2014年中考数学试卷锐角三角函数与特殊角汇编(全国120份)
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2014年中考数学试卷锐角三角函数与特殊角汇编(全国120份)
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2014年中考数学试卷锐角三角函数与特殊角汇编(全国120份)
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文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
锐角三角函数与特殊角一、1. （;四川巴中，第8题3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（　　）　A． &B．& &C．& &D．& 考点：锐角三角函数．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA= ，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：∵sinA= ，∴设BC=5x，AB=13x，则AC= =12x，故tan∠B= = ．故选D．点评：&本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．2. （;山东威海，第8题3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（& ）&　&A．& &B．&&C．&&D．& 考点：&锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理分析：&作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AB的长，根据正弦的定义即可求解．解答：&解：作AC⊥OB于点C．则AC= ，AB= = =2 ，则sin∠AOB= = = ．故选D．&点评：&本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（;四川凉山州，第10题，4分）在△ABC中，若|cosA|+（1tanB）2=0，则∠C的度数是（& ）　&A．&45°&B．&60°&C．&75°&D．&105°&考点：&特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理分析：&根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：&解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°∠A∠B=180°60°45°=75°．故选：C．点评：&此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．4．（;甘肃兰州,第5题4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（　　）&　&A．&&B．&&C．&&D．&
考点：&锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：&首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．解答：&解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB= ．∴cosA= ，故选：D．点评：&本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．5．（;广州,第3题3分）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上，则 （&&& ）．（A）&&&&&&&&&& （B）&&&&&&& （C）&&&&&&&&&& （D）& && 【考点】正切的定义．【分析】& ．【答案】 D
6．（;浙江金华，第6题4分）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为 ，则t的值是【&&& 】
A．1&&&&&&&&& B．1.5&&&&&&&&& C．2&&&&&&&&& D．3【答案】C．【解析】
7.（;滨州，第11题3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，cosA= ，tanA= ，则BC的长为（& ）　&A．&6&B．&7.5&C．&8&D．&12.5&考点：&解直角三角形分析：&根据三角函数的定义来解决，由sinA= = ，得到BC= = ．解答：&解：∵∠C=90°AB=10，∴sinA= ，∴BC=AB× =10× =6．&故选A．点评：&本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA= ，cosA= ，tanA= ．
8.（;扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（　　）&　&A．&3&B．&4&C．&5&D．&6（第1题图）考点：&含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质分析：&过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由ODMD即可求出OM的长．解答：&解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°= = ，OP=12，∴OD=6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND= MN=1，∴OM=ODMD=61=5．故选C．&点评：&此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
9．（;四川自贡，第10题4分）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（　　）&　&A．& &B．& &C．& &D．&
考点：&圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义专题：&压轴题．分析：&首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．解答：&解：过点A作AD⊥OB于点D，∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，∴OD=AD=OA•cos45°= ×1= ，∴BD=OBOD=1 ，∴AB= = ，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，AC=2，∴sinC= ．故选B．&点评：&此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．（;浙江湖州，第6题3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA= ，则BC的长是（　　）　&A．2&B．&8&C．&2 &D．&4 分析：根据锐角三角函数定义得出tanA= ，代入求出即可．解：∵tanA= = ，AC=4，∴BC=2，故选A．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA= ，cosA= ，tanA= ．　11．（;广西来宾，第17题3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为　4 　．&考点：&解直角三角形．分析：&根据cosB= 及特殊角的三角函数值解题．解答：&解：∵cosB= ，即cos30°= ，∴AB= = =4 ．故答案为：4 ．点评：&本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．12．(2014年贵州安顺，第9题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（　　）&　&A． A &B．& &C．& &D．& 考点：&锐角三角函数的定义．.分析：&tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．解答：&解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴ ∵AE：EB=4：1，∴ =5，∴ = ，设AB=2x，则BC=x，AC= x．∴在Rt△CFB中有CF= x，BC=x．则tan∠CFB= = ．故选C．点评：&本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
13.（2014年广东汕尾，第7题4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值是（　　）　&A． &B．& &C．& &D．& 分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答．解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA= ，∴cosB= ．故选B．点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．
14.（;毕节地区，第15题3分）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD= ，BC=4，则AC的长为（& ）&　&A．&1&B．& C．&3&D．&
&考点：&圆周角定理；解直角三角形分析：&由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD= ，BC=4，即可求得答案．解答：&解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵cos∠ACD= ，∴cos∠B= ，∴tan∠B= ，∵BC=4，∴tan∠B= = = ，∴AC= ．故选D．点评：&此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
15．(2014年天津市，第2 题3分)cos60°的值等于（　　）　&A．& &B．& &C．& &D．&
考点：&特殊角的三角函数值．分析：&根据特殊角的三角函数值解题即可．解答：&解：cos60°= ．故选A．点评：&本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．　二、题1. (2014年贵州黔东南11．（4分）)cos60°=　　．
考点：&特殊角的三角函数值．分析：&根据特殊角的三角函数值计算．解答：&解：cos60°=．点评：&本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．2. （;江苏苏州,第15题3分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=　　．&
考点：&锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理分析：&先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE= ．解答：&解：过点A作AE⊥BC于点E，&∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE= ，∴tan∠BPC=tan∠BAE= ．故答案为：．点评：&求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．3．（;四川内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是　 　．&
考点：&含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：&．分析：&延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．解答：&解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，∴QC=OCtan30°=2× = ，∠APD=30°，在Rt△QPD中，cos30°= = ，即PQ= DP= PC，∴QC=PQ+PC，即 PC+PC= ，解得：PC= ．故答案为： &点评：&此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．4．（;四川宜宾，第16题，3分）规定：sin（x）=sinx，cos（x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是 ②③④ （写出所有正确的序号）①cos（60°）=；②sin75°= ；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（xy）=sinx•cosycosx•siny．&考点：&锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．专题：&新定义．分析：&根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．解答：&解：①cos（60°）=cos60°=，命题错误；②sin75°=sin（30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=× + × = + = ，命题正确；③sin2x=sinx•cosx+cosx•sinxT2sinx•cosx，故命题正确；④sin（xy）=sinx•cos（y）+cosx•sin（y）=sinx•cosycosx•siny，命题正确．故答案是：②③④．点评：&本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解题目中的定义是关键．5．（;甘肃白银、临夏,第15题4分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA= ，cosB=，则∠C=　 　．考点：&特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．分析：&先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．解答：&解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA= ，cosB=，∴∠A=∠B=60°．∴∠C=180°∠A∠B=180°60°60°=60°．故答案为：60°．点评：&本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
6. （ ;广西贺州，第18题3分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=　　．&考点：&锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．分析：&根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．解答：&解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2 ，BC=2 ，AD=3 ，由BC•AD=AB•CE，即CE= = ，sinA= = =，故答案为：．&点评：&本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
上一个试题： 下一个试题：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点
练习题及答案
如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 _________ 后，点P与点Q第一次在△ABC的 _________ 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
题型：解答题难度：偏难来源：江苏省期末题
所属题型：解答题
试题难度系数：偏难
答案（找答案上）
解：（1）①全等，理由如下：∵t=1秒，∴BP=CQ=1×1=1厘米，∵AB=6cm，点D为AB的中点，∴BD=3cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，∴PC=4﹣1=3cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD△CPQ；②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD△CPQ，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，∴点P，点Q运动的时间为：t==2秒，∴vQ===1.5cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意得：1.5x=x+2×6，解得x=24，∴点P共运动了24×1m/s=24cm．∵24=2×12，∴点P、点Q在AC边上相遇，∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
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初中二年级数学试题“ 如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点”旨在考查同学们对
三角形全等的判定、
一元一次方程的应用、
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定、
全等三角形的性质、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
三角形全等的定义：
全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都应对等。全等三角形是几何中全等之一。根据全等转换，两个全等三角形可以平移、旋转、把轴对称，或重叠等。
全等的数学符号为：
全等三角形的数学符号为：
全等三角形的性质：
1、它们的对应边相等。
2、它们的对应角相等。
若三角形ABC与三角形DEF是全等时（如右图），关系公式为：
三角形全等的判定：
边角边定理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角定理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
边边边定理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等
斜边、直角边定理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
三角形全等解题技巧：
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。
分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
考点名称：
许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。
做一元一次方程应用题的重要方法：
（1）认真审题（审题）
（2）分析已知和未知量
（3）找一个合适的等量关系
（4）设一个恰当的未知数
（5）列出合理的方程 （列式）
（6）解出方程（解题）
（8）写出答案（作答）
方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要&抓住基本量，找出相等关系&。
一元一次方程应用题型及技巧：
（1）和差倍分问题：
①倍数关系：通过关键词语&是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率&&&来体现。
②多少关系：通过关键词语&多、少、和、差、不足、剩余&&&来体现。
③基本数量关系：增长量＝原有量&增长率，现在量＝原有量＋增长量。
（2）行程问题：
基本数量关系：路程＝速度&时间，时间＝路程&速度，速度＝路程&时间，
路程=速度&时间。
①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；
②追及问题：快行距－慢行距＝原距；
③航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度，
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？
两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。)
例： 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
（3）劳力分配问题：抓住劳力调配后，从甲处人数与乙处人数之间的关系来考虑。 这类问题要搞清人数的变化。
例.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？
（4）工程问题：
三个基本量：工作量、工作时间、工作效率；
其基本关系为：工作量=工作效率&工作时间；相关关系：各部分工作量之和为1。
例：一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
（5）利润问题：
基本关系：
①商品利润=商品售价-商品进价；
②商品利润率=商品利润/商品进价&100%；
③商品销售额＝商品销售价&商品销售量；
④商品的销售利润＝（销售价－成本价）&销售量。
⑤商品售价=商品标价&折扣率例.
例：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
（6）数字问题：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a，然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；
偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n&2表示；奇数用2n+1或2n&1表示。
例：有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
（7）盈亏问题：&盈&表示分配中的多余情况；&亏&表示不足或缺少部分。
（8）储蓄问题：
其数量关系是：
利息＝本金&利率&存期；：（注意：利息税）。
本息＝本金＋利息，利息税＝利息&利息税率。
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率&12＝日利率&365。
（9）溶液配制问题：
其基本数量关系是：溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；
溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数。
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。
（10）比例分配问题：
这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：各部分之和＝总量。
还有劳力调配问题、配套问题、年龄问题、比赛积分问题、增长率问题等都会有涉及。&
考点名称：
等腰三角形的定义：
等腰三角形（isosceles triangle）是指至少有两边等长或相等的三角形，因此会造成有2个角相等。相等的两个边称为等腰三角形的腰，另一边称为底边，相等的两个角称为等腰三角形的底角，其余的角叫做顶角
等腰三角形的性质：
1、等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上。该线也是底的垂直平分线及中线，以及顶角的角平分线。
2、等腰三角形有一条对称轴，可以把等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
3、等边三角形是底边和腰等长的等腰三角形，是等腰三角形的一个特殊形式。若等腰三角形的顶角为直角，称为等腰直角三角形。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形定理
若一三角形的二边相等，则二边的对角相等，此定理列在欧几里德的《几何原本》中，称为驴桥定理，也是等腰三角形定理。驴桥定理是在几何原本的前面出现的较困难命题，是数学能力的一个门槛[3]，无法理解此一命题的人可能也无法处理后面更难的命题。
驴桥定理的逆定理是若一三角形的二角相等，则二角的对边相等。
等腰三角形的全等
若二等腰三角形，其腰相等，底边也相等，即可以用SSS全等证明二个等腰三角形全等，而三角形的角可以用余弦定理求得。
等腰三角形的判定：
1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
等腰三角形和其它图形的关系
1、二个底边相等的等腰三角形可以组合成一个鹞形，此鹞形有一个对称轴，即为二等腰三角形的高。
2、二个全等的等腰三角形可以组合成一个菱形，此菱形有二个对称轴，包括二等腰三角形的高，以及等腰三角形的底边。
3、圆锥的投影图中有一面即为等腰三角形。
4、将扇形的二半径和扇形的弦相连，也是等腰三角形。
考点名称：
全等三角形的定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，&全等&用符号&≌&表示，读作&全等于&。
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的性质：
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
全等三角形的证明：
证明:有3种&
1.三组对应边分别相等(简称SSS)&
2.有一个角和夹这个角的两条夹边对应相等的两个三角形全等(SAS)&
3.有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)&
注:S是边的英文缩写,A是角的英文缩写
4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
全等三角形的判定定理：
（1）&边角边&简称&SAS&&
（2）&角边角&简称&ASA&&
（3）&边边边&简称&SSS&&
（4）&角角边&简称&AAS&&
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。&
全等三角形的证明题：
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无锡市2015年中考数学试题解析
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无锡市2015年中考数学试题解析
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y k J.Co m 无锡市2015年中考数学试题一、1．－3的倒数是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&& ）A．3&&&&&&& &B．±3&&& &C．13& &D．－13考点：倒数．.分析：根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．解答：解：3的倒数是 ，故选D点评：本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．函数y＝x－4中自变量x的取值范围是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&& ）&&& A．x＞4&&&&&&&&&& B．x≥4&&&&&&&&&&& C．x≤4&&&&&&&&&& D．x≠4考点：函数自变量的取值范围．.分析：因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x4≥0，可求x的范围．解答：解：x4≥0解得x≥4，故选：B．点评：此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．今年江苏省参加高考的人数约为393 000人，这个数据用科学记数法可表示为&&&&&&&& （&& ）A．393×103&&&&&& B．3.93×103&&&&&&& C．3.93×105&&&&&& D．3.93×106考点：科学记数法―表示较大的数．.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：.93×105，故选C．点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．4．方程2x－1＝3x＋2的解为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&& ）A．x＝1&&&&&&&&&& B．x＝－1&&&&&&&&& C．x＝3&&&&&&&&&&&&&&& D．x＝－3考点：解一元一次方程．.分析：方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．解答：解：方程2x1=3x+2，移项得：2x3x=2+1，合并得：x=3．解得：x=3，故选D．点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．5．若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为&&&&&&&&&&&&& （&& ）&& A．6&&&&&&&&&&&&& B．－6&&&&&&&&&&&& C．12&&&&&&&&&&&& D．－12考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.分析：反比例函数的解析式为y= ，把A（3，4）代入求出k=12，得出解析式，把B的坐标代入解析式即可．解答：解：设反比例函数的解析式为y= ，把A（3，4）代入得：k=12，即y= ，把B（2，m）代入得：m= =6，故选A．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，解此题的关键是求出反比例函数的解析式，难度适中．6．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对 称图形的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&& ）A．等边三角形&&&& B．平行四 边形&&&&& C．矩形&&&&&&&&&& D．圆考点：中心对称图形；轴对称图形．.分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．解答：解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、只是中心对称图形，不合题意；C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．故选A．点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．7．tan45&的值为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&& ）&&& A．12&&&&&&&&&&&&& B．1&&&&&&&&&&&&&& C．22&&&&&&&&&&&& D．2考点：特殊角的三角函数值．.分析：根据45°角这个特殊角的三角函数值，可得tan45°=1，据此解答即可．解答：解：tan45°=1，即tan45°的值为1．故选：B．点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．8．八边形的内角和为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&& ）&&& A．180&&&&&&&&&&& B．360&&&&&&&&&&&&& C．1080&&&&&&&&&&& D．1440&考点：多边形内角与外角．.分析：根据多边形的内角和公式（n2）&#°进行计算即可得解．解答：解：（82）&#°=6×180°=1080°．故选：C．点评：本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．
9．如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&& ）
考点：几何体的展开图．.分析：根据正方体的表面展开图进行分析解答即可．解答：解：根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故A错误，且两条相邻成直角，故B错误，中间相隔一个正方形，故C错误，只有D选项符合条件，故选D点评：本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90&，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （ ▲ ）A．35&&&&&&&&&& B．45&&&&&&&&&& C．23&&&&&&&&&&&& D．32考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF= ，ED=AE ，从而求得B′D=1，DF= ，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．解答：解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，∴B′D=43=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=CE，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FD=90°，∵S△ABC= AC•BC= AB•CE，∴AC•BC=AB•CE，∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE= ，∴EF= ，ED=AE= = ，∴DF=EFED= ，∴B′F= = ．故选B．点评：此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键．二、题11．分解因式：8－2x2＝&&&&& ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．.分析：先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可．解答：解：原式=2（4x2）=2（2+x） （2x）．故答案为：2（2+x） （2x）．点评：本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键．12．化简2x＋6x2－9得&&&&& ．考点：约分．.分析：首先分别把分式的分母、分子因式分解，然后约去分式的分子与分母的公因式即可．解答：解： = = 故答案为： ．点评：此题主要考查了约分问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．13．一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为&&&&& ．考点：一次函数图象上点的坐标特征．.分析：一次函数y=2x6的图象与x轴的交点的纵坐标等于零，所以把y=0代入已知函数解析式即可求得相应的x的值．解答：解：令y=0得：2x6=0，解得：x=3．则函数与x轴的交点坐标是（3，0）．故答案是：（3，0）．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．14．如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于&&&&& cm．
考点：中点四边形．.分析：连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可．解答：解：如图，连接C、BD，&∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=8cm，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴HG=EF= AC=4cm，EH=FG= BD=4cm，∴四边形EFGH的周长等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，故答案为：16．点评：本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．15．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是&&&&& 命题．（填“真”或“假”）考点：命题与定理．.分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，如果能就是真命题．解答：解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题．点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．16．某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表：等级&单价（元/千克）&销售量（千克）一等&5.0&20二等&4.5&40三等&4.0&40
&&& 则售出蔬菜的平均单价为&&&&& 元/千克．考点：加权平均数．.分析：利用售出蔬菜的总价÷售出蔬菜的总数量=售出蔬菜的平均单价，列式解答即可．解答：解：（5×20+4.5×40+4×40）÷（20+40+40）=（100+180+160）÷100=440÷100=4.4（元/千克）答：售出蔬菜的平均单价为4.4元/千克．故答案为：4.4．点评：此题考查加权平均数的求法，利用总数÷总份数=平均数列式解决问题．&17．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于&&&&& ．
考点：三角形中位线定理；勾股定理．.专题：．分析：延长AD至F，使DF=AD，过点F作平行BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在直角三角形AGF中，利用勾股定理求出AG的长，利用SAS证得△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠BFD，证得AG∥BF，从而证得四边形EBFG是平行四边形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD与三角形CHD全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=DH=3，得出AH=9，然后根据△AHC∽△AFG，对应边成比例即可求得AC．解答：解：延长AD至F，使DF=AD，过点F作FG∥BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在Rt△AFG中，AF=2AD=12，FG=BE=6，根据勾股定理得：AG= =6 ，在△BDF和△CDA中，&∴△BDF≌△CDA（SAS），∴∠ACD=∠BFD，∴AG∥BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∴FG=BE=6，在△BOD和△CHD中，&，∴△BOD≌△CHD（AAS），∴OD=DH=3，∵CH∥FG，∴△AHC∽△AFG，∴ = ，即 = ，解得：AC= ，故答案为： &点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键．
18．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元 ，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红 和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款&&&&& 元．考点：分段函数．.分析：根据题意知付款480元时，其实际标价为为480或600元，付款520元，实际标价为650元，求出一次购买标价1130元或1250元的商品应付款即可．解答：解：由题意知付款480元，实际标价为480或480× =600元，付款520元，实际标价为520× =650元，如果一次购买标价480+650=1130元的商品应付款800×0.8+（1130800）×0.6=838元．如果一次购买标价600+650=1250元的商品应付款800×0.8+（1250800）×0.6=910元．故答案为：838或910．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查函数的思想．属于基础题．三、解答题19．（本题满分8分）计算：（1）(－5)0－(3)2＋|－3|；&&&&&&&&&&&& （2）(x＋1)2－2(x－2)．考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂．.分析：（1）先算0指数幂、平方和绝对值，再算加减；（2）利用完全平方公式计算，再合并得出答案即可．解答：解：（1）原式=13+3=1． （2）原式=x2+2x+12x+4=x2+5．点评：此题考查整式的混合运算，掌握运算的顺序与计算的方法是解决问题的关键．
20．（本题满分8分）&& （1）解不等式：2(x－3)－2≤0；&&&&&&&& （2）解方程组：2x－y＝5，………①x－1＝12(2y－1).…② 考点：解一元一次不等式；解二元一次方程组．.分析：（1）先去括号，再移项、合并同类项，不等式两边同乘以 ，即可得出不等式的解集；（2）先把②整理，再由减法消去x求出y，然后代入①求出x即可，解答：解：（1）去括号，得：2x62≤0，移项，得：2x≤6+2，合并同类项，得：2x≤8，两边同乘以 ，得：x≤4；∴原不等式的解集为：x≤4．（2）由②得：2x2y=1③，&①②得：y=4，把y=4代入①得：x= ，∴原方程组的解为： 点评：本题考查了不等式的解法、二元一次方程组的解法；熟练掌握不等式的解法和用加减法解方程组是解决问题的关键，
21．（本题满分8分）已知：如图，AB∥C D，E是AB的中点，CE＝DE．求证：（1）∠AEC＝∠BED；（2）AC＝BD．考点：全等三角形的判定与性质．.专题：证明题．分析：（1）根据CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；（2）根据SAS证明△AEC与△BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可．解答：证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，∵CE=DE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠AEC=∠BED；（2）∵E是AB的中点，∴AE=BE，在△AEC和△BED中，&，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC=BD．点评：本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，关键是根据SAS证明全等．
22．（本题满分8分）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45&．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．
考点：圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．.分析：（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形S△OBD即可得到结论．解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．∴BD= =5 cm．
（2）S阴影=S扇形S△OBD= π•52 ×5×5= cm2．&点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．23．（本题满分6分）某区教研部门对本区初二年级的学生进行了一次随机抽样问卷调查，其中有这样一个问题：老师在课堂上放手让学生提问和表达&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ）A．从不&&&&&&& B．很少&&&&& C．有时&&&& D．常常&&&& E．总是答 题的学生在这五个选项中只能选择一项．下面是根据学生对该问题的答卷情况绘制的两幅不完整的统计图．
&&& 根据以上信息，解答下列问题：（1）该区共有&&& ▲&&& 名初二年级的学生参加了本次问卷调查；（2）请把这幅条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，“总是”所占的百分比为&&& ▲&&& ．考点：条形统计图；扇形统计图．.分析：（1）结合两个统计图中的“从不”的人数与所占百分比即可求出初二年级的学生参加数量；（2）用总人数分别减去“从不”、“很少”、“常常”、“总是”的人数，计算出“有时”的人数即可将条形统计图补充完整；（3）利用公式“总是”所占的百分比= %计算即可．解答：解：（1）96÷3%=3200，故答案为：3200；（2）“有时”的人数=；如图所示：&（3）“总是”所占的百分比= %= 100%=42%，故答案为：42%．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（本题满分8分）（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是&& ▲&& （请直接写出结果）．考点：列表法与树状图法．.分析：（1）根据画树状图，可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况比上总结过，可得答案；（2）根据第一步传的结果是n，第二步传的结果是n2，第三步传的结果是总结过是n3，传给甲的结果是n（n1），根据概率的意义，可得答案．解答：解：（1）画树状图：&
共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，∴P（第2次传球后球回到甲手里）= = ．（2）第三步传的结果是总结过是n3，传给甲的结果是n（n1），第三次传球后球回到甲手里的概率是 = ，故答案为： ．点评：本题考查了树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，画树状图是解题关键．25．（本题满分8分）某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品．甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是多少？（注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费）考点：一次函数的应用；一元一次不等式的应用．.分析：设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用（60x）箱原材料生产A产品，根据题意列出不等式，确定x的取值范围，列出w=30[12x+10（60x）]80×605[4x+2（60x）]=50x+12 600，利用一次函数的性质，即可解答．解答：解：设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用（60x）箱原材料生产A产品．由题意得4x+2（60x）≤200，解得x≤40．w=30[12x+10（60x）]80×605[4x+2（60x）]=50x+12 600，∵50＞0，∴w随x的增大而增大．∴当x=40时，w取得最大值，为14 600元．答：甲车间用40箱原材料生产A产品，乙车间用20箱原材料生产A产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14 600元．点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出关系式，利用一次函数的性质解决问题．26．（本题满分10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)、A（5，0）、B(m，2)、C(m－5，2)．（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90&？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．考点：圆的综合题．.专题：综合题．分析：（1）由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得EG=GF，接着利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时 ，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；（2）如图2，先判断四边形OABC是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到∠AQO=90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，于是得到点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，证明F是BC的中点．而F点为 （4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.5．解答：解：（1）存在．∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m5，2）．∴OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，∴EG= =1.5，∴E（1，2），F（4，2），∴当 ，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；（2）如图2，∵BC=OA=5，BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠AOC+∠OAB=180°，∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，∴∠AOQ= ∠AOC，∠OAQ= ∠OAB，∴∠AOQ+∠OAQ=90°，∴∠AQO=90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，∴点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB，∴CF=OC，BF=AB，而OC=AB，∴CF=BF，即F是BC的中点．而F点为 （4，2），∴此时m的值为6.5，当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5，综上所述，m的值为3.5或6.5．&&点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和平行四边形的判定与性质；理解坐标与图形性质；会利用勾股定理计算线段的长．
27．（本题满分10分）一次函数y＝34x的图像如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C．&& （1）求点 C的坐标；&& （2）设二次函数图像的 顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．
考点：二次函数综合题．.分析：（1）先求出对称轴为x=2，然后求出与一次函数y= x的交点，即点C的坐标；（2）①先求出点D的坐标，设A坐标为（m， m），然后根据面积为3，求出m的值，得出点A的坐标，最后根据待定系数法求出a、c的值，即可求出解析式；②过点A作AE⊥CD于E，设A坐标为（m， m），由S△ACD=10，求出m的值，然后求出点A坐标以及CD的长度，然后分两种情况：当a＞0，当a＜0时，分别求出点D的坐标，代入求出二次函数的解析式．解答：解：（1）∵y=ax24ax+c=a（x2）24a+c，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，当x=2时，y= x= ，故点C（2， ）；
（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2， ，），∴CD=3，设A（m， m）（m＜2），由S△ACD=3得： ×3×（2m）=3，解得m=0，∴A（0，0）．由A（0，0）、D（2， ）得：&，解得：a= ，c=0．∴y= x2 x；②设A（m， m）（m＜2），过点A作AE⊥CD于E，则AE=2m，CE=
m，AC= = = （2m），∵CD=AC，∴CD= （2m），由S△ACD=10得 × （2m）2=10，解得：m=2或m=6（舍去），∴m=2，∴A（2， ），CD=5，当a＞0时，则点D在点C下方，∴D（2， ），由A（2， ）、D（2， ）得：&，解得： ，∴y= x2 x3；当a＜0时，则点D在点C上方，∴D（2， ），由A（2， ）、D（2， ）得： ，解得 ，∴y= x2+2x+ ．&点评：本题考查了二次根式的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式，以及待定系数法求函数解析式等知识点，综合性较强，难度较大．
28．（本题满分10分）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．（1）若∠AOB＝60&，OM＝4，OQ＝1，求证：CN⊥OB．（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．①问：1OM－1ON的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求S1S2的取值范围．
考点：相似形综合题．.专题：综合题．分析：（1）过P作PE⊥OA于E，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到OMPQ为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，进而求出PE与ME的长，得到CE的长，求出tan∠PCE的值，利用特殊角的三角函数值求出∠PCE的度数，得到PM于NC垂直，而PM与ON平行，即可得到CN与OB垂直；（2）
的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，根据OMPQ为菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=yx，根据平行得到三角形NQP与三角形NOC相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值；②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，表示出菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，得到 ，由PM与OB平行，得到三角形CPM与三角形CNO相似，由相似得比例求出所求式子 的范围即可．解答：解：（1）过P作PE⊥OA于E，∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四边形OMPQ为平行四边形，∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，∴PE=PM•sin60°= ，ME= ，∴CE=OCOMME= ，∴tan∠PCE= = ，∴∠PCE=30°，∴∠CPM=90°，又∵PM∥OB，∴∠CNO=∠CPM=90°，则CN⊥OB；（2）①
的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，∵四边形OMPQ为菱形，∴OQ=QP=OM=x，NQ=yx，∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O，又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC，∴ = ，即 = ，∴6y6x=xy．两边都除以6xy，得
= ．②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，则S1=OM•PE，S2= OC•NF，∴ = ．∵PM∥OB，∴∠MCP=∠O，又∵∠PCM=∠NCO，∴△CPM∽△CNO，∴ = = ，∴ = = （x3）2+ ，∵0＜x＜6，则根据二次函数的图象可知，0＜ ≤ ．&点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．&文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y k J.Co m
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