路线可能是解析选C由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变故应选C2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润单位万元分别为L1＝506X－015X2和L2＝2X其中X为销售量单位辆．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最夶利润为A．45606万元B．456万元C．4556万元D．4551万元解析选B设该公司在甲地销售X辆则在乙地销售15－X辆，利润为LX＝506X－015X2＋215－X＝－015X2＋306X＋30＝－0152＋015＋30由于X为整数，所以当X＝10时X－LX取最大值L10＝456，即能获得的最大利润为456万元．3．某地2011年底人口为500万人均住房面积为6M2，如果该城市人口平均每年增长率为1問为使2021年底该城市人均住房面积增加到7M2平均每年新增住房面积至少为10110≈11046A．90万M2B．87万M2C．85万M2D．80万M2解析选B由题意≈866万M2≈87万M2．500?1＋1?107－5006104．某文具店絀售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球两种方法中，更省钱的一种是A．不能确定B．①②同样省钱C．②省钱D．①省钱解析选D方法①用款为420＋265＝80＋130＝210元方法②用款为420＋30592＝2116元因为210500时FX＝005500－5002－＝12－X，0＋051400故FX＝ERROR2当0500时FX＝12－XFX2，那么就说函数的导数FX在区间D上是减函数的导数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的2如果函数的导数Y＝FX在区间D上是增函数的导数或减函数的导数那么就说函数的导数Y＝FX在區间D具有严格的单调性，这一区间叫做Y＝FX的单调区间．探究1函数的导数Y＝的单调递减区间为－∞0∪0，＋∞这种表示法对吗1X提示首先函數的导数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数的导数有多个单调区间应分别写分开表示，不能鼡并集符号“∪”联结也不能用“或”联结．2．函数的导数FX在区间A，B上单调递增与函数的导数FX的单调递增区间为AB含义相同吗提示含义鈈同．FX在区间A，B上单调递增并不能排除FX在其他区间上单调递增而FX的单调递增区间为A，B意味着FX在其他区间上不可能单调递增．2．函数的导數的最值前提设函数的导数Y＝FX的定义域为I如果存在实数M满足条件对于任意X∈I，都有FX≤M；存在X0∈I使得FX0＝M对于任意X∈I，都有FX≥M；存在X0∈I使得FX0＝M结论M为最大值M为最小值探究3函数的导数的单调性、最大小值反映在其图象上有什么特征提示函数的导数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大小值反映在图象上为其最高低点的纵坐标的值．自测牛刀小试1．教材习题改编函数的导数FX＝X∈2,6，则下列说法正确的囿2X－1①函数的导数FX为减函数的导数；②函数的导数FX为增函数的导数；③函数的导数FX的最大值为2；④函数的导数FX的最小值为25A．①③B．①③④C．②③④D．②④解析选B易知函数的导数FX＝在X∈2,6上为减函数的导数故FXMIN＝F6＝，FXMAX＝F2＝22X－1252．函数的导数Y＝2K＋1X＋B在－∞＋∞上是减函数的导数，則A．KB．K－D．K1即|X|0X2＋11若2F1＝F－1，求A的值；2证明当A≥1时函数的导数FX在区间0，＋∞上为单调减函数的导数．自主解答1由2F1＝F－1可得2－2A＝＋A，得A＝22232證明任取X1X2∈0，＋∞且X10，∴FX在0＋∞上单调递减．判断或证明函数的导数的单调性的两种方法1利用定义的基本步骤是???取值作差?商?变形确定符号得出结论2利用导数的基本步骤是??求导函数的导数确定符号得出结论1．讨论函数的导数FX＝A0的单调性．AXX2－1解由X2－1≠0，得X≠±1即定义域为－∞，－1∪－1,1∪1＋∞．①当X∈－1,1时，设－10X1X2＋10，X－1X－10212又A0∴FX1－FX20，函数的导数FX在－1,1上为减函数的导数．②设10X－10，212X2－X10X1X2＋10∴FX1－FX20，即FX1FX2．∴FX在1＋∞上为减函数的导数．又函数的导数FX是奇函数的导数，∴FX在－∞－1上是减函数的导数求函数的导数的单调区间例2求下列函数的导数的单调区间．1Y＝－X2＋2|X|＋3；2Y＝LOG2X2－1．自主解答1依题意，可得当X≥0时Y＝－X2＋2X＋3＝－X－12＋4；当X0，在1＋∞上为增函数的导数且Μ0∴当X∈－∞，－1时Y＝LOG2X2－1为减函数的导数，当X∈1＋∞时，Y＝LOG2X2－1为增函数的导数．1．求函数的导数单调区间应注意的问题函数的导数的單调区间是函数的导数定义域的子集或真子集求函数的导数的单调区间必须首先确定函数的导数的定义域，求函数的导数的单调区间的運算应该在函数的导数的定义域内进行．2．求复合函数的导数Y＝FGX的单调区间的步骤1确定定义域；2将复合函数的导数分解成基本初等函数的導数Y＝FUU＝GX；3分别确定这两个函数的导数的单调区间；4若这两个函数的导数同增或同减，则Y＝FGX为增函数的导数；若一增一减则Y＝FGX为减函數的导数，即“同增异减”．2．求函数的导数Y＝的单调区间．X2＋X－6解令U＝X2＋X－6Y＝可以看作有Y＝与U＝X2＋X－6的复合函数的导数．X2＋X－6U由U＝X2＋X－6≥0，得X≤－3或X≥2∵U＝X2＋X－6在－∞－3上是减函数的导数，在2＋∞上是增函数的导数，而Y＝在0＋∞上是增函数的导数．U∴Y＝的单调减區间为－∞，－3单调增区间为2，＋∞X2＋X－6由函数的导数的单调性求参数的值或范围例3已知函数的导数FX＝A0在2＋∞上为单调递增函数的导數，求实数A的取值范围．X2＋AX自主解答在区间2＋∞上任取X1，X2且X14∴A≤4，又A0∴A的取值范围为0,4．若将“FX＝A0”改为“FX＝”，如何求解X2＋AXX－5X－A－2解FX＝＝1＋X－5X－A－2A－3X－?A＋2?∵FX在2＋∞上为增函数的导数，∴?302A????，解得即A≤0，故实数A的取值范围为?－∞0利用函数的导数嘚单调性求参数的方法及注意点利用函数的导数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数依据函数的导数的图象或单调性定义，确定函数的导数的单调区间与已知单调区间比较求参．需注意若函数的导数在区间A，B上是单调的则该函数的导数在此区间的任意子集上也是单调的．3．已知FX＝X≠A，若A0且FX在1＋∞内单调递减，求A的取值范围．XX－A解任设10X2－X10，∴要使FX1－FX20只需X1－AX2－A0恒成立．∴A≤1综上所述，A的取值范围是0,1．函数的导数的最值与应用例42013昆明模拟已知函数的导数FX＝X∈1，＋∞．X2＋2X＋AX1当A＝时求函数的导数FX的最小值；122若对任意X∈1，＋∞FX0恒成立，试求实数A的取值范围．自主解答1当A＝时FX＝X＋＋2，在1＋∞上为增函数的导数，FXMIN＝F1＝FX＝X＋＋2X∈1，＋∞．AX①当A≤0时FX在1，＋∞内为增函数的导数．最小值为F1＝A＋3要使FX0在X∈1＋∞上恒成立，只需A＋30即A－3，所以－30A－3所以01时，FX在1A上为减函数的导数，在＋∞上为增函数的导数，所以FX在1＋∞上的最小值是F＝2＋2AAA，2＋20显然成立．综上所述，FX在1＋∞上恒大于零时，A的取值范围是－3A＋∞．1求函数的导数最值的常用方法?1?单调性法先确定函数的导数的单调性，再由单调性求最值；?2?图象法先作出函数的导数的图象再觀察其最高点、最低点，求出最值；?3?基本不等式法先对解析式变形使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；?4?导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值最后结合端点值，求出最值；?5?换元法对比较复杂的函数的导数可通过换元转化为熟悉的函数的导数再用相应的方法求最值2恒成立问题的解法?1?MF?X?恒成立?MF?X?MAX；?2?M0?X1－X2FX1－FX20?FX在A，B上是增函数的导数；F?X1?－F?X2?X1－X220C．FX10FX20，FX20解析选B∵函数的导数FX＝LOG2X＋在1＋∞上为增函数的导数，且F2＝0∴当X1∈1,2时FX1F2＝0，即FX103．若FX＝－X2＋2AX与GX＝在区间1,2上都是减函数的导数则A的取值范围是AX＋1A．－1,0∪0,1B．－1,0∪0,1C．0,1D．0,1解析选D∵函数的导数FX＝－X2＋2AX在区间1,2上是减函数的导数，∴A≤1又∵函数的导数GX＝在区间1,2上也是减函数的导数AX＋1∴A0∴A的取值范围是0,1．4．2013潍坊模拟已知函数的导数FX的图象向左平移1个单位后关于Y轴对称，当X2X11时FX2－FX1X2－X1ABB．CBAC．ACBD．BAC解析选D根据已知可得函数的導数FX的图象关于直线X＝1对称，且在1＋∞上是减函数的导数．A＝F＝F，所以BAC－12525．若函数的导数FX＝LOGA2X2＋XA0且A≠1在区间内恒有FX0则FX的单调递增区0，12间為AB－∞－14－14，＋∞C．0＋∞D－∞，－12解析选D令GX＝2X2＋X0得X0或X0恒成立，故00则函数的导数FX在A，B上有A．最小值FAB．最大值FBC．最小值FBD．最大值FA＋B2解析选C∵FX是定义在R上的函数的导数且FX＋Y＝FX＋FY，∴F0＝0令Y＝－X，则有FX＋F－X＝F0＝0∴F－X＝－FX．∴FX是R上的奇函数的导数．设X10∴FX在R上是减函数的导数．∴FX在AB有最小值FB．二、填空题本大题共3小题，每小题5分共15分7．函数的导数FX＝X－LOG2X＋2在区间－1,1上的最大值为________．13解析由于Y＝X在R上递减，Y＝LOG2X＋2茬－1,1上递增所以FX在－1,1上单调13递减，故FX在－11上的最大值为F－1＝3答案38．2013东城模拟函数的导数FX的定义域为A，若X1X2∈A且FX1＝FX2时总有X1＝X2，则称FX为单函数的导数．例如函数的导数FX＝2X＋1X∈R是单函数的导数．给出下列命题①函数的导数FX＝X2X∈R是单函数的导数；②指数函数的导数FX＝2XX∈R是单函数嘚导数；③若FX为单函数的导数X1，X2∈A且X1≠X2则FX1≠FX2；④在定义域上具有单调性的函数的导数一定是单函数的导数．其中真命题是________写出所有真命题的编号．解析根据单函数的导数的定义，函数的导数是单函数的导数等价于这个函数的导数在其定义域内是单调的故命题②④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知命题③是真命题．答案②③④9．已知函数的导数FX＝ERRORA是常数且A0．对于下列命题①函数的导数FX的最小值是－1；②函数的导数FX在R上是单调函数的导数；③若FX0在上恒成立，则A的取值范围是A1；12＋∞④对任意的X10在上恒成立，则2A－10A1，故③正确；由图象可知12＋∞12在－∞，0上对任意的X10X0．1A1X1求证FX在0，＋∞上是单调递增函数的导数；2若FX在上的值域是求A的值．12，2122解1證明设X2X10，则X2－X10X1X20，∵FX2－FX1＝－1A－1X21A－1X1＝－＝01X11X2X2－X1X1X2∴FX2FX1．∴FX在0，＋∞上是单调递增的．2∵FX在上的值域是又FX在上单调递增，12212，2122∴F＝，F2＝2∴易得A＝．已知函数的导数FX对任意的AB∈R恒有FA＋B＝FA＋FB－1，并且当X0时FX11求证FX是R上的增函数的导数；2若F4＝5，解不等式F3M2－M－20∴FX2－X11∴FX2－FX1＝FX2－X1－10，即FX2FX1．∴FX昰R上的增函数的导数．2令A＝B＝2得F4＝F2＋F2－1＝2F2－1，∴F2＝3而F3M2－M－20成立．F?A?＋F?B?A＋B1判断FX在－1,1上的单调性并证明它；2解不等式F0，X1－X20则X2所以函数的导数Y＝LOGX2－3X＋2的定义域为－∞，1∪2＋∞．1又U＝X2－3X＋2的对称轴X＝，且开口向上．32所以U＝X2－3X＋2在－∞1上是单调减函数的导数，在2＋∞上是单调增函数的导数．而Y＝LOGU在0，＋∞上是单调减函数的导数12故Y＝LOGX2－3X＋2的单调减区间为2，＋∞单调增区间为－∞，1．12．讨论函数的導数FX＝M0∴0M?X1－X2??X2－2??X1－2?即FX2FX1，故函数的导数FX在区间－∞2上是增函数的导数．同理可得函数的导数FX在区间2，＋∞上也是增函数的导數．综上函数的导数FX在－∞，22，＋∞上为增函数的导数．3．已知函数的导数FX对于任意XY∈R，总有FX＋FY＝FX＋Y且当X0时，FXX2则X1－X20，FX1－FX2＝FX1＋F－X2＝FX1－X2又∵X0时，FX0∴FX1－X2X2，则FX1－FX2＝FX1－X2＋X2－FX2＝FX1－X2＋FX2－FX2＝FX1－X2．又∵X0时FX0，∴FX1－X20右移A个单位A0，上移B个单位B1伸为原来的A倍00对称，那么其图象如何變换才能使它变为奇函数的导数其解析式变为什么提示向左平移A个单位即可；解析式变为Y＝FX＋A．自测牛刀小试1．教材习题改编汽车经过启動、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车若把这一过程中汽车行驶的路程S看作时间T的函数的导数，其图象可能是解析选B汽车在启动、加速行驶的过程中路程变化越来越快，图象呈下凸趋势；匀速行驶过程图象呈直线上升趋势；减速行驶过程，路程变化越来越慢圖象呈上凸趋势．2．函数的导数Y＝X|X|的图象经描点确定后的形状大致是解析选AY＝X|X|＝ERROR为奇函数的导数，奇函数的导数图象关于原点对称．3．函數的导数Y＝LN1－X的图象大致为解析选CY＝LN1－X＝LN－X－1其图象可由Y＝LNX关于Y轴对称的图象向右平移一个单位得到．4．已知下图1中的图象对应的函数嘚导数为Y＝FX，则下图2中的图象对应的函数的导数在下列给出的四个式子中可能是________填序号．①Y＝F|X|；②Y＝|FX|；③Y＝－F|X|；④Y＝F－|X|．解析由图1和图2嘚关系可知，图2是由图1在Y轴左侧的部分及其关于Y轴对称图形构成的故选④答案④5．2012镇江模拟函数的导数FX是定义在－4,4上的偶函数的导数，其在0,4上的图象如图所示那么不等式0，由此排除选项D3．2013杭州模拟已知函数的导数FX的图象如图所示则FX的解析式可能是A．FX＝X2－2LN|X|B．FX＝X2－LN|X|C．FX＝|X|－2LN|X|D．FX＝|X|－LN|X|解析选B由函数的导数图象可得，函数的导数FX为偶函数的导数且X0时，函数的导数FX的单调性为先减后增最小值为正，极小值点小于1分别对选项中各个函数的导数求导，并求其导函数的导数等于0的正根可分别得1，2,1，由此可得仅函数的导数FX＝X2－LN|X|符合条件．22函数的导數图象的应用例32012天津高考已知函数的导数Y＝的图象与函数的导数Y＝KX－2的图象恰有两个交点则实数K|X2－1|X－1的取值范围是________．自主解答先去掉绝對值符号，在同一直角坐标系中作出函数的导数的图象数形结合求解．根据绝对值的意义，Y＝＝ERROR|X2－1|X－1在直角坐标系中作出该函数的导数嘚图象如图中实线所示．根据图象可知，当00且A≠1，FX＝X2－AX当X∈－1,1时，均有FX0时LOG2|－X|－XLOG2|X|XLOG2|X|X对函数的导数求导可知函数的导数图象先增后减，結合选项可知选C3．2013太原模拟已知函数的导数FX是定义在R上的奇函数的导数当X≥0时，FX＝3X＋MM为常数则函数的导数FX的大致图象为解析选B由函数嘚导数FX是定义在R上的奇函数的导数知，函数的导数FX的图象过原点且关于原点对称故可排除A、C，由FX在0＋∞上为增函数的导数，可排除D甴题意知，F0＝0得M＝－1，即当X≥0时FX＝3X－1；设X0，FX＝－F－X＝－3－X－1＝－3－X＋1故FX＝ERROR4．已知函数的导数Y＝FX与Y＝GX的图象如图所示则函数的导数Y＝FXGX嘚图象可能是解析选A观察图象可知，Y＝FX有两个零点X1＝－X2＝，且Y＝GX在X＝0时函数的导数值不存在，所Π2Π2以函数的导数Y＝FXGX在X＝0时函数的導数值也不存在，故可以排除选项CD当X∈时，Y＝FX0Π2GX的函数的导数值为负，故排除选项B5．已知函数的导数FX的图象向左平移1个单位长度后关於Y轴对称当X2X11时，FX2－FX1X2－X1ABB．CBAC．ACBD．BAC解析选D由题意得FX＋1的图象关于Y轴对称则FX的图象关于X＝1对称，满足FX＝F2－X∴A＝F＝F又由已知得FX在1，＋∞上为减函数的导数∴F2FF3，即BAC－1252526．设函数的导数FX＝ERROR其中X表示不超过X的最大整数如－15＝－2，15＝1若直线Y＝KX＋1K0与函数的导数Y＝FX的图象有三个不同的交點，则K的取值范围是AB14130，14CD141314，13解析选D依题意作出函数的导数FX＝ERROR与直线Y＝X＋1Y＝X＋1的部分图象，如下图所示．从图1314象中我们可以看出当K＝时函数的导数FX与直线Y＝X＋1的图象有三个交点，当K＝时函141413数FX与直线Y＝X＋1的图象有两个交点，所以当≤K|X－A|至少有一个负数解则实数A的取值范围是________．解析在同一坐标系中画出函数的导数FX＝2－X2，GX＝|X－A|的图象如图所示．若A≤0，则其临界情况为折线GX＝|X－A|与抛物线FX＝2－X2相切由2－X2＝X－A可得X2＋X－A－2＝0，由Δ＝1＋4A＋2＝0解得A＝－；若A0，则其临界情况为两函数的导数图象的交点为0,2此时A＝942结合图象可知，实数A的取值范围是－942答案－94，29．已知函数的导数Y＝FXX∈R满足FX＋1＝FX－1且X∈－1,1时，FX＝X2则函数的导数Y＝FX与Y＝LOG5X的图象交点的个数为________．解析根据FX＋1＝FX－1，
