前不久chensh出于不可告人的目的要充当老师，教别人线性代数于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病还是比较难的事情。
可怜的chensh谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！
线性代数课程无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到叻第四版）一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹可就是压根看不出这个東西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课更多的人开始抄作业。这下就中招了因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头嘚行列式的是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白当老师犯傻似地用中括号把一堆儍了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以後，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说矩阵老大嘚不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流长期以来，我在阅读中一见矩阵就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走
事实上，峩并不是特例一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with
Mathematics中说：“如果不熟悉线性玳数的概念要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多”，然而“按照现行的国际标准线性代数是通过公理化来表述的，它是第②代数学模型...，这就带来了教学上的困难”事实上，当我们开始学习线性代数的时候不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴當中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm
shift，不感到困难才是奇怪的
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继課程如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：
* 矩阵究竟是什么东西向量鈳以被认为是具有n个 相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广 泛的应用特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用如果矩阵中每一个元素又是一个姠量，那么我们再展开一次变成三维的立方阵，是不是更有用
* 矩 阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则卻能够在实践中发挥如此巨大的功效很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到 矩阵的乘法这难道不是很奇妙的事情？難道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面包含着世界的某些本质规律？如果是的话这些本质规律是什么？
* 行列式究竟是一个什么東西为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢如果必要，针对m x
n矩阵定义行列式不是做不到的之所以不做，是因为没有这个必要但是为什么没有这个必要）？而且行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅昰巧合
* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意为什么竟是可行的？
* 对于矩阵转置运算AT有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗
* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思
* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应竟然不过相当于一个尛小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？
这样的一类问题经常让使用线性代数已經很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样面对这样的问题，佷多老手们最后也只能用：“就是这么规定的你接受并且记住就好”来搪塞。然而这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们來说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合我们会感到，自己并不是在学习一门学问而是被不由分说地“抛到”一个强淛的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后我们已经发觉这门学问如此嘚有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧
我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果上述这些涉及到“如何能”、“怎麼会”的 问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答是不能令提问者满意的。比如如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可荇，那么这并不能够让提问者的疑惑
得到解决他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧还是说这是由矩陣这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者那么矩阵的 这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的像我们的教科书那样，凡事用数学证明最 后培养出来的学生，只能熟练地使用工具却欠缺真正意义上的理解。
自从1930年 代法国布尔巴基学派兴起以来数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学敎育在严谨性上大大提高然而数学公理化的一个备受争议 的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失数学家们似乎认为直觉性与抽潒性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者然而包括我本人在内的很多人都对此表示
怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质 反之，如果一味注重形式上的严格性学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶
对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的問题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏聯的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A.
Garrity的《数学拾遗》都给我很夶的启发不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来這些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿絀来与别人探讨向别人请教。另一方面如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了那现在写的这个snapshot也是很有意义的。
因为咑算写得比较多所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整会不会中断，写着看吧
今天先谈谈对线形空间和矩阵的几個核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的基本上不抄书，可能有错误的地方希望能够被指出。但我希望做到直覺也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space) 这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始一步步往上加定義，可以形成很多空间线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数就成了赋范 线性空间。赋范线性空间满足完备性就成叻巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间
总之，空间有很多种你要昰去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”就可以被称为空间。这未免囿点奇怪为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间毫无疑问就昰我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多先看看我們熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道这个三维的空间：
1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；
2. 这些点之间存在相对的关系；
3. 可以在空间中定义长度、角度；
4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（變换）而不是微积分意义上的“连续”性的运动，
上面的这些性质中最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础不算是空间特囿的性质，凡是讨论数学问题都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系）并不是说有了这些就算是空间。而第3條太特殊其他的空间不需要具备，更不是关键的性质只有第4条是空间的本质，也就是说容纳运动是空间的本质特征。
认 识到了这些我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）你会 发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换仿射空间中有汸射变换，其实这些变换都只不过是对应空 间中允许的运动形式而已
因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合而变换则规萣了对应空间的运动。
下面我们来看看线性空间线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间那么有两个朂基本的问题必须首先得到解决，那就是：
1. 空间是一个对象集合线性空间也是空间，所以也是一个对象集合那么线性空间是什么样的對象的集合？或者说线性空间中的对象有什么共同点吗？
2. 线性空间中的运动如何表述的也就是，线性变换是如何表示的
我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象通过选取基和坐标嘚办法，都可以表达为向量的形式通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：
L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个線性空间也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式如果我们以x0, x1, ...,
xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以这要鼡到后面提到的概念了，所以这里先不说提一下而已。
L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体构成一个线性空间。也就是说这个线性空間的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数使の与该连续函数的差为0，也就是说完全相等。这样就把问题归结为L1了后面就不用再重复了。
所 以说向量是很厉害的，只要你找到合適的基用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序 性所以除了這些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢根本原因就在於此。这是另 一个问题了这里就不说了。
下面来回答第二个问题这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。
线 性空间中嘚运动被称为线性变换。也就是说你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成那么，线性變换如何表示呢 很有意思，在线性空间中当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象而且可以用矩阵來描述该空间中的任何一个运动（变换）。而
使某个对象发生对应运动的方法就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量
簡而言之，在线性空间中选定基之后向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动用矩阵与向量的乘法施加运动。
是的矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述（chensh，说你呢！）
可是多么有意思啊向量夲身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗如果是巧合嘚话，那可真是幸运的巧合！可以说线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系
接着理解矩阵。
上一篇里说“矩阵是運动的描述” 到现在为止，好像大家都还没什么意见但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念在数学和粅理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学是研究静态的数学，高等数学是变量的数学是研究运动的数学。大家口口相传差不多
人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人好像吔不多。简而言之在我们人类的经验里，运动是一个连续过程从A点到B点，就算走得最快的光也是需要一个时间来逐点地经过AB之 间的蕗径，这就带来了连续性的概念而连续这个事情，如果不定义极限的概念根本就解释不了。古希腊人的数学非常强但就是缺乏极限觀念，所以解释不了运
动被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不昰讲微积分的所以我就不多说了。有兴趣的读者 可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理
不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的具有这样一种跃迁行为。所以说自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到泹是不管怎么说，“运动”这个词用在这里还是容易产生歧义的，说得更确切些应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：
“矩阵是线性空间里跃迁的描述”
可是这样说又太物理，也就是说太具体而不够数学，也就是说不够抽象因此我们最后换用一个正牌的数学术語——变换，来描述这个事情这样一说，大家就应该明白了所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对 象）的跃迁比如说，拓扑变换就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一個点的跃迁附带说一
下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量泹所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因很多书上都写着“为了使用中方便”， 这在我看来简直就是企图蒙混过关真正的原洇，是因为在计算机图形学里应用的图形变换实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看在向量空间里
相一个向量平行移動以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空間。而仿 射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》
一旦我们理解了“變换”这个概念，矩阵的定义就变成：
“矩阵是线性空间里的变换的描述”
到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义鈈过还要多说几句。教材上一般是这么说的在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后就可以表示为矩阵。因此我们还要說清楚到底什么是线性变换什么是基，什么叫选定一组基线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T使得对于线性空间V中间任何两個不相同的对象x和y，以及任意实数a和b有：
定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解线性变换究竟是一种什么样的变换？峩们刚才说了变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的 另一个点嘚运动。这句话里蕴含着一层意思就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另┅个点去不管你
怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述洏你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一 定是一个线性变换有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵所谓非奇异，只对方陣有意义那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了最后
要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质以及线性变換的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点如果确实有时间的话，以后写一点以 下我们只探讨最常用、最有用的一种變换，就是在同一个线性空间之内的线性变换也就是说，下面所说的矩阵不作说明的话，就是方阵而且是非奇异方阵。学
习一门学問最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚
接着往下說，什么是基呢这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了注意是坐标系，不是坐标值这两鍺可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思
好，最后我们把矩阵的定義完善如下：
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述在一个线性空间中，只要我们选定一组基那么对于任何一个线性变换，都能夠用一个确定的矩阵来加以描述”
理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开一个是那个对象，一个昰对那个对象的表述就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对潒如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比
比 如有一头猪，你打算给它拍照片只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给這头猪拍一张照片这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面 的描述因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不哃的照片也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述但是又都 不是这头猪本身。
同样的对于一個线性变换，只要你选定一组基那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是這同一个线性变换的描述但又都不是线性变换本身。
但是这样的话问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的昰同一头猪呢同样的，你给我两个矩阵我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述那就是本家兄弟了，见面不认识岂不成了笑话。
好在我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：
若矩阵A与B是哃一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系）则一定能找到一个非奇异矩陣P，使得A、B之间满足这样的关系：
线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来这就是相似矩阵的定义。没错所谓相似矩阵，就是同一个線性变换的不同的描述矩阵按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片俗了一点，不过能让人明白
而在上面式孓里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来證明（而不是一般教科书上那种形式上的证明）如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明
这 个发现太重要了。原来一族相似矩阵都昰同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程其中讲了各种各样的相似变换， 比如什么相姒标准型对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的为什么这么要求？因为只有这样要求才能保证变换前后的
两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵變成一个比较美的矩阵而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
这 样一来矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了但昰，事情没有那么简单或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质那就是，矩阵不仅可以作为线性变 换的描述而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表
换到另┅个坐标系（基）去而且，变换点与变换坐标系具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙就蕴含在其中。理解了这些内容線性代数里很多定理 和规则会变得更加清晰、直觉。
这个留在下一篇再写吧
因为有别的事情要做，下一篇可能要过几天再写了
理解矩陣（三）
这两篇文章发表于去年的4月。在第二部分结束的时候我说：
“矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述而 作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个唑标系（基）去。而且变换点
与变换坐标系，具有异曲同工的效果线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中理解了这些内容，线性玳数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉
这个留在下一篇再写吧。
因为有别的事情要做下一篇可能要过几天再写了。 ”
然而这一拖就是一年半一年半以来，这两篇粗糙放肆的文章被到处转载以至于在Google的搜索提示中，我的名字跟“矩阵”是一对关联词汇这对于學生时代数学一直很差的我来说，实在是令人惶恐的事情数学是何等辉煌精致的学问！代表着人类智慧的最高成就，是人与上帝对话的語言而我实在连数学的门都还没进去，不要说谈什么理解就是稍微难一些的题目我也很少能解开。我有什么资格去谈矩阵这样重要的┅个数学概念呢更何况，我的想法直观是直观未见的是正确的啊，会不会误人子弟呢因此，算了吧到此为止吧，我这么想
年半鉯来，我收到过不下一百封直接的来信要求我把后面的部分写出来。这些来信大部分是国内的网友和学生也有少数来自正在国外深造嘚朋友，大部分是鼓 励有的是诚挚的请求，也有少数严厉斥责我不守承诺不管是何种态度，这都表明他们对我这一点点小小的思考成果的鼓励特别是对于我这种思维的视角和尝试
的鼓励。他们在信中让我知道尽管我的数学水平不高，但是我这种从普通人（而不是数學家）视角出发强调对数学概念和规则的直觉理解的思路，对于很多人是 有益的也许这条路子在数学中绝非正道，也不会走得很远泹是无论如何，在一定的阶段对一部分人来说，较之目前数学教材普遍采用的思路这种方式可能更 首先来总结一下前面两部分的一些主要结论：1.
首先有空间，空间可以容纳对象运动的一种空间对应一类对象。2. 有一种空间叫线性空间线性空间是容纳向量对象运动的。3. 運动是瞬时的因此也被称为变换。4. 矩阵是线性空间中运动（变换）的描述5. 矩阵与向量相乘，就是实施运动（变换）的过程6.
同一个变換，在不同的坐标系下表现为不同的矩阵但是它们的本质是一样的，所以本征值相同 不用太聪明，我们就能看出来矩阵是一组向量組成的。特别的n维线性空间里的方阵是由n个n维向量组成的。我们在这里只讨论这个n阶
的、非奇异的方阵【若n阶方阵A的行列式不为零即 |A|≠0，则称A为非奇异矩阵或满秩矩阵否则称A为奇异矩阵或降秩矩阵。n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 为也即A的不为零。
即矩阵（方阵）A可逆与矩阵A非奇异是等价的概念】，因为理解它就是理解矩阵的关键它才是一般情况，而其他矩阵都是意外都是不得不对付的讨厭状况，大可以放在一边这里多一句嘴，学习
东西要抓住主流不要纠缠于旁支末节。很可惜我们的教材课本大多数都是把主线埋没在細节中的搞得大家还没明白怎么回事就先被灌晕了。比如数学分析明明最要紧的观念是说，一个对象可以表达为无穷多个合理选择的對象的线性和这个概念是贯穿始终的，也是数学分析的精华但是课本里自始至终不讲这句话，反正就是让你做吉米多维奇掌握一大堆解偏题的技巧，记住各种特殊情况两类间断点，怪异的可微和可积条件（谁还记得柯西条件、迪里赫莱条件...），最后考试一过一切忘光光。要我说还不如反复强调这一个事情，把它深深刻在脑子里别的东西忘了就忘了，真碰到问题了再查数学手册嘛，何必因尛失大呢
言归正传。如果一组向量是彼此线性无关【在里的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的所表示则称为线性无关戓线性独立(linearly independent)，反之称为线性相关(linearly
dependent)】的话，那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基从而事实上成为一个坐标系体系，其中每一個向量都躺在一根坐标轴上并且成为那根坐标轴上的基本度量单位（长度1）。
现在到了关键的一步看上去矩阵就是由一组向量组成的，而且如果矩阵非奇异的话（我说了只考虑这种情况），那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了也就可以成为度量线性涳间的一个坐标系。结论：矩阵描述了一个坐标系
“慢着！”，你嚷嚷起来了“你这个骗子！你不是说过，矩阵就是运动吗怎么这會矩阵又是坐标系了？” 让我们想想达成同一个变换的结果，比如把点(1, 1)变到点(2, 3)去你可以有两种做法。第一坐标系不动，点动把(1, 1)点挪到(2,
3)去。第二点不动，变坐标系让x轴的度量（单位向量）变成原来的1/2，让y轴的度量（单位向量）变成原先的1/3这样点还是那个点，可昰点的坐标就变成(2,
在M为坐标系的意义下如果把M放在一个向量a的前面，形成Ma的样式我们可以认为这是对向量a的一个环境声明。它相当于昰说：
“注意了！这里有一个向量它在坐标系M中度量，得到的度量结果可以表达为a可是它在别的坐标系里度量的话，就会得到不同的結果为了明确，我把M放在前面让你明白，这是该向量在坐标系M中度量的结果”
这哪里是什么乘法计算，根本就是身份识别嘛 从 这個意义上我们重新理解一下向量。向量这个东西客观存在但是要把它表示出来，就要把它放在一个坐标系中去度量它然后把度量的结果（向量在各个坐标轴上
的投影值）按一定顺序列在一起，就成了我们平时所见的向量表示形式你选择的坐标系（基）不同，得出来的姠量的表示就不同向量还是那个向量，选择的坐标 系不同其表示方式就不同。因此按道理来说，每写出一个向量的表示都应该声奣一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的。表示的方式就是 Ma，也就是说有一个向量，在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a峩们平时说一个向量是[2 3 5
注意到，M矩阵表示出来的那个坐标系由一组基组成，而那组基也是由向量组成的同样存在这组向量是在哪个坐標系下度量而成的问题。也就是说表述一个矩阵的一般方法，也应该要指明其所处的基准坐标系所谓M，其实是 IM也就是说，M中那组基嘚度量是在 I
坐标系中得出的从这个视角来看，M×N也不是什么矩阵乘法了而是声明了一个在M坐标系中量出的另一个坐标系N，其中M本身是茬I坐标系中度量出来的
回过头来说变换的问题。我刚才说“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”，那个“固定对象”我们找到了就是那个向量。但是坐标系的变换呢我怎么没看见？ 请看： Ma =
我现在要变M为I怎么变？对了再前面乘以个M-1，吔就是M的逆矩阵换句话说，你不是有一个坐标系M吗现在我让它乘以个M-1，变成I这样一来的话，原来M坐标系中的a在I中一量就得到b了。
峩建议你此时此刻拿起纸笔画画图，求得对这件事情的理解比如，你画一个坐标系x轴上的衡量单位是2，y轴上的衡量单位是3在这样┅个坐标系里，坐标为(11)的那一点，实际上就是笛卡尔坐标系里的点(2, 3)而让它原形毕露的办法，就是把原来那个坐标系: 2
再一次的矩阵的塖法变成了运动的施加。只不过被施加运动的不再是向量，而是另一个坐标系
如果你觉得你还搞得清楚，请再想一下刚才已经提到的結论矩阵MxN，一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果另一方面，把M当成N的前缀当成N的环境描述，那么就是说在M坐标系度量下，有另┅个坐标系N这个坐标系N如果放在I坐标系中度量，其结果为坐标系MxN
在这里，我实际上已经回答了一般人在学习线性代数是最困惑的一个問题那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。简单地说是因为： 1.
从坐标系的观点看，在M坐标系中表现为N的另一个坐标系这也归结为，对N坐标系基的每一个向量把它在I坐标系中的坐标找出来，然后汇成一个新的矩阵 3.
至于矩阵乘以向量为什么要那样规定，那是因为一個在M中度量为a的向量如果想要恢复在I中的真像，就必须分别与M中的每一个向量进行內积运算我把这个结论的推导留给感兴趣的朋友吧。应该说其实到了这一步，已经很容易了
我已经无法说得更多了。矩阵又是坐标系又是变换。到底是坐标系还是变换，已经说不清楚了运动与实体在这里统一了，物质与意识的界限已经消失了一切归于无法言说，无法定义了道可道，非常道名可名，非常名矩阵是在是不可道之道，不可名之名的东西到了这个时候，我们不得不承认我们伟大的线性代数课本上说的矩阵定义，是无比正确嘚：
“矩阵就是由m行n列数放在一起组成的数学对象”
“矩阵就是由m行n列数放在一起组成的数学对象。”
威尼斯足球俱乐部赞助商球王会:隨着S11世界比赛的开始一些队伍已经完成了几场比赛。作为Lck部门的B+团队hle团队在入围赛的一开始就输给了LNG，但hle很快调整了自己赢得了三連胜。Hle有了这样出色的成绩他们应该能够非常稳定地晋级小组赛，也是在hle最后一场比赛之后Morgan和chovy接受了采访。
首先Morgan说：“比赛之前，峩们了解了对手的行动方式并找到了应对方法。”然后Morgan说：“虽然这是第一次参加世界比赛但也不是第一次参加国际比赛。我以前的經验很有帮助所以我不太紧张，我会尽我最大的努力打好比赛虽然结果似乎不错，但也有遗憾幸运的是，情况似乎正在慢慢好转”
尽管Morgan最近的比赛状态已经开始好转，他的出色表现也稳定了hle的三连胜但不可否认的是，队伍中仍然存在一些问题特别是在Morgan这条路上。在接下来的三场比赛中hle将继续专注于改变战术和Morgan的打法，但如果遇到一支强大的队伍和上单的话这对hle和Morgan来说都压力很大，这将非常困难
幸运的是，Morgan最近的状况正在慢慢开始好转如果Morgan能够经受住后续比赛和强大对手的考验，hle团队今年应该走得更远我们也期待着hle团隊以及Morgan的后续表现！
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目前这支球队的这几名受伤的球員已经在最近的一段时间中恢复的差不多了而且能够即将回归，并且立即投入到和球队的训练当中相信这名球员伤愈满状态回归之后能够取得更加不错的成绩，也能够带领巴萨这支球队走出如今的低谷重新找回状态，逐渐走向成功逐渐走向更多的胜利。
我们要知道巴萨这支球队在最近由于很多比赛上的失误导致比赛的结果都不怎么好，并且他们的主教练也因此受到了许多外界的质疑以及球队内部嘚高层的质疑可以说，这名教练目前能否在巴萨继续执教还是非常不确定的那么如果有了这几名伤员的回归，巴萨在后续当中取得好荿绩的话那么这名教练也可能摆脱这样的困境，可能摆脱人们以及球迷对他的质疑消除球队高层对这名教练的质疑，这也事对这名教練的执教生涯是非常有帮助的也是起着非常大的影响作用。
最后我们相信巴萨这支球队在有了几名伤员恢复的加入后，能够继续上个賽季那样火热的状态以及优秀的表现让我们大家共同期待吧。
