求 求解一道偏微分如何求函数最大值求最大值的问题。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-05-04 12:10 标签： 如何求函数最大值
偏微分方程试题及答案
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　　偏微分方程是一门专业性比较强的课程，要学好这门课程，同学们还是要用心去学才能学好偏微分方程。下面是阳光网小编给大家整理的偏微分方程试题及答案，欢迎大家学习参考。
　　偏微分方程试题及答案
　　一、填空题(每小题3 分，共15 分)
　　1.对常系数方程作未知函数的变换 可以将所有一阶微商消失.
　　2.设 是光滑凸函数， ( , ) u x t 是热传导放程 0 t u u ? ? ? 的解，则 ( ) u ? 是热传导方程 的 (下解;上解;解).
　　3.上半平面的 Green 函数 G(x,y)为 ，其中 1 2 ( , ) y y y为上半平面中某固定点.
　　4.设函数 u 在以曲面? 为边界的区域? 内调和，在? ? 上有连续的一阶偏导数，则其中n 是? 的外法方向.
　　5.热传导方程 2 ( ) 0 t xx yy u a u u 的特征曲面为 . 得分 第 2 页 共5 页
　　二、计算题(每小题10 分，共40 分)
　　1.求解初值问题 其中， , b c R ? 都是常数.
　　2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：得分 第 3 页 共5 页
　　3.试求解 解的一般形式. 第 4 页 共5 页
　　三、判断分析题(10 分) 试判断下面命题是否成立，并说明原因. 在证明Hopf 引理的过程中，我们能够作出一个辅助函数 ( ) v x 满足 (a)在球面 ( ) R B y ? 上 0; v ? (b)v 沿球 ( ) R B y 的半径方向的方向导数 v ? ? ? &0; (c)在整个球 ( ) R B y 内下调和. 四、分析计算题(15 分) 试判断下列方程的类型，并根据标准型求出此方程的通解. 得分 得分 第 5 页 共5 页 五、证明题(下面两道题请任选一题)(20 分) 1.设G 是 2 R 中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明： 满足方程 0 xx yy u u ? ? 的函数u(x,y) 在G 上的最大值不会超过它在边界 G ? 上的最大值.
　　2.试用能量法(即用格林第一公式法)证明n 维Laplace 方程的第三边值问题 1 2 n u(x) 0, x=(x , x , , x ) , 0 u u f n
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从写完上一篇常微分方程的求解到现在已经很长时间了，这周也一直忙于报到的各种事宜，无暇坐下来写些东西，趁着这个周末，终于完成了这个姊妹篇。
对于偏微分方程的求解，Matlab提供了两种工具。第一种是pdepe()函数，它的特点是通用性好，不受求解阶次的限制，不足之处是只支持命令行的格式；第二种是PDE工具箱，它的特点是提供了一个GUI界面，简洁易懂可视，可以从枯燥的编程中解脱出来，不足之处是使用有限制，只能求解二阶的PDE，且不支持偏微分方程组的求解。
（1）、首先，我们来介绍pdepe()函数的使用。
pdepe()函数的调用格式为：
&&&&&&&&&&
sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)
其中，@pdefun是PDE方程的函数描述，它必须写成下面这种固定的格式：
这样，偏微分方程可以编写下面的函数描述，其入口为
[c,f,s]=pdefun(x,t,u,ux)
其中，pdefun为函数名；m,x,t就是对应于标准格式中的相关参数。
@pdebc是PDE的边界条件描述函数，必须先化成下面的标准形式：
于是边值条件可以编写下面的函数描述为
[pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du)
其中a表示上边界，b表示下边界。
@pdeic是PDE的初值条件，必须化成下面的形式：
我们使用下面的简单函数来描述为
u0=pdeic(x)
sol是一个三维数组，sol(:,:,i)表示ui的解。
接下来，我们举一个例子来说明pdepe()函数的使用（由于没办法插入公式，截图如下）：
经过上面的分析，我们使用如下程序求解：
function pde
x=0:0.05:1;
t=0:0.05:2;
sol=pdepe(m,@mpde,@mpic,@mpbc,x,t);
surf(x,t,sol(:,:,1))
surf(x,t,sol(:,:,2))
[c,f,s]=mpde(x,t,u,du) %给出偏微分方程的函数描述
f=[0.024*du(1);0.17*du(2)];
temp=u(1)-u(2);
s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp));
[pa,qa,pb,qb]=mpbc(xa,ua,xb,ub,t)& %边界条件描述
pa=[0;ua(2)];
pb=[ub(1)-1;0];
function u0=mpic(x)
&&& 结果如下：
（2）、PDE工具箱的使用
在Matlab的Command Window中键入pdetool即可调出求解界面。
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