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第一章预备知识在微积分中,我们学习了黎曼积分,这种积分对微积分的建立和发展起了无可替代的作用.但是随着数学理论的发展,人们逐渐发现黎曼积分具有一定的局限性.首先,黎曼积分所讨论的都是比较“好”的函数,可积函数类不多;其次,极限与积分交换顺序要求函数列一致收敛这一相当强的条件;最后,我们知道微积分基本定理是微积分学的重要内容,但可微函数的导函数未必黎曼可积.为了克服以上问题,法国数学家Lebesgue放弃了对函数的定义域进行分割进而求和的方法,转而对函数的值域进行分割,并于1902年在其博士论文“积分、长度与面积”中建立了一套新的积分理论.这类积分具有更广泛的适用范围和更好的应用价值,是黎曼积分的改进.泛函分析中涉及到的可积函数大都是Lebesgue可积的,本章将简单介绍Lebesgue积分相关理论.§1.1集合与点集首先简单介绍集合的概念和主要性质.定义1.1.1.具有某种特定性质的对象的全体称为集合.通常用大写英文字母A,B,X,???表示,集合中的元素用小写英文字母a,b,x,???表示.对于集合A,x∈A表示x是A的一个元素,当x不是A的元素时,用x∈/A（或xA）表示.定义1.1.2.假设A,B是两个集合,如果A中的元素都是B的元素,则称A是B的子集,记作A?B,或记作B?A.如果A?B且B?A,称A等于B,记为A=B；如果A?B且A=B,称A是B的真子集.定义1.1.3.设A,B是两个集合,称由A与B中所有元素构成的新集合为A与B的并集(或和集),记为A∪B;称由A,B的所有公共元素构成的新集合为A与B的交集,记为A∩B,即A∪B={x|x∈A或x∈B},A∩B={x|x∈A且x∈B}.定义1.1.4.设A,B是两个集合,称由属于A不属于B的所有元素构成的新集12第一章预备知识合为A与B的差集,记为A?B(或A\B),即A?B={x|x∈A且x∈/B}.C,若A=R或不引起混特别地,若B?A,则称A?B为B关于A的余集,记为BA淆的情况下,可简记为BC.集合的并、交、差的运算具有下列性质：定理1.1.5.假设A,B,C是三个集合,则(1)A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;(2)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(3)(4)(A?B)∩C=(A∩C)?(B∩C);(C?A)?B=C?(A∪B);(5)A∪B=(A?B)∪(B?A)∪(A∩B);(6)A?(B∪C)=(A?B)∩(A?C);(7)A?(B∩C)=(A?B)∪(A?C).定义1.1.6.设A,B是两个集合,如果在A和B之间存在一一对应关系,则称集合A与集合B对等,记作A～B.如果集合A～B,则称A与B具有相同的基数或势.显然,A～A；若A～B,则B～A;若A～B,B～C,则A～C.例1.1.7.证明集合(a,b)(a&b)与(?∞,∞)对等.证明定义(a,b)到(?∞,∞)之间的映射：y=tan(x?b1+)π,x∈(a,b).b?a2从而得到(a,b)(a&b)与(?∞,∞)间的一一对应
.定义1.1.8.设A是一个集合,如果存在自然数n0,使得A与{1,2,???,n0}对等,则称集合A为有限集,否则称为无限集.§1.1集合与点集3定义1.1.9.设A是无限集,N={1,2,???}是自然数集,若A～N,则称A为可列集,否则称为不可列集.有限集与可列集统称可数集.凡与实数集对等的集合称为具有连续势.有两种常见的势,一种是自然数集的势,记为?0,另一种是实数集的势,记为?.定理1.1.10.一个集合可列的充分必要条件是它与N对等.定理1.1.11.任何无限集合都包含可列子集.定理1.1.12.有限个(可列个)可列集的并仍是可列集.任何一个无限集都包含一个无限真子集.一个集合同其真子集对等是无限集的一个特征.例1.1.13.全体有理数集合是可列集.12i证明令Q+={x∈Q|x&0},Q?={x∈Q|x&0},An={,,???,,???},n∈∞∪N.显然An为可列集.而Q+=Q+,Q?的元素分别排列为n=1An,所以Q+为可列集.同理,Q?为可列集.将Q+:a1,a2,a3,???,an,???,Q?:b1,b2,b3,???,bn,???,则Q中元素可以排列为Q:0,a1,b1,a2,b2,???,an,bn,???,所以Q是可列集
.下面给出实直线R上的点集的概念.为R的子集．定义1.1.14.假设x0是一实数,δ&0,称开区间(x0?δ,x0+δ)是x0点的δ邻域,记为B(x0,δ).定义1.1.15.设A?R是一个非空集合,x0∈A,如果存在B(x0,δ)?A,则称x0是A的一个内点;A的全体内点称为A的内部,并记为A?;如果A=A?,则称A为开集.除非特别指出,我们后面讨论的集合均
4第一章预备知识定理1.1.16.开集的运算性质(1)任意多个开集的并是开集;(2)有限多个开集的交是开集.定理1.1.17.实直线上任何非空的开集G都可以表示为至多可列个互不相交的开区间的并,这些开区间称为G的构成区间.证明参见文献[10].定义1.1.18.如果对任意的δ&0,B(x0,δ)中都含有A中除x0外的点x,则称x0为A的聚点(或极限点);集合A的聚点的全体称为A的导集,记为A′;A∪A′称为A的闭包,记为.如果A=,称A为闭集.定理1.1.19.闭集的运算性质.(1)任意多个闭集的交是闭集;(2)有限个闭集的并是闭集.开集与闭集之间具有如下关系.定理1.1.20.假设F?R,F是闭集当且仅当FC=R?F是开集.C=G?F是开集,GC=F?G是闭集.定理1.1.21.若G是开集,F是闭集,则FGF例1.1.22.康托(Cantor)三分集是一个不可列闭集.212将区间[0,1]三等分,挖去中间的开区间(1,);将剩下的两个闭区间[0,],[,1]再278分别三等分,挖去各自中间的开区间(1,),(,);再将剩余的四个闭区间分别三等分,再挖去各自中间的开区间.如此继续下去,最终[0,1]中剩余的点所构成的集合称为康托(Cantor)三分集,简称Cantor集,记为K.证明首先K是一个闭集.事实上,挖去的集合为=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪???,显然G0是一个开集,所以K=[0,1]?G0是个闭集.2假设K是可列集,则K中的数可以排成一列x1,x2,???,xn,???,那么在区间[0,1]和[,1]中总有一个不含x1,设它为[a1,b1].将[a1,b1]三等分,则其左右两个闭区间内至少有一个不含x2,设为[a2,b2].依此类推,可得闭区间列[an,bn],满足§1.2Lebesgue(勒贝格)测度(1)[an+1,bn+1]?[an,bn];(2)bn?an=15→0,n→∞;(3)xn∈/[an,bn],n=1,2,???.由闭区间套定理,存在唯一点c∈[an,bn],n∈N,但c=xn,n∈N,且c=liman=n→∞n→∞limbn,故c是K的聚点.又因为K是闭集,c∈K.与假设矛盾
.§1.2Lebesgue(勒贝格)测度前面我们已经提到,Lebesgue积分比Rieman积分要好,对于不连续的函数,仍可以进行Lebesgue积分.但是此时分割区间没有通常的“长度”,要解决这一问题,我们必须要建立测度的概念,它是长度概念的推广.定义1.2.1.(有界开集的测度)(1)空集?的测度m(?)规定为零.(2)若G是R中的任意非空有界开集,定义G的测度m(G)为G的所有构成区间的∪长度之和,设G=(αi,βi),则im(G)=∑i(βi?αi).(1.2.1)注意这里m(G)≥0.定理1.2.2.开集测度具有如下性质：(1)(单调性)若G1,G2?R为有界开集,且G1?G2,则m(G1)≤m(G2);(2)(次可加性)G1,G2?R为有界开集,则m(G1∪G2)≤m(G1)+m(G2);∞∞∑∪m(Gi).Gi,且Gi∩Gj=?(i=j),则m(G)=(3)(可数可加性)设G=i=1i=1定义1.2.3.(非空有界闭集的测度)设F?R是有界闭集,定义m(F)=(b?a)?m((a,b)?F)(1.2.2)其中(a,b)是包含F的任何开区间.可以证明,F的测度与(a,b)的选取无关.事实上,若F为单点集,此结论显然.若F不是单点集,令α=inf{x:x∈F},β=sup{x:x∈F},则α,β为相异实数且均属于F.容易证明对任意的包含F的开区间(a,b),有6第一章预备知识(a,b)?F=(a,α)∪(β,b)∪((α,β)?F).且右边三个开集互不相交,据开集的测度的定义,有m((a,b)?F)=α?a+b?β+m((α,β)?F),或b?a?m((a,b)?F)=β?α?m((α,β)?F)=m(F).可见m(F)与a,b的取法无关.同开集相似,闭集的测度也具有单调性与次可加性.此外,具有一定关系的开集和闭集的测度之间有如下性质：定理1.2.4.设F?R为有界闭集,G?R为有界开集,F?G,则m(F)?m(G).证明因G是有界开集,存在开区间△=(a,b)?G?F,这时m(F)=b?a?m((a,b)?F).又因为(a,b)=((a,b)?G)∪G?((a,b)?F)∪G,由开集测度的次可加性,得b?a≤m((a,b)?F)+m(G),即m(F)≤m(G
).例1.2.5.求Cantor集K的测度.解因为Cantor集是有界闭集,选取(a,b)=(?1,2)?K,则(a,b)?K=G0∪(?1,0)∪(1,2),而m(G0)=1+2?1+???+2n?1+???=1,所以m((a,b)?K)=3,而m(a,b)=3,所以m(K)=
0.这是一个测度为零的不可列集的例子.利用开集、闭集的测度以及微积分中求曲边梯形面积的思想,可以定义任意非空有界集的测度.定义1.2.6.设E?R非空有界,称所有包含E的有界开集的测度的下确界为E的外测度,记为m?(E),即m?(E)=inf{m(G)|G为有界开集,E?G}(1.2.3)定义1.2.7.设E?R非空有界,称所有包含于E的有界闭集的测度的上确界为E的内测度,记为m?(E),即§1.2Lebesgue(勒贝格)测度7m?(E)=sup{m(F)|F为有界闭集,F?E}(1.2.4)显然对任何集合E,m?(E)≤m?(E).定义1.2.8.设E?R非空有界,如果m?(E)=m?(E),则称E是Lebesgue可测集(简称可测集),此时称m?(E)为E的测度,记为m(E).按此定义有界开集、有界闭集都是可测集.若m?(E)=0,则E是可测集且测度为零.定理1.2.9.(1)单调性设E1,E2是有界可测集,E1?E2,则m(E1)≤m(E2);(2)∪k可加性设Ek是有界可测集,Ei∩Ej=?,i=j,且E=∑kEk有界,则E可测,且m(E)=m(Ek).定理1.2.10.设E?R是一个有界集,则E可测的充分必要条件是对任意的?&0,存在满足F?E?G的有界开集G与闭集F使得m(G?F)&?.证明必要性.设E可测,则m?(E)=m?(E).由内外测度的定义,对任意的?&0,存在有界开集G?E与有界闭集F?E,使得?m(G)&m?(E)+,2?m(F)&m?(E)?,2由于m?(E)=m?(E),故m(G)?m(F)&?.又G=(G?F)∪F,且G?F与F不相交,由定理1.2.9中的测度的可加性,有m(G?F)=m(G)?m(F)&?.充分性.假设对任意的?&0,存在满足F?E?G的有界开集G与闭集F使得m(G?F)&?,则m?(E)≤m?(E)≤m(G)&m(F)+?≤m?(E)+?,由?的任意性,得m?(E)=m?(E),所以E是可测集
.利用上面定理可以证明可测集对于并、交、差三种运算封闭.8第一章预备知识定理1.2.11.(1)设E?△=(a,b)(有界)?R是可测集,则E关于△的余集是可测集；(2)设E1,E2可测,则E1∪E2,E1∩E2,E1?E2均可测,并且当E1∩E2=?时,有m(E1∪E2)=m(E1)+m(E2).(1.2.5)证明参见文献[8].上面定理的结论(2)可以推广到可列情形.例1.2.12.设E是可测集,m(E)=1,{Ei}是E的一列可测子集,且对任意的?&0,有这个集列中的一个集Ei,使m(Ei)&1??,证明∞∪m(Ei)=1.证明∪∞因为i=1Ei?E,所以m(i=1Ei)≤m(E)=1.又对任意的?&0,选取i,∞∪∪∞i=1使得m(Ei)&1??,所以m(Ei)≥m(Ei)&1??,i=1由?的任意性,结论得证
.接下来给出无界可测集的定义.定义1.2.13.设E?R为无界集,若对任何的自然数n,En=E∩(?n,n)为可测集,则称E为可测集,并称极限limm(En)为E的测度,记为m(E).n→∞此极限值可能是有限值,也可能是+∞,若此极限是有限值,则m(E)的测度定义为此极限值,若不然,m(E)的测度定义为+∞.注记1.2.14.对于无界集,定理1.2.11的结论仍成立.实直线上的不可测集是存在的.最后,再介绍两个常用的概念.定义1.2.15.由R中的所有可测集组成的集合称为可测集类,记为L.从开集、闭集出发,经过并、交、差、可列并、可列交运算后得到的集合称为Borel(波雷尔)集,由Borel集组成的集类称为Borel集类,记为B,显然B?L.§1.3可测函数9§1.3可测函数Lebesgue积分采用的是对值域进行划分的方法,因而要求集合Ei={x∈E|yi?1≤f(x)&yi}具有某种长度意义,即应为可测集.而集合Ei是否可测同函数f有密切关系.因此,我们要给出可测函数的定义.定义1.3.1.假设f(x)是定义在可测集E上的有界实值函数,若对任意的a∈R,,E的子集E(f&a)={x∈E|f(x)&a}(1.3.1)是可测集,则称f是E上的Lebesgue可测函数.定理1.3.2.设有界实值函数f(x)是可测集E上的可测函数,则对任意的a,b∈R,a&b,集合E(f&a)={x∈E|f(x)&a},E(f≥a)={x∈E|f(x)≥a},E(f≤a)={x∈E|f(x)≤a},E(f=a)={x∈E|f(x)=a},E(a≤f≤b)={x∈E|a≤f(x)≤b}都是可测集.证明因为E(f≥a)=∞∩n=1E(f&a?1),nE(f&a)=E?E(f≥a),E(f≤a)=∞∩n=1E(f&a+1),nE(f=a)=E(f≥a)?E(f&a),E(a≤f≤b)=E(f≥a)∩E(f≤b),所以上述集合均是可测集
.例1.3.3.定义在零测度集上的函数是可测函数.证明假设f是定义在可测集E上的函数,对任意的a∈R,E(f&a)?E,则0≤m?(E(f&a))≤m(E).当m(E)=0时,有m?(E(f&a))=0,从而E(f&a)是可测集
.10第一章预备知识例1.3.4.设Ei(i=1,2,???,n)是可测集,且Ei互不相交,E=∪ni=1Ei,f是定义于E上,且在Ei上分别取值为ci(i=1,2,???,n)的函数(称为简单函数或阶梯函数),则f(x)是可测函数.证明不妨设c1&c2&???&cn,因为对任意的a∈R,有??????????En???E(f&a)=????n?∪??Ei???i=2????E,,a≥cncn?1≤a&cnc1≤a&c2a&c1,,故E(f&a)是可测集,f(x)是可测函数
.例1.3.5.可测集上的连续函数为可测函数.证明任取x∈E(f&a),f(x)&a.因为f是E上的连续函数,存在δ&0,当x1∈(x?δ,x+δ)时,有f(x1)&a.从而有(x?δ,x+δ)?E(f&a),E(f&a)是开集,因而是可测集,f是E上的可测函数
.下面讨论可测函数的性质.定理1.3.6.设f定义在可测集Ei(i=1,2)的和集E=E1∪E2上,则f在E上可测的充分必要条件是f在Ei(i=1,2)上均可测.证明必要性.对任意的实数a,因为Ei(f&a)=Ei∩E(f&a),又f在E上可测,E(f&a)是可测集,从而Ei(f&a)是可测集,所以f在Ei(i=1,2)上可测.d充分性.对任意的实数a,因为E(f&a)=E1(f&a)∪E2(f&a),所以f在E上可测
.推论1.3.7.f在可测集E上可测的充分必要条件是f在E?E1上可测,其中E1是E的零测度子集.从上面定理及推论可以看出,函数的可测性与其在零测度集上的取值无关.因而有如下定义定义1.3.8.若f在E上可测,g在E上有定义,且m(E(f=g))=0,则g在E上可测.此时,称函数g与f在E上几乎处处相等,记为f=g,a.e.于E.§1.3可测函数11定理1.3.9.设f(x),g(x)都是可测集E上的可测函数,则函数kf(k∈R),f±g,f?g,f/g(g=0)都是E上的可测函数.证明1.kfa因为k=0时,kf≡0,故kf在E上可测.当k&0时,?a∈R,E(kf≥a)=E(f≥),所以由f在E上可测知kf在E上可测.同理,当k&0时,kf也在E上可测.2.f±g因为E(f+g&a)=E(f?g&a)=∞∪i=1∞∪i=1[E(f&ri)∩E(g&a?ri)],[E(f&ri)∩E(g&ri?a)],其中{ri}是全体有理数.所以f±g是可测函数.3.f?g先证当f可测时,f2可测.事实上,对任意的a∈R,我们有E(f&a)=2??E,?E(f&√∪E(f&?√),a≥0a&0所以f2可测.22再由f?g=1[(f+g)?(f?g)],可知f?g是可测函数.4.f/g11因为f/g=f?,所以只需考虑的可测性.而E(1&a)=E(g&0),a=0?g???E(g&0)∪E(g&1/a),a&0???E(g&0)∩E(g&1/a),a&0??1所以是可测函数,进而f/g是可测函数
.例1.3.10.设f,g是E上的可测函数,讨论E(f&g)的可测性.解设x∈E(f&g),则存在有理数r,使f(x)&r&g(x),因此x∈E(f&∞∪i=1r)∩E(g&r).所以E(f&g)?[E(f&ri)∩E(g&ri)].12第一章预备知识这里{ri}是所有有理数.反过来,设x∈∞∪i=1[E(f&ri)∩E(g&ri)],则存在ri,使得x∈E(f&ri)且x∈E(g&ri),即x∈E(f&g).因此∞∪i=1E(f&g)?[E(f&ri)∩E(g&ri)].总之E(f&g)=∞∪i=1[E(f&ri)∩E(g&ri)].所以E(f&g)是可测集
.下面我们来介绍函数列收敛的概念.定义1.3.11.设f,fn,n=1,2,???都是E上的函数,(1)??&0,?x∈E,?N(N与?,x有关),当n&N时,有|fn(x)?f(x)|&?,称{fn}∞n=1在E上处处收敛于f,记为fn?→f,n?→∞.(2)??&0,?N(N仅与?有关),?x∈E,当n&N时,都有|fn(x)?f(x)|&?,称{fn}∞n=1在E上一致收敛于f,记为fn一致f,n?→∞.??→(3)如果?E0?E,m(E0)=0,且fn(x)→f(x)(?x∈E?E0),称{fn}∞n=1在E上几乎处处收敛于f,记为fn→f,a.e.于E.注记1.3.12.上述收敛概念有如下蕴含关系：(2)?(1)?(3),但反之不成立.n例1.3.13.设函数序列{fn}∞n=1,其中fn(x)=x,定义函数f如下f(x)=??0,?1,0≤x&1,x=1,则fn在[0,1]上处处收敛于f,但在[0,1]上fn不一致收敛于f.而在去掉一个测度可任意小的正测集后,fn在余下点集上一致收敛于f.那么,什么条件下处处收敛、甚至几乎处处收敛的函数列可以是一致收敛的呢？§1.3可测函数13定理1.3.14.(Egoro?)设E是可测集,m(E)&+∞,{fn}∞n=1是E上的几乎处处有限的可测函数序列,f是E上的可测函数,则下列命题等价：(1)fn→f,a.e.于E,且f在E上a.e.有限；(2)对任意的δ&0,存在可测子集Eδ?E,使得m(E?Eδ)&δ,而在Eδ上fn一致收敛于f,且f在E上a.e.有限.证明参见文献[2].对于可测函数列,还可以用测度描述函数列的另一种收敛.定义1.3.15.设{fn}∞n=1是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列,如果存在几乎处处有限的函数f,使得对于任意?&0,都有n→∞limm({x||fn(x)?f(x)|≥?})=0,则称{fn}∞n=1依测度收敛于f,记为fn?f.依测度收敛是更弱的一种收敛.定理1.3.16.(Lebesgue)若m(E)&∞,fn几乎处处有限,fn→f,a.e.于E,则fn?f.证明由Egoro?定理,对任意的δ&0,存在E的可测子集Eδ,使得m(E?Eδ)&δ,且fn在Eδ上一致收敛于f,于是对任意的?&0,存在N,当n&N时,有|fn(x)?f(x)|&?(x∈Eδ),于是对任意的n&N,E{x||fn(x)?f(x)|≥?}?E?Eδ,从而m(E{x||fn(x)?f(x)|≥?})≤m(E?Eδ)&δ.由δ的任意性,得fn?
f.上面定理的逆一般不成立.关于可测函数的极限,有下面的几个定理(证明参见文献[14].P142).∞定理1.3.17.设f,{fn}∞n=1分别是可测集E上的函数及可测函数列,如果{fn}n=1在E上几乎处处收敛于f,则f在E上可测.14第一章预备知识定理1.3.18.(Riesz)设{fn}在E上依测度收敛于f,则存在子列{fnk}几乎处处收敛于f.我们知道连续函数可以用多项式来逼近,从而可以将一些较为复杂的函数转化为简单的函数来考虑.可测函数是连续函数的推广,它可以用怎样的较为简单的函数来逼近呢？定理1.3.19.f(x)是E上可测函数的充分必要条件是f(x)可以表示为阶梯函数列的极限.证明参见[14].另外,连续函数具有很多好的性质,因此人们在研究可测函数时,也希望用连续函数表征可测函数.下面的定理说明闭区间上的可测函数与连续函数差别很小.定理1.3.20.(Lusin)设f是E上几乎处处有限的可测函数,m(E)&∞,则?δ&0,存在闭子集Fδ?E,使得f在Fδ上连续,且m(E?Fδ)&δ.证明因为可测函数是阶梯函数列的极限,先考察f是阶梯函数的情况.设E=到闭集Fiδn∪i=1Ei,Ei∩Ej=?(?i=j),?x∈Ei,f(x)=ci.对每个Ei,可以找Fiδ)&δ,?Ei,使m(Ei?n∪i=1i=1,2,???,n.令Fδ=n∪i=1Fiδ,则Fδ仍是闭集,且m(E?Fδ)=m[(Ei?Fiδ)]&δ.下证f是Fδ上的连续函数.事实上,设x0∈Fδ,则存在i0≤n,使x0∈Fiδ0,由于{Fiδ}ni=1是互不相交的闭集,所以存在?0&0,使得d(x0,Fjδ)≥?0,?j=i0.取?&?0,则当x∈B(x0,?)∩Fδ时,必有x∈Fiδ0,从而f在B(x0,?)∩Fδ上是常数,因此f在Fδ上每一点x0处连续.若f是可测函数,不妨设f在E上处处有限,否则可去掉一个零测度集,使f在其上处处有限,则存在阶梯函数序列{φn}∞n=1,使φn→f,a.e.于E.由Egoro?定理知,对δδ),存在E??E,使得m(E?E?)&?&且φn在E?上一致收敛到f.任意的?&0(?&δ?E,使得m(E?Fδ)&由上面的证明,对任意的δ&0及每个n,存在闭集Fn??nδ上的连续函数.且φn是Fnn=1δFn上的连续性知f在Fδ上连续.∞∩δ,记Fδ=δ,则F是闭集,且φ在F上也一致收敛到f.Fnnδδ由φn在Fδ?并且有∞δ∑δm(E?Fδ)=m(E?E?)+m(E??Fδ)≤+m(E??Fn)&δ.2n=1§1.4Lebesgue积分15§1.4Lebesgue积分下面我们来定义Lebesgue积分,重点介绍有界可测集上有界可测函数的Lebesgue积分及其性质.定义1.4.1.假设m(E)&+∞,f(x)是E上的有界可测函数,α&f(x)&β.对区间[α,β]取任一分割：△:α=y0&y1&???&yn=β令λ(△)=max(yi?yi?1),Ei=E(yi?1≤f&yi).任取ξi∈[yi?1,yi],作和式：1≤i≤nσ(△)=n∑i=1ξim(Ei)(1.4.1)如果当λ(△)→0时,σ(△)的极限存在,且该极限值与[α,β]的分割方式及ξi的选取无关,则称f(x)在E上Lebesgue可积,并称此极限值为f(x)在E上的Lebesgue积分(简称L积分),记为∫Ef(x)dx,即∫f(x)dx=Eλ(△)→0limn∑i=1ξim(Ei).(1.4.2)对[α,β]的任意分割△,可做两个特殊的和式：S(△)=n∑i=1yim(Ei),s(△)=n∑i=1yi?1m(Ei),分别称S(△),s(△)为f(x)在E上关于分割△的Lebesgue大和与小和.由定义可得(1)对[α,β]的任意分割△,有s(△)≤σ(△)≤S(△).(2)当分割加细(即在原来的分点组中加入一些分点)时,小和不减,大和不增.(3)任意分割的小和不大于另一分割的大和.从上面性质可以看出,limσ(△)存在的充分必要条件是lims(△),limS(△)存λ(△)→0λ(△)→0λ(△)→0在且相等.关于函数的Lebesgue可积性,有如下定理.16第一章预备知识定理1.4.2.若f在E上可测,则f在E上可积.证明记I=sup{s(△)|△是E的任意分割},=inf{S(△)|△是E的任意分割},则对任意分割?,有s(△)≤I≤≤S(△),所以n∑0≤?≤S(△)?s(△)=(yi?yi?1)m(Ei)≤λ(△)m(E).i=1令λ(△)→0,则I=.记I==I,由于|σ(△)?I|≤S(△)?s(△)≤λ(△)m(E),所以limσ(△)=I,即f在E上可积
.λ(△)→0例1.4.3.证明Dirichlet函数D(x)=???1,??0,x为有理数,x为无理数.在[0,1]上Lebesgue可积.证明只需证明Dirichlet函数在[0,1]上Lebesgue可测.事实上,因为Dirichlet函数?(x)≡0几乎处处相等,而可测集上的常函数是可测的,所以Dirichlet函数和常函数D可测
.Lebesgue积分具有如下性质：定理1.4.4.假设m(E)&∞,f(x),g(x)是E上的有界可测函数,则(1)对任意的α,β∈R,有∫[αf(x)+βg(x)]dx=αEEn∪i=1∫f(x)dx+β∫g(x)E(2)若E1,E2,???,En是E的可测子集,E=Ei,Ei∩Ej=?,i=j,则§1.4Lebesgue积分∫f(x)dx=En∫∑i=1Ei17f(x)(3)若f(x)≤g(x)a.e.于E,则∫f(x)dx≤EE∫g(x)(4)若f(x)=g(x)a.e.于E,则∫f(x)dx=EE∫g(x)dx.证明(1),(2)证明略.(3)令F(x)=g(x)?f(x),则F(x)≥0a.e.于E,由Lebesgue积分的定义易知∫F(x)dx≥0,E再由(1)得∫g(x)dx?E∫f(x)dx=E∫(g(x)?f(x))dx≥0,E即∫f(x)dx≤E∫g(x)dx.E(4)记E1={f(x)=g(x)},E2={f(x)=g(x)},则m(E2)=0,E1∩E2=?,且E=E1∪E2,注意零测度集上函数的积分总为0,从而有∫g(x)dx=E∫g(x)dx+∫E1=E1∫g(x)dx=∫E2f(x)dx=E1∫g(x)dx∫E1f(x)dx+E2∫f(x)dx=Ef(x)
dx定理1.4.5.假设m(E)&∞,f(x)是E上非负有界可测函数,且0a.e.于E.∫Ef(x)dx=0,则f(x)=证明任给正数?,E=E(f≥?)∪E(f&?)且E(f≥?)∩E(f&?)=?,由定理1.4.4的(2),可得18第一章预备知识∫f(x)dx=EE(f≥?)∫f(x)dx+∫f(x)dx,E(f&?)由于f(x)≥0a.e.于E,再由定理1.4.4的(3)可得∫f(x)dx≥0,E(f&?)∫f(x)dx≥E(f≥?)∫?dx=??m(E(f≥?)).E(f≥?)于是∫f(x)dx≥??m(E(f≥?)),∫EE由已知f(x)dx=0,所以m(E(f≥?))=0,从而有∞∪m(E(f=0))=m(n=1∑11mE(f≥)=0
.E(f≥))≤nnn=1∞例1.4.6.假设E=n∪i=1Ei,Ei为互不相交的可测集,f(x)=ci,x∈Ei,即f(x)是E上∫E的简单函数,则f(x)可积且f(x)dx=n∑i=1cim(Ei).解由定理1.4.4的(2)易证
.定理1.4.7.如果有界函数f(x)在闭区间[a,b]上是Riemann可积的,则f(x)在[a,b]上也是Lebesgue可积的,且∫f(x)dx=[a,b]a∫bf(x)dx.证明只需证明f是[a,b]上的可测函数且上述等式成立.由于fRiemann可积,(m)(m)(m)取[a,b]的分点组列{Dm}∞,D:a=x&x&???&xmm=101im=b,Dm?Dm+1,δ(Dm)=max{xi1≤i≤im(m)?xi?1}→0,m→∞.记mi(m)(m),Mi(m)m)(m)分别为f在[x(i?1,xi]上的上确界与下确界,由Riemann积分的定义知§1.4Lebesgue积分∫a19bf(x)dx=limim∑i=1im∑i=1m→∞Mimi(m)(xi(m)?xi?1)?xi?1)(m)(m)=lim(m)m→∞(xi(m)令{φm},{ψm}为下面的函数列：??m(m),iφm(x)=x∈(xi?1,xix=a,x∈(xi?1,xix=a,(m)(m)(m)],?f(a),ii=1,2,???im,ψm(x)=??M(m),?f(a),(m)],i=1,2,???,im,因为Dm?Dm+1,所以ψ1≥ψ2≥???≥ψm≥???≥f,φ1≤φ2≤φ3≤???≤φm≤???≤f.于是m→∞ˉ≥f,limψm=fm→∞limφm=f≤f,即ˉf≤f≤f.ˉf都是有界可测的,所以fˉ?f是非负Lebesgue可积函数,从而注意到f,∫[a,b]ˉ?f)dx=(f∫∫[a,b]im∑i=1ˉ?fdx∫fdx≥0.[a,b]又∫f(x)dx≥[a,b][a,b]φm(x)dx=(m)(m)mi(xi?(m)xi?1)∫→abf(x)dx,∫b∫[a,b]ˉ(x)dx≤f∫[a,b]ψm(x)dx=∫aim∑i=1b(m)(m)Mi(xi?(m)xi?1)→af(x)dx,这说明∫[a,b]ˉ(x)dx≤f∫f(x)dx≤[a,b]f(x)dx,20第一章预备知识∫[a,b]故ˉ(x)dx=f∫[a,b]∫f(x)dx=[a,b]∫abf(x)dx,即ˉ(x)?f(x))dx=0.(fˉ=fa.e.于[a,b].因此f在[a,b]上可测,而ˉ=fa.e.于[a,b],进而有f=f由定理1.4.5有f且∫[a,b]f(x)dx=∫baf(x)dx
.下面考虑一般可测函数的积分.定义1.4.8.设m(E)&∞,f(x)是E上的非负可测函数,对每一个整数n,令fn(x)=min{f(x),n},则{fn}∞n=1是E上的非负有界可测函数列,称∫f(x)dx=limE∫n→∞Efn(x)dx为f(x)在E上的积分,若∫Ef(x)dx&+∞,则称f(x)为E上的Lebesgue可积函数.命题1.4.9.对Lebesgue可积函数有(1)若f(x)为非负可测函数,E0?E,则∫E0f(x)dx≤∫Ef(x)(2)假设f(x),g(x)为可测函数,且0≤f(x)≤g(x)a.e.于E,若g(x)可积,则f(x)可∫∫积,且Ef(x)dx≤Eg(x)dx.注意到任意可测函数f(x),总可以表示成两个非负可测函数之差：f(x)=f+(x)?f?(x),其中f+(x)??max{f(x),0},f?(x)???min{f(x),0},所以可以给出如下定义：定义1.4.10.设m(E)&∞,f(x)是E上可测函数,若f+,f?在E上的积分至少有一个有限时,则称f(x)在E上有积分,并记§1.4Lebesgue积分∫f(x)dx=EE21∫f+(x)dx?∫Ef?(x)dx.(1.4.3)若∫Ef(x)dx为有限数,则称f(x)在E上勒贝格可积.对于任意无界可测集E,令En=(?n,n)∩E,n=1,2,???,则En为有界可测集,且E=定义：∞∪n=1En=limEn.同上面方法类似,可以给出无界可测集上可测函数积分的n→∞定义1.4.11.设f(x)是无界可测集E上的非负可测函数,记∫Jn=f(x)dx,En显然{Jn}是单调递增的,极限总存在.定义f(x)在E上的积分为∫∫EEf(x)dx=limJn=limn→∞若∫n→∞Enf(x)dx.f(x)dx为有限数,则称f(x)在E上Lebesgue可积.定义1.4.12.设f(x)是E上的可测函数,对任意正整数n,记+Jn=+=若limJnn→∞∫En?f+(x)dx,Jn=∫Enf?(x)dx,∫+?Ef(x)dx与limJn=n→∞∫Ef?(x)dx中至少一个是有限的,则称f(x)在E上+有积分,并记∫E∫f(x)dx=∫EE∫E∫Ef(x)dx?f?(x)dx.(1.4.4)若f+(x)dx,f?(x)dx均有限,则称f(x)在E上Lebesgue可积.注记1.4.13.可以证明,对E上任一非负可测函数f,有∫k→∞n→∞Ek∫fn(x)dx=limn→∞Enlimlimfn(x)dx,所以无界可测集E上的一般可测函数f的Lebesgue积分也可定义为∫f(x)dx=limE∫n→∞Enfn(x)dx.一般可积函数具有如下性质：22第一章预备知识定理1.4.14.假设E是可测集,则(1)对任意的α,β∈R,有∫[αf(x)+βg(x)]dx=αEE∫f(x)dx+β∫g(x)En∪i=1(2)若E1,E2,???,En是E的互不相交的可测子集,E=f(x)在E上可积时,f(x)在每一个Ei上可积,且∫f(x)dx=En∫∑i=1EiEi,Ei∩Ej=?,i=j,f(x)dx.(3)若f(x),g(x)在E上可积,f≤ga.e.于E,则∫f(x)dx≤EE∫g(x)dx.(4)若f(x)在E上可测,g(x)在E上非负可积,|f(x)|≤g(x),a.e.于E时,f(x)也在E上可积,且??∫??∫??????f(x)dx??≤g(x)dx.????EE证明只对(3)、(4)加以证明,其余留给读者.(3)若0≤f(x)≤g(x),则fn(x)≤gn(x),n=1,2,???,∫Ek∫fn(x)dx≤Ek∫gn(x)dx≤g(x)dxEk∫≤g(x)dx&+∞.E其中k,n是任意正整数,由积分定义有∫f(x)dx≤EE∫g(x)dx.现在假设f(x),g(x)为一般可积函数,因为f(x)≤g(x),所以0≤f+(x)≤g+(x),f?(x)≥g?(x)≥0,从而有∫Ef+(x)dx≤∫E∫∫Eg+(x)dx,g?dx,f?dx≥E§1.4Lebesgue积分23∫E因此,∫Ef+(x)dx?∫Ef?(x)dx≤∫Eg+(x)dx?g?(x)dx即∫f(x)dx≤E∫g(x)dx.E(4)由性质(3)及积分定义知,|f(x)|可积,且∫∫|f(x)|dx≤g(x)dx.EE注意到f+(x)≤|f(x)|f?(x)≤|f(x)|,于是f+(x),f?(x)均可积,故∫Ef+(x)dx∫Ef?(x)dx皆有限,f(x)在E上可积,又因为?|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|,由性质(3),有??∫??∫∫??????f(x)dx??≤|f(x)|dx≤g(x)dx.????EEE此性质得证
.从定理的证明容易看出,可测函数f(x)的可积性与|f(x)|的可积性相同,即定理1.4.15.(积分的绝对可积性)设f(x)是可测集E上的可测函数,那么函数f(x)在E上Lebesgue可积当且仅当|f(x)|在E上Lebesgue可积.注记1.4.16.此性质对Riemann广义积分未必成立.例如,∫+∞
sinxdx∫+∞sinx=π,但||dx=+∞.0定理1.4.17.(积分的绝对连续性)假设f(x)在E上可积,则对任意的?&0,总存在δ&0,对任意E0?E,当m(E0)&δ时,有∫|f(x)dx|&?.E024第一章预备知识证明令g(x)=|f(x)|,则g(x)在E上可积,对任意的?&0,取n充分大,使∫0≤E∫g(x)dx?En∫g(x)dx=?g(x)dx&.2E?En再取N充分大,使∫0≤En∫g(x)dx?EngN(x)dx∫=?(g(x)?gN(x))dx&,4En令δ=?,则当E0?E,m(E0)&δ时,∫?gN(x)dx≤Nm(E0)&Nδ=,4E0∩En于是∫|f(x)dx|≤E0E0∫g(x)dx=∫g(x)dx+E0∩En∫g(x)dxE0∩(E?En)∫&E0∩En∫(g(x)?gN(x))dx+E0∩En∫gN(x)dx+g(x)dxE?En&???++=
?.442我们知道对于Riemann积分,积分与极限交换次序要求很强的条件(一致收敛),在使用上较为不便.下面我们将会看到Lebesgue积分中积分与极限交换次序的条件比Riemann积分要弱得多,因此Lebesgue积分应用更为广泛.下面给出三个等价定理：Levi(勒维)引理,Fatou(法都)引理以及Lebesgue控制收敛定理,证明参见文献[8].定理1.4.18.(Levi引理)设(1)fn(x),n∈N,是E上的非负可测函数序列;(2)fn(x)≤fn+1(x),x∈E,n∈N;§1.4Lebesgue积分(3)f(x)=limfn(x)a.e于E,则n→∞25∫f(x)dx=limE∫n→∞Efn(x)dx.定理1.4.19.(Fatou引理)设f1(x),f2(x),???,fn(x),???是E上的非负可测函数列,则∫E∫limfn(x)dx≤limEfn(x)dx.定理1.4.20.(Lebesgue控制收敛定理)设{fn}∞n=1是E上可测函数列,满足(1)fn?f;(2)存在E上的可积函数F(x),使|fn(x)|≤F(x)a.e.于E,则f(x)在E上Lebesgue可积,并且∫n→∞E∫fn(x)dx=f(x)dx.Elim(1.4.5)注记1.4.21.(1)将Lebesgue控制收敛定理中的条件fn?f换成fn→fa.e.于E,结论仍成立.(2)Lebesgue控制收敛定理中控制函数这一条件不能去掉,例如函数??n,x∈(0,1]fn(x)=?0,x∈(1,1]在(0,1]上处处收敛于0,且∫(0,1]∫fn(x)dx=
ndx=1,n∈N,因此∫(0,1]n→∞∫limfn(x)dx=0&1=limn→∞(0,1]fn(x)dx.定理1.4.22.(Lebesgue基本定理)设{fn}是E上非负可测函数列,满足f(x)=∞∑n=1fn(x).(1.4.6)26第一章预备知识∫f(x)dx=E∞∫∑n=1E则fn(x)dx.证明参见文献[8].最后给出复值函数Lebesgue可测、可积的定义.定义1.4.23.假定f(z)=u+iv,若u,v均在E上可测时,称f(z)在E上可测.若u,v均在E上可积时,称f(z)在E上可积.这里u,v均为二元实函数,其可测(可积)的定义与性质同一元实函数可测(可积)的定义与性质相类似.§1.5本节介绍zorn引理.数学归纳法是我们大家所熟悉的关于可数多个命题的证明方法,一个自然的问题是：如果我们要讨论的不是可数个命题呢？这时我们需要更一般的方法.定义1.5.1.假定集合A(A未必是可数集)中任意两个元素a,b之间总有先后次序,并且(1)若a在b之先,则b便不在a之先；(2)若a在b之先,b又在c之先,则a在c之先.逻辑基础这样的集合A称为有序集.以下把a在b之先记为a?b.若A的任何非空子集D都有一个属于D的最先的元素,称A为良序集.显然,良序集总有最先的元素,这个元素记作α0.定理1.5.2.对良序集A,如果命题P(α),α∈A满足(1)P(α0)为真,这里α0是A中最先的元素;(2)若对一切α,α0?α?β,P(α)为真,则P(β)亦真.那么P(α)对一切α∈A皆真.证明若定理不真,则集合D={α∈A|P(α)不真}非空.从A是良序的,可知D有最先的元素α?.由(1)有α0?α?.显然当α0?α?α?时,P(α)为真.由(2)知P(α?)亦真,这与α?∈D矛盾
.§1.5逻辑基础27人们把这个定理称为超限归纳法.但是,是否每个集合都能赋予一个先后次序并且使之成为良序集呢？答案是肯定的,这叫做良序定理,可以用Zermelo选择公理来证明.定理1.5.3.(Zermelo选择公理)设A={Aα}是非空集合Aα构成的族,则必有定义在A上的函数f,使得对一切Aα∈A都有f(Aα)∈Aα.B.Russell说得很有意思,对于无穷多双鞋子,选择公理显然是对的.但是对于无穷多双袜子,就很不显然了.由于选择公理与世所公认的公理系统ZF既是相容的,也是独立的,更由于选择公理在泛函分析中的重要性,我们承认选择公理和与之等价的良序定理以及下文的Zorn引理.定义1.5.4.设A是一个非空集合,?是A上二元关系,它具有性质：(1)a?a,?a∈A;(2)若a?b,b?a,则a=b;(3)若a?b,b?c,则a?c.则称?是A中的半序,称A按?是一个半序集.如果对A中任意两个元素a,b,必有a?b或b?a成立,则称A是一个全序集.定义1.5.5.设A按?是一个半序集,如果A1?A,b∈A使得a?b,?a∈A1,则称b是A1的一个上界；如果a∈A,且当b∈A,a?b时,必有b=a,则称a是A的一个极大元.定理1.5.6.(Zorn引理)设A是非空的半序集,如果A的任何全序子集均有上界,则A必有极大元.习1.证明[0,1]与(0,1)对等.2.证明整系数多项式全体是可列集.3.设A?R,x0∈A,则下列命题等价：(1)x0是A的聚点;题(2)x0的任意邻域内都含有A中无限多个点;(3)A中存在点列{xn},xn=x0,n∈N,使得n→∞时,xn→x0.28第一章预备知识4.如果A′=A,称A为完备集.证明康托(Cantor)三分集是完备集.5.设F1,F2为R中闭集,且F1∩F2=?.试证存在开集G1,G2,使得G1∩G2=?,并且G1?F1,G2?F2.6.设E1,E2可测且测度有限,试证m(E1∪E2)=m(E1)+m(E2)?m(E1∩E2).7.证明可列集E={a1,a2,???,an,???}是可测集且测度为零.试证R上单调函数的不连续点集是零测度集.8.设G1,G2是开集,且G1是G2的真子集,是否一定有m(G1)&m(G2)?9.证明定义在R上的连续函数是可测函数.10.证明Dirichlet函数是可测函数.11.试作E=[0,1]上的可测函数f(x),使对任何连续函数g(x),都有m(f=g)=0.此结果与Lusin定理有无矛盾?12.设E是有界可测集,f(x)是几乎处处有限的可测函数,则对任意的δ&0,存在闭集Fδ?E及连续函数g(x),使得(1)当x∈Fδ时,f(x)=g(x);(2)m(E?Fδ)&δ.13.设{fn(x)}∞n=1是E上可积函数列,fn(x)几乎处处收敛于f(x),且∫E|fn(x)|dx≤K(K为常数),则f(x)可积.第二章§2.1§2.1.1空间理论距离空间定义及实例距离空间是一类重要的拓扑空间,我们熟悉的Rn就是一种特殊的距离空间.定义2.1.1.设X是非空集合,映射d:X×X→R满足：对任何x,y,z∈X,(1)d(x,y)≥0,d(x,y)=0当且仅当x=y;(2)d(x,y)=d(y,x);(3)(三角不等式)d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z),则称d(x,y)为x与y的距离,(X,d)为距离空间.定义2.1.2.设(X,d)是距离空间,对于任意的x∈X以及δ&0,称X的子集B(x,δ)={y∈X|d(x,y)&δ}是以x为中心,δ为半径的开球(或x的δ邻域).定义2.1.3.设(X,d)是距离空间,A是X的子集,x0∈A,若存在δ&0使得B(x0,δ)?A,则称x0是A的内点,A的内点的全体称为A的内部.若A中任意点均为内点,则称A是开集.引进距离的目的是为了刻画收敛.定义2.1.4.如果距离空间(X,d)中的点列{xn}∞n=1满足d(xn,x0)→0(n→∞),则称该点列收敛于x0,并记为limxn=x0或xn→x0.n→∞在上面距离空间的定义中我们只涉及到X上的拓扑,当X还是线性空间时,我们常把其上的代数运算和拓扑联系起来,从而引出下面概念定义2.1.5.设X是数域K上的线性空间,赋予距离d(?,?),使得元素的加法和数乘按d所确定的极限都是连续的,即(1)d(xn,x)→0,d(yn,y)→0?d(xn+yn,x+y)→0;(2)d(xn,x)→0?d(αxn,αx)→0,?α∈K;(3)αn→α,x∈X?d(αnx,αx)→0.那么线性空间X称为距离线性空间.2930第二章空间理论在介绍常见距离空间之前,先给出两个常用公式.引理2.1.6.(H¨older不等式)设p,q&1,(|ξkηk|≤1+1=1,则)∞(1)对于任意的复数列{ξk}∞k=1,{ηk}k=1,恒有不等式∞∑k=1∞∑k=1)(|ξk|p∞∑k=1|ηk|q成立.(2)对于区间[a,b]上的“p幂可积”(即∫ba|x(t)|pdt&+∞)函数x(t)和“q幂可积”函1(∫)数y(t),有∫ab(∫|x(t)y(t)|dt≤ab|x(t)|pdtba|y(t)|qdt)1.证明对任意的A,B≥0,必有ApBq+AB≤pq1p事实上,注意到函数f(x)=x+1(2.1.1)?x(x≥0)在x=1时取得最小值,从而在不等式f(x)≥f(1)中令x=AB(此处B=0,而B=0不等式为真)即得.(1)在不等式(2.1.1)中令A=(|ξk|k=1|ξk|p),1B=(|ηk||ηk|q)1,k=1则有|ξk||ηk||ξk|p|ηk|q≤+,11(|ξk|p)(|ηk|q)p?|ξk|pq?|ηk|qk=1k=1k=1k=1对k求和,化简即得所要结论.(2)令|x(t)|A=,bp(a|x(t)|dt)|y(t)|B=,bq(a|y(t)|dt)则有|x(t)|p|y(t)|q|x(t)y(t)|+,b≤bpqpqp?a|x(t)|dtq?a|y(t)|dt(a|x(t)|dt)(a|y(t)|dt)由于上面不等式右端是可积函数,由定理1.4.14知左端也是可积函数.将上式两边积分有§2.1距离空间∫ba31|x(t)y(t)|dt11+=1.≤b11bpqpq(a|x(t)|)(a|y(t)|)即∫ab∫b∫b11|x(t)y(t)|dt≤(|x(t)|pdt)(|y(t)|qdt)
.aa注记2.1.7.当p=q=2时,(1),(2)即为Cauchy不等式和Schwarz不等式.引理2.1.8.(Minkowski不等式)设p≥1,则∞(1)对于任意的复数列{ξk}∞k=1,{ηk}k=1,恒有不等式(∞∑k=1)|ξk+ηk|p≤(∞∑k=1)|ξk|p(+∞∑k=1)|ηk|p成立.(2)对于区间[a,b]上的“p幂可积”函数x(t)和y(t),有(∫ab1)|x(t)+y(t)|pdt(∫≤ab|x(t)|pdt1)(∫+ab|y(t)|pdt1).p,证明当p=1时,由三角不等式易证以上结论是正确的.当p&1时,设q=1则+1=1.∞∞∞(1)若{ξk}∞k=1或{ηk}k=1不是p幂可和的,结论显然成立;假设{ξk}k=1和{ηk}k=1都∞∞1∑∑p?1q是p幂可和的,因为(p?1)q=p,所以级数(|ξk|)收敛,从而[(|ξk|p?1)q]&+∞.k=1k=1由引理2.1.6,有∞∑k=1|ξk+ηk|p≤∞∑|ξk+ηk|p?1|ξk|+1∞∑|ξk+ηk|p?1|ηk|∞∑1|ξk|p)+(|ηk|p)]1≤(=(∞∑k=1∞∑k=1∞∑k=1|ξk+ηk|(p?1)q)[(p1k=1∞∑k=1k=1∞∞∑∑11p|ξk|)+(|ηk|p)]},|ξk+ηk|)[(k=1∞∑1k=1两端同除以(到1?1=1,k=1|ξk+ηk|p)(不妨设(1k=1|ξk+ηk|p)=0,否则结论显然成立),并注意命题得证.(2)证明与(1)类似
.32第二章空间理论例2.1.9.空间lp(1≤p&+∞).lp是由满足lp,∞∑i=1|xi|p&+∞的全体序列x={xi}生成的空间.对任意的x={xi},y={yi}∈α∈K,定义x+y={xi+yi},αx={αxi},d(x,y)=(∞∑i=1|xi?yi|),p1则lp是线性距离空间.证明：对任意复数a,b,显然|a+b|p≤(|a|+|b|)p≤(2max{|a|,|b|})p≤2p(|a|p+|b|p).据此容易证明lp按上述定义的加法和数乘是一个线性空间.下证lp是一个距离空间.容易证明距离空间定义中的(1),(2),下证三角不等式成立.设x={xi},y={yi},z={zi}∈lp,由Minkowski不等式(∞∑i=1)|xi?zi|p(≤∞∑i=1)|xi?yi|p+(∞∑i=1)|yi?zi|p,易知d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).再证明线性运算按此距离是连续的.0n0设xn={xni}→x0={xi},yn={yi}→y0={yi},λn→λ0,由Minkowski不等式有∞∞∞∑∑∑111n0pn0pn00p≤(|x?x|)+(|y?y|),(|xn+y?x?y|)iiiiiiiii=1i=1i=1即d(xn+yn,x0+y0)≤d(xn,x0)+d(yn,y0)→0,以及∞∞∞∑∑∑111n0pn0p00p|λnxi?λnxi|)+(|λnxi?λ0xi|),(|λnxi?λ0xi|)≤(i=1i=1i=1§2.1距离空间33即d(λnxn,λ0x0)≤d(λnxn,λnx0)+d(λnx0,λ0x0)→0,从而加法和数乘运算按此距离均为连续的.综上知lp是一个线性距离空间
.类似的可以定义Lp[a,b](1≤p&+∞)空间,L[a,b]??{x(t)|x(t)是[a,b]上Lebesgue可测函数且ap∫b|x(t)|pdt&+∞},对任意的x(t),y(t)∈Lp[a,b],α∈K,定义(x+y)(t)=x(t)+y(t),(αx)(t)=αx(t),t∈[a,b](∫d(x,y)=ab1)|x(t)?y(t)|pdt,则Lp[a,b]是线性距离空间(几乎处处相等函数视为同一函数).∞例2.1.10.有界序列空间l∞,即对每个x={xi}∞i=1∈l,存在常数Mx&0,使得对∞∞∞所有的i,|xi|≤Mx.对x={xi}∞i=1,y={yi}i=1∈l,定义d(x,y)=sup|xi?yi|,则l是i一个距离空间.证明易证距离空间定义中的(1),(2).下证三角不等式成立.因为|xi?zi|≤|xi?yi|+|yi?zi|,所以|xi?zi|≤sup|xi?yi|+sup|yi?zi|,从而有iid(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).所以l∞是一个距离空间
.在给出下面例子之前,先介绍本质上确界的概念.设f是[a,b]上的Lebesgue可测函数,如果存在[a,b]上的一个零测度子集E,使得f在[a,b]?E上有界的,则称f是[a,b]上的本质有界可测函数.称ess-sup|f(t)|=[a,b]m(E)=0[a,b]?Einf{sup|f(t)|}为f在[a,b]上的本质上确界.例2.1.11.用L∞[a,b]表示[a,b]上所有本质有界可测函数全体构成的空间,几乎处处相等的函数看作同一函数.在L∞[a,b]中定义距离d(x,y)=ess-sup|x(t)?y(t)|,?x,y∈L∞[a,b].[a,b]则L∞[a,b]是距离空间.34第二章空间理论证明(1)显然d(x,y)≥0.如果x(t)=y(t)a.e.于[a,b],则d(x,y)=0.反过来,如果d(x,y)=0,则对每个自然数n,存在En?[a,b],m(En)=0,且sup|x(t)?y(t)|&1.n[a,b]?En令E=∞∪n=1En,则m(E)=0,而且sup|x(t)?y(t)|≤sup|x(t)?y(t)|&1.n[a,b]?E[a,b]?En令n→∞,得[a,b]?Esup|x(t)?y(t)|=0.所以x(t)=y(t)a.e.于[a,b],即x=y.(2)d(x,y)=d(y,x)显然.(3)设x(t),y(t),z(t)∈L∞[a,b],则对任意的?&0,存在[a,b]上的零测度集E0,E1使得?sup|x(t)?y(t)|&d(x,y)+,2[a,b]?E0?sup|y(t)?z(t)|&d(y,z)+.2[a,b]?E1从而sup[a,b]?E0∪E1|x(t)?z(t)|[a,b]?E0∪E1[a,b]?E0≤sup|x(t)?y(t)|+[a,b]?E0∪E1sup|y(t)?z(t)|≤sup|x(t)?y(t)|+sup|y(t)?z(t)|[a,b]?E1≤d(x,y)+d(y,z)+?.即d(x,z)=m(E)=0[a,b]?Einf{sup|x(t)?z(t)|}≤d(x,y)+d(y,z)+?.由?的任意性知三角不等式成立.综上,L∞[a,b]是一个距离空间
.例2.1.12.设(s)表示一切序列的全体,对x={xi},y={yi}∈(s),定义§2.1距离空间35x+y={xi+yi},αx={αxi},α∈K∞∑1|xi?yi|d(x,y)=,2i1+|xiii=1则(s)是一个距离线性空间.证明只证明三角不等式.即证∞∞∞∑∑∑1|xi?yi|1|xi?zi|1|yi?zi|d(x,y)=≤+,21+|xii21+|xii21+|yiii=1i=1i=1只需证明对每个i∈N,有|xi?zi||zi?yi||xi?yi|≤+,1+|xii1+|xii1+|zii即可.为此,考虑(0,∞)上的函数f(t)=数.所以当0&t1&t2时,t11t,因为f′(t)&0,f(t)是(0,∞)上的单调增函≤t22,从而有|xi?yi||xi?zi|+|zi?yi||xi?zi||zi?yi|≤≤+.1+|xii1+|xiiii1+|xii1+|zii容易验证s中加法和数乘按上述定义的距离是连续的,所以(s)是距离线性空间
.定义2.1.13.距离空间(X,d)上的子集A称为闭集是指：对任意的{xn}?A,若xn→x0,则x0∈A.定理2.1.14.在距离空间中,开集的余集是闭集,闭集的余集是开集.证明假设集合A是距离空间X中开集,下证A的余集X?A是闭集,即证对任意的{xn}∞n=1?X?A,若xn→x0,则x0∈X?A.若不然,x0∈A,由A是开集知存在x0的邻域B(x0,δ)使得x0∈B(x0,δ)?A.而x0是极限点,在B(x0,δ)中必有序列{xn}∞n=1中元存在,矛盾.所以X?A是闭集.假设A是距离空间X中闭集,下证A的余集X?A是开集.即证对任意的x∈X?A,存在B(x,δ),使得B(x,δ)?X?A.11若不然,存在x0∈X?A,对任意的B(x0,),n∈N,都有B(x0,)不含于X?A.1),显然xn→x0,而A是闭集,所以x0∈A,矛盾.因因而可以选取序列xn∈A∩B(x0,此X?A是开集
.36第二章空间理论定义2.1.15.设f是从距离空间(X,d)到距离空间(Y,ρ)的映射,x0∈X,如果对f(x0)的任意邻域V,都存在x0的邻域U,使得f(U)?V,则称f在点x0处连续.如果f在X上每一点都连续,就称f是连续映射.定理2.1.16.设f是从距离空间(X,d)到距离空间(Y,ρ)的映射,则f是连续映射的充分必要条件是对Y中任意开集V,f?1(V)是X中开集,其中f?1(V)={x∈X|f(x)∈V}表示集合V的原像.证明必要性假设f连续,V是Y中开集.对任意的x0∈f?1(V),取f(x0)的邻域Vf(x0)?V,由f的连续性,存在x0的邻域Ux0使得对任意的x∈Ux0,有f(x)∈Vf(x0).故Ux0?f?1(Vf(x0))?f?1(V),即f?1(V)是X中开集.充分性任给x0∈X,取f(x0)的任意邻域Vf(x0).由假设知f?1(Vf(x0))是开集.因为x0∈f?1(Vf(x0)),存在x0的邻域Ux0使得Ux0?f?1(Vf(x0)).即f(Ux0)?Vf(x0),故f在x0处连续
.§2.1.2可分性与完备性定义2.1.17.设(X,d)为距离空间,A?X,如果对任给的?&0以及任意的x∈X,都存在x0∈A,使得d(x0,x)&?,则称A为X的稠密子集.如果X内存在一个可数的稠密子集,则称空间X为可分的.定理2.1.18.若(X,d)是可分距离空间,则X的任意子集A均可分.证明由(X,d)可分,知存在一序列{xn}∞n=1?X在X中稠密.作开球11B(xn,)={x|d(x,xn)&,x∈X},n,k∈N.kk设A非空(A=?时不需证明),因为∞∪n,k=11B(xn,)=X,所以∞∪1对于使A∩B(xn′,)=?的集,任取一元素yn′,k′∈n,k=11A∩B(xn′,),则这些yn′,k′的全体就1[A∩B(xn,)]=A=?,构成了A的一个可数集,记为{yn}∞n=1.∞下证{yn}∞n=1在A中稠密.事实上,对任意的y∈A,以及任意的?&0,由于{xn}n=1在X中?11,使得y∈B(xn0,).所以A∩B(xn0,)=?,因而可以得稠密,存在xn0以及10&00到yn1∈{yn},使得yn1∈A∩B(xn0,10),从而d(yn1,y)≤d(yn1,xn0)+d(xn0,y)&11+&?.k0k0§2.1距离空间37即{yn}∞n=1在A中稠密
.常见的空间Rn,lp(1≤p&+∞)都是可分的距离空间,但是不可分的距离空间也是存在的.例2.1.19.lp(1≤p&+∞)是可分的距离空间证明以实的lp为例证明.令A={y|y=(y1,y2,???,yn,0,???,0),yi为有理数,i=1,???,n,n∈N},显然A是lp的可列子集.对任意的x=(x1,???,xn,???)∈lp,??&0,?N,n&N时,有∞∑i=n+11|xi|p&?p2由于有理数集Q在实数集R中稠密,则对每个xi,存在yi∈Q,使得n∑i=11|xi?yi|p&?p.2则y=(y1,y2,???,yn,0,???,0)∈A,且(d(x,y)=n∑i=1p∞∑i=n+1)|xi|p|xi?yi|+&?,因此A在lp中稠密,lp可分
.例2.1.20.设X=[0,1],?x,y∈X,定义??0,x=y,d(x,y)=?1,x=y.则(X,d)是一个距离空间,但不可分.证明易证(X,d)是一个距离空间,下面证明(X,d)不可分.假设(X,d)可分,则存在可列子集{xn}∞n=1?X在X中稠密,又X=[0,1]是不可列?∞集,故存在x?∈X,x?=xn,n∈N.取δ=1,则在B(x,δ)中不含{xn}n=1中的点,矛盾
.定义2.1.21.设{xn}∞n=1是距离空间(X,d)中的序列,如果对任意的?&0,存在自然数N,使得当n,m≥N时,d(xn,xm)&?,则称{xn}∞n=1是Cauchy列(基本列).如果距离空间(X,d)中的任何Cauchy序列均收敛,则称(X,d)为完备的.38第二章空间理论例2.1.22.C[0,1]表示[0,1]上所有复值连续函数构成的空间,在C[0,1]中定义加法、数乘和距离如下：(x+y)(t)=x(t)+y(t),(αx)(t)=αx(t),d(x,y)=max|x(t)?y(t)|,0≤t≤1其中x(t),y(t)∈C[0,1],α∈C,则C[0,1]是一个完备的距离线性空间.证明只证C[0,1]是完备的.设{xn}∞n=1是C[0,1]中的Cauchy序列,则任给?&0,存在自然数N,使得当n,m≥N时,d(xn,xm)=max|xn(t)?xm(t)|&?,n,m≥N.0≤t≤1显然对0≤t≤1,{xn(t)}∞n=1收敛.设limxn(t)=x(t),则在上式中令m→∞得n→∞|xn(t)?x(t)|≤?,n≥N,0≤t≤1.这表明{xn(t)}∞n=1在[0,1]上一致地收敛到x(t).所以x(t)也是[0,1]上的连续函数.由上式有d(xn,x)=max|xn(t)?x(t)|≤?,n≥N,0≤t≤1即C[0,1]是完备的
.??ρ)是一个完备的距离空间,若存在映定义2.1.23.设(X,d)是一个距离空间,(X,??,使得射T:X→Xd(x,y)=ρ(T(x),T(y)),?x,y∈X,??中的稠密子集,就称X??是X的完备化.且T(X)是X定理2.1.24.任何距离空间都可以完备化.??.对X??中元ξ={xn},证明将距离空间(X,d)中所有Cauchy序列的集合记作X??中元ξ={xn},η={yn},η={yn},若limd(xn,yn)=0,则称ξ与η相等,记作ξ=η.对Xn→∞定义ρ(ξ,η)=limd(xn,yn).n→∞因为{xn},{yn}是X中的Cauchy序列,易证{d(xn,yn)}∞n=1是Cauchy数列,所以上述极限′}使得ξ={x′},η={y′},则存在.假设又有Cauchy序列{x′n},{ynnnn→∞limd(xn,x′n)=0,n→∞′limd(yn,yn)=0.§2.1距离空间39又′′′d(x′n,yn)≤d(xn,xn)+d(xn,yn)+d(yn,yn),于是n→∞′limd(x′n,yn)≤limd(xn,yn).n→∞类似地有反向不等式成立,总之n→∞′limd(x′n,yn)=limd(xn,yn).n→∞这说明ρ(ξ,η)不依赖于表示ξ,η的具体Cauchy序列.因而ρ(?,?)的定义是完善的.??,则显然ρ(?,?)满足距离定义中的(1),(2).设ξ={xn},η={yn},ζ={zn}∈Xρ(ξ,ζ)=limd(xn,zn)≤limd(xn,yn)+limd(yn,zn)n→∞n→∞n→∞=ρ(ξ,η)+ρ(η,ζ),??ρ)是距离空间.即ρ(?,?)满足距离定义中的(3),(X,??ρ)的映射T如下：定义(X,d)到(X,T(x)=x?={x,x,???,x,???},?x∈X.设y∈X,则T(y)=y?={y,y,???,y,???},于是ρ(T(x),T(y))=limd(x,y)=d(x,y).n→∞?是一个等距映射.所以T:X→X??中稠密.设ξ={xn}∈X?.令x往证T(X)在X?k={xk,xk,???,xk,???},k∈N,则x?k=T(xk)∈T(X).对任何的?&0,因为{xn}∞n=1是X中Cauchy列,故存在自然数N,使得当n,m≥N时,d(xn,xm)&?.于是ρ(ξ,x?k)=limd(xn,xk)≤?,k≥N.n→∞??中稠密.即T(X)在X??完备.设{ξn}∞是X??中Cauchy序列,由于T(X)在X??中稠密,对每个ξn,最后证明Xn=11,于是必有xn∈X,使得x?n=T(xn),且ρ(?xn,ξn)&d(xn,xm)=ρ(?xn,x?m)≤ρ(?xn,ξn)+ρ(ξn,ξm)+ρ(ξm,x?m)≤1+ρ(ξn,ξm)+1,40第二章空间理论??所以{xn}∞n=1是X中的Cauchy序列,记ξ={xn},则ξ∈X,并且当n→∞时,ρ(ξn,ξ)≤ρ(ξn,xn)+ρ(xn,ξ)≤??是完备的
.即X1+limd(xn,xm)→0.m→∞距离空间的完备化具有重要的意义.例如,有理数集Q在欧氏距离下不完备,但是如果把R看作是稠密集Q的扩充,则扩充后其具有完备性,从而使得x2?2=0这类方程有解.§2.1.3§2.1.3.1紧集与列紧集紧集在距离空间中,紧、列紧和全有界密切相关.定义2.1.25.设(X,d)是距离空间,A?X,如果A中任何点列都有收敛于X中点的子列,则称A是列紧集.定义2.1.26.设(X,d)是距离空间,A?X,如果A的任何开覆盖都存在有限的子覆盖,则称A是紧集.如果X是紧集,则称空间X是紧空间.开覆盖定义如下：∪α定义2.1.27.设X是一个非空集合,{Aα}是X的一族开子集,A?X,如果A?Aα,则称开集族{Aα}覆盖A或{Aα}是A的一个开覆盖.可以证明紧集必是闭集,紧集的闭子集是紧集.定义2.1.28.设(X,d)是距离空间,A,B?X,?为给定正数.如果对A中的任何点x,必有B中的点x′,使得d(x,x′)&?,则称B是A的一个?-网.定义2.1.29.设(X,d)是距离空间,A?X.如果对任意给定正数?,A总存在有限的?-网,则称A是X中的全有界集.定理2.1.30.设(X,d)是一个距离空间,则(1)列紧集必是全有界集;(2)若(X,d)是完备的,A?X,则A是列紧集的充分必要条件是A是全有界集.§2.1距离空间41证明(1)设A是列紧集.对任意的?&0,任取x1∈A,若A?B(x1,?),则{x1}是A的有限?-网.否则,取x2∈A?B(x1,?),如果B(x1,?)∪B(x2,?)?A,则{x1,x2}是A的有限?-网.???,依此下去,经过有限次选取后,例如n次后必有n∪∞有限的?-网.否则,可得点列{xn}∞n=1?A满足d(xn,xm)≥?,n=m,因而{xn}n=1无收i=1B(xi,?)?A,则得到A的敛子列,与A的列紧性矛盾.(2)只需证明充分性.若{xn}∞n=1是A中任意无穷点列,想找一个收敛子列.(1)∞对1?网,存在y1∈A,使得{xn}∞中无穷点的子列{xn}n=1?B(y1,1);n=1(1)∞(2)∞1-网,存在y∈A,使得{x}中无穷点的子列{x对1nn}n=1?B(y2,);2n=1???,???,???(k?1)∞(k)11对-网,存在yk∈A,使得{xn}n=1中无穷点的子列{xn}∞n=1?B(yk,);???,???,???k)∞∞的子列,因为{x(n+p)}∞是{x(n)}∞的子最后抽出对角线元{x(},它是{x}nnnn=1n=1n=1k=1k列,n)(n)d(xn+p,x(n)≤d(xn+p,yn)+d(xn,yn)≤(n+p)(n+p)2,nk)∞(k)∞所以{x(}是一个Cauchy列.而(X,d)是完备的,{xk=1kk}k=1收敛
.定理2.1.31.在距离空间中,任何全有界集都是可分的.证明设A是距离空间(X,d)的全有界集,则对任给的?&0,可取A的有限子集?作为A的?-网.事实上,由假设存在A的-网,记为{y1,y2,???,yj}.任取xk∈A∩?),k=1,???,j,则{x1,???,xj}?A.易见它是A的?-网.B(yk,∞∪n=1现在,对每个自然数n,设Nn?1A是A的有限的-网.1使得令N=Nn,则N?A,且是一个可数集.任给?&0,x∈M,应有自然数n,d(xn,x)&&?,及xn∈Nn,使得1&?.n可见N在A中稠密.总之,A是可分的
.距离空间中紧性与列紧性关系如下：定理2.1.32.设(X,d)是一个距离空间,A?X,则A为紧集的充分必要条件是A是列紧闭集.42第二章空间理论∞证明若A是X中的紧集,{xn}∞n=1是A中的点列.如果{xn}n=1不存在收敛于A中某点的子序列,则对每点ξ∈A,必存在δξ&0使得B(ξ,δξ)不包含{xn}∞n=1中异于ξ的点.否则,存在某个ξ∈A,在ξ的任意邻域内都包含{xn}∞n=1中异于ξ的点,则ξ便是{xn}∞n=1中某个子序列的极限,与假设矛盾.显然B(ξ,δξ)的全体形成A的一个开覆盖.因为A是紧的,必存在有限子覆盖,设其为B(ξ1,δξ1),???,B(ξk,δξk).根据选取方∞式,每个B(ξj,δξj)最多只包含{xn}∞n=1中一个点.于是{xn}n=1中只有有限个不同点,从而{xn}∞n=1有收敛于A中某点的子序列,这和假设矛盾,所以A列紧.反之,若A是X中的列紧闭集,由定理2.1.30,2.1.31可知A是可分的,即A中存在可数稠密子集A0.设{Aλ|λ∈Λ}是A的任意开覆盖.任给x∈A,必有某个Aλ使得x∈Aλ.因为Aλ是开集,存在δ&0,使得B(x,δ)?Aλ.因A0是A的稠密子集,故存在某个x′∈A0及有理数r′&0使得x′∈B(x′,r′)?B(x,δ)?Aλ.现在我们考虑以A0的元为心,正有理数为半径,而且包含于某个Aλ内的球的全体,它们至多是可数个,记为B1,B2,???,它们形成了A的一个开覆盖.我们断言,{Bn}∞n=1中必有有限个覆盖了A.若不然,对每个自然数n,都存在点xn∈A?n∪j=1Bj.因为A是列∞紧的,{xn}∞n=1中存在一个子序列{xnk}k=1收敛于一点x0∈A.易证x0不属于任何Bn.这与{Bn}∞n=1是A的覆盖矛盾,故存在有限个{B1,B2,???,Bk}覆盖了A.由Bn的构造应有Aλj,λj∈Λ,使得Aλj?Bj,j=1,2,???,k.于是{Aλ1,Aλ2,???,Aλk}是A的有限子覆盖
.下面详细介绍一种证明紧性的典型方法?对角线法.∞设{akn}∞k,n=1是一有界数列,则对每个k,存在收敛子序列{aknk(j)}j=1.一般说来,对不同的k,{nk(j)}∞j=1是不同的自然数子序列.对角线方法就是要对所有的k,∞找到一个共同的自然数子序列{n(j)}∞j=1使得对每个k,{akn(j)}j=1都收敛.具体过∞程是：把{akn}∞k,n=1排成一个无穷方阵,第一个数列{a1n}n=1排在第一行,第二个数列{a2n}∞n=1排在第二行,依此类推,有a11a21a31a12a22a32a13a23a33?????????a1na2na3n?????????§2.1距离空间???ak1ak2??????ak3?????????????????????akn??????43∞先看第一行,由于{a1n}∞n=1是有界数列,必有收敛子序列{α1n1(j)}j=1,再看第二行的子∞∞序列{a2n1(j)}∞n=1,它也存在收敛的子序列{a2n2(j)}j=1,再看第三行的子序列{a3n2(j)}n=1,它也存在收敛的子序列,记为{a3n3(j)}∞j=1,如此继续下去,便得到一串收敛数列排成的无穷方阵a1n1(1)a2n2(1)a3n3(1)a1n1(2)a2n2(2)a3n3(2)???aknk(1)???a1n1(3)a2n2(3)a3n3(3)????????????????????????a1n1(j)a2n2(j)a3n3(j)???aknk(j)???????????????aknk(2)??????aknk(3)??????这个方阵中的每一行都是一个收敛的无穷数列.对应地,我们得到这些数列的第二个指标排成的无穷方阵：n1(1)n1(2)n2(1)n2(2)???????????????n1(j)???n2(j)?????????nk(1)nk(1)????????????nk(j)?????????根据前面的选取,我们看到该方阵中下面一行的指标序列都是上面一行的指标序列的子序列.现在我们把上面无穷方阵中对角线上的元素取出来,得到一个指标序∞列nj(j)∞j=1,这就是我们要找的自然数的子序列,使对每个k,{aknj(j)}j=1都收敛.事实∞∞上,对每个k,当j≥k时,{nj(j)}∞j=1便是{nk(j)}j=1的子序列,从而序列{aknj(j)}j=1就是{aknk(j)}∞j=1的子序列,因而是收敛的.44§2.1.3.2第二章空间理论列紧集的应用定义2.1.33.设(X,d)是距离空间,C(X)是X上连续函数空间,A?C(X).如果对任意给定正数?,存在δ&0,使得当x,y∈X,d(x,y)&δ时,对任意的f∈A,|f(x)?f(y)|&?,则称A是等度连续的函数族.定理2.1.34.(Arzel′a-Ascoli定理)A?C[0,1]是列紧集的充分必要条件是A为一致有界且等度连续的函数族.∞证明充分性.设{fn}∞n=1是A中的无穷序列,因为C[0,1]中序列{fn}n=1收敛等价∞∞于{fn(t)}∞n=1在[0,1]上一致收敛.故只须证明存在{fn(t)}n=1的某个子序列{fnj(t)}j=1在[0,1]上一致收敛.将[0,1]中全体有理数排成序列r1,r2,???,rj,???,考虑无穷方阵fn(rj)∞n,j=1,由假设它们是一致有界的.根据对角线方法,有子序列{fni(i)(t)}∞i=1在一切rj,j∈N处收敛,简记这个子序列为{fn(i)(t)}∞i=1.′′′任给?&0,由{fn(i)(t)}∞i=1的等度连续性,有δ&0,使对一切i∈N,当|t?t|&δ时,?|fn(i)(t′′)?fn(i)(t′)|&,3显然我们可以找到有限个rj,j=1,2,???,J使得[0,1]?J∪j=1(rj?δ,rj+δ).因为对每个rj,{fn(i)(rj)}∞i=1收敛,于是存在N=N(?),对每个j=1,???,J,当i,k≥N时,?|fn(i)(rj)?fn(k)(rj)|&.3对任何t∈[0,1],应有某个rj(j=1,2,???,J)使|t?rj|&δ.从而|fn(i)(t)?fn(k)(t)|≤|fn(i)(t)?fn(i)(rj)|+|fn(i)(rj)?fn(k)(rj)|+|fn(k)(rj)?fn(k)(t)|&???++=?,§2.2赋范线性空间45这说明{fn(i)(t)}∞i=1在[0,1]上一致收敛.必要性.设A列紧,则A全有界,从而一致有界,即存在常数K&0,使得对一?切t∈[0,1],f∈A,有|f(t)|≤K.任给?&0,A存在有限的-网{f1,f2,???,fm}使对任?给的f∈A,都有一个fi(1≤i≤m)使得d(f,fi)&,其中d(?,?)是C[0,1]上的距离.注意f1(t),f2(t),???,fm(t)都在[0,1]上一致连续,因此存在δ&0使得对一切t′,t′′∈[0,1],当|t′?t′′|&δ时,?|fi(t′)?fi(t′′)|&,i=1,2,???,m.3对任意的f∈A,当|t′′?t′|&δ时,有|f(t′′)?f(t′)|≤|f(t′′)?fi(t′′)|+|fi(t′′)?fi(t′)|+|fi(t′)?f(t′)|≤d(f,fi)+|fi(t′′)?fi(t′)|+d(f,fi)&???++=?,即A是等度连续的函数族
.§2.2§2.2.1赋范线性空间赋范线性空间的定义与性质定义2.2.1.设X是一个复(或实)线性空间,若有从X到R的函数∥x∥,使得?x,y∈X,α∈K,K为实数域或复数域,有(1)∥x∥≥0;∥x∥=0?x=0;(2)∥αx∥=|α|∥x∥;(3)∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥;则称∥x∥为x的范数,(X,∥?∥)为复(或实)赋范线性空间.定义2.2.2.设X是赋范线性空间,{xn}∞n=1是X中的序列,如果n→∞lim∥xn?x∥=0,则称{xn}∞n=1按范数收敛于x,记为limxn=x或xn→x.n→∞定义2.2.3.若X按距离d(x,y)=∥x?y∥是完备的,称X为Banach空间.46第二章空间理论定义2.2.4.若上述对应的∥x∥满足定义2.2.1中条件(1),(3)以及条件(2)′∥?x∥=∥x∥,lim∥αnx∥=0,αn→0xn→0lim∥αxn∥=0,则称∥x∥为x的准范数,相应的空间称为复(或实)赋准范线性空间.若上述对应的∥x∥满足定义2.2.1中条件(2),(3)以及条件(1)′∥x∥≥0,x=0?∥x∥=0,则称∥x∥为x的拟范数,(X,∥?∥)为复(或实)赋拟范线性空间.例2.2.5.在lp(1≤p&+∞)中定义(∥x∥=∞∑i=1)|xi|p,x={xi}∈lp,则lp是Banach空间.证明由例2.1.9知lp是一线性空间.由正项级数性质知,上面定义的∥x∥满足定义2.2.1中条件(1),(2),而(3)可由Minkowski不等式直接得出,所以∥x∥是一个范数.因而lp是一赋范线性空间.下证lp是完备的,即lp是Banach空间.(n)∞设{xn={ξk}}n=1是lp中Cauchy列,则对任意的?&0,存在自然数N,使得i,j&N时,有∥xi?xj∥=(∞∑k=1)(i)|ξk?(j)ξk|p&?.(i)(j)于是,对每个下标k,一致的有|ξk?ξk|&?.从而由数列的Cauchy判别法知,对于每(i)∞0.又对任意的n∈N,均有一个下标k,相应数列{ξk}i=1均有极限ξk(n∑k=1)(i)|ξk?(j)ξk|p&?(?i,j&N),故对以上有限项,取j→∞时的极限,可得(n∑k=1)(i)|ξk?0pξk|≤?(?i&N),§2.2赋范线性空间47再取n→∞时的极限可得(∞∑k=10},则x?x∈lp,所以x=x?(x?x)∈lp,且∥x?x∥→0,因而lp是完令x0={ξki00ii0i0)(i)|ξk?0pξk|≤?(?i&N).备的
.例2.2.6.在Lp[a,b](1≤p&+∞)中定义∫∥x∥=(ab|x(t)|pdt)1/p,则Lp是Banach空间.证明显然∥x∥满足范数定义2.2.1中条件(1),(2),而由Minkowski不等式,可证∥x∥满足(3),因而是一个范数.由例2.1.9后说明知Lp[a,b]是一线性空间.下证Lp[a,b]是完备的.p设{xn}∞n=1是L[a,b]上的Cauchy列,则?k∈N,存在正整数Nk,只要n,m≥Nk,就有∥xn?xm∥&1.2不妨取N1&N2&???,于是,我们可以得到∞∑k=1∥xNk+1∞∑1?xNk∥≤=1.2k=1令ym(t)=|xN1(t)|+p显然有{ym(t)}∞m=1∈L[a,b].从而有m∑k=1|xNk+1?xNk(t)|,∥ym∥≤∥xN1∥+m∑k=1∥xNk+1?xNk∥≤∥xN1∥+1(m∈N),又因{(ym(t))p≥0}∞m=1均是可测的,故由Fatou引理,有∫balim(ym(t))pdt≤lim=(ym(t))pdtalim∥ym∥p≤(∥xN1∥∫b+1)p.48第二章空间理论又{ym(t)}∞m=1是单调增函数列,所以mlim→∞ym(t)总存在(有限或者为∞),从而有∫b(mlim→∞ym(t))pdt≤(∥xNa1∥+1)p.因而有mlim→∞ym(t)&∞(a.e.),即|x∑∞N1(t)|+|xNk+1(t)?xNk(t)|k=1a.e.收敛于[a,b],由此推出x∑mNm+1(t)=xN1(t)+(xNk+1(t)?xNk(t))k=1也a.e.收敛于[a,b].于是mlim→∞xNm(t)在[a,b]上a.e.存在,可设x(t)=mlim→∞xNm(t)a.e.于[a,b],则x(t)可测.再由|x(t)|≤|xN1(t)|+∑∞(t)?xNk=1|xNk+1k(t)|=mlim→∞ym(t)∈Lp[a,b],可知x(t)∈Lp[a,b].又因为{xnm}∞n,m=1?{xn}∞n=1,{xn}∞n=1为一Cauchy列,并且有∥x?xNm∥≤∑∞∥xNk+1?xNk∥,k=m以及∥x?xn∥≤∥x?xNm∥≤∥xNm?xn∥,所以∥x?xn∥→0,当n→∞
.例2.2.7.C[a,b]在通常加法、数乘意义下构成线性空间.在C[a,b]上定义∥x∥=tmax∈[a,b]|x(t)|,则C[a,b]是一个Banach空间.§2.2赋范线性空间49证明因为闭区间[a,b]上的连续函数能达到最大值,所以此范数定义是有意义的,并且容易证明它满足范数的三条性质,从而C[a,b]是一个赋范线性空间.又因为在此范数定义下,距离为d(x,y)=∥x?y∥=max|x(t)?y(t)|,t∈[a,b]如例2.1.22一样可以证明C[a,b]按上述距离是完备的,所以C[a,b]是一个Banach空间
.注记2.2.8.若在C[a,b]上定义∫∥x∥=ab|x(t)|dt,则C[a,b]也构成一个赋范线性空间,但不是完备的.由上面例子可知,在同一个线性空间中,可以用多种方式来定义范数.由此引出等价范数的概念.定义2.2.9.设∥?∥1,∥?∥2是线性空间X中的两个范数,如果对任何{xn}∞n=1?X,∥xn∥2→0,n→∞?∥xn∥1→0,n→∞则称∥?∥2比∥?∥1强.如果∥?∥2比∥?∥1强,而且∥?∥1比∥?∥2强,则称∥?∥1和∥?∥2等价.∞定理2.2.10.设X是赋范线性空间,{xn}∞n=1,{yn}n=1是X中的序列.(1)若xn→x,则{∥xn∥}∞n=1有界；(2)若xn→x,yn→y,则xn+yn→x+y,αxn→αx,其中α为常数;(3)范数∥x∥是x的连续函数.证明仅证(3).由于∥xn∥≤∥xn?x∥+∥x∥以及∥x∥≤∥x?xn∥+∥xn∥,从而有|∥xn∥?∥x∥|≤∥xn?x∥.即若xn?→x,则∥xn∥→∥x∥
.赋范线性空间也可以完备化.50第二章空间理论定义2.2.11.设(X1,∥?∥1),(X2,∥?∥2)是同一数域上的两个赋范线性空间,如果存在单且满的线性映射T:X1→X2,满足∥Tx∥2=∥x∥1,?x∈X1则称(X1,∥?∥1),(X2,∥?∥2)线性等距同构,T是线性等距同构映射.定理2.2.12.设X是赋范线性空间,那么必存在Banach空间Y,使得X与Y的一个稠密子集Y1线性等距同构,且在线性等距同构意义下,Y是唯一的.证明参见文献[1],P59.赋范线性空间的可分性定义同距离空间相类似,常见的lp,Lp(1&p&∞)都是可分的赋范线性空间.为了讨论C[a,b]的可分性,我们先介绍著名的Weierstrass定理,它在近似计算、概率论等学科都有广泛的应用.定理2.2.13.(Weierstrass定理)假设x∈C[0,1],相应的多项式Bn(t)=k是二项式系数.则有其中Cnn∑k=0kkCnx()tk(1?t)n?k(n∈N),n∥Bn?x∥=sup|Bn(t)?x(t)|→0(n→∞).0≤t≤1证明首先,假设kkbn,k(t)=Cnt(1?t)n?k(k=1,2,???,n),则有n∑k=0n∑k=0bn,k(t)=1,n∑k=0n?1∑k=0kkk?1(1Cntkbn,k(t)=nt=nt?t)n?kbn?1,k(t)=nt,n?2∑k=0和n∑k=0k(k?1)bn,k(t)=n(n?1)t2bn?2,k(t)=n(n?1)t2,§2.2赋范线性空间51进而有n∑k=0222(k?nt)2bkn(t)=nt?(2nt?1)nt+n(n?1)t=nt(1?t)(n∈N).其次,由闭区间上的连续函数性质知：存在β&0,有|x(t)|≤β,且??&0,?δ&0,?使得对任意的t′,t′′∈[0,1],只要|t′?t′′|&δ,就有|x(t′)?x(t′′)|&.最后,若取N=[β+1](取整),则当n≥N时,便可导出|Bn(t)?x(t)|=|≤≤=≤n∑k(x()?x(t))bn,k(t)|k=0n∑?∑b(t)+2βbn,k(t)n,kk=0{k||k?nt|&nδn∑k?nt2?+2β()bn,k(t)k=02β?+nt(1?t)2β1?+&?,?t∈[0,1]
.定理2.2.14.(Weierstrass定理)假设x∈C[a,b],必有一列多项式{Pn(t)},使得∥Pn?x∥→0(n→∞).例2.2.15.空间C[a,b]是可分的.§2.2.2§2.2.2.1纲定理纲定理分析中许多重要定理的实现,依赖于它们所处系统的完备性,Baire定理就是一个典型的例子.定义2.2.16.设X是一个距离空间,A?X.如果集合A的闭包具有空的内部,称A为无处稠密的.X中可数个无处稠密集的并称为第一纲集.不是第一纲的集合称为第二纲集.定理2.2.17.(Baire定理)如果(X,d)是完备的距离空间,则X的可数个稠密开子集的交仍在X中稠密.即完备的距离空间是第二纲集.52第二章空间理论证明假设A1,A2,???是X的稠密开子集,B0=B(x0,r0)是X中任意一个开球.由ˉ1?A1∩B0;于A1的稠密性,存在B1=B(x1,r1)=?(r1&1),并且Bˉ对B1,由A2的稠密性,存在B2=B(x2,r2)=?(r2&1),并且B2?A2∩B1;?????????1ˉn?An∩Bn?1,依此继续下去,对Bn?1,存在Bn=B(xn,rn)=?(rn&),并且B?????????从而{xn}∞n=1是一个Cauchy列.到当m≥n时,xmN.所以B0与∩An相交,定理得证
.∞∩ˉn,注意因为X完备,有xn→x∈X.令K=Bn=1ˉn?An∩Bn?1,因而K非空,且K?B0∩(∩An),n∈∈Bn,所以x∈B例2.2.18.在I=[0,1]上存在处处连续但处处不可微的函数.解设X是所有周期为1的连续函数组成的集合.易见按范数∥f∥=max|f(x)|,f∈X,0≤x≤1构成完备赋范线性空间.令??????f(x+h)?f(x)????≤n,?h&0}Nn={f∈X|有一点x∈I,使??????h显然每个f∈X,只要在I中一点可微,便一定在某个Nn中.下面证明：(1)Nn是X中闭集.∞设{fk}∞k=1∈Nn,且{fk}k=1在[0,1]上一致收敛于f0.按Nn的定义,应有xk∈I,使??????fk(xk+h)?fk(xk)??????≤n,?h&0.????h注意{xk}∞k=1有收敛子序列,不妨设当k→∞时,xk→x0,则x0∈I.现对任意的h≥0,|fk(xk+h)?f0(x0+h)|≤|fk(xk+h)?f0(xk+h)|+|f0(xk+h)?f0(x0+h)|,再由{fk}∞k=1的一致收敛性,在式??????fk(xk+h)?fk(xk)??????≤n,?h&0????h中令k→∞,可得??????f0(x0+h)?f0(x0)??????≤n,?h&0,????h§2.2赋范线性空间53即f0∈Nn.(2)Nn无处稠密.若不然,则存在球K={f|∥f?f0∥&?}?Nn.显然我们可以找到一个折线函数φ(x)使得∥φ?f0∥=max|φ(x)?f0(x)|&?,0≤x≤1而且φ之每段斜率的绝对值都大于n.于是φ∈K,但φ∈/Nn,矛盾.所以∞∪n=1Nn是第一纲的.由Baire定理,X是第二纲的.故必存在ψ∈X,但ψ不在任何Nn中,显然这个ψ便是处处连续且处处不可微的函数
.§2.2.3有限维赋范线性空间有限维线性赋范空间比一般的赋范线性空间具有更好的性质,下面给出有限维赋范线性空间的特征刻画.引理2.2.19.设x1,x2,???,xn是赋范线性空间X中线性无关的元素,则存在μ&0,使得对任意的数α1,???,αn,有|α1|+???+|αn|≤μ∥α1x1+???+αnxn∥成立.证明设r=inf{∥α1x1+???+αnxn∥|n∑i=1|αi|=1}.往证r&0.由下确界定义,有yk=n∑i=1(k)αixi,n∑i=1|αi|=1,k∈N,(k)使∥yk∥→r,k→∞.(k)∞从|αi|≤1,k∈N,i=1,2,???,n,可知存在{k}∞k=1的子列{kl}l=1使αi(kl)→βi,l→∞,i=1,2,???,n.而且|β1|+???+|βn|=1.54第二章空间理论当然x=β1x1+???+βnxn=0.此外由∥ykl?x∥≤n∑i=1|αi(kl)?βi|∥xi∥,可见ykl→x,从而∥ykl∥→∥x∥,l→∞.于是0&∥x∥=r.取μ=1,则由r的定义,1≤μ∥α1x1+???+αnxn∥,|α1|+???+|αn|=1.现在,对一般的不全为零的(α1,???,αn),我们有????????????n????∑αk??x1≤μ??k??,????k=1|αi|??????i=1由此可见定理成立
.定理2.2.20.任何n维实赋范线性空间X必与Rn线性同胚,即X与Rn之间存在单且满的映射T,并且T及T?1均连续.证明设e1,e2,???,en是X中的一组基,即?x∈X,存在唯一的表示x=ξ1e1+???+ξnen,称{ξ1,???,ξn}为x关于{e1,e2,???,en}的坐标.这样对每个x∈X,按其坐标与n维欧氏空间中的点(ξ1,ξ2,???,ξn)建立一一对应T:Tx=(ξ1,ξ2,???,ξn)=x?,x=ξ1e1+ξ2e2+???+ξnen.易证T是线性同构映射.下证T及T?1是连续的.由引理2.2.19,存在μ&0,对一切(ξ1,ξ2,???ξn)∈Rn,n∑i=1n∑i=1|ξi|≤μ∥ξiei∥.于是对每个x=n∑i=1ξiei∈X,∥Tx∥=2n∑i=1∥ξi∥≤(n∑i=12n∑i=1|ξi|)2≤μ2∥ξiei∥2=μ2∥x∥2,§2.2赋范线性空间55即∥Tx∥≤μ∥x∥.这说明T是有界的,根据引理2.2.19,T是连续的.另一方面,对任何(ξ1,ξ2,???,ξn)∈∥x∥≤n∑i=1Rn,x=n∑i=1ξiei∈X,由H¨older不等式,1|ξi|∥ei∥≤(=(n∑i=1n∑i=1|ξi|)(12n∑i=1∥ei∥2)1∥ei∥2)∥Tx∥,这里(n∑此X必与Rn线性同胚
.引理2.2.21.(Riesz引理)设A是赋范线性空间X的闭子空间,A=X.则对于任给的正数?&1,存在x?∈X,使得∥x?∥=1,d(x?,A)=inf{∥x??y∥|y∈A}≥1??.证明取定x0∈X?A,因为A是闭的,inf{x0?y∥|y∈A}??d&0.对任给的正数?&1与η,由d的定义,存在y0∈A使得d≤∥x0?y0∥&d+η.i=1∥ei∥2)是与x无关的常数.1这说明T的逆映射T?1是有界的,从而连续.因令x?=1(x0?y0),00则x?∈X,∥x?∥=1,且对任何x∈A,∥x?x?∥=∥x?=≥dx0000∥100(∥x0?y0∥x+y0)?x0∥≥1??.当η≤d?时定理得证
.定理2.2.22.设X是赋范线性空间,则X是有限维的充分必要条件是X中每个有界集是列紧的.证明必要性显然,仅证明充分性.设S={x|∥x∥=1,x∈X}是X的单位球面,由于S是X中的列紧集,故对?=1,S存在有限?-网A?={x1,x2,???,xN}?X,令F=span{x1,x2,???,xN}={x∈X|x=k1x1+k2x2+???+kNxN},56第二章空间理论k1,???,kN∈K.显然F是X的m维子空间(m≤N).下证F=X.用反证法.假设F=X,由Riesz引理,存在x0∈X,∥x0∥=1使得d(x0,F)&1?有界集是列紧集这一结论是有限维空间独有的性质.1=1.而x0∈S,A?={x1,x2,???,xN}?F,这和A?是S的1?网矛盾.所以F=X,X是有限维的
.定理2.2.23.设X是无穷维赋范线性空间,则X中的闭单位球不是紧集.证明因为X是无穷维的,则X必有线性无关的无穷序列{xn}∞n=1,令Xn=span{x1,x2,???,xn},则Xn是X的n维闭线性子空间,且有Xn?Xn+1,Xn=Xn+1,n∈N,由Riesz引理知,存在yn∈Xn+1,∥yn∥=1,d(yn,Xn)≥1,n∈N,显然有1∥yn?ym∥≥,m=n;m,n∈N2故点列{yn}∞n=1没有收敛子列,因此X的闭单位球不是紧集
.§2.2.4§2.2.4.1商空间与积空间商空间在代数学中,我们把对于“模”余数相同者归为一类,而每一类的全体可视为同一元素.在实变函数论中,我们也常把“几乎处处相等”的函数看作同一元素.当把一个“元素类”视为一个“元素”时,就有所谓”商空间”的概念.定义2.2.24.设X是数域K上的线性空间,设N是线性空间X的子空间.对每个x∈X,称π(x)=x+N≡{x+y|y∈N}是N的包含x的陪集.N的所有陪集的全体构成一个线性空间,称为X以N为模的商空间,记为X/N.商空间中元素的加法和数乘定义如下：π(x)+π(y)=π(x+y),απ(x)=π(αx),?x,y∈X,α∈K.因为N是子空间,这个定义是完善的.例2.2.25.设X=R3,N为x1轴,则商空间X/N由所有平行于x1轴的空间直线组成.§2.2赋范线性空间57证明因为N={(x1,0,0)|x1∈R},所以?xˉ=(ˉx1,xˉ2,xˉ3)∈R3,有π(ˉx)={xˉ+x0|x0∈N}={(ˉx1+x1,xˉ2,xˉ3)|x1∈R}故当x1跑遍R时,xˉ1+x1也跑遍R,即从x2,x3轴上的坐标xˉ2,xˉ3就可将xˉ确定出来,它即为过x2Ox3坐标平面上的一点(0,xˉ2,xˉ3)且平行于x1轴的一条直线
.定理2.2.26.设X是赋拟范线性空间,N是X的闭线性子空间,在商空间X/N中定义∥π(x)∥=inf{∥x?z∥|z∈N},则X/N构成一个赋范线性空间.证明只需证明∥π(x)∥满足范数的三个条件.(1)由定义知∥π(x)∥≥0.当π(x)=π(0)=N时,由定义可得∥π(x)∥=0.若∥π(x)∥=0,则存在{xn}∞n=1?N,使得∥x?xn∥→0,即xn→x.N是闭子空间,所以x∈N,所以π(x)=N=π(0).(2)对任意的xˉ∈π(x),yˉ∈π(y),存在z∈N,使得xˉ+yˉ=x+y?z,于是∥π(x)+π(y)∥=∥π(x+y)∥=inf∥x+y?z∥≤∥xˉ+yˉ∥≤∥xˉ∥+∥yˉ∥,z∈N先对后式xˉ∈π(x)取下确界,再对yˉ∈π(y)取下确界,即得∥π(x)+π(y)∥≤∥π(x)∥+∥π(y)∥.(3)因为α=0,所以∥απ(x)∥=∥π(αx)∥=inf∥αx?z∥=inf∥α(x?y)∥=|α|inf∥x?y∥=α∥π(x)∥.z∈Ny∈Ny∈N综上,X/N构成一个赋范线性空间
.定理2.2.27.设X是赋拟范线性空间,N是X的闭线性子空间,在商空间X/N中定义∥π(x)∥=inf{∥x?z∥|z∈N},则N和X/N完备的充分必要条件是X是完备的.58第二章空间理论证明必要性.设{xk}∞k=1是X中Cauchy列,则∥π(xn)?π(xm)∥=∥π(xn?xm)∥≤∥xn?xm∥,?xn,xm∈{xk}∞k=1.因而{π(xk)}∞k=1是X/N中的Cauchy列.于是,存在π(x0)∈X/N,使得π(xk)→π(x0)(k→∞).又N是线性子空间,由关系式d(xk,π(x0))=inf{xk?(x0+z)∥=inf{(xk?x0)+z∥z∈Nz∈N=∥π(xk?x0)∥=∥π(xk)?π(x0)∥→0(k→0)1∞可知存在一单调自然数列{kn}∞k=1以及{zn}n=1?π(x0),使得d(xkn,zn)&,n∈N.由关系式∥zn?zm∥≤∥zn?xkn∥+∥xkn?xkm∥+∥xkm?zm∥≤1+1+∥xkn?xkm∥∞以及{xk}∞k=1为Cauchy列可知{zn}n=1是一Cauchy列,进而{zn?x0}是N中一Cauchy列.又因为N是完备空间,从而存在z0∈X,使得∥zn?z0∥→0(n→∞).又∥xk?z0∥≤∥xk?xkn∥+∥xkn?zn∥+∥zn?z0∥≤1+∥xk?xkn∥+∥zn?z0∥,可得xk→z0∈X(k→∞),即X是完备空间.充分性.假设X是完备空间,则N也是完备空间.设{π(xk)}∞k=1是空间X/N的一Cauchy列,因为∥π(xn)?π(xm)∥→0(n,m→∞),我们可以选取一子列{π(xkn)}∞n=1使其满足∥π(xkn+1?(xkn)∥=∥π(xkn+1)?π(xkn)∥&1,n∈N.2再由商空间范数的定义,可找到一列{zn}∞n=1使其满足zn∈π(xkn+1?xkn),∥zn∥&1,n∈N.令z1=(ˉxk2?xˉk1)+z0,xˉk2∈π(xk2),xˉk1∈π(xk1),z0∈N,那么可以作∞出X的一序列{x0kn}n=1如下：000x0ˉk1,x0k1=xk2=z1+xk1,xk3=z2+xk2,
x0kn+1=zn+xkn,???.并且由归纳法显然有00x0kn∈π(xkn),zn=xkn+1?xkn,n∈N.§2.2赋范线性空间59因而0∥x0kn+1?xkn∥=∥zn∥&1,n∈N.2∞000(n→∞).又因为即{x0kn}n=1是X中的Cauchy列,因而存在x∈X使得xkn→x∥π(xk)?π(x0)∥≤∥π(xk)?π(xkn)∥+∥π(xkn)?π(x0)∥0≤∥π(xk)?π(xkn)∥+∥x0kn?x∥进而有π(xk)→π(x0)(k→∞),所以商空间X/N完备
.注记2.2.28.上面定理中的条件N完备不能去掉,存在商空间完备,但X不完备的情况.例如：设X是空间(c)(复数域上所有收敛数列的全体按通常数列运算定义加法和数乘构成的线性空间,其上范数定义为∥x∥=max|ξn|,?x={ξn}∈(c))中n使{ξk}仅有“有限个坐标非0”的元之全体,N为X中使得{ξk}的前n0项坐标恒为0的元之全体,那么相应的商空间X/N是完备的,但是X不完备.证明如下容易验证N是X的闭子空间.下面验证X/N是完备的.事实上,当假设{π(xk)}∞k=1?X/N为一Cauchy列时,与上面定理的证明类似,只要注意空间(c)内的范数定义,就可以取那里的元zn,n∈N,使其除前n0项以外其余坐标均为零,于是相应地得到序∞000列{x0kn}n=1.由xkn+1?xkn=zn,zn坐标的性质以及X/N中元素的特点,也可设xkn的除前n0项以外其余后面的坐标均为零.又因为有限维赋范线性空间一定是完备的,我们可以找到x0∈X使得xkn→x0(n→∞).由此类似地就可以推出π(xk)→π(x0)(k→∞),即X/N是完备的.X的不完备性容易证明.例如只要取X中序列{xn}∞n=1如下：1x1=(1,0,???)x2=(1,,0,???),???,211xn=(1,,???,,0,???),???,2n那么,由∥xn?xm∥=max(11,)→0,(n,m→∞),n+1m+1可知{xn}∞n=1为X中的Cauchy列,但其在X中却无极限存在.11,???,,???),显然有xn→x0(n→∞),但是x0∈/X.由距离事实上,若令x0=(1,空间中序列极限的唯一性知X不完备
.60§2.2.4.2第二章空间理论积空间定义2.2.29.设X1,X2是数域K上的赋范线性空间,定义X1×X2={(x1,x2)|x1∈X1,x2∈X2},∥(x,y)∥=∥x∥+∥y∥,则称X1×X2为X1和X2的积空间.空间中元素的加法和数乘定义如下：(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2),α(x1,x2)=(αx1,αx2),其中x1,y1∈X1,x2,y2∈X2,α∈K.定理2.2.30.设X1,X2是两个赋范线性空间,那么积空间X1×X2仍为赋范线性空间,并且X1×X2为Banach空间的充分必要条件是X1,X2均为Banach空间.证明前一结论显然,只证明后一结论.n)∞必要性.假设X1×X2为Banach空间,则对于X1中的Cauchy列{x(1}n=1,由于此n)∞0ˉ)∈X×X,使得{(x(n),0)}→时{(x(2121,0)}n=1也是积空间的Cauchy列,因而存在元(x1,x1(x0ˉ2)(n→∞).注意到1,x0∥x1?x0ˉ2∥=∥(x1?x0ˉ2)∥1∥≤∥x1?x1∥+∥x1,?x(n)(n)(n)=∥(x1,0)?(x0ˉ2)∥,1,xn)0可以得出x(1→x1∈X1(n→∞),即X1是Banach空间.同理可证X2是Banach空间.n)(n)∞充分性.若X1,X2均为Banach空间,假设{(x(1,x2)}n=1为X1×X2中的Cauchy列,(n)由于∥x1?x1∥+∥x2?x2∥=∥(x1?x1,x2?x2)∥=∥(x1,x2)?(x1,x2)∥→0,n,m→∞.(n)(n)(m)(m)(n)(m)(n)(m)(n)(m)(n)(m)所以∥x1?x1∥→0,∥x2?x2∥→0,n,m→∞.n)∞(n)∞00即{x(},{xn=112}n=1分别为空间X1,X2的Cauchy列,因此,存在x1∈X1,x2∈X2使(n)(m)(n)(m)得0∥x1?x01∥→0,∥x2?x2∥→0(n→∞).(n)(n)§2.3内积空间61因此000∥(x1,x2)?(x01,x2)∥=∥x1?x1∥+∥x2?x2∥→0n→∞.(n)(n)(n)(n)即积空间X1×X2也是Banach空间
.§2.3§2.3.1内积空间内积空间在欧氏空间中,向量的长度以及向量间的夹角都可以用内积来定义.本节将把内积的概念推广到无穷维空间.定义2.3.1.设X是复线性空间,如果对任给的x,y∈X都恰有一个复数(x,y)与之对应,并且对任意的x,y,z∈X,α∈C,满足(1)(x,x)≥0,(x,x)=0?x=0;(2)(x+y,z)=(x,z)+(y,z);(3)(αx,y)=α(x,y);(4)(x,y)=.则称(x,y)为x与y的内积,称X为内积空间.例2.3.2.Rn,Cn都是内积空间,其上的内积分别定义为(x,y)=n∑i=1xiyi,?x,y∈Rn;(x,y)=n∑i=1xiyˉi,?x,y∈Cn,其中x=(x1,x2,???,xn),y=(y1,y2,???,yn).定义2.3.3.内积空间X中的元素x,y如果满足(x,y)=0,则称x,y为正交的,记作x⊥y.定义2.3.4.内积空间X中的一族元素{xj}∞j=1,如果满足??1,j=k;(xj,xk)=?0,j=k.则称{xj}∞j=1为正规正交集.62第二章空间理论定理2.3.5.设{xn}∞n=1是内积空间X的正规正交集,则对任意的x∈X,有∥x∥=2N∑n=1|(x,xn)|+∥x?2N∑n=1(x,xn)xn∥2.其中∥x∥=√,?x∈X.√.N∑n=1不难证明内积空间按∥x∥=证明将x表成x=[N∑(x,xn)xn]+[x?(x,xn)xn].n=1由内积空间的定义,容易验证上式右端第一项与第二项是正交的.因而有∥x∥2=∥=N∑n=1N∑n=1(x,xn)xn∥2+∥x?N∑n=1N∑n=1(x,xn)xn∥2|(x,xn)|2+∥x?(x,xn)xn∥2
.推论2.3.6.(Bessel不等式)设{xn}Nn=1(N可以是正整数或可列无穷元素)是内积空间X中的正规正交集,则对于任何的x∈X都有N∑n=1|(x,xn)|2≤∥x∥2.推论2.3.7.(Schwarz不等式)对内积空间X中任意两个向量x,y都有|(x,y)|≤∥x∥∥y∥.证明若y=0,则(x,y)=(x,0y)=0(x,y)=0.可见等式成立.若y=0,{y/∥y∥}就是正规正交集.由Bessel不等式,有|(x,y)|2∥x∥≥|(x,y/∥y∥)|=.22结论得证
.由Schwarz不等式容易证明,若在内积空间X中定义∥x∥=(x,x),则X按此范数构成赋范线性空间.显然,若x,y正交,则∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2.1§2.3内积空间63定义2.3.8.若内积空间X是完备的,则称X为Hilbert空间.反过来,对于内积空间,我们有如下重要结果：定理2.3.9.(极化恒等式)对内积空间X中任意两个向量x,y都有4(x,y)=∥x+y∥2?∥x?y∥2+i∥x+iy∥2?i∥x?iy∥2.证明由范数与内积关系易得∥x+y∥2=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y);∥x?y∥2=(x,x)?(x,y)?(y,x)+(y,y);∥x+iy∥2=(x,x)?i(x,y)+i(y,x)+(y,y);∥x?iy∥2=(x,x)+i(x,y)?i(y,x)+(y,y),进而有4(x,y)=∥x+y∥2?∥x?y∥2+i∥x+iy∥2?i∥x?iy∥2,定理得证
.定理2.3.10.赋范线性空间X成为内积空间的充分必要条件是对任意的x,y∈X,满足如下的平行四边形法则∥x+y∥2+∥x?y∥2=2∥x∥2+2∥y∥2.证明必要性.若X为内积空间,则∥x+y∥2=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y);∥x?y∥2=(x,x)?(x,y)?(y,x)+(y,y),所以∥x+y∥2+∥x?y∥2=2∥x∥2+2∥y∥2.充分性.当X是实赋范线性空间时,定义1(x,y)=(∥x+y∥2?∥x?y∥2),464第二章空间理论当X是复赋范线性空间时,定义11(x,y)=(∥x+y∥2?∥x?y∥2)+i(∥x+iy∥2?∥x?iy∥2),44则X按此定义构成内积空间
.例2.3.11.在空间C[0,1]中,取x(t)=1,y(t)=t,则∥x+y∥=max|1+t|=2,0≤t≤1∥x?y∥=max|1?t|=1,0≤t≤1∥x∥=1,∥y∥=1,显然不满足平行四边形法则,这说明C[0,1]不是内积空间.例2.3.12.l2是Hilbert空间,其上的内积定义为(x,y)=∞∑i=1xiyˉi,其中x=(x1,x2,???,xn,???),y=(y1,y2,???,yn,???)∈l2.解首先,由H¨older不等式,|(x,y)|=|义有意义,并且容易验证它满足内积条件,下面证明l2是完备的.k)∞2设xk={x(n}k=1是l中的Cauchy序列,于是任给?&0,存在自然数N,使得j,k≥∞∑i=1i=1i=12l按(?,?)成为内积空间.xiyˉi|≤(∞∑|xi1|2)(∞∑|yˉi|2)&∞,此定1N时,∥x?x∥=(kj∞∑n=1k)(j)2|x(n?xn|)&?.1(2.3.1)从而对每个自然数n,k)(j)|x(n?xn|&?,j,k≥N.k)∞(k)(0)(0)0这说明{x(n}k=1是Cauchy数列,故limxn=xn存在且有限.记x={xn},由(2.3.1)式,k对每个自然数m,m∑n=1k)(j)22|x(n?xn|&?,j,k≥N.§2.3内积空间65令j→∞,可得m∑n=1k)(0)22|x(n?xn|≤?,k≥N.再令m→∞,可得∞∑n=1k)(0)22|x(n?xn|≤?,k≥N.这说明xk?x0∈l2,k≥N.因l2是线性空间,故x0∈l2.再由上式得∥xk?x0∥=(∞∑n=1k)(0)2|x(n?xn|)≤?,k≥N.1即xk→x0,所以l2是Hilbert空间
.例2.3.13.L2[a,b]是Hilbert空间,其上的内积定义为∫(f,g)=abf(x)g(x)dx,f,g∈L2[a,b].可见L2[a,b]上的范数恰好是由内积定义的.证明首先由H¨older不等式知此定义有意义,并且容易验证它满足内积条件,而且按这个内积确定的范数恰好是例2.2.6中p=2时的范数,从那里知L2[a,b]是完备的,从而是Hilbert空间.§2.3.2正规正交基线性代数中的Schmidt正交化过程可以完全复制到内积空间上来.设{un}∞n=1?X是线性无关的序列.令w1=u1,w2=u2?(u2,v1)v1,???wn=un????n?1∑k=1v1=w1/∥w1∥,v2=w2/∥w2∥???(un,vk)vk,vn=wn/∥wn∥???则{vn}∞n=1是一个正规正交集,并且对任何自然数m,都有span{u1,u2,???,um}=span{v1,v2,???,vm}(2.3.2)66第二章空间理论定义2.3.14.内积空间X的正规正交集S={eλ|λ∈Λ}称为一个基是指对任意的x∈X,有唯一的表示x=∑(x,eλ)eλ,(2.3.3)其中x=∑λ∈Λλ∈Λzλ表示至多可列个zλ=0.{(x,eλ)|λ∈Λ}称为x关于基{eλ|λ∈Λ}的Fourier系数(坐标).定理2.3.15.假设X是Hilbert空间,S是X中正规正交集.下列命题等价：(1)S是内积空间X的正规正交基;(2)X中没有其它的正规正交集真包含S;(3)X中没有非零元与S中每个元正交.证明(1)?(2)反证法.假设X中有正规正交集S1?S,取非零的x∈S1?S,则x与S中每个元都正交,表达式(2.3.3)右端为零,而x=0,与S是正规正交基矛盾.(2)?(3)设x∈X与S中每个元正交.如果x=0,令x1=x/∥x∥,则S1=S∪{x1}便是X中真包含S的正规正交集,矛盾.(3)?(1)令S={eλ|λ∈Λ},设x∈X,由Schwarz不等式,对每个λ∈Λ,|(x,eλ)|≤∥x∥.注意∞∪k=1[11∥x∥,∥x∥]=(0,∥x∥].k+1k于是,若有不可数个(x,eλ)=0,则至少有一个区间[11∥x∥,∥x∥]k+1k中包含无穷多个|(x,eλ)|,与Bessel不等式矛盾.现在{(x,eλ)}λ∈Λ中至多只有可数个不为0者,将它们排列成(x,eλ1),(x,eλ2),???,(x,eλj),???,由Bessel不等式,对任意自然数N,N∑j=1|(x,eλj)|2≤∥x∥2.§2.3内积空间67故∞∑j=1|(x,eλj)|2收敛.令yn=2n∑j=1(x,eλj)eλj,n∈N,则当n&m时,n∑j=m+1n∑j=m+1∥yn?ym∥=∥(x,eλj)eλj∥=2|(x,eλj)|2,′′可见{yn}∞n=1是X中Cauchy列.因为X是完备的,所以可设yn→x∈X.下证x=x.显然,对一切的eλk有(x?x′,eλk)=lim(x?n→∞n∑j=1(x,eλj)eλj,eλk)=(x,eλk)?(x,eλk)=0.而对eλ∈S,λ=λk,(x,eλ)=0,且(eλj,eλ)=0,j∈N.故(x?x′,eλ)=lim(x?n→∞n∑j=1(x,eλj)eλj,eλ)=0.于是x?x′与S中一切元正交,由假设x?x′=0.即x=lim==n∑n→∞j=1∞∑(x,eλj)eλjj=1(x,eλj)eλj(x,eλ)eλ
.∑λ∈Λ