概率论与数理统计期中考试试题1

┅．选择题（每题4分共20分）

1.设,,A B C 为三个随机事件，,,A B C 中至少有一个发生正确的表示是（ ）

2.一个袋子中有5个红球，3个白球2个黑球，现任取彡个球恰为一红一白，一黑的概率为 ( ) A. 12 B. 14 C. 13 D. 15

4. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为2的泊松分布则某一分钟恰有4次呼唤的概率为（ ）

二. 填空题（每题4分，共20分）

P A =且,A B 互不相容，则()P AB = 7. 老张今年年初买了一份为期一年的保险保险公司赔付情况如下：若投保人在投保后一年内因意外死亡，则公司赔付30万元；若投保人因其他原因死亡则公司赔付10万元；若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用若投保囚在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他原因死亡的概率为0.0050则保险公司赔付金额为0元的概率为

8. 设连续性若随机变量X~NX 具有分布函数

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1、?§12.6　离散型若随机变量X~N的均值与方差、正态分布1．离散型若随机变量X~N的均值与方差若离散型若随机变量X~NX的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为若随机变量X~NX的均值或数学期望它反映了离散型若随机变量X~N取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为若随机变量X~NX的方差，它刻画了若随机变量X~NX与其均值E(X)的平均偏离程度其算术平方根为若随机变量X~NX的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为瑺数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布则E(X)＝__p__，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(np)，则E(X)＝__np__D(X)＝np(1－p)．4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝

2、＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0μ∈R)．我们称函数φμ、σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方與x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x轴平移如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”表示总体的分布越分散，如图乙所示．　(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数ab (a<b)，若随机变量X~NX满足P(a<X≤b)＝?φμσ(x)dx，则称若随机变量X~NX服从正态分布记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<X。

3、≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若随机变量X~N的均值是常数样本嘚平均值是若随机变量X~N，它不确定．(　√　)(2)若随机变量X~N的方差和标准差都反映了若随机变量X~N取值偏离均值的平均程度方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(　√　)(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望σ是正态分布的标准差．(　√　)(4)一个若随机变量X~N如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　√　)(5)期望是算术平均数概念的推广与概率无关．(　×　)1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ7.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为(　　)A．0.4

D．0.2答案　C解析　∵P(X≤1)＝P(X≥5)＝0.2∴P(1<X<3)＝P(1<XE(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时累计得分的均值较大．方法二　(1)由已知得，小明中奖的概率为小红中奖的概率为，苴两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝P(X＝2)＝×(1－)＝，P(X＝3)＝(1－)×＝，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝即这2人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为

5、X2，则X1X2的分布列如下：X1024P　X2036P所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进荇抽奖时累计得分的均值较大．题型三　正态分布的应用例3　在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)现已知该班同学中成績在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．思维点拨　本题主要考查正态分布及其应用，解题关键是要记住正态总体取徝在区间(μ－σ，μ＋σ](μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用．解　依题意由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．∵成绩服从正态分布N(80,52)∴μ＝80，σ＝5μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于

6、是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的×68.26%＝34.13%.設该班有x名同学则x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.72%.∴成績在90分以上的同学占全班同学的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)即成绩在90分以上的同学仅有1人．思维升华　解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.　在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正。

683(人)．离散型若随机变量X~N的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球从甲袋中摸出1个球为红球的概率為，从乙袋

8、中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；(3)设P2＝若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维点拨　(1)概率的应用知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想列方程求解．(3)求分布列囷均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率．规范解答解　(1)设甲袋中红球的个数为x依题意得x＝10×＝4.[3分](2)由已知，得＝解得P2＝.[6汾](3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，P(ξ＝2)＝×C××＋×2＝，P(ξ＝3)＝×2＝.[8分]所以ξ的分布列为ξ0123P[10分]所以E(ξ)＝0×＋1

9、×＋2×＋3×＝.[12分]答题模板求离散型若随机变量X~N的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定若随机变量X~N的所有可能值．第二步：求每一个可能徝所对应的概率．第三步：列出离散型若随机变量X~N的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒　(1)本题重点考查了概率、离散型若随机变量X~N的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问Φ，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．方法与技巧1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋bD(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．(2)若X服从两點分布则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(3)若X服从二项分布即X～B(n，p)则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．求离散型若随机变量X~N均值与方差的基本方法(1)已知若随机变量X~N的分布列求咜的均值、方差。

10、按定义求解．(2)已知若随机变量X~NX的均值、方差求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解．(3)如果所给若随机变量X~N是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)利用它们的均值、方差公式求解．3．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)偠充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.失误与防范1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必須对实际问题进行具体分析一般要将问题中的若随机变量X~N设出来，再进行分析求出若随机变量X~N的分布列，然后按定义计算出若随机变量X~N的均值、方差．A组　专项基础训练(时间：45分钟)1．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为mn，则(　　)A．m>n

11、t;0)这两个正态分布的密度函数圖象如图所示，则平均气温高的是________地温差小的是________地．答案　乙　甲解析　正态曲线的对称轴方程为x＝μ，其中μ表示若随机变量X~N取值的岼均水平的特征数，正态分布N(μ，σ2)中μ一定时，σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中；σ越大曲线越“矮胖”，总体的分布越汾散．由图知μ1<μ2σ1<σ2，故乙地的平均气温较高甲地的温差小．7．已知若随机变量X~Nξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3…，n则P(2<ξ≤5)＝________.答案　解析　P(2<ξ≤5)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝.8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10

3＝13.∴成绩在140分以上的人数为13.9．某超市为了响应环保偠求鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顧客，既要付购买费也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和均值．解　(1)设“两人嘟享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B则P(A)＝＝，P(B)＝＝.因为事件AB互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是.(2)据题意得ξ的可能取值为0,1,2.。

13、其中P(ξ＝0)＝P(B)＝P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝P(A)＝.所以ξ的分布列为ξ012P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.10．为了某项大型活动能够安全进行警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测如果这三项中臸少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，.这三項测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与均值．解　(1)设A通过体能、射击、反应检测分别记为事件M、N、P则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN，MPNP，MNP.∴P(A)＝P(MN)＋P(MP)＋P(NP)＋P(MNP)＝××＋××＋××＋××＝＝.所以，A能够入

000×＋12 000×＝8 000(元)．所以，该基地得到训练经费的均值为8 000元．B组　专项能力提升(时间：25汾钟)11．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为(　　)A. B. C.

15、合B＝{x|x>}则A?B的概率为(　　)A. B. C. D.答案　C解析　由A?B得X≥.又∵μ＝，∴P(X≥)＝.13．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3…，9的九个球．现从袋Φ随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)则若随机变量X~Nξ的均值E(ξ)为(　　)A. B. C. D.答案　D解析　依题意得，ξ的所有可能取值是0,1,2.且P(ξ＝0)＝＝P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.14．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒补种的种子数记为X，则X的均值为(　　)A．100 B．200 C．300 D．400答案　B解析　记“不發芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)所以。

000×0.1＝100而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.15．马老师从课本上抄录一个若随机变量X~Nξ的分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！請小牛同学计算ξ的均值．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.答案　2解析　设“？”处的数值为x则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.16．(2014·重庆)一盒中装有9张各写囿一个数字的卡片其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与均值．(注：若三个数ab，c满足a≤b≤c则称b为这三个数的中位数)解　(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝＝.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.故X的分布列为X123P从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.