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判断下列等比级数的敛散性并茬收敛时求出其和:
 
判断下列等比级数的敛散性,并在收敛时求出其和:

1.判断下列什么是广义积分的敛散性性若收敛,计算其值: ⑴; 【解】这是无穷限的广义积分得 , 可知广义积分收敛,其值为 ⑵; 【解】这是无穷限的广义积分,得 可知,广义积分发散 ⑶(); 【解】这是无穷限的广义积分,得 可知,广义积分收敛其值为。 ⑷; 【解】这是无穷限的广义積分得 , 可知广义积分发散。 ⑸; 【解】这是瑕积分瑕点为,于是 可知,广义积分收敛其值为1。 ⑹; 【解】这是无穷限的广义積分得 。 可知广义积分收敛,其值为 ⑺; 【解】这是瑕积分,瑕点为于是 由于不存在,可知广义积分发散 ⑻。 【解】这是瑕积汾瑕点为,于是 可知,广义积分收敛其值为。 2.当为何值时广义积分收敛?当为何值时这个广义积分发散?当为何值时这个廣义积分取得最小值? 【解】这是无穷限的广义积分得 ⑴判断为何值时,广义积分收敛当为何值时,这个广义积分发散 当时, ; 当時,有 ; 当时,有 综上得,当时这个广义积分收敛于; 当时,这个广义积分发散 ⑵判断当为何值时,这个广义积分取得最小值 取得最小值的前提是收敛而当时,这个广义积分收敛于 于是,考察函数()的最小值 由于, 令即, 得的唯一驻点无不可导点, 【说明:使,从而】 易见,当时, 【说明: 】 当时, 可知当时,()取得最小值, 亦即此时这个广义积分取得最小值 *3.利鼡递推公式计算广义积分()。 【解】 即得 第章 1

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