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第一章 张量2012
第一章 张量基础知识1.1 基本概念 1.2 张量表示 1.3 Kronecker delta符号 1.4 Permutation Symbol置换符号 1.5 指标记法及运算 1.6 张量的定义 1.7 张量的分量 1.8 梯度、矢量的散度和旋度11.1 基本概念1. 标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选 择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 ? 等。标量 无下标。? r 2. 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑 ?? u 、力 F 等。矢量可用一个方向来确定。 体）、位移? ? ? ? ? r ? r1e1 ? r2 e2 ? r3 e3 ? ? ri ei3x3其中 向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的 投影（分量），都有一个下标。 x1? ? ? e1 、e2 、e3 为坐标的基矢量（单位i ?1? e3r? ? e2 e1x22记法：? （1）实体记法： r（或黑体字母） r（2）分解式记法：同时写出矢量的分量和相应 分解分量的基。3 ? ? ? ? ? r ? r1e1 ? r2 e2 ? r3 e3 ? ? ri ei i ?1（3）分量记法： 将矢量用其全部分量的集合 来表示r（ r1、r2、r3 )（4）矩阵记法：? {r },{ri }33. 张量：有大小，并具有多重方向性的量（可描述更复 杂的物理量）。如应力 ?、应变 ? 等。有些量不能只利用一个方向来确定。如应力： 它与两个方向有关 在 n 方向（ n 为作用面的法矢量），应力 矢量为 pn ；? 而在 n? 方向，应力矢量为 pn .pn n这说明应力矢量本身有方向，而且还与 其作用面方向有关，必须用两个方向才 能描述应力矢量。n?p n?4常用的应力单元体也是如此：每一个应力分量也必须用两个方向才能描述，第一个 方向为应力作用面的方向，第二个方向为应力作用的 方向。 于是引入二阶基：e1 ? e2 ? e1e2每个分量用一个标量 （具有两个下标）与两 个并在一起基矢量（并 矢）表示，称为二阶张 量。? xye1 e 2? xz e1 e 3? xx e1 e13 3 ?? ?? ? ? ?? ? ? ? 11 e1e1 ? ? 12 e1e2 ? ...... ? ? 33 e3 e3 ? ?? ? ij ei e j i ?1 j ?15从数学上说，可引入 e1 ? e2 ?? ? en 个基矢。n 阶基， n阶基中有3n与n阶基相关连的量称为称张量）。n 阶张量。n n ? 0 时为标量； ? 1 时为矢量；n ? 2 时为二阶张量（简故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。标量由1个分 量组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成； 三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成。61.2 张量表示1.2.1.下标记号法――张量的最简洁的一种表示方法 ?点的坐标(x,y,z) （矢径） ? x1 , x2 , x3 ? xi (i ? 1,2,3) ?点的位移(u,v,w) 点的速度 v x , v y , v z? u1 , u2 , u3 ? ui (i ? 1,2,3) ? v1 , v2 , v3 ? vi (i ? 1,2,3)?应力（张量）：? x ,? y ,? z ,? xy ,? yx ,? yz ,? zy ,? zx ,? xz? ? 11 ,? 22 ,? 33 ,? 12 ,? 21 ,? 23 ,? 32 ,? 31 ,? 13? ? ij (i, j ? 1,2,3)7?? x ? xy ? xz ? ? ? 应力张量 ?? yx ? y ? yz ? ?? zx ? zy ? z ? ? ?可表示为? ij（i=1,2,3; j=1,2,3）8?应变张量： ? x , ? y , ? z , ? xy , ? yx , ? yz , ? zy , ? zx , ? xz? ?11, ? 22 , ? 33 , ?12 , ? 21, ? 23 , ? 32 , ? 31, ?13? ? ij (i, j ? 1,2,3)? ? x ? xy ? xz ? ? ? 应变张量 ?? yx ? y ? yz ? 可表示为 ? ij （i=1,2,3; ?? zx ? zy ? z ? ? ?j=1,2,3）9?微分符号：?f ?f ?f ?f , , ? ? f ,i ?x1 ?x2 ?x3 ?xi (? i f ) (i ? 1,2,3)?2 f ?2 f ?2 f ?2 f , 2 , 2 , ? ? f , ij 2 ?x1 ?x2 ?x3 ?x1 x2(i, j ? 1,2,3)10约定：在该约定 下，上述简写表达式后的说明 (i ? 1,2,3) 或 (i, j ? 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。i, j, k ,? 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.n阶张量可表示为ai1i2i3 ...in (i1 ? 1,2,3;i2 ? 1,2,3;? ? ? ? ??;in ? 1,2,3)? ai1i2i3 ...in111.2.2 Einstein求和约定关于下标的约定可以总结为以下三条规则：1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次， 则称之为自由指标，这种自由指标在表达式或方程的每一 项中必须只出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两 次，则称之为哑标，它表示从1到3求和。哑标在其他任何 项中可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数 多于两次，则是错误的。ai bi xi是违约的，求和时要保留求和号?a b xi ?1ni i i12S ? a1 x1 ? a2 x2 ? ? an xn ? ? ai xi ? ? a j x j ? ? ak xki ?1 j?1 k ?1 n n n显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。于是S ? ai xi ? a j x j ? ak xk* 1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）13oror*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出ai bi xi双重求和是违约的，求和时要保留求和号?a b xi ?1ni i i*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和S ? aij xi xjS ? ?? aij xi x ji ?1 j?1 3 3展开式（9项）S ? a11 x1 x1 ? a12 x1 x2 ? a13 x1 x3 ? a21 x2 x1 ? a22 x2 x2 ? a23 x2 x3 ? a31 x1 x1 ? a32 x1 x2 ? a33 x1 x314S ? ??? aijk xi x j xk ? aijk xi x j xki ?1 j?1 k ?1333三重求和（27项）n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题： ai xi? a1 x1 ? a2 x2 ? a3 x3? ii ? ?11 ? ? 22 ? ? 33? ij? ij ? ? i1? i1 ? ? i 2? i 2 ? ? i 3? i 3? ? 11?11 ? ? 12?12 ? ? 13?13 ? ? 21? 21 ?? 22? 22 ? ? 23? 23 ? ? 31? 31 ? ? 32? 32 ? ? 33? 3315含偏导数项的下标记号表示法：?ai ?a1 ?a2 ?a3 ai， ? ? ? ? i ?xi ?x1 ?x2 ?x3? ij, j?? i1 ?? i 2 ?? i 3 ? ? ? ? ?x j ?x1 ?x2 ?x3 ?? ij*若重复出现的标号不求和，应特别声明161.2.3 自由指标一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非 重复的的指标，称为自由指标。对于自由指标可以从最小数取 到最大数。 例如xi? ? aij x j指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,2, 3, …, n，与哑标一样， 无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：? x1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? x2 ? a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? x3 ? a31 x1 ? a32 x2 ? a33 x317*1、自由指标仅表示为轮流取值，因此也可以换标，但必 须整个表达式换标 ；xi? ? aij x j? xk ? akj xjx? ? aji xi j*2若重复出现的标号不求和的表示：R1 ? C1E1R2 ? C2 E2Ri ? Ci Ei ? Ci Ei这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。R3 ? C3 E3规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划 线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。 18又如，方程? ? ? ? ? ? ?1?1?1 ? ? 2 ? 2?2 ? ?3 ?3?32 1 2 2 2 3用指标法表示，可写成?i ?i ? ?i ?i ?i ? ?i ?i ?i ? ?i ?i ?ii 不参与求和，只在数值上等于 i *3由ai bi ? ai ci不能得出.bi ? ci19例题：e? ? Aije j i表示i 为自由指标，j 为哑标如下3个方程：? e1 ? A11e1 ? A12e2 ? A13e3 e? ? A21e1 ? A22e2 ? A23e3 2 e? ? A31e1 ? A32e2 ? A33e3 320? ij, j ? fi ? 0表示如下3个方程：i 为自由指标，j 为哑标? ?? 11 ?? 12 ?? 13 ? ?? x ?? xy ?? xz ? ? ? f1 ? 0 ? ? ?x ? ?y ? ?z ? f x ? 0 ?x2 ?x3 ? ? ?x1 ? ?? ?? y ?? yz ? ?? 21 ?? 22 ?? 23 等价为 ? yx ? ? ? fy ? 0 ? ? ? f2 ? 0 ? ?y ?z ?x2 ?x3 ? ?x ? ?x1 ? ?? ?? zy ?? z ? ?? 31 ?? 32 ?? 33 zx ? ? ? fz ? 0 ? ? ? ? f3 ? 0 ? ?y ?z ? ?x ?x1 ?x2 ?x3 ?21? Cij ? Aik Bjki ，j为自由指标，k 为哑标表示9个方程： ? C11 ? A1k B1k ? A11B11 ? A12 B12 ? A13 B13? C12 ? A1k B2k ? A11B21 ? A12 B22 ? A13 B23 ? C13 ? A1k B3k ? A11B31 ? A12 B32 ? A13 B33 ? C21 ? A2k B1k ? A21B11 ? A22 B12 ? A23 B13……? C33 ? A3k B3k ? A31B31 ? A32 B32 ? A33 B33221.3 Kronecker delta符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker delta 符号定义为：?1, i ? j （kronecher delta） ? i j ? ? ?0, i ? j? 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， ij 可确 定一单位矩阵：?? 11 ? 12 ?? ? 22 21 ? ?? 31 ? 32 ?? 13 ? ?1 0 0? ? ? ?0 1 0 ? ? 23 ? ? ? ? 33 ? ?0 0 1? ? ? ?23卡式坐标系的基向量的点积? ? ? ij 符号的性质： ei ? e j ? ? ij① 对称性?1 ? ? ei ? e j ? ? ?0i ? j时 i ? j时? ij ? ? ji? ii ? ? 11 ? ? 22 ? ? 33 ? 3? i1a1 ? ? i 2 a2 ? ? i 3a3 ? ? ij a j ? ? (i )(i ) ai ? ai② 可进行换标或运算? ij? kj ? ? ik ? ij? ij ? ? ii ? ? jj ? 3 ? lm? mn ? np ? ? lpai ? ij ? a j aij? ij ? aii?1 ?? ?0? ij? kj ? ? ik ? ? i1? k1 ? ? i 2? k 2 ? ? i 3? k 3i? j i? j24证明：若? ? ei ? e j ? ? ij是相互垂直的单位矢量，则e1 , e2 , e3ei ?e j ? ? i j ，但ei ? ei ? e1 ? e1 ? e2 ? e2 ? e3 ? e3 ? 3而? ii ? ?11 ? ? 22 ? ? 33 ? 3ei ?ei ? ? ii，故25注意：? ii是一个数值，即? ii ? 3?i j例1：的作用：1）换指标；2）选择求和。?ij a j ? ?i1a1 ? ?i 2a2 ? ?i 3a3 ? ?(i )(i )ai ? aiAi ? Ak? k i Ai ? ? k k Ak ? Ak思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示26例2：Tk j ? Ti j? i kTk j ? ? i iTij ? Tij特别地，如果 ?ij 符号的两个指 标中有一个指标和同 项中其它因子的指标 相重，则可以把该因 子的那个重指标替换 成?ij的另一个指标， 而 ?ij 自动消失。?ij 也? i k? k j ? ? ij , ? i k? k j? jm ? ? i m例3：称为换标符号。Ami Bn j , 34 ? 81求个数，m?n项的和。? mn Ami Bn j ? An i Bn j ? Ami Bm j27? ij符号的应用① 矢量与代数运算两个任意向量点积? ? ? ? a ? b ? (ai ei ) ? (b j e j ) ? ai b j? ij ? ai biaij x j ? ?xi ? (aij ? ?? ij ) x j② 微分运算?xi ? xi , j ? ? ij ?x j28?aii ? ? jk ?a jk?aij ?akl1 ? (? ik ? jl ? ? il ? jk ) 2291.4 置换符号（Permutation Symbol）一、定义：eijk?1 当i, j , k为顺循环 ? ? ?? 1 当i, j , k为逆循环 ?0 当i, j , k不循环 ?i 循环方向 k j?1 若(i, j, k ) ? (1,2,3)或(2,3,1)或(3,1,2)时 正排列顺序 ? eijk ? ?－1 若(i, j, k ) ? (2,1,3)或（1，2）或（3，1）时 逆排列顺序 3， 2， ?0 若i, j, k中任意两指标相同时 1 i ?1循环方向 j 230k 3eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素1 i循环方向 k 3 j 2例如：e123 ? e231 ? e312 ? 1 e321 ? e213 ? e132 ? ?1e111 ? e121 ? e232 ? ? ? 0（不为0的共六项，三项为正1，三项为负1）。ei jk ? ejk i ? ek i j ? ?eji k ? ?ei k j ? ?ek ji31可见： ei jk? ejk i ? ek i j ? ?eji k ? ?ei k j ? ?ek ji表明，标号改变奇次位置时改变正、负号；标号改变偶数次位 置时不改变符号。ei jk二、也称为三维空间的排列符号。ei jk 排列符号的应用： 排列符号的作用可以简化公式书写1、三阶行列式 ： a11 a12 a13aij ? a21 a22 a31 a32a23 ? a11a22a33 ? a21a32a13 ? a31a12a23 a33 ? a31a22a13 ? a21a12a33 ? a11a32a2332 ? eijk ai1a j 2ak 3 或 ? eijk a1i a2 j a3k （共六项，三项为正，三项为负）。2. 基向量的叉积：右手系? ? ? ? e1 ? e2 ? e3 ? e123e3任意基向量的叉积可写为? ? ? ? e2 ? e1 ? ?e3 ? e213 e3? ? ? ? ei ? e j ? eijk ek ? ekijek? ? ? ? 而 c ? a ? b ? ck ek? ? ? ? 3．向量叉积的展开式：a ? ai ei b ? b j e j? ? ? ? ? ? a ? b ? ai ei ? b j e j ? aib j eijkek ? aib j ekijekck ? eijk ai b j ? ekij ai b j? ? ? c ? a ? b ? a1 b1 ? e1 ? e2 a2 b2 ? a3 ? eijk ai b j ek b3 ? e3则33常见的恒等式eijk ~ ? ij 之关系? il ? im ? in ? ? jl ? j m ? j n ? kl ? km ? kn(i)ei jk el m n( ii ) ( iii ) ( iv )ei jk el mk ? ? i l? jm ? ? i m? jlei jk el jk ? 2? i l ei jk ei jk ? 6 ? 3!34Kronecker delta符号与置换符号 Permutation symbol的关系eijk elmn? il ? im ? in ? ? jl ? jm ? jn ? kl ? km ? kn(2.10)证明：(1).i,j,k有两个相同时，上式成立，同理，l,m,n 有两个相同时，上式也成立1 0 0?11 ?12 ?13 0 1 0 ? ? 21 ? 22 ? 23 ? e123e123 0 0 1 ? 31 ? 32 ? 33 35(a)(2).i,j,k不同时, 由下式交换行? i1 ? i 2 ? i 3 ? j1 ? j 2 ? j 3 ? eijk e123 ? k1 ? k 2 ? k 3(b)(3).同理,由(b)式交换列可得到(2.10)式 从(2.10)式可得到下面几个有用的恒等式? ir ? is ? ik ? jr ? js ? ir ? is eijk ersk ? ? jr ? js ? jk ? ? ik ? ? jk ? kr ? ks ? kr ? ks ? kr ? ks ? kk ? ir ? is ? jr ? js ? ir ? is ? ir ? is ? ? kk ? ? ?3 ? jr ? js ? ir ? is ? jr ? js ? jr ? js36? ir ? is ? ik ? jr ? js ? ir ? is eijk ersk ? ? jr ? js ? jk ? ? ik ? ? jk ? kr ? ks ? kr ? ks ? kr ? ks ? kk ? ir ? is ? jr ? js ? ir ? is ? ir ? is ? ? kk ? ? ?3 ? jr ? js ? ir ? is ? jr ? js ? jr ? js ? ir ? is ? ? ? ir? js ? ? is? jr ? jr ? js即eijkersk ? ? ir? js ? ? is? jr(2.11)37eijk eijt ? ? jj ? ? kt ? ? kj ? ? jt ? 2? kt若将上式中的下标 t换为k, 有eijk eijk ? 2? kk ? 6 ? 3!38二维置换符号e??(? , ? ? 1, 2)从三维退化得到e?? ? ei j3 ? e?? 3其中e11 ? e22 ? 0, e12 ? ?e21 ? 1有下列恒等式e?? e?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ??e?? e?? ? ? ?? , e?? e?? ? 2 ? 2!39关键公式：ei jk el m n? il ? im ? in ? ? jl ? j m ? j n ? kl ? km ? kn? il ? i m ? i3 ? il ? i m 0 ei j3el m 3 ? ? jl ? jm ? j3 ? ? j l ? jm 0 ? 3 l ? 3 m ? 33 0 0 1e?? e?? ?? ?? ? ??? ?? ? ??40? ?? 二维关键公式： e?? e?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? 2 ? ? ?? ? ??? ?? ? ??e?? e??? ?? ? ??e?? e?? ? 2? ?? ? ? ?? ??? ? 2? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ?? 2 e?? e?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??2 ? 4 ? ? ?? ? ?? ? 4 ? ? ??41? 4?2 ? 21.5 指标记法1.5.1 代入3个方程， 右边为9 项之和设ai ? U i m bm bi ? Vi m cm(1) (2)ai ? Ui mVmn cn把（2） 代入（1）bi ? Vi mcmmbm ? Vm n cnn or else421.5 指标记法1.5.2 乘积 设不符合 求和约 定p ? U m am q ? V mbmp q ? U mamVmbm则p q ? U m amVnbn431.5 指标记法1.5.3 因式分解考虑第一步用Ti j nj ? ? ni ? 0 nj表示ni , ? i j有换指标的作用ni ? ? i j nj所以 即Ti j nj ? ? ? i jnj ? 0(Ti j ? ? ? i j )nj ? 0441.5 指标记法1.5.4 缩并 使两个指标相等并对它们求和的运算称 为缩并。如各向同性材料应力应变关系? i j ? ? ? kk?i j ? 2?? i j缩并? ii ? ? ? kk?ii ? 2??ii ? 3? ? kk ? 2??ii? ii ? (3? ? 2? )?ii哑标与求和无 关，可用任意 字母代替为平均应力应变之间的关系451.5 指标记法1.5.5 例题 ――熟悉指标记法和普通记法的转换 求和约定同样适用于微分方程。?U i ?0 不可压缩牛顿流体的连续性方程： ?xi其普通记法或?U1 ?U 2 ?U 3 ? ? ?0 ?x1 ?x2 ?x3?U x ?U y ?U z ? ? ?0 ?x ?y ?z461.5 指标记法1.5.5 例题 ――熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：?U i ?U i ?p ?U i ?( ?U j ) ? ? bi ? ?? ?t ?x j ?xi ?x j?x j写出其普通记法471.5 指标记法1.5.5 例题 ――熟悉指标记法和普通记法的转换 弹性力学平衡方程方程：?? xx ?? xy ?? xz ? ? ? bx ? 0 ?x ?y ?z ?? yx ?x ? ?? yy ?y ? ?? yz ?z ? by ? 0?? zx ?? zy ?? zz ? ? ? bz ? 0 ?x ?y ?z写出其指标记法481.6 张量的定义1.6.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系） 引例: (平面直角坐标系)?坐标的旋转变换yy?x ? x? cos ? ? y? sin ? y ? x? sin ? ? y ? cos ?? x? ? ? l ? ??? ? y ?? ? ? m m? ? x ? ?? y? l ?? ?P( x, y), ( x?, y?)?c A B Do?x?xx? ? x cos ? ? y sin ? y? ? ? x sin ? ? y cos ?49O 旧坐标系： x1 x2 x3单位基矢量： {e1 , e2 , e3}O 新坐标系： x1? x2? x3? 单位基矢量： {e1? , e2? , e3? }新旧基矢量夹角的方向余弦：x3ei? ? e j ?| ei? || e j | cos(ei? , e j ) ? cos(ei? , e j ) ? ? i?jx1? e1? ? e3? e3?? e2? e2x2? e1?50x31.6.1 坐标系的变换关系?i?j ? cos(ei? , e j ) ? ei? ? e j旧 新? e1x1? ? e3? e3?? e2? e2x2? e1?e1e2e2e1?e 2?? 1? 1 ? 2?1? 1? 2?1? 3? 2?2? 3?2? 2?3e3?? 3?1? 3?351图解（二维）：在解析式中记：? e1 ? ?1'1e1 ? ?1'2e2 ? ?1' je j ,?1' j ? cos?1' jj ? 1, 2e? ? ?2'1e1 ? ?2' 2e2 2 ? ?2' je j ,ei? ? ?i?iei521.6.1 坐标系的变换关系x3? ? ? e1? ? ??1? 1 ?1? 2 ?1? 3 ? ? e1 ? e1 ? e2 ? ? ? ? ?e ? x e1? ?e 2? ? ? ?? 2?1 ? 2?2 ? 2?3 ? ? 2 ? 1 ?e ? ?? ? ? ? 3? ? ? 3?1 ? 3?1 ? 3?3 ? ?e 3 ? ?? ? e3? e3?? e2x2ei? ? ?i?iei （对 i 求和，为自由指标） i?从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量?i?j 张量的性质: 1) ? i?j 张量不是对称张量因为 ? kl? ? ek ? el ，而??k ? el? ? ek ，所以 ? kl ? ?lk53?i?j张量是正交张量li?jL或Li?j? ? L ? LT ? Lkl Lml ek ? em? LT ? Lmnen ? em张量的转置记为? Lkl ? ek ? el第一式两边乘以 el? Lkl ? el ? ek? ek ? Lkl el? el ? Lkl ek? 第二式两边乘以 ek , 有于是即? ? ek ? em ? Lkl el ? Lmn en ? Lkl Lmn?l n ? Lkl Lml? ? L ? L ? Lkl Lml ek ? emT54? km ? Lkl Lml? ? L ? LT ? ? kmek ? em ? I1.6.2 标量（纯量 Scalar）在坐标变换时其值保持不变，即满足? ( x1 , x2 , x3 ) ? ? ?( x1? , x2? , x3? )如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量？551.6.3 矢量（Vector）满足以下变换 关系的三个量 {ai } 定义一个矢量设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为{a1? , a2? , a3? }, {a1, a2 , a3}即a ? ai?ei? , a ? aiei ai? ? a ? ei? ? ai ei ? ei? ? ai ei? ? eiai ? a ? ei ? ai? ei? ? eiai ? ?i?i ai?（对 i’求和）ai? ? ?i?i ai （对 i求和）561.6.3 矢量（Vector）ai ? ?i?i ai? ai? ? ?i?i ai哑标换成 kai ? ?i?i?i? k ak? i k ak ? ?i?i?i?k ak比较上式两边，得? i k ? ?i?i?i?k即该变换是正交的571.6.4 张量（Tensor）将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变 换系数）ai? ? ?i?i aiTi? j? ? ?i?i ? j? j Ti j对于直角坐标系 O x1 x2 x3 ，有九个量 [Ti j ] 按照关系Ti? j? ? ?i?i ? j? j Ti j变换成 O x1? x2? x3? 中的九个量[Ti? j? ]58则此九个量定义一个二阶张量。5960611.7 张量的分量 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量， a为任一矢量，其分量为ai，于是a ? aiei ai ? a ? ei ? ei ? a62对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢 量b，即令Ti j ? ei ? T ? e j称为二阶张量T的分量63Ti j ? ei ? T ? e j可理解为矢量T?j在ei上的分量，即 eT ? e j ? Ti j ei64因此，有下面三种等价的表达式：b ? T?abi ? a jTi j ? Ti ja j?b1 ? ?T11 T12 T13 ? ? a1 ? ? ? ? ? ?a ? ?b2 ? ? ?T21 T22 T23 ? ? 2 ? ?b ? ?T T T33 ? ?a3 ? ? 3 ? ? 31 32 ?? ?65其中?T11 T12 T13 ? ?T T ? T23 21 22 ? ? ?T31 T32 T33 ? ? ?称为在基矢量组{e1, e2, e3}下二阶 张量 T 的矩阵。注意：矢量 a、b 及张量T本身与 坐标系无关，但其分量 ai, bi, Tij 通过基矢量组{e1, e2, e3}与坐标系 相关。661.7.1 张量的加法和减法设T、S均为二阶张量，将它们 的和、差用下式表示：T?S仍为二阶张量。67若a为一矢量，则(T ? S) ? a ? T ? a ? S ? a其分量为： (T ? S ) i j ? e i ? (T ? S ) ? e j? ei ? T ? e j ? ei ? S ? e j ? Ti j ? Si j其矩阵形式为： [T ? S] ? [T] ? [S]681.7.2 张量和标量的乘积设T为二阶张量， ? 为一标量，它 们的乘积记为 T ，则T ? ?T仍为二阶张量。69因为根据坐标变换，有?? ? ?Ti?j? ? ? i?i? j?jTi jTi?j? ? ? ?? i?i? j?jTi j ?? i?i? j?j ? Ti j ? ? i?i? j?j Ti j可见， T 为二阶张量。701.7.3 并矢积、并矢记法、基张量矢量 a 和矢量 b 的并矢积 ab 定义为 按下列规则变换任意矢量的变换：(ab) ? c ? a (b ? c)二阶张量 一阶 零阶71关于是二阶张量的证明： 即证明 ab 满足张量的定义：ab ―― 是一个线性变换。设有任意矢量 c, d ，及标量? , ? ， 则由并矢积定义(ab) ? (? c ? ? d) ? a [b ? (? c ? ? d)]72(ab) ? (? c ? ? d) ? a [b ? (? c ? ? d)] ? a[? (b ? c) ? ? (b ? d)] ? ? a(b ? c) ? ? a(b ? d) ? ? (ab) ? c ? ? (ab) ? d可见：ab 满足张量的定义。73ab 关于基矢量组 {e1 , e 2 , e 3 } 的分量：(ab)i j ? ei ? (ab) ? e j ? ei ? [a(b ? e j )] ? ei ? (abj )? (ei ? a)bj ? aibj有些文献把ab 写成74(ab)i j ? (a ? b)i j ? aibjab 矩阵形式：? a1b1 a1b2 ?a b a b [ab] ? 2 1 2 2 ? ? a3b1 a3b2 ? a1b3 ? ? a1 ? ? ? ?a ?[b b a2b3 ? ? 2? 1 2 a3b3 ? ?a3 ? ? ? ?b3 ]75基矢量 e1 , e 2 , e3 的并矢积：?1? ?1 0 0? ? ? ?0 0 0 ? [e1e1 ] ? ?0?[1 0 0] ? ? ? ?0? ?0 0 0 ? ? ? ? ? ?1? ?0 1 0 ? ? ? ?0 0 0 ? [e1e 2 ] ? ?0?[0 1 0] ? ? ? ?0? ?0 0 0 ? ? ? ? ?76?0? ?0 0 0 ? ? ? [e 2e1 ] ? ?1?[1 0 0] ? ?1 0 0? … ? ? ?0? ?0 0 0 ? ? ? ? ? ?1? ?0 0 1 ? ? ? [e1e3 ] ? ?0?[0 0 1] ? ?0 0 0? ? ? ?0? ?0 0 0 ? ? ? ? ? ?0? ?0 0 0 ? ? ? [e3e3 ] ? ?0?[0 0 1] ? ?0 0 0? ? ? ?1? ?0 0 1 ? ? ? ? ?77于是，二阶张量 T 可以表示成 ：T ? T11 (e1e1 ) ? T12 (e1e 2 ) ? ? ? T33 (e3e3 )即T ? Ti j eie j这种并矢记法可以推广到任意阶 张量，例如三阶张量 A ：A ? Ai jk eie je k78可用上述并矢记法表示基张量： 一阶基张量 二阶基张量 n 阶基张量eiei j ? ei e j ei1i 2 ?i n ? ei1 ei 2 ?ei n79于是，有 一阶张量 二阶张量 n 阶张量a ? aieiT ? Ti jei jT ? Ti1i 2 ?i n ei1i 2 ?i n80等号右边称为广义标量记法。到此为止，我们已有四种张量记法： 不变性（符号，抽象）记法 分量（指标）记法 Ti jT并矢记法Ti j eie j广义标量记法Ti je i j811.8 梯度、散度和旋度力学中： 平衡方程与应力场的散度有关转动量与位移场的旋度有关?几何方程与位移场的梯度有关821.8.1哈密顿（Hamilton）算子（梯度算子）梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子,可以 表示为:? ?? ei ? ei ? i ?xi可以证明, Hamilton算子具有张量的属性,相当于 一阶张量。831.8.1 标量场的梯度假定在空间某区域定义一个标量函数 ? ，那么可以得 到 ? 别对三个坐标的导数， 即?? ?i ? 1,2,3? Gi ? ?xi其中，三个 Gi 为矢量 G 的分量，称为 ? 的梯度，它描述 了标量场变化最大的方向和最大的变化率,也可表示为G ? grad? ? ??? ?? ?? ?? ? ? ? ?x1 ?x2? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?x3 ? ? ?x j ? ? ?T841.8.1 标量场的梯度可以证明，?? 垂直于 ? ? x1, x2 , x3 ? ? 常数 的曲面。 算子矢量? 自身没有实际意义，而是一种方便运算的符号。? ? ? ? ? e1 ? e2 ? e3 ?x1 ?x2 ?x3? ? ? ??? ? ?x1 ?x2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?x3 ? ? ?x j ? ? ?85张量场（1）左梯度A ? Aijei e j? A ? ei ? i A jk e j ek ? A jk ,i ei e j ek（2）右梯度A ? ? ?i Ajke j ek ei ? Ajk,ie j ek ei 高一阶的张量场一般 ? A ? A ?861.8.2 矢量场的散度算子?与一个矢量V 的点积定义为这个矢量场的散度?v1 ?v2 ?v3 ? ? V ? divV ? ? ? ?x1 ?x2 ?x3?? V 是一个标量；不像矢量那样有三个分量。由于 V ?? 不存在，因而点积?? V不能互相交换：?? V ? V ??871.8.3 矢量场的旋度? 与 V 的叉积可写成 ?? V 的形式，称之为 V 的旋度。e1 ? ? ? V ? curlV ? ?x1 v1 e2 ? ?x2 v2 e3 ? ?x3 v3如果 ? 的偏导数存在，可以证明? 2? ? 2? ? 2? ? ? ?? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2? ?x1 ?x2 ?x3? ?? ? ?2称为? 的拉普拉斯算子。881.8.4 常见的数理方程?T 2 ?? T ? 0 （1）热传导方程 k ?t2（2）拉普拉斯方程 ? 2T ? 0?u 2 （3）波动方程 a ?? u ? 0 2 ?t2 2（4）泊松方程?T? f28990第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量§2-2 张量的定义 §2-3 张量代数 §2-4 二阶张量 §2-5 对称二阶张量的谱表示§2-6 张量分析 §2-7 积分定理91§2-3 张量代数A:张量的线性组合同阶张量可进行线性组合运算,结果仍为同阶张量 A,B是二阶张量,α和β 是标量,则C ? Cijei ? e j ? ?A ? ?B ? (aA ? ?Bij )ei ? e j ij? ? i?i ? j?j (?Ajj ? ?B jj ) ? ? i?i ? j?j C jj交换律: A+B=B+A 结合律: A+B+C=A+(B+C), (αβ)A= α(βA) 分配律: (α +β )A=α A+ β A α(A+B)= αA+ αBCi?j? ? ?Ai?j? ? ?Bi?j? ? ??i?i ? j?j Ajj ? ??i?i ? j?j B jj (2.21)92B:张量的缩并在张量的并矢记法中,对某两个基矢量进行点积,则 原张量降低两阶成为一个新的张量,如A ? Aijklei ? e j ? e k ? el ? Aijklei ? e k e j ? el ? Aijklei ? e k ? jl ? Aijkjei ? e k证明 Sik ? Aijkj 是二阶张量 (2.22)Si?k ? ? Ai?j?k ?j? ? ? i?i ? j?j ? k ?k ? j?l Aijkl ? ? i?i ? k ?k ( ? j?j ? j?l ) Aijkl ? ? i?i ? k ?k ? jl Aijkl ? ? i?i ? k ?k Aijkj ? ? i?i ? k ?k Sik93C:张量的并积 张量积 两个张量的并积n阶张量A与p阶张量B的并积为C,则C定义为C ? A ? B ? Ai1i2 ?in B j1 j2 ? j p ei1 ? ei2 ? ? ? ein ? e j1 ? e j2 ? ? ? e j p ? Ci1i2 ?in j1 j2 ? j p ei1 ? ei2 ? ? ? ein ? e j1 ? e j2 ? ? ? e j pCi1i2?in j1 j2? j p ? Ai1i2?in Bj1 j2? j p(2.23)C是(n+p)阶张量 一般情况下,A?B ? B?A94D:张量的点积 张量点积 两个张量的点积是先并再缩,如A ? Aijkei ? e j ? ek , B ? Bmn em ? en A ? B ? Aijk Bmn ei ? e j ? e k ? e m ? e n? Aijk Bmn ei ? e j ? (e k ? e m ) ? e n ? Aijk Bmn ? kmei ? e j ? e n ? Aijk Bknei ? e j ? e n (2.24)双点积 两个张量的点积是先并再缩二次 A ? ?B ? Aijk Bmn ei ? (e k ? e m ) ? (e j ? e n )? Aijk Bmn ? km? jnei ? Aijk Bkjei A : B ? Aijk Bmn ei ? (e j ? e m ) ? (e k ? e n ) ? Aijk Bmn ? jm? knei ? Aijk B jk ei(2.25) 95E:张量的叉积 张量叉积是矢量叉积的推广,如A ? Aijkei ? e j ? ek , B ? Bmn em ? enA ? B ? ( Aijkei ? e j ? e k ) ? ( Bmn e m ? e n ) ? Aijk Bmn ei ? e j ? (e k ? e m ) ? e n ? Aijk Bmn ekms ei ? e j ? e s ? e n(2.26) 两个二阶张量 A ? Aijei ? e j , B ? Bmn em ? en 的叉积 A ? B ? ( Aijei ? e j ) ? ( Bmn e m ? e n )? Aij Bmn ei ? (e j ? e m ) ? e n ? Aij Bmn e jms ei ? e s ? e n96F:张量的商法则 设有 3 个数 At1t2?t p s1s2?sq ,对任意q阶张量Bs1s2?sq 按下式计算总得一个p阶张量,( p? q ),Ct1t2?t p ? At1t2?t p s1s2?sq Bs1s2?sq则 At1t2?t p s1s2?sq 必为一个(p+q)阶张量 证:为简单,取p=q=2Cij ? Aijkl Bkl Ci?j? ? Ai?j?k?l? Bk?l?(a) (b)因C,B为张量,故 Ci?j? ? ?i?i ? j?j Cij ? ?i?i ? j?j AijklBkl ? ?i?i ? j?j ?k?k ?l?l AijklBk?(c) 97 l?( Ai?j?k?l? ? ?i?i ? j?j ?k?k ?l?l Aijkl )Bk?l? ? 0Bk ?l?任意 则 Ai?j?k?l? ? ?i?i ? j?j ?k?k ?l?l Aijkl四阶张量结论: n 设有 3 个数 Ai1i2?in ,对任意m阶张量 Bj1 j2? jm ,定义Ci1i2?in j1 j2? jm ? Ai1i2?in B j1 j2? jm若 Ci1i2 ?in j1 j2 ? jm 为n+m阶张量,则 Ai1i2 ?in 必为n阶张量98§2-4 二阶张量A:二阶张量的矩阵表示 二阶张量T 仿射量,线性变换[ v] ? ?v1v,u为矢量,用矩阵表示则v ? T?uv2v3 ?T[u] ? ?u1u2u3 ?T?T11 ?T [T] ? ? 21 ?T31 ?C ? A?BT12 T22 T32v ? T?u?v? ? ?T?? ?u? A,B为二阶张量则 ?C? ? ?A?? ?B?99T13 ? ? T23 ? T33 ? ?(2.27) (2.28)B:二阶张量的行列式 (2.29) det T ? det[Tij ] ? det[T] [I] ? [?i?i ]T [? j?j ] 单位矩阵[I] det[Tij ] ? det[? i?i ? j?jTi?j? ] ? det([? i?i ]T [Ti?j? ][? j?j ])? [ ? i?i ]T [Ti?j? ] [ ? j?j ] ? [ ? i?i ]T [ ? j?j ] det [Ti?j? ] ? det [Ti?j? ]二阶张量的行列式与坐标无关,是不变量.与单位矩 阵[I]对应的张量叫单位张量I I ? ?ijei ? e j ? ei ? ei ? e1 ? e1 ? e2 ? e2 ? e3 ? e3 (2.30) 单位张量I与除标量外的任意张量B的点积仍为B B ? Bijkei ? e j ? ek B ? I ? ( Bijkei ? e j ? ek ) ? (el ? el ) ? Bijlei ? e j ? el ? B 100 I ? B ? (ei ? ei ) ? ( Bljkel ? e j ? ek ) ? Bijkei ? e j ? ek ? BC:二阶张量的逆与转置 若T,对B有:T?B=B?T=I,则T可逆,B=T-1为逆张量 充要条件:T的行列式不为零对 Aij 定义B ? ATBij ? Aji B ? Bijei ? e j ? Ajiei ? e jB为A的转置张量 (2.31) (2.32) 101 (2.33)转置张量的运算性质:A,B是二阶张量,u,v是任意矢量(A ? B)T ? BT ? AT(u ? v)T ? v ? uA ? u ? u ? AT逆张量运算性质:(A?1 )?1 ? A (A ? B)?1 ? B?1 ? A?1 det(A?1 ) ? (det(A))?1A,B是二阶张量 (2.34) (2.35) (2.36) (2.37)(AT )?1 ? (A?1 )T D:二阶张量的对称与反对称T 若 A ? A 则A是对称二阶张量 AT ? ?A 即Aij ? ? Aji 则A是反对称二阶张量 若 任意一个二阶张量T可表示成一个对称张量S和一 个反对称张量W之和 102 (2.38) T?S?W (张量的加法分解)1 S ? (T ? TT ), 2 1 W ? (T ? TT ) 21 Sij ? (Tij ? T ji ) 2 1 Wij ? (Tij ? T ji ) 2(2.39)(2.40)对任一反对称张量W,必存在唯一一个矢量ω ,使得W? v ? ω? v(2.41)? 0 W?? ? ? ?? ? ? ?? 0 ?对任意矢量v成立 因 Wij ? ?Wjiω1 ? ? , ω2 ? ? , ω3 ? ?? ? ?? ? ? 0 ? ?103式(2.41)成立 ω 为对应于反对称张量W的轴向矢量.W ? v ? Wijei ? e j ? vk ek ? Wijvk ei ? e j ? ek ? Wijvk? jkei ? Wijv j ei ? ω ? v ? ?k ek ? v j e j ? ?k v j ekjiei Wijv j ? ?k v j ekjiV任意,则Wij ? ekji?k ? ?eijk?k(2.42)上式乘enij ,则利用等式(2.12) enijWij ? ?enij eijk?k ? ?2? nk?k ? ?2?neijkerjk ? ?ir? jj ? ?ij? jr ? 3?ir ? ?ir ? 2?ir(2.12)1 (2.43) ?n ? ? enijWij 即 2 104 上二式说明反对称张量和其轴向矢量是一一对应的§2-5S ? a ? ?a对称二阶张量的谱表示(S ? ?I) ? a ? 0某二阶对称张量S,若存在一个数λ 和单位矢量a,使得(2.44a)成立,则λ 为张量S的特征值(主值),a为张量S对应特征值 λ 的特征矢量(主方向).根据商法则, λ 为标量.Sij a j ? ?ai(Sij ? ?? ij )a j ? 0(2.44b) (2.45)单位矢量adet(S ? ?I ) ?ajaj ?1S11 ? ? S 21 S31 S12 S13 S 22 ? ? S 23 ? 0 S32 S33 ? ?(2.46a)105展开?3 ? I1?2 ? I 2? ? I3 ? 0其中(2.46b)I1 ? Sii ? trS 1 1 I 2 ? ( Sii S jj ? Sij S ji ) ? [(trS) 2 ? trS 2 ] 2 2 (2.47) 2 2 2 ? S11S 22 ? S 22 S33 ? S33 S11 ? S12 ? S 23 ? S31I3 ? det S 2 trS ? Sii 张量S的迹 trS ? tr(S ? S) ? tr(Sij S jk ei ek ) ? Sij S jiI1, I 2 , I 3分别为S的第一、第二和第三不变量式(2.46)为S的特征方程 (? ? ?1 )(? ? ?2 )(? ? ?3 ) ? 0 上式展开与(2.46b)比较106I1 ? ?1 ? ?2 ? ?3I 2 ? ?2?3 ? ?3?1 ? ?1?2I 3 ? ?1?2?3(2.48)式(2.46)求出特征值，利用（2.45)和（2.44b) 求出特征矢量 特征值和特征矢量的性质 1.互不相等的特征值对应的特征矢量相互垂直2.三个特征值都是实数 证性质1. ? ? ? 特征值对应特征矢量a和b S ? a ? ?a S ? b ? ?b (2.44a) 107 b ? S ? a ? ?b ? a a ? S ? b ? ?a ? bb ? S ? a ? bi Sij a j ? bi S jia j ? a j S jibi ? a ? S ? b(? ? ? ) a ? b ? 0证性质2.Sij a j ? λai??? ? 是S的任一特征值，对应特征矢量aai Sij a j ? λai ai Sij ? Sij ai Sij a j ? λ ai aiai ai ? 0a ?b ? 0a?b共轭复数 aiai Sij a j ? ai S jia j ? a j S jiai ? ai Sij a j (? ? λ )ai ai ? 0??λ? 为实数108规定 ?3 ? λ2 ? ?1张量S的谱(?1 , λ2 , ?3 )谱定理：设S是一个对称二阶张量,则必定存在由其特征矢量构 成的一组单位正交基 (e1 , e2 , e3 ) ,和ei对应的特征值?i (i ? 1,2,3) 构成S的谱,且有S ? ? ?i ei ? eii ?1 3(2.49)反之,如果S具有(2.49)的形式,且e1、e2和e3是相互正 交的单位矢量,则 ?i 和ei分别是S的特征值和对应的 特征矢量 ? 证(1)， 三个特征值互不相等， i 对应的ei互相垂直 以ei为基矢量，则S ? Sijei ? e j109S ? ei ? S jke j ? ek ? ei ? S jke j? ki ? S jie j ? ?iei (由2.44b)则S ji谱分解式（2.49）成立??i ? S ij ? ? ?0当i ? j 当i ? j(2),二个特征值相等,另一个不同，设 ?1 ? ?2 ? ?3 取 e3 ? e1 ? e2 则 e1 , e2 , e3 是相互垂直的右手系 S ? e1 ? Sijei ? e j ? e1 ? Si1e1 ? ?1e1 (由2.44b) S ? e2 ? Sijei ? e j ? e2 ? Si 2e2 ? ?2e2 (由2.44b)S11 ? ?1 , S22 ? ?2 , S12 ? S32 ? S31 ? 0解上两式得I1 ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?1 ? 2?2 ? ?1 ? ?2 ?11033 S 由(2.48),(2.47)，得S33 ? ?2则 S ? Sijei ? e j ? ?1e1 ? e1 ? ?2 (e 2 ? e2 ? e3 ? e3 )? ?1e1 ? e1 ? ?2 (I ? e1 ? e1 ) ? (?1 ? ?2 )e1 ? e1 ? ?2I由S ? e3 ? (?1 ? ?2 )e1 ? e1 ? e3 ? ?2e3 ? ?2e3 u ? ?e2 ? ?e3(2.50)得e3也是对应于λ 2的特征向量 设 则S ? u ? ?S ? e2 ? ?S ? e3 ? ??2e2 ? ??2e3 ? ?2 (?e2 ? ?e3 ) ? ?2u和e1垂直的任何方向都是S的对应于λ 2的主方向.e2 可取与e1垂直的任一单位矢量 (3),三个特征值相等111(3),三个特征值相等 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ? 取e1与λ 1对应,取与e1垂直的e2,再取e3= e1×e2 则 e1 , e2 , e3 是相互垂直的右手系 S ? e1 ? Sijei ? e j ? e1 ? Si1e1 ? ?e1 (由2.44b) 解得S11 ? ?, S21 ? S31 ? 0由(2.48),(2.47)I1 ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? 3? ? ? ? S22 ? S33 2 I 2 ? 3?2 ? ?S22 ? S22 S33 ? ?S33 ? S23 解上两式得2 (S22 ? ? )2 ? S23 ? 0S22 ? ?, S23 ? 0, S33 ? ? 得 S ? Sijei ? e j ? ?ei ? ei ? ?I(2.51)112显然S ? ei ?? ?ei即 e1 , e2 , e3 都是S的特征矢量 设任一矢量 u ? uiei 有S ? u ? uiS ? ei ? ui ?ei ? ?u这表明任一方向都是S的主方向.任取三个相互垂 直的单位矢量 e1 , e2 , e3 作为基矢量,式(2.49)成立113重要结论：设S是二阶对称张量, (?1 , λ2 , ?3 ) 是S的谱, (e1, e2 , e3 ) 是和 谱对应的三个相互正交的特征矢量,n是任意单位矢量 则函数 f (n) ? n ? S ? n 的最小值为 ?3 ,且 f (e3 ) ? ?3 ,f(n) 的最大值为 ?1 ,且 f (e1 ) ? ?1 . 证: 由n得3ni ni ? 132 2 n12 ? n2 ? n3 ? 1 (c)(e1 , e2 , e3 ) 基矢量f (n) ? ni ei ? ? ?k e k ?e k ? n j e j ? ? ?k ni n j (ei ? e k ) ?(e k ? e j )k ?1 k ?1? ? ?k ni n j? ik? kj ? ? ?k nk nkk ?1 k ?133(d)114由(c)和(d),去n1得2 2 f (n) ? ?1 ? (?1 ? ?2 )n2 ? (?1 ? ?3 )n3 ? ?1(e)(f)由(c)和(d),去n3得2 f (n) ? (?1 ? ?3 )n12 ? (?2 ? ?3 )n2 ? ?3 ? ?3由(e)得 n2 ? n3 ? 0 由(f)得 n1 ? n2 ? 0(n ? e1 ) f取最大值 ?1 (n ? e3 ) f取最小值 ?3115§2-6张量分析一个张量F依赖于另一张量T而变化F ? F(T) A:标量的矢量函数u(t ) ? ui (t )ei矢量u是t的函数,ui也是t的函数,如ui可导,则矢量 u对t的导数为:du(t ) du i (t ) ? ei dt dtdu du i ? ei dt dt(2.53)116 (2.52b)du ? dui eiB:矢量的标量函数标量f是矢量u的函数，即f ? f (u) ? f (uiei )若f可连续偏导,则?f ?f ?f df ? dui ? ( ei ) ? (du j e j ) ? ? du (2.54) ?ui ?ui ?u ?f ?f ?f ?f ( ei ) ? (du j e j ) ? du j ei ? e j ? du j? ij ? dui ?ui ?ui ?ui ?ui ?f ?f ? ei ?u ?ui117 (2.55) f对u的导数是一个矢量C:矢量的矢量函数 矢量u是矢量v的函数即u ? u(v)ui ei ? u(vi ei )若ui的偏导连续.则?ui dui ? dv j (2.56a) ?v j ?ui ?u du du ? duiei ? ei dvj ? ( ? e j ) ? (dvk ek ) ? dv ?v j ?v j dv(2.56b) (2.57)118du ?ui ?u ? ei ? e j ? ?e j dv ?v j ?v j称为u对v的导数,是一个二阶张量?ui? ?(?i?iui ) ?v j ?ui ?(? k ?j vk ? ) ?ui ? ? ?i?i ? ?i?i ? j?j ?v j? ?v j ?v j? ?v j ?v j? ?v jD:二阶张量的标量函数 若标量f是二阶张量Tij的函数,即f ? f (T) ? f (Tij )若f对二阶张量Tij的偏导连续,则?f ?f ?f df ? dTij ? ( ei ? e j ) : (dTkle k ? el ) ? ? dT ?Tij ?Tij ?T ?f ?f ? ei ? e j ?T ?Tij(2.58) (2.59)119f相对于T的导数,二阶张量若 ? 是定义在空间区域的张量,? 是一个张量场,则? ? ?(r) ? ?( x1, x2 , x3 )则 ? 对坐标的一阶偏导数和二阶偏导数记为?? jk ?? ? ?,i ? e j ? ek ? ? jk ,i e j ? ek (二阶张量) ?xi ?xi ?? jk ?? ? ?,in ? e j ? ek ? ? jk ,ine j ? ek (2.60) ?xi ?xn ?xi ?xn则 ? 的导数和微分记为d? ?? ? ?,i dxi ? (?,i ? ei ) ? (dx j e j ) ? ? dr dr ?? ? ? ,i ? e i ?r(2.61) (2.62) 120E:梯度、散度和旋度Hamilton 算子则 ? 的导数和微分改写为? ? ? ? ? ? e1 ? e2 ? e3 ? ei ?x1 ?x2 ?x3 ?xi(2.63)?? ? ? ,i ? e i ? ? ? ? ?r(2.64) (2.65) 右梯度 左梯度 121?? ? ? ? ? ? dr? ????同样定义 ?? ? ? ?? ? ei ??,i (2.66)显然d? ? ?? ? dr ? ?,i dxi ? (dxj e j ) ? (ei ??,i ) ? dr ? ??若 ? 是一个标量(2.67) (2.68)?? ? ?? ? grad?标量场的梯度 若 ? 是一个矢量? ? ?iei ?? ? ?, j ? e j ? ?i, j ei ? e j , ?? ? ei ??,i ? ? j ,iei ? e j是二个二阶张量， (??) ? ??T若 ? 是一个二阶张量? ? ?ijei ? e j ?? ? ?ij,k ei ? e j ? ek , ?? ? ?ij,k ek ? ei ? e j122若 ? 是一个矢量，其div ? 散度定义为? div? ? ? ? ? ? (ei ) ? (? j e j ) ? ? j ,i? ij ? ?i ,i ? ? ? ? ?xi (2.69)矢量的散度为一标量场 若 ? 是一个二阶张量，其左右散度分别定义为? ? ? ? ? (?ijei ? e j ) ? (e k ) ? ?ij,k ei ? e j ? e k ? ?ij, j ei ?xk ? ? ? ? ? (e k ) ? (? jie j ? ei ) ? e k ? ? ji,k e j ? ei ? ? ji, j ei ?xk二阶张量的左右旋度为矢量 若 ? 是一个二阶对称张量，div? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?ij, j ei ? ? ji, j ei123矢量u的旋度定义? curl u ? ? ? u ? (ei ) ? u j e j ? u j ,i eijke k ?xi e1 ? ? ?x1 u1 e2 ? ?x2 u2e3 ? ? (u3, 2 ? u2.3 )e1 ? (u1,3 ? u3,1 )e 2 ? (u2,1 ? u1, 2 )e3 ?x3 u3 (2.701 wij ? (ui , j ? u j ,i ) 2设u是矢量场,1 w ? (u? ? ?u), 2是反对称张量则w的轴向矢量为1 1 1 ? ? ? enij w ije n ? enij (u j ,i ? ui , j )e n ? eniju j ,i e n 2 4 21241 1 ? ? eijku j ,i e k ? ? ? u 2 2Laplace算子2(2.71)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ei ?ej ? ? ( ),ii ?xi ?x j ?xi ?xi ? ? ? ? 2? 2? 2 ?x1 ?x2 ?x3(2.72)对一个n阶张量 ??2? ? ?,ii ? ?i1i2?in ,iiei1 ? ei2 ??? ein (2.73) ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? ?,ii ? 2 ? 2 ? 2 对一个标量 ? ?x1 ?x2 ?x3 125 ?2? ? 0 则 ? 是调和函数 若§2-7 积分定理在数学分析中,存在如下等式 ? ?,i dV ? ? ?ni dSV S(2.74)式中,V表示空间的某一区域,S这一区域的表面,n=niei是 S的外法线单位矢量, ? 是V中具有连续偏导的场函数 例: 矢量 u ? u j e j 令? ? uj(2.75)?uVj ,idV ? ? u j ni dSS令上式的i=j,得高奥公式?uVi ,idV ? ? ui ni dSS(2.76) 126例: 二阶张量 T ? Tijei ? e j令? ? T ji(2.77)?TVji ,idV ? ? T ji ni dSS规律:面积分中的被积函数有因子ni,去掉ni,被积函数 的其余部分对xi求偏导就得体积分中的被积分中函数 例:? ? n ? VdS ? ? niei ? VdS ? V ei ?xi ? VdS ? V ? ? VdS ? ? S S (2.78)V表示空间的某一区域,S这一区域的表面,n=niei是S的外 法线单位矢量, ? 是V中任意阶的光滑张量场 “。”表示并积、点积、叉积等任何一种运算，则127? ? ? ?dV ? ? ? ? ndSV S(2.79) (2.80)? ? ? ?dV ? ? n ? ?dSV S例: 二阶张量 ? ? T ? Tijei ? e j 令“。”取点积 (2.79)为 (2.77) 直接记法 以上积分对二维情况也成立 定理 ?是定义在区域V中的一个连续函数，D是V的 任意一个子区域，下式成立的充要条件是? ? 0 128 ? ?dV ? 0V S? T ? ?dV ? ? T ? ndS?TVji ,idV ? ? T ji ni dSSD定理 ? 是定义在区域V中的一个连续函数，D是V的 任意一个子区域，下式成立的充要条件是? ? 0? ?dV ? 0证：充分性显然， ? ? 0 上式成立 必要性，反证法，在V中P点处 ? ? 0 因连续，在P点的某全邻域D内有 ? ? 0 则 ? ?dV ? 0 与假设矛盾，证毕D D一般结论 ? 是定义在区域V中的任意阶张量，其每个分 量都在V中连续，D是V的任意子区域，则 129 ? ?dV ? 0 成立的充要条件是 ? ? 0D斯托克司公式 光滑曲面S的边界为分段光滑曲线c，矢量ui在S和c 上有连续的偏导数 ui , j ，则有? u ? dr ? ? u dxi c ci? ? (? ? u) ? ndSS(2.81)n为曲面S指向某侧的单位法向量,线积分的正向和 n服从右手系法则定理: 矢量 u ? uiei 定义在单连通区域D内, ui , j 连续, L是D内连接P0和P的任意曲线,曲线积分 ? ? ? ui dx il和积分路径无关(只依赖曲线的起点P0和终点P)的充 要条件是 ? ? u ? 0 即 u j ,i eijk ? 0 ,或 u j ,i ? ui , j 130证:如图,只要证明 ? ? u ? 0是下式成立的充要条件? u dxi li? ? ui dxil1或? u dx ? ? u dxi i i l l1 i i i ii?0(a)用S表示以l和l1为边界的任意光滑曲面,由Stokes公司? (? ? u ) ? ndS ? ? u dx ? ? u dxS l l1(b)l1?P??u ? 0是式(a)成立的充分条件P 0?图2.3必要条件,设dx3=0,S是法向为e3的平面区域 l (? ? u) ? e3 ? 0 ? (? ? u ) ? e3dS ? 0S同理, (? ? u) ? e 2 ? 0 必有??u ? 0(? ? u) ? e1 ? 0131定理:张量场 A ? Aijei ? e j 定义在单连通区域D内, Aij,k 连 续, L是D内连接P0和P的任意曲线,曲线积分 ? ? ? dr ? A 和积分路径无关的充要条件是 ? ? A ? 0l132本章小结133134135136
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