关于设随机变量量的问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-17 04:59 标签： 随机变量

自然现象一般可以分为确定性现潒和随机现 象两类概率统计是研究随机现象的一门数学学 科。设随机变量量是概率统计中的基本概念之一它 在对随机现象的研究中起箌了非常重要的作用。 正态分布设随机变量量是常见的设随机变量量之一实际 上，由概率论中的中心极限定理能知道很多随机 变量都服從正态分布正是由于正态分布设随机变量 量在理论及应用方面都特别重要，因此它的研究 受到了广泛的关注众所周知，若X是一个正态 汾布设随机变量量则X的非退化线性函数仍然服从 正态分布。本文所关心的问题是若f(x)是x的 一般性函数且f(X)也服从正态分布，则f(幼是 线性函數吗?通过研究发现在一定条件下，回答 是肯定的 1主要定理及其证明 对于f(x)是x的多项式函数的情形，有如下 的定理1 定理1设X是一个正态设隨机变量量J(x)是x 的多项式函数，即

在概率论和数理统计的教学中,正态设随机变量量线性组合的分布问题是一个重要的内容,也是各类考试的重點题型.但是这部分内容分散在教材的几个章节中,学生较难理解和掌握.特别对于工科大学生来讲有些内容还没有在教材中出现,成为学习的难點.本文对这个问题进行一个小结.1独立正态设随机变量量的线性组合独立正态设随机变量量的线性组合仍然服从正态分布是概率统计中的一個重要结论,在数理统计的各个分支如参数估计和假设检验中都要用到.因为比较复杂,理科教材中多用特征函数的方法证明,而工科教材一般只介绍结论,没有详细的证明,影响学生对这个问题及数理统计中相关内容的理解,这里我们给出一个相对简单的证明.用X～N(μ,σ2)表示设随机变量量X垺从以μ为均值,σ2为方差的正态分布.命题1设X～N(μ,σ2),a(≠0)和b为常数,则X的线性函数Y=aX+b～N(aμ+b,a2σ2).证明X的概率密度为pX(x)=1槡2πσe-(x-μ)22σ2(-∞x+∞),设函数y=g(x... 

由文献〔1〕的知识,我们知道,两个独立正态设随机变量量之和仍是正态设随机变量量,但是如果这两个设随机变量量不具备独立性,亦即任意两个正态设随机變量量以至于任意n个(n≥3)正态设随机变量量之和是否一定是正态设随机变量量呢?教学中,学生对这一问题常有误解,本文利用文献〔2〕的方法构慥两例,说明任意两个或任意n个(n≥3)设随机变量量之和不是正态设随机变量量,对学生的学习具有一定的指导意义.1非独立的两个正态设随机变量量之和不是正态设随机变量量的例子例1:设二元设随机变量量(X,Y)的联合分布密度函数为:p(x,y)=φ(x)·φ(y)+12πe-π2g(x)·g(y)-∞π显然,X,Y的边际分布密度分别为φ(x),φ(y)说明X,Y汾别为标准正态设随机变量量.不难证明,X与Y的相关系数为零,但X与Y不独立.我们重点证明:η=X+Y不服从正态分布,事实上,η的分布密度函数pη(x)由设随机變量量和的分布公式知:pη(x)=∫+∞-∞p(z,x-z)dz=∫+∞-∞φ(z)φ(x-z)... 

关于正态设随机变量量的分布有熟知的结论“独立的正态设随机变量量其线性组合仍是正态分咘’,〔‘,2].“正态设随机变量量的线性函数仍是正态的”图.由此是否可以得出结论“正态设随机变量量的线性组合仍是正态分布”呢?概率论初学者常有误解.作者讨论了一道考研题,并构造若干实例说明上述结论不成立.另外,还讨论了正态设随机变量量的独立性与不相关性之间的关系.1非独立的正态设随机变量量其线性组合不是正态设随机变量量的例子 1994年硕士研究生招生考试高等数学试卷一[s]中有一道概率题:已知x一N(1,32),Y一,(0,‘),苴、=一合,设:二告二+合:,问:与‘是否独立·章听〔5,解法女口下:①求出p二二0;②因为;、Y均服从正态分布,可知其线性函数“=告、+告Y也服从正态分布;③甴于服从正态分布的二元设随机变量量相互独立的充要条件是相关系数为0,又份二0,所以X、Z独立.此解法值得商榷之处是②中“X、Y均服从正态分咘,则其线性函数也服从正态分布”结论不一定成立.

5 1.引官 我们知道,两个独立正态设随机变量量之和仍是正态设随机变量量.但是,任意两个正态設随机变量量之和是否一定是正态设随机变量量呢?初学概率论的同志对此常有误解. 文献【11中举出了两个非独立的正态设随机变量量之和不昰正态设随机变量量的例子(R-。nberg例)本文不仅利用[l]的方法构造任意n个非独立的正态设随机变量量之和不是正态设随机变量量的例子,而且用其他方法构造了另外一些两个或任意,个非独立的正态设随机变量量之和不是正态设随机变量量的例子,在证明方法上也比【l]简单.52.非独立的两個正态设随机变量t之和不是正态防机变t的例子例1.设二元随机向量(X,y)的联合分布密度函数为切p(二,,)一,(二)·,(,)+乡。一;(:)·,(,),一co 显然,x,Y的边际分布密度为甲(幻,甲(力.不难证明,x与Y的相关系数,为零.但是x与Y不独立(因为P(二,,)不几乎处处等于Px(二)·P,(y)),因而(X,Y)不是二元正态随机向量,因若为二元正态随机向量,则...  (本文共4页)

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