按照我们刚才的分析，在运算到14!之后，我们在程序中保存了一个2，这是14!的最后一位，我们用2乘以15得30，这时再舍弃零，得结果3，但是真实的结果是8。很明显的，12*15和2*15结果是不样的。因此这个算法不正确，之所以会出现错误，是因为最后一位的运算中产生了一个整十，因此要向前一位找到新的非零数，而我们没有保留这一位的全部信息，因此将得到错误的结果。
大于十的数计算阶乘的时候，中间就直接夹杂着10这一因子，它可以导致整十进位。所有的因子5同因子2乘起来，也得到10，数字10本身也是5和2的乘积。因此将整个乘式因子分解后，我们可以断定：成对出现的2和5是产生10的根源。单独的2或5和一切其它数字的乘法，都不能产生整十。我们可以先把所有的5*2从乘式中剔除，然后再使用上面提到的第一种算法计算结果就可以了。
然而在乘式中，5的个数和2的个数未必是相等的，实际上除了在1!和0!中两者都不存在因子2和因子5外，在其它乘式中两者数量根本不能相等，后面我们会证明这一点。按照直觉，我们会猜测2更多一点，所以在剔除了等量的因子5和因子2之后，因子5就不存在了，但是因子2还剩下一部分，我们只需要处理剩下的数。但是究竟是谁剩下呢？
将这些数据中的k提取出去并计数，然后在余下的数据中每k*k个之中又存在k因子，继续提取计数。余下的数据中每k*k*k个数据内又有一个k因子，持续提取计数，直到k*k*...*k大于M。也就是说，M的阶乘中含有因子k的个数可以由以下公式确定：
按照上面的思路，我们现在要着手计算阶乘结果的尾数。对于一个给定的数字M，我们要求得M!中的因子5的个数N，然后从1到M依次处理数据，并在这些数据中除去所有的因子5和N个因子2，然后使用余下的数据按照最开始时提出的算法计算结果。代码及相关分析如下：
主要是从运行时间是比较两种算法，在Number值较小的情况下，不好判断哪一个速度更快，我们计算一亿的阶乘的尾数，并使用Windows提供的GetTickCount函数来标志运行时间，在我的机器上前一个算法耗费时间是10484，新的算法则是5016，由此可见，新的算法在大量数据处理上可以节约大约一半的时间。
上面这个同余方程等价于下面的方程组
当 n > 1 时所有的偶数都是上面的方程组中第一个方程的解,而且, n > 1 时该方程组的
第一个方程没有奇数解,因此 n > 1 时只需要考虑下面这个方程(即方程组的第二个方程)
用 h(n) 表示 所有与 5 互素且不大于 n 的正整数的连乘积, 则 n! 可以表为
代入 (a) 式,消去 5 的乘方后得到下面的同余方程
把上面两式代入 (c) 就得到了
这个过程实际上是用连除法求 n 的 5 进制表示. 由于 5 进制表示的 各个 位上的数字是任意的,因此 (d) 式的 左边 已不能再简化.由于任意 求进制表示的 方法本质上都是连除法,因此这个算法 本质上 已是最优算法..
这是一个时间复杂度 O(log n) 的算法
用 C 语言写的该算法的实现
为了确保跨平台性,我使用了
